गणितीय प्रेरण का सिद्धांत। समाधान उदाहरण

प्रमाण की विधि, जिस पर इस उपधारा में चर्चा की जाएगी, प्राकृतिक श्रृंखला के स्वयंसिद्धों में से एक पर आधारित है।

प्रेरण स्वयंसिद्ध। चर के आधार पर एक वाक्य दिया जाए पी,जिसके स्थान पर आप किसी भी प्राकृत संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। आइए इसे निरूपित करें एक)।चलो वाक्य भी एसंख्या 1 के लिए सत्य है और इस तथ्य से कि एसंख्या के लिए सही प्रति, उसका अनुसरण करता है एसंख्या के लिए सही करने के लिए + 1. फिर वाक्य एसभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए सत्य पी।

स्वयंसिद्ध का प्रतीकात्मक संकेतन:

यहाँ शिखर-प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर चर। निम्नलिखित अनुमान नियम प्रेरण स्वयंसिद्ध से प्राप्त होता है:

अत: वाक्य की सत्यता को सिद्ध करने के लिए ए,आप पहले दो कथनों को सिद्ध कर सकते हैं: कथन की सच्चाई ए( 1), साथ ही साथ परिणाम ए (के) => ए (के + 1).

उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए, हम सार का वर्णन करते हैं तरीका

गणितीय अधिष्ठापन।

यह साबित करने की आवश्यकता है कि वाक्य एक)सभी प्राकृतिक के लिए सच पी।प्रमाण दो चरणों में विभाजित है।

• पहला चरण। प्रेरण आधार।हम एक मूल्य के रूप में लेते हैं पीनंबर 1 और जांचें कि ए( 1) एक सत्य कथन है।
• दूसरा चरण। आगमनात्मक संक्रमण।हम सिद्ध करते हैं कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए प्रतिनिहितार्थ सही है: यदि ए (के), फिर ए (के + 1).

आगमनात्मक संक्रमण शब्दों से शुरू होता है: "एक मनमाना प्राकृतिक संख्या लें" प्रति,ऐसा है कि ए (के) ",या "चलो एक प्राकृतिक संख्या के लिए" प्रतिअधिकार ए (के) "।"चलो" शब्द के बजाय वे अक्सर कहते हैं "मान लीजिए कि ..."

इन शब्दों के बाद, पत्र प्रतिकुछ निश्चित वस्तु को दर्शाता है जिसके लिए संबंध ए (के)।यहाँ से आगे ए (के)हम परिणामों को घटाते हैं, यानी हम वाक्यों की एक श्रृंखला बनाते हैं ए (के) 9 आर, पाई, ..., पी „= ए (के + 1), जहां प्रत्येक वाक्य आर,एक सच्चा कथन या पिछले वाक्यों का परिणाम है। अंतिम वाक्य आर"मेल खाना चाहिए ए (के +एक)। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: से ए (के)चाहिए ए (के +).

एक आगमनात्मक संक्रमण करना दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

• 1) आगमनात्मक धारणा। यहाँ हम मानते हैं कि ए प्रतिचर एन।
• 2) धारणा के आधार पर, हम साबित करते हैं कि एसंख्या के लिए सत्य है? +1।

उदाहरण 5.5.1।आइए हम सिद्ध करें कि संख्या एन + एनसभी प्राकृतिक के लिए भी है पी।

यहाँ एक) = "एन 2 + एन- सम संख्या"। यह साबित करना आवश्यक है कि ए -समान रूप से सत्य विधेय। आइए गणितीय प्रेरण की विधि लागू करें।

प्रेरण आधार।एल = 1 लें। व्यंजक में स्थानापन्न करें पी+ //, हमें मिलता है एन 2 + एन= I 2 + 1 = 2 एक सम संख्या है, अर्थात / 1 (1) एक सत्य कथन है।

आइए तैयार करें आगमनात्मक अनुमान ए (के)= "नंबर कश्मीर 2 + कश्मीर -यहाँ तक की "। हम यह कह सकते हैं: “एक मनमाना प्राकृत संख्या लीजिए प्रतिऐसा है कि कश्मीर 2 + केएक सम संख्या होती है।"

इससे हमें यह कथन प्राप्त होता है ए (केए-)= "नंबर (के + 1) 2 + (? + 1) - सम"।

आइए हम संचालन के गुणों द्वारा परिवर्तन करते हैं:

परिणामी योग का पहला पद धारणा द्वारा सम है, दूसरा परिभाषा के अनुसार सम है (क्योंकि इसका रूप 2 . है) पी)।अतः योग एक सम संख्या है। वाक्य ए (के + 1) सिद्ध होता है।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: वाक्य एक)सभी प्राकृतिक के लिए सच पी।

बेशक, हर बार अंकन दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है एक)।हालाँकि, अभी भी आगमनात्मक धारणा तैयार करने की सिफारिश की जाती है और एक अलग पंक्ति में इससे क्या प्राप्त करने की आवश्यकता होती है।

ध्यान दें कि उदाहरण 5.5.1 के कथन को गणितीय आगमन विधि का उपयोग किए बिना सिद्ध किया जा सकता है। इसके लिए, दो मामलों पर विचार करना पर्याप्त है: कब पीसम और कब पीअजीब।

कई विभाज्यता समस्याओं को गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा हल किया जाता है। आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5.5.2।आइए हम सिद्ध करें कि संख्या 15 2i_ | +1 सभी प्राकृतिक के लिए 8 से विभाजित पी।

बाचा प्रेरण।लो / 1 = 1. हमारे पास है: संख्या 15 2 | _ | +1 = 15 + 1 = 16 8 से विभाजित।

, जो कुछ के लिए

प्राकृतिक संख्या प्रतिसंख्या 15 2 * '+1 8 से विभाज्य है।

आइए साबित करेंवह तो संख्या ए= 15 2 (ЖН +1 8 से विभाज्य है।

संख्या परिवर्तित करें ए:

धारणा के अनुसार, संख्या 15 2A1 +1 8 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि पूरा पहला पद 8 से विभाज्य है। दूसरा पद 224 = 8-28 भी 8 से विभाज्य है। इस प्रकार, संख्या एक्योंकि 8 से विभाज्य दो संख्याओं का अंतर 8 से विभाज्य है। आगमनात्मक संक्रमण उचित है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी प्राकृतिक के लिए पीसंख्या 15 2 "-1 - * - 1 8 से विभाज्य है।

आइए हल की गई समस्या पर कुछ टिप्पणी करें।

सिद्ध कथन को थोड़े अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: "संख्या 15" "+ 1 किसी भी विषम प्राकृतिक संख्या / और के लिए 8 से विभाज्य है"।

दूसरे, सिद्ध सामान्य कथन से एक विशेष निष्कर्ष निकाला जा सकता है, जिसका प्रमाण एक अलग समस्या के रूप में दिया जा सकता है: संख्या 15 2015 +1 8 से विभाज्य है। एक अक्षर के साथ विशिष्ट मूल्य, और फिर विधि गणितीय प्रेरण लागू करें।

सबसे सामान्य अर्थ में, "प्रेरण" शब्द का अर्थ है कि विशेष उदाहरणों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष निकाले जाते हैं। उदाहरण के लिए, सम संख्याओं 2 + 4 = 6, 2 + 8 = 10, 4 + 6 = 10, 8 + 12 = 20, 16 + 22 = 38 के योग के कुछ उदाहरणों पर विचार करने पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी दो सम संख्याएँ सम संख्या होती हैं।

सामान्य तौर पर, इस तरह के प्रेरण से गलत निष्कर्ष निकल सकते हैं। इस तरह की भ्रांति का एक उदाहरण यहां दिया गया है।

उदाहरण 5.5.3। संख्या पर विचार करें ए= / r + i + 41 प्राकृतिक के लिए / ?.

मूल्यों का पता लगाएं एकुछ मूल्यों पर पी।

होने देना एन =मैं फिर ए = 43 एक अभाज्य संख्या है।

चलो / 7 = 2। फिर ए= 4 + 2 + 41 = 47 - साधारण।

मान लीजिए l = 3. फिर ए= 9 + 3 + 41 = 53 - सरल।

चलो / 7 = 4। फिर ए= 16 + 4 + 41 = 61 - साधारण।

मूल्यों के रूप में लें पीनिम्नलिखित संख्याएँ, जैसे कि 5, 6, 7, और सुनिश्चित करें कि संख्या है एसरल होगा।

हम निष्कर्ष निकालते हैं: "सभी प्राकृतिक के साथ /? संख्या एसरल होगा।"

परिणाम एक गलत बयान है। आइए एक प्रति उदाहरण दें: / 7 = 41। सुनिश्चित करें कि इसके साथ पीसंख्या एसमग्र होगा।

"गणितीय प्रेरण" शब्द का एक संक्षिप्त अर्थ है, क्योंकि इस पद्धति का उपयोग आपको हमेशा सही निष्कर्ष प्राप्त करने की अनुमति देता है।

उदाहरण 5.5.4। आइए आगमनात्मक तर्क के आधार पर अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद का सूत्र प्राप्त करें। याद रखें कि अंकगणितीय पेशा एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है, जिसे प्रगति का अंतर कहा जाता है। अंकगणितीय पेशे को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको इसका पहला पद निर्दिष्ट करना होगा एऔर अंतर डी।

तो परिभाषा के अनुसार एक एन + = ए एन + डी,पर एन> 1.

गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में, एक नियम के रूप में, अंकगणित पेशे के सामान्य सदस्य के लिए सूत्र विशेष उदाहरणों के आधार पर स्थापित किया जाता है, अर्थात ठीक प्रेरण द्वारा।

अगर / 7 = 1, तो साथ 7 | = मैं |, यानी मैं | = टीएफ | + डीएफ (एल -1)।

अगर / 7 = 2, तो मैं 2 = ए + डी,अर्थात् ए= मैं | + * / (2-1)।

अगर / 7 = 3, तो मैं 3 = मैं 2 + = (ए + डी) + डी = ए + 2 डी,अर्थात्, मैं 3 = मैं | + (3-1)।

यदि/7 = 4, तो मैं 4 = मैं 3 + */= ( ए + 2डी) + डी= R1 + 3, आदि।

दिए गए विशेष उदाहरण हमें एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति देते हैं: सामान्य शब्द सूत्र का रूप होता है ए" = ए + (एन-) डीसभी के लिए / 7> 1.

आइए हम इस सूत्र को गणितीय आगमन विधि द्वारा सिद्ध करें।

प्रेरण आधारपिछले तर्क में सत्यापित।

होने देना प्रति -ऐसी संख्या जिस पर मैं*- ए + (के-) डी (आगमनात्मक अनुमान).

आइए साबित करेंकि मैं *+! = ए + ((के +) -) डी,यानी मैं * + 1 = एक एक्स + केडी।

परिभाषा के अनुसार, मैं * + 1 = एबी + डी। और करने के लिए= मैं | + (से-1 ) डी, साधन, एसी += मैं मैं + (ए: -1) ^ / + सी / = मैं | + (ए-1 + 1 ) डी= मैं मैं + केडी, जिसे साबित करना आवश्यक था (आगमनात्मक संक्रमण को सही ठहराने के लिए)।

अब सूत्र I = ए + (एन-) डीकिसी भी प्राकृत संख्या के लिए सिद्ध / ;.

मान लीजिए कि कुछ क्रम i b i 2, i, ... (not .) दिया गया है

आवश्यक रूप से अंकगणित या ज्यामितीय प्रगति)। समस्याएँ अक्सर उत्पन्न होती हैं जहाँ पहले को संक्षेप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है पीइस अनुक्रम के सदस्य, अर्थात्, I | + I 2 + ... + I और एक सूत्र सेट करें जो आपको अनुक्रम के सदस्यों की गणना किए बिना इस योग के मूल्यों को खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण 5.5.5. आइए हम साबित करें कि पहले का योग पीप्राकृतिक संख्या है

/?(/7 + 1)

हम योग 1 + 2 + ... + / 7 को . से निरूपित करते हैं एस एन.मूल्यों का पता लगाएं एस नहींकुछ के लिए /7.

नोट: S 4 का योग ज्ञात करने के लिए, आप पहले परिकलित मान 5 3 का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि 5 4 = 5 3 +4।

एन (एन +1)

यदि हम माने गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं /? अवधि में --- तब

हमें क्रमशः वही योग 1, 3, 6, 10 प्राप्त होते हैं। ये प्रेक्षण

. _ एन (एन + 1)

सुझाव है कि सूत्र एस= --- का उपयोग तब किया जा सकता है जब

कोई //। आइए हम इस परिकल्पना को गणितीय आगमन विधि द्वारा सिद्ध करें।

प्रेरण आधारसत्यापित। आइए अमल करें आगमनात्मक संक्रमण।

मान लेनाकि सूत्र किसी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है

, के (के + 1)

के, तो नेट पहले का योग है प्रतिप्राकृतिक संख्याएँ ---- के बराबर होती हैं।

आइए साबित करेंकि पहली (? +1) प्राकृत संख्याओं का योग बराबर है

• (* + !)(* + 2)

आइए व्यक्त करते हैं? * + 1 के संदर्भ में एस के.ऐसा करने के लिए, योग S * + i में, हम पहले को समूहित करते हैं प्रतिशर्तें, और हम अंतिम शब्द अलग से लिखते हैं:

आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा एस के =खोजने का मतलब

पहली (? +1) प्राकृत संख्याओं का योग, यह पहले से परिकलित के लिए पर्याप्त है

. „ के (के + 1) _ .. ..

पहले का योग प्रति--- के बराबर संख्याएं, एक पद (+ 1 में) जोड़ें।

आगमनात्मक संक्रमण उचित है। इस प्रकार प्रारम्भ में रखी गई परिकल्पना सिद्ध होती है।

हमने सूत्र का प्रमाण प्रदान किया है एस एन =एन ^ एन + विधि

गणितीय अधिष्ठापन। बेशक, अन्य सबूत भी हैं। उदाहरण के लिए, आप राशि लिख सकते हैं एस,शब्दों के आरोही क्रम में, और फिर शब्दों के अवरोही क्रम में:

एक कॉलम में पदों का योग स्थिर होता है (एक योग में, प्रत्येक अगले पद में 1 की कमी होती है, और दूसरे में यह 1 से बढ़ जाता है) और (/ r + 1) के बराबर होता है। इसलिए, प्राप्त राशियों को जोड़ने पर, हमारे पास होगा पी(और + 1) के बराबर पद। तो दुगनी राशि एस "के बराबर है एन (एन + 1).

सिद्ध सूत्र को पहले के योग के सूत्र के विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है पीएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि पर वापस जाएं। ध्यान दें कि गणितीय प्रेरण (प्रेरण आधार) की विधि का पहला चरण हमेशा आवश्यक होता है। इस कदम की अनुपस्थिति से गलत निष्कर्ष निकल सकता है।

उदाहरण 5.5.6। आइए वाक्य को "सिद्ध" करें: "संख्या 7" +1 किसी भी प्राकृतिक I के लिए 3 से विभाज्य है।

"मान लीजिए कि कुछ प्राकृतिक मूल्य के लिए प्रतिसंख्या 7 * + 1 3 से विभाज्य है। आइए हम सिद्ध करें कि संख्या 7 और +1 3 से विभाज्य है। आइए हम रूपांतरण करें:

संख्या 6 स्पष्ट रूप से 3 से विभाज्य है। संख्या 1 से +आगमनात्मक परिकल्पना से 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या 7- (7 * + 1) भी 3 से विभाज्य है। इसलिए, 3 से विभाज्य संख्याओं का अंतर भी 3 से विभाज्य होगा।

प्रस्ताव सिद्ध है।"

मूल प्रस्ताव का प्रमाण गलत है, हालांकि आगमनात्मक कदम सही है। दरअसल, के लिए एन =मेरे पास संख्या 8 है, के लिए एन = 2 -संख्या 50, ..., और इनमें से कोई भी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।

आइए हम आगमनात्मक संक्रमण करते समय एक प्राकृत संख्या के पदनाम के बारे में एक महत्वपूर्ण नोट करें। प्रस्ताव तैयार करते समय एक)पत्र पीहम एक चर को निरूपित करते हैं, जिसके बजाय किसी भी प्राकृतिक संख्या को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। आगमनात्मक परिकल्पना तैयार करते समय, हमने अक्षर द्वारा चर के मान को निरूपित किया प्रति।हालाँकि, बहुत बार एक नए पत्र के बजाय प्रतिउसी अक्षर का उपयोग करें जो चर को दर्शाता है। आगमनात्मक संक्रमण करते समय यह किसी भी तरह से तर्क की संरचना को प्रभावित नहीं करता है।

समस्याओं के कुछ और उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

उदाहरण 5.5.7। योग का मान ज्ञात कीजिए

कार्य में, चर पीदिखाई नहीं देता है। हालांकि, शर्तों के अनुक्रम पर विचार करें:

हम निरूपित करते हैं एस, = ए + ए 2 + ... + ए ।पाना एसकुछ के तहत पी।अगर / 1 = 1, तो एस, = ए, =-.

अगर एन = 2. तब एस, = ए, + ए? = - + - = - = -.

अगर /? = 3, तो एस-, = ए, + ए 7+ मैं, = - + - + - = - + - = - = -।

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

आप स्वयं मूल्यों की गणना कर सकते हैं एस "पर / 7 = 4; 5. वहाँ है

प्राकृतिक अनुमान: एस नहीं= - किसी भी प्राकृतिक के लिए / 7. आइए साबित करें

यह गणितीय प्रेरण द्वारा है।

प्रेरण आधारऊपर चेक किया गया।

आइए अमल करें आगमनात्मक संक्रमण, एक मनमाने ढंग से लिया को दर्शाता है

परिवर्तनीय मूल्य पीउसी अक्षर से, यानी हम इसे समानता से साबित करेंगे

0 /7 _ /7 +1

एस नहीं= -समानता है एस, =-.

/7+1 /7 + 2

मान लेनावह समानता सत्य है एस= - पी -.

आइए संक्षेप करें एस +पहला पीशर्तें:

आगमनात्मक धारणा को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

भिन्न को (/ 7 + 1) से रद्द करने पर, हमें समानता मिलती है एसएन +1 -, एल

आगमनात्मक संक्रमण उचित है।

इससे सिद्ध होता है कि प्रथम का योगफल पीमामले

• 1 1 1 /7 ^
• - + - + ... + - - के बराबर। अब वापस मूल पर
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

कार्य। इसे हल करने के लिए, इसे मान के रूप में लेना पर्याप्त है पीनंबर 99.

तब योग -! - + -! - + -! - + ... + --- संख्या 0.99 के बराबर होगा।

1-2 2-3 3-4 99100

इस राशि की गणना किसी अन्य तरीके से करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5.5.8। आइए हम सिद्ध करें कि अवकलनीय फलनों की किसी परिमित संख्या के योग का अवकलज इन फलनों के अवकलजों के योग के बराबर होता है।

चलो चर /? इन कार्यों की मात्रा को दर्शाता है। उस स्थिति में जब केवल एक फ़ंक्शन दिया जाता है, इस फ़ंक्शन को योग के रूप में समझा जाता है। इसलिए, यदि / 7 = 1, तो कथन स्पष्ट रूप से सत्य है: / "= /"।

मान लेनायह कथन के समुच्चय के लिए मान्य है पीकार्य (यहां फिर से पत्र के बजाय प्रतिलिया हुआ पत्र पी),वह है, योग का व्युत्पन्न पीफ़ंक्शन डेरिवेटिव के योग के बराबर है।

आइए साबित करेंकि योग का अवकलज (i + 1) फलन, अवकलजों के योग के बराबर है। एक मनमाना समुच्चय लीजिए जिसमें एन +अलग-अलग कार्य: / 1, / 2, . हम इन कार्यों के योग का प्रतिनिधित्व करते हैं

जैसा जी + एफ „+ 1, जहां जी = एफ + / जी + ... + / टी -योग पीकार्य। आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न जीडेरिवेटिव के योग के बराबर है: जी "= फीट + फीट + ... + फीट।इसलिए, समानता की निम्नलिखित श्रृंखला धारण करती है:

आगमनात्मक संक्रमण पूरा हो गया है।

इस प्रकार, किसी भी सीमित संख्या में कार्यों के लिए मूल प्रस्ताव सिद्ध होता है।

कुछ मामलों में, वाक्य की सच्चाई को साबित करना आवश्यक है एक)सभी प्राकृतिक i के लिए, कुछ मान से शुरू करते हुए साथ।ऐसे मामलों में गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नलिखित योजना के अनुसार किया जाता है।

प्रेरण आधार।हम साबित करते हैं कि प्रस्ताव एअर्थ के लिए सच पी,बराबरी का साथ।

आगमनात्मक संक्रमण। 1) हम मानते हैं कि वाक्य एकुछ मूल्य के लिए सच प्रतिचर /?, जो से बड़ा या उसके बराबर है साथ।

2) हम साबित करते हैं कि प्रस्ताव एके मान के लिए सत्य है /? के बराबर

फिर से ध्यान दें कि पत्र के बजाय प्रतिअक्सर परिवर्तनशील संकेतन छोड़ दें पी।इस मामले में, आगमनात्मक संक्रमण शब्दों से शुरू होता है: "मान लीजिए कि कुछ मूल्य के लिए एन> सीअधिकार एक)।आइए हम साबित करें कि यह सच है ए (एन +एक)"।

उदाहरण 5.5.9। आइए हम साबित करें कि सभी के लिए प्राकृतिक एन> 5, असमानता 2 "> और 2 सत्य हैं।

प्रेरण आधार।होने देना एन = 5. तब 2 5 = 32, 5 2 = 25. असमानता 32> 25 सत्य है।

आगमनात्मक संक्रमण। मान लेना, कि असमानता 2 एन> एन 2कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए एन> 5. आइए साबित करें, जो तब 2 "+ |> (n + 1) 2.

डिग्री 2 के गुणों से "+ | = 2-2 "। चूंकि 2"> i 2 (आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा), फिर 2-2 "> 2i 2 (I)।

आइए हम सिद्ध करें कि 2 एन 2अधिक (i + 1) 2. यह कई तरीकों से किया जा सकता है। वर्ग असमानता को हल करने के लिए पर्याप्त है 2x 2> (x +) 2वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में देखें और देखें कि 5 से बड़ी या उसके बराबर सभी प्राकृत संख्याएँ इसके हल हैं।

हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे। संख्याओं का अंतर ज्ञात कीजिए 2 एन 2और (i + 1) 2:

चूंकि और > 5, फिर i + 1> 6, जिसका अर्थ है (i + 1) 2> 36। इसलिए, अंतर 0 से अधिक है। इसलिए, दूसरा 2> (i + 1) 2 (2)।

(I) और (2) से असमानताओं के गुणों के अनुसार यह 2 * 2 "> (n + 1) 2 का अनुसरण करता है, जो कि आगमनात्मक संक्रमण को सही ठहराने के लिए आवश्यक था।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता 2" > i 2 किसी भी प्राकृत संख्या i के लिए सत्य है।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि के दूसरे रूप पर विचार करें। अंतर आगमनात्मक संक्रमण में निहित है। इसे लागू करने के लिए, आपको दो चरणों को पूरा करना होगा:

• 1) मान लें कि वाक्य एक)चर के सभी मानों के लिए सत्य है I एक निश्चित संख्या से कम आर;
• 2) प्रस्तावित धारणा से निष्कर्ष निकालें कि वाक्य एक)संख्या के लिए भी यही सच है आर।

इस प्रकार, आगमनात्मक संक्रमण को कोरोलरी के प्रमाण की आवश्यकता होती है: [(यी?) ए (एन)] => ए (पी)।ध्यान दें कि कोरोलरी को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: [(वाईएन ^ पी) ए (एन)] => ए (पी + 1).

प्रस्ताव के प्रमाण में गणितीय प्रेरण की विधि के मूल सूत्रीकरण में ए (पी)हम केवल "पिछले" प्रस्ताव पर निर्भर थे ए (पी-एक)। यहां दी गई विधि का सूत्रीकरण व्युत्पन्न करना संभव बनाता है ए (पी),सभी प्रस्तावों को ध्यान में रखते हुए एक),मैं कहाँ कम हूँ आर, सच हैं।

उदाहरण 5.5.10। आइए हम प्रमेय को सिद्ध करें: "किसी भी n-gon के आंतरिक कोणों का योग 180 ° (n-2) होता है"।

उत्तल बहुभुज के लिए, प्रमेय को सिद्ध करना आसान है यदि हम इसे एक शीर्ष से खींचे गए विकर्णों द्वारा त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। हालांकि, एक गैर-उत्तल बहुभुज के लिए, यह प्रक्रिया संभव नहीं हो सकती है।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके एक मनमाना बहुभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करें। हम निम्नलिखित ज्ञात कथन पर विचार करेंगे, जिसे कड़ाई से बोलते हुए, एक अलग प्रमाण की आवश्यकता होती है: "किसी भी // - गॉन में, एक विकर्ण होता है जो पूरी तरह से इसके आंतरिक भाग में होता है।"

चर // के बजाय, आप किसी भी प्राकृतिक संख्याओं को प्रतिस्थापित कर सकते हैं जो 3 से अधिक या उसके बराबर हैं। के लिए एन = बीप्रमेय सत्य है, क्योंकि त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है।

कुछ ले लो / 7-gon (पी> 4) और मान लें कि किसी भी //- gon के कोणों का योग, जहाँ // p, 180 ° (// - 2) के बराबर है। आइए हम सिद्ध करें कि //- gon के कोणों का योग 180° (// - 2) के बराबर होता है।

आइए इसके अंदर लेटे हुए एक विकर्ण // - गॉन बनाएं। यह //- gon को दो बहुभुजों में विभाजित कर देगा। चलो उनमें से एक है प्रतिपक्ष, अन्य - 2 . तकदलों। फिर के + के 2 -2 = पी,चूँकि परिणामी बहुभुजों में खींचे गए विकर्ण का एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है, जो मूल // - gon का एक पक्ष नहीं होता है।

दोनों नंबर प्रतितथा 2 . तककम //। आइए हम प्राप्त बहुभुजों पर आगमनात्मक धारणा लागू करें: ए] -गॉन के कोणों का योग 180 ° - (? I-2) के बराबर होता है, और कोणों का योग? 2-गॉन 180 ° - (Ar 2 -2) के बराबर होता है। तब कोणों का योग //- gon इन संख्याओं के योग के बराबर होगा:

180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) = 180 o (Ar, -bAr 2 -2-2) = 180 ° - (// - 2)।

आगमनात्मक संक्रमण उचित है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, प्रमेय किसी भी //- gon (//> 3) के लिए सिद्ध होता है।

ऐसा करने के लिए सबसे पहले नंबर 1 वाले स्टेटमेंट की सत्यता की जांच की जाती है - प्रेरण आधार, और फिर यह साबित हो जाता है कि यदि संख्या के साथ अभिकथन एन, फिर संख्या के साथ निम्नलिखित कथन: एन + 1 - प्रेरण चरण, या प्रेरण संक्रमण.

प्रेरण द्वारा प्रमाण को तथाकथित के रूप में स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है डोमिनोज़ सिद्धांत... किसी भी संख्या में डोमिनोज़ को एक पंक्ति में इस तरह से रखा जाए कि नीचे गिरने वाली प्रत्येक हड्डी आवश्यक रूप से अगली हड्डी पर दस्तक दे (यह इंडक्शन ट्रांज़िशन है)। फिर, यदि हम पहली हड्डी को धक्का देते हैं (यह प्रेरण आधार है), तो पंक्ति में सभी हड्डियां गिर जाएंगी।

प्रमाण की इस पद्धति का तार्किक आधार तथाकथित है प्रेरण का स्वयंसिद्ध, प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो के स्वयंसिद्धों का पाँचवाँ भाग। प्रेरण विधि की शुद्धता इस तथ्य के बराबर है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी सबसेट में न्यूनतम तत्व होता है।

एक भिन्नता भी है, पूर्ण गणितीय प्रेरण का तथाकथित सिद्धांत। यहाँ इसका सख्त शब्दांकन है:

पूर्ण गणितीय प्रेरण का सिद्धांत भी पीनो के स्वयंसिद्धों में प्रेरण स्वयंसिद्ध के बराबर है।

इसके उदाहरण

कार्य।साबित करें कि, जो कुछ भी स्वाभाविक है एनऔर असली क्यू 1, समानता

सबूत।द्वारा प्रेरण एन.

आधार, एन = 1:

संक्रमण: चलो दिखावा करते हैं कि

,

क्यू.ई.डी.

एक टिप्पणी:कथन की शुद्धता पी एनइस प्रमाण में समानता की निष्ठा के समान है

यह सभी देखें

विविधताएं और सामान्यीकरण

साहित्य

• एन. हां विलेनकिनप्रवेश। कॉम्बिनेटरिक्स। शिक्षकों के लिए एक गाइड। एम।, शिक्षा, 1976.-48 एस
• एल. आई. गोलोविना, आई. एम. याग्लोमीज्यामिति में प्रेरण, "गणित में लोकप्रिय व्याख्यान", अंक 21, फ़िज़मटगिज़ 1961.-100 पी।
• आर. कूरेंट, जी. रॉबिंस"गणित क्या है?" अध्याय मैं, 2.
• आई. एस. सोमिंस्कीगणितीय प्रेरण की विधि। "गणित में लोकप्रिय व्याख्यान", अंक 3, प्रकाशन गृह "विज्ञान" 1965.-58 पी।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "गणितीय प्रेरण की विधि" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

गणित में गणितीय प्रेरण प्रमाण के तरीकों में से एक है। सभी प्राकृत संख्याओं के लिए एक कथन की सत्यता को सिद्ध करने के लिए प्रयुक्त होता है। ऐसा करने के लिए, पहले नंबर 1 वाले बयान की सच्चाई प्रेरण का आधार है, और फिर ... ... विकिपीडिया

एक सिद्धांत के निर्माण की एक विधि, इसके कुछ प्रावधानों के साथ - स्वयंसिद्ध या अभिधारणा - जिससे सिद्धांत के अन्य सभी प्रावधान (प्रमेय) तर्क द्वारा प्राप्त किए जाते हैं जिन्हें प्रूफ एम और कहा जाता है। नियम, आँख से …… दार्शनिक विश्वकोश

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एक वैज्ञानिक सिद्धांत के निर्माण की एक विधि, जिसमें यह स्वयंसिद्ध (देखें स्वयंसिद्ध), या अभिधारणा के कुछ प्रारंभिक प्रावधानों (निर्णय) पर आधारित है, जिससे इस विज्ञान के अन्य सभी कथन (प्रमेय (प्रमेय देखें)) प्राप्त किए जाने चाहिए। .. ... महान सोवियत विश्वकोश

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गणितीय प्रेरण की विधि

रूसी में इंडक्शन शब्द का अर्थ है मार्गदर्शन, और आगमनात्मक को टिप्पणियों, प्रयोगों के आधार पर निष्कर्ष कहा जाता है, अर्थात। विशेष से सामान्य तक निष्कर्ष द्वारा प्राप्त किया गया।

उदाहरण के लिए, हम प्रतिदिन सूर्य को पूर्व से उगते हुए देखते हैं। इसलिए, आप सुनिश्चित हो सकते हैं कि कल यह पूर्व में दिखाई देगा, न कि पश्चिम में। हम इस निष्कर्ष को आकाश में सूर्य की गति के कारण के बारे में किसी भी धारणा का सहारा लिए बिना (इसके अलावा, यह आंदोलन स्वयं स्पष्ट हो जाता है, क्योंकि ग्लोब वास्तव में घूम रहा है)। और फिर भी, यह आगमनात्मक निष्कर्ष उन टिप्पणियों का सही वर्णन करता है जो हम कल करेंगे।

प्रायोगिक विज्ञान में आगमनात्मक अनुमानों की भूमिका बहुत महान है। वे वे प्रस्ताव देते हैं, जिनसे कटौती के माध्यम से आगे के निष्कर्ष निकाले जाते हैं। और यद्यपि सैद्धांतिक यांत्रिकी न्यूटन के गति के तीन नियमों पर आधारित है, ये कानून स्वयं प्रायोगिक डेटा के गहन विचार-विमर्श का परिणाम थे, विशेष रूप से केप्लर के ग्रहों की गति के नियम, जिसे उन्होंने डेनिश खगोलशास्त्री टाइको के दीर्घकालिक अवलोकनों से प्राप्त किया था। ब्राहे। अवलोकन और प्रेरण भविष्य में की गई धारणाओं को स्पष्ट करने के लिए उपयोगी साबित होते हैं। एक गतिमान माध्यम में प्रकाश की गति को मापने के माइकलसन के प्रयोगों के बाद, सापेक्षता के सिद्धांत को बनाने के लिए भौतिकी के नियमों को स्पष्ट करना आवश्यक हो गया।

गणित में, प्रेरण की भूमिका काफी हद तक इस तथ्य के कारण होती है कि यह चुने हुए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का आधार है। लंबे अभ्यास के बाद पता चला कि एक सीधा रास्ता हमेशा घुमावदार या टूटे हुए रास्ते से छोटा होता है, एक स्वयंसिद्ध बनाना स्वाभाविक था: किन्हीं तीन बिंदुओं ए, बी और सी के लिए, असमानता

सैनिकों, जहाजों और अन्य आदेशित सेटों के गठन को देखते हुए अंकगणित के आधार पर निम्नलिखित की अवधारणा भी दिखाई दी।

हालांकि, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि यह गणित में प्रेरण की भूमिका को समाप्त कर देता है। बेशक, हमें उन प्रमेयों को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित नहीं करना चाहिए जो स्वयंसिद्धों से तार्किक रूप से निकाले गए हैं: यदि व्युत्पत्ति में कोई तार्किक त्रुटि नहीं की गई थी, तो वे सही हैं क्योंकि जिन स्वयंसिद्धों को हमने स्वीकार किया है वे सत्य हैं। लेकिन स्वयंसिद्धों की इस प्रणाली से बहुत सारे कथन प्राप्त किए जा सकते हैं। और उन कथनों के चयन को सिद्ध करने के लिए फिर से प्रेरण द्वारा प्रेरित किया जाता है। यह वह है जो आपको उपयोगी प्रमेयों को बेकार से अलग करने की अनुमति देती है, इंगित करती है कि कौन से प्रमेय सत्य हो सकते हैं, और यहां तक ​​​​कि सबूत के मार्ग को रेखांकित करने में भी मदद करते हैं।

गणितीय प्रेरण की विधि का सार

अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति, विश्लेषण की कई शाखाओं में, प्राकृतिक चर के आधार पर वाक्यों ए (एन) की सच्चाई को साबित करना आवश्यक है। चर के सभी मूल्यों के लिए वाक्य ए (एन) की सच्चाई का प्रमाण अक्सर गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा किया जा सकता है, जो निम्नलिखित सिद्धांत पर आधारित है।

वाक्य (n) को चर के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए सही माना जाता है यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

प्रस्ताव A (n) n = 1 के लिए सत्य है।

इस धारणा से कि n = k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए A (n) सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह अगले मान n = k + 1 के लिए भी सत्य है।

इस सिद्धांत को गणितीय प्रेरण का सिद्धांत कहा जाता है। आमतौर पर इसे उन स्वयंसिद्धों में से एक के रूप में चुना जाता है जो संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला निर्धारित करते हैं, और इसलिए, बिना प्रमाण के स्वीकार किए जाते हैं।

गणितीय प्रेरण की विधि को प्रमाण की निम्नलिखित विधि के रूप में समझा जाता है। यदि सभी प्राकृतिक n के लिए वाक्य ए (एन) की सच्चाई को साबित करना आवश्यक है, तो, पहले व्यक्ति को कथन ए (1) की सच्चाई की जांच करनी चाहिए और दूसरी बात, कथन ए (के) की सच्चाई मानते हुए सिद्ध करने का प्रयास करें कि कथन A (k +1) सत्य है। यदि यह सिद्ध किया जा सकता है, और प्रमाण k के प्रत्येक प्राकृतिक मान के लिए मान्य रहता है, तो गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, वाक्य A (n) को n के सभी मानों के लिए सत्य माना जाता है।

गणितीय प्रेरण की विधि व्यापक रूप से प्रमेयों, सर्वसमिकाओं, असमानताओं के प्रमाण में, विभाज्यता के लिए समस्याओं को हल करने में, कुछ ज्यामितीय और कई अन्य समस्याओं को हल करने में उपयोग की जाती है।

समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि

भाजकत्व

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता से संबंधित विभिन्न कथनों को सिद्ध किया जा सकता है।

निम्नलिखित कथन को सिद्ध करना अपेक्षाकृत आसान हो सकता है। आइए दिखाते हैं कि गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इसे कैसे प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण 1... यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो वह संख्या सम होती है।

n = 1 के लिए हमारा कथन सत्य है: - एक सम संख्या। मान लीजिए यह एक सम संख्या है। चूँकि, 2k एक सम संख्या है, तो यहाँ तक की। इसलिए, n = 1 के लिए समता सिद्ध होती है, समता से समता काटा जाता है इसलिए, n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी।

उदाहरण 2।सिद्ध कीजिए कि वाक्य सत्य है

A (n) = (5, 19 का गुणज है), n एक प्राकृत संख्या है।

समाधान।

कथन A (1) = (19 का गुणज) सत्य है।

मान लीजिए कि कुछ मान n = k . के लिए

A (k) = (19 का गुणज) सत्य है। तब से

जाहिर है, ए (के + 1) भी सच है। वास्तव में, इस धारणा के कारण कि A (k) सत्य है, पहला पद 19 से विभाज्य है; दूसरा पद भी 19 से विभाज्य है, क्योंकि इसमें कारक 19 शामिल है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए, प्रस्ताव ए (एन) एन के सभी मूल्यों के लिए सही है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग

श्रृंखला का योग

उदाहरण 1।फॉर्मूला साबित करें

, n एक प्राकृत संख्या है।

समाधान।

n = 1 के लिए, समानता के दोनों पक्ष एक हो जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

मान लीजिए कि सूत्र n = k के लिए सत्य है, अर्थात्।

.

इस समानता को दोनों पक्षों में जोड़ें और दाईं ओर को रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है

इस प्रकार, चूंकि n = k के लिए सूत्र सत्य है, इसलिए यह n = k + 1 के लिए भी सत्य है। यह कथन k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सत्य है। तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दूसरी शर्त भी संतुष्ट है। सूत्र सिद्ध होता है।

उदाहरण 2।सिद्ध कीजिए कि प्राकृत संख्याओं की पहली n संख्याओं का योग बराबर होता है।

समाधान।

आइए आवश्यक राशि को नामित करें, अर्थात। .

n = 1 के लिए परिकल्पना सत्य है।

होने देना ... आइए दिखाते हैं कि .

वास्तव में,

समस्या सुलझा ली गई है।

उदाहरण 3.सिद्ध कीजिए कि प्राकृत संख्याओं की पहली n संख्याओं के वर्गों का योग बराबर होता है .

समाधान।

होने देना ।

.

आइए दिखाते हैं कि ... फिर

और अंत में।

उदाहरण 4.साबित करो।

समाधान।

तो अगर

उदाहरण 5.साबित करो

समाधान।

n = 1 के लिए, परिकल्पना स्पष्ट रूप से सत्य है।

होने देना ।

आइए इसे साबित करें।

सच में,

गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के उदाहरण

असमानता साबित करना

उदाहरण 1।सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n> 1 . के लिए

.

समाधान।

हम असमानता के बाईं ओर निरूपित करते हैं।

इसलिए, n = 2 के लिए, असमानता सत्य है।

चलो कुछ k. आइए हम साबित करें कि तब और। हमारे पास है , .

तुलना करना और, हमारे पास है , अर्थात। .

किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए, अंतिम समानता का दाहिना हाथ धनात्मक होता है। इसलिए । लेकिन, इसलिए, और।

उदाहरण 2।तर्क में त्रुटि का पता लगाएं।

कथन। किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, असमानता धारण करती है।

सबूत।

. (1)

आइए हम सिद्ध करें कि असमानता n = k + 1 के लिए भी मान्य है, अर्थात्,

.

दरअसल, किसी भी प्राकृतिक संख्या k के लिए कम से कम 2। हम असमानता (1) को बाईं ओर और 2 को दाईं ओर जोड़ते हैं। हमें एक वैध असमानता प्राप्त होती है, या ... कथन सिद्ध होता है।

उदाहरण 3.साबित करो , जहां> -1,, n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है।

समाधान।

n = 2 के लिए, असमानता मान्य है, क्योंकि।

मान लीजिए कि असमानता n = k के लिए मान्य है, जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है, अर्थात्,

. (1)

आइए हम दिखाते हैं कि असमानता n = k + 1 के लिए भी मान्य है, अर्थात,

. (2)

दरअसल, परिकल्पना से, इसलिए, असमानता

, (3)

असमानता से प्राप्त (1) इसके प्रत्येक भाग को गुणा करके। हम असमानता (3) को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:। अंतिम असमानता के दाईं ओर धनात्मक पद को त्यागने पर, हम वैध असमानता (2) प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 4.साबित करो

(1)

जहाँ, n एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी है।

समाधान।

n = 2 के लिए, असमानता (1) रूप लेती है

. (2)

तब से, असमानता सत्य है

. (3)

असमानता के प्रत्येक भाग (3) के संबंध में जोड़ने पर, हम असमानता (2) प्राप्त करते हैं।

यह साबित करता है कि असमानता (1) n = 2 के लिए है।

मान लीजिए कि असमानता (1) n = k के लिए मान्य है, जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है, अर्थात्,

. (4)

आइए हम साबित करें कि असमानता (1) को n = k + 1 के लिए भी धारण करना चाहिए, अर्थात,

(5)

हम असमानता के दोनों पक्षों (4) को a + b से गुणा करते हैं। चूंकि, शर्त के अनुसार, हम निम्नलिखित वैध असमानता प्राप्त करते हैं:

. (6)

असमानता (5) की वैधता को सिद्ध करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि

, (7)

या, जो एक ही है,

. (8)

असमानता (8) असमानता के बराबर है

. (9)

यदि, तो, और असमानता के बाईं ओर (9) हमारे पास दो सकारात्मक संख्याओं का गुणनफल है। यदि, तब, और असमानता के बाईं ओर (9) हमारे पास दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल है। दोनों ही मामलों में असमानता (9) वैध है।

यह साबित करता है कि n = k के लिए असमानता (1) की वैधता का अर्थ n = k + 1 के लिए इसकी वैधता है।

गणितीय प्रेरण की विधि दूसरों पर लागू होती है

कार्य

संख्या सिद्धांत और बीजगणित में इस पद्धति के उपयोग के करीब, ज्यामिति में गणितीय प्रेरण की विधि का सबसे प्राकृतिक अनुप्रयोग, ज्यामितीय कम्प्यूटेशनल समस्याओं के समाधान के लिए आवेदन है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1।सही एक की भुजा की गणना करें - त्रिज्या R के एक वृत्त में अंकित एक वर्ग।

समाधान।

n = 2 के लिए सही 2एन - गॉन एक वर्ग है; उसकी ओर। आगे, दोहरीकरण सूत्र के अनुसार

हम पाते हैं कि एक नियमित अष्टकोण की भुजा , एक नियमित षट्भुज की ओर , एक नियमित तीस-विकर्ण की ओर ... इसलिए, हम मान सकते हैं कि सही का पक्ष खुदा हुआ 2एन - किसी के लिए gon बराबर है

. (1)

मान लीजिए कि एक सही उत्कीर्ण - गॉन का पक्ष सूत्र (1) द्वारा व्यक्त किया गया है। इस मामले में, दोहरीकरण सूत्र के अनुसार

,

जहां से यह उस सूत्र का अनुसरण करता है (1) सभी n के लिए मान्य है।

उदाहरण 2।एक n-gon (जरूरी नहीं कि उत्तल हो) को उसके असंयुक्त विकर्णों द्वारा कितने त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है?

समाधान।

एक त्रिभुज के लिए, यह संख्या एक के बराबर होती है (त्रिभुज में कोई विकर्ण नहीं खींचा जा सकता); एक चतुर्भुज के लिए, यह संख्या स्पष्ट रूप से दो के बराबर है।

मान लीजिए कि हम पहले से ही जानते हैं कि प्रत्येक k-gon, जहाँ k 1 2 ... n त्रिकोण में।

एक

ए 1 ए 2

मान लीजिए 1 А k इस विभाजन के विकर्णों में से एक है; यह n-gon А 1 А 2 ... n को k-gon A 1 A 2 ... A k और (nk + 2) -gon А 1 А k A k + 1 ... A में विभाजित करता है। एन। इस धारणा के आधार पर, विभाजन में त्रिभुजों की कुल संख्या बराबर होगी

(के-2) + [(एन-के + 2) -2] = एन-2;

यह सभी के लिए हमारे कथन को सिद्ध करता है n.

उदाहरण 3.संख्या P (n) की गणना के नियम को इस प्रकार इंगित करें कि एक उत्तल n-gon को विकर्णों को जोड़कर त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।

समाधान।

एक त्रिभुज के लिए, यह संख्या स्पष्ट रूप से एक के बराबर होती है: P (3) = 1.

मान लीजिए कि हमने पहले ही सभी k . के लिए संख्या P (k) निर्धारित कर ली है 1 2 ... n ... त्रिभुजों में इसके किसी भी विभाजन के लिए, भुजा A 1 ए 2 विभाजन के त्रिभुजों में से एक की भुजा होगी, इस त्रिभुज का तीसरा शीर्ष प्रत्येक बिंदु A के साथ संपाती हो सकता है 3, 4, ..., n ... एन-गॉन को विभाजित करने के तरीकों की संख्या जिसके लिए यह शीर्ष बिंदु ए के साथ मेल खाता है 3 , (n-1) -gon A को त्रिभुजों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या के बराबर है 1 3 4 ... n , अर्थात। पी (एन -1) के बराबर है। विभाजन विधियों की संख्या जिसके लिए यह शीर्ष A . से मेल खाता है 4 , विभाजन के तरीकों की संख्या के बराबर है (n-2) -gon A 1 ए 4 ए 5 ... ए एन , अर्थात। पी (एन -2) = पी (एन -2) पी (3) के बराबर है; विभाजन विधियों की संख्या जिसके लिए यह A . के साथ मेल खाता है 5 , पी (एन -3) पी (4) के बराबर है, क्योंकि (एन -3) -गॉन ए के प्रत्येक विभाजन के बाद से 1 ए 5 ... ए n चतुर्भुज A . के प्रत्येक विभाजन के साथ जोड़ा जा सकता है 2 ए 3 ए 4 ए 5 , आदि। इस प्रकार, हम निम्नलिखित संबंध पर पहुंचते हैं:

पी (एन) = पी (एन -1) + पी (एन -2) पी (3) + पी (एन -3) पी (4) +… + पी (3) पी (एन -2) + पी (एन -एक)।

इस सूत्र का प्रयोग करके, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं:

पी (4) = पी (3) + पी (3) = 2,

पी (5) = पी (4) + पी (3) पी (3) + पी (4) +5,

पी (6) = पी (5) + पी (4) पी (3) + पी (3) पी (4) + पी (5) = 14

आदि।

साथ ही, गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, आप रेखांकन के साथ समस्याओं को हल कर सकते हैं।

मान लीजिए कि समतल पर कुछ बिंदुओं को जोड़ने वाली और कोई अन्य बिंदु नहीं होने पर रेखाओं का एक नेटवर्क दिया जाता है। हम रेखाओं के ऐसे नेटवर्क को मानचित्र कहेंगे, इसके शीर्षों द्वारा दिए गए बिंदु, दो आसन्न शीर्षों के बीच वक्रों के खंड - मानचित्र की सीमाएं, विमान के वे भाग जिनमें यह सीमाओं से विभाजित है - मानचित्र के देश।

मान लीजिए कि विमान पर कुछ नक्शा दिया गया है। हम कहेंगे कि इसे सही ढंग से चित्रित किया गया है यदि इसके प्रत्येक देश को एक निश्चित पेंट के साथ चित्रित किया गया है, और किन्हीं दो देशों की सीमा अलग-अलग रंगों में चित्रित की गई है।

उदाहरण 4.विमान पर n वृत्त हैं। सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों की किसी भी व्यवस्था के लिए इनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

समाधान।

n = 1 के लिए, हमारा कथन स्पष्ट है।

मान लीजिए कि n वृत्तों द्वारा निर्मित किसी चार्ट के लिए हमारा कथन सत्य है, और मान लीजिए कि समतल पर n + 1 वृत्त दिए गए हैं। इनमें से किसी एक वृत्त को हटाने पर, हमें एक नक्शा प्राप्त होता है, जो कि की गई धारणा के आधार पर, दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है, उदाहरण के लिए, काला और सफेद।

यदि एक वाक्य A (n), एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n = 1 के लिए सत्य है और इस तथ्य से कि यह n = k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह निम्नलिखित के लिए भी सत्य है अगली संख्या n = k +1 है, तो मान लीजिए कि A (n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

कुछ मामलों में, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n> p के लिए एक निश्चित कथन की वैधता को साबित करना आवश्यक है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है।

यदि वाक्य A (n) n = p के लिए सत्य है और यदि A (k) 10 A (k + 1) किसी k> p के लिए, तो वाक्य A (n) किसी भी n> p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जा रहे अभिकथन को n = 1 के लिए सत्यापित किया जाता है, अर्थात। कथन A (1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रूफ के इस भाग को इंडक्शन बेसिस कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का वह भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, हम n = k + 1 के लिए अभिकथन की वैधता को इस धारणा के तहत सिद्ध करते हैं कि अभिकथन n = k (प्रेरण परिकल्पना) के लिए मान्य है, अर्थात, साबित करें कि ए (के) 10 ए (के + 1)

सिद्ध कीजिए कि 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2।

• 1) हमारे पास n = 1 = 1 2 है। इसलिए, कथन n = 1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सत्य है
• 2) आइए हम सिद्ध करें कि ए (के) 10 ए (के + 1)

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n = k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k 2

आइए हम सिद्ध करें कि यह कथन अगली प्राकृत संख्या n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात्, क्या

• 1 + 3 + 5 +… + (2k + 1) = (k + 1) 2 वास्तव में,
• 1 + 3 + 5 +… + (2k-1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

तो, ए (के) वाई ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी n N . के लिए धारणा A (n) सत्य है

साबित करो

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n = (x n + 1 -1) / (x-1), जहां x # 1

• 1) n = 1 के लिए, हम प्राप्त करते हैं
• 1 + एक्स = (एक्स 2 -1) / (एक्स -1) = (एक्स -1) (एक्स + 1) / (एक्स -1) = एक्स + 1

इसलिए, n = 1 के लिए सूत्र सही है; ए (1) सत्य है

• 2) मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n = k के लिए सूत्र सत्य है।
• 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k = (x k + 1 -1) / (x-1)

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

• 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1) वास्तव में
• 1 + एक्स + एक्स 2 + एक्स 3 +… + एक्स के + एक्स के + 1 = (1 + एक्स + एक्स 2 + एक्स 3 +… + एक्स के) + एक्स के + 1 =

= (एक्स के + 1 -1) / (एक्स -1) + एक्स के + 1 = (एक्स के + 2 -1) / (एक्स -1)

तो, ए (के) 10 ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n . के लिए सत्य है

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n (n-3)/2 . है

हल: 1) n = 3 के लिए, कथन सत्य है, क्योंकि त्रिभुज में

और 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 विकर्ण; ए 2 ए (3) सत्य है

2) मान लीजिए कि प्रत्येक उत्तल k-gon में 1 x k = k (k-3)/2 विकर्ण हैं। А k आइए हम सिद्ध करें कि एक उत्तल А k + 1 (k + 1) - में विकर्णों की संख्या k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2 है।

मान लीजिए 1 А 2 А 3… ए के ए के + 1-उत्तल (के + 1) -गॉन। इसमें एक विकर्ण A 1 A k खींचिए। इस (k + 1) -gon के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2… A k में विकर्णों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। (k + 1) के विकर्णों की संख्या - शीर्ष k + 1 से बाहर जाने वाले, और, इसके अलावा, विकर्ण А 1 А k

इस तरह,

जी के + 1 = जी के + (के -2) + 1 = के (के -3) / 2 + के -1 = (के + 1) (के -2) / 2

तो, ए (के) 10 ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी n के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +… + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6

हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो

एक्स 1 = 1 2 = 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

2) मान लीजिए कि n = k

एक्स के = के 2 = के (के + 1) (2 के + 1) / 6

3) n = k + 1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

एक्स के + 1 = (के + 1) (के + 2) (2k + 3) / 6

एक्स के + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 +… + के 2 + (के + 1) 2 = के (के + 1) (2k + 1) / 6 + (के + 1) 2

= (के (के + 1) (2k + 1) +6 (के + 1) 2) / 6 = (के + 1) (के (2k + 1) +

6 (के + 1)) / 6 = (के + 1) (2k 2 + 7k + 6) / 6 = (के + 1) (2 (के + 3/2) (के +

2)) / 6 = (के + 1) (के + 2) (2k + 3) / 6

हमने समानता सिद्ध कर दी है और n = k + 1 के लिए, इसलिए, गणितीय आगमन की विधि के आधार पर, किसी भी प्राकृतिक n के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए निम्नलिखित समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +… + एन 3 = एन 2 (एन + 1) 2/4

हल: 1) मान लीजिए n = 1

फिर एक्स 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1। हम देखते हैं कि n = 1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि n = k . के लिए समानता सत्य है

एक्स के = के 2 (के + 1) 2/4

3) आइए n = k + 1 के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें, अर्थात्।

एक्स के + 1 = (के + 1) 2 (के + 2) 2/4। एक्स के + 1 = 1 3 +2 3 +… + के 3 + (के + 1) 3 = के 2 (के + 1) 2/4 + (के + 1) 3 = (के 2 (के ++ 1) 2 +4 (के + 1) 3) / 4 = (के + 1) 2 (के 2 + 4 के + 4) / 4 = (के + 1) 2 (के + 2) 2/4

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n = k + 1 के लिए सत्य है, इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए समानता सत्य है।

साबित करो

((2 3 +1) / (2 3 -1)) ((3 3 +1) / (3 3 -1)) … ((एन 3 +1) / (एन 3 -1)) = 3एन (एन + 1) / 2 (एन 2 + एन + 1), जहां एन> 2

हल: 1) n = 2 के लिए, सर्वसमिका इस प्रकार दिखती है:

• (2 3 +1)/(2 3 -1) = (3 2 3) / 2 (2 2 + 2 + 1), अर्थात्। ये सच है
• 2) मान लीजिए कि n = k . के लिए व्यंजक सत्य है
• (2 3 +1) / (2 3 -1) … (के 3 +1) / (के 3 -1) = 3के (के + 1) / 2 (के 2 + के + 1)
• 3) आइए हम n = k + 1 . के लिए व्यंजक की सत्यता सिद्ध करें
• (((2 3 +1) / (2 3 -1)) … ((के 3 +1) / (के 3 -1))) ((के + 1) 3 +

1) / ((के + 1) 3 -1)) = (3के (के + 1) / 2 (के 2 + के + 1)) ((के + 2) ((के +

1) 2 - (के + 1) +1) / के ((के + 1) 2 + (के + 1) +1)) = 3 (के + 1) (के + 2) / 2

((के + 1) 2 + (के + 1) +1)

हमने समानता को सिद्ध कर दिया है और n = k + 1 के लिए, इसलिए, गणितीय आगमन की विधि से, कथन किसी भी n> 2 के लिए सत्य है।

साबित करो

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +… + (2n-1) 3 - (2n) 3 = -n 2 (4n + 3) किसी भी प्राकृतिक n के लिए

हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) मान लीजिए कि n = k, तब
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +… + (2k-1) 3 - (2k) 3 = -k 2 (4k + 3)
• 3) आइए n = k + 1 . के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें
• (1 3 -2 3 +… + (2k-1) 3 - (2k) 3) + (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = -k 2 (4k + 3) +

+ (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = - (k + 1) 3 (4 (k + 1) +3)

n = k + 1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो गई थी, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

पहचान की शुद्धता साबित करें

(1 2/1 3) + (2 2/3 ґ 5) +… + (n 2 / (2n-1) ґ (2n + 1)) = n (n + 1) / 2 (2n + 1) किसी भी प्राकृतिक n . के लिए

• 1) n = 1 के लिए, सर्वसमिका सत्य है 1 2/1 ґ 3 = 1 (1 + 1)/2 (2 + 1)
• 2) मान लीजिए कि n = k . के लिए
• (1 2/1 3) +… + (के 2 / (2k-1) ґ (2k + 1)) = k (k + 1) / 2 (2k + 1)
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 . के लिए सर्वसमिका सत्य है
• (1 2/1 3) +… + (के 2 / (2k-1) (2k + 1)) + (k + 1) 2 / (2k + 1) (2k + 3) = (k (k + 1) / 2 (2के + 1)) + ((के + 1) 2 / (2के + 1) (2के +3)) = ((के + 1) / (2के + 1)) ((के / 2) ) + ((k + 1) / (2k + 3))) = (k + 1) (k + 2) ґ (2k + 1) / 2 (2k + 1) (2k + 3) = (k + 1 ) (के + 2) / 2 (2 (के + 1) +1)

उपरोक्त प्रमाण से स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n + 2 + 12 2n + 1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है

हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

लेकिन (23 ґ 133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n = 1 के लिए कथन सत्य है; ए (1) सत्य है।

• 2) मान लीजिए कि (11 k + 2 + 12 2k + 1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि इस स्थिति में (11 k + 3 + 12 2k + 3) बिना शेष के 133 से विभाज्य है। वास्तव में
• 11 k + 3 +12 2l + 3 = 11 11 k + 2 +12 2 12 2k + 1 = 11 11 k + 2 +

+ (11 + 133) ґ 12 2k + 1 = 11 (11 k + 2 +12 2k + 1) +133 ґ 12 2k + 1

परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे कारक में 133 है। तो, ए (के) यू ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण की विधि से, कथन सिद्ध होता है

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n 7 n -1 के लिए, बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n = 1, तो X 1 = 7 1 -1 = 6 को 6 से विभाजित किया जाता है और शेषफल नहीं मिलता है। अतः n = 1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि n = k के लिए 7 k -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 . के लिए कथन सत्य है

एक्स के + 1 = 7 के + 1 -1 = 7 7 के -7 + 6 = 7 (7 के -1) +6

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1, 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसलिए 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 6 का गुणज है। कथन गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ प्राकृत संख्या n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।

1) मान लीजिए n = 1, तो

X 1 = 3 3 - 1 +2 4 - 3 = 3 2 +2 1 = 11 बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है।

अत: n = 1 के लिए कथन सत्य है।

• 2) मान लीजिए कि n = k X k = 3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 . के लिए कथन सत्य है

एक्स के + 1 = 3 3 (के + 1) -1 +2 4 (के + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 = (16 + 11) 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 = 16 ґ 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 = 16 (3 3k-1 +2 4k-3) +11 ґ 3 3k-1

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसका अर्थ है कि योग विभाज्य है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से। कथन गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ प्राकृत संख्या n के लिए 11 2n -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n = 1, तो 11 2 -1 = 120 बिना शेष के 6 से विभाज्य है। अत: n = 1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि n = k के लिए 1 2k -1 बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है
• 11 2 (के + 1) -1 = 121 ґ 11 2k -1 = 120 ґ 11 2k + (11 2k -1)

दोनों पद शेषफल के बिना 6 से विभाज्य हैं: पहले में 120 के साथ 6 का गुणज है, और दूसरा अनुमान द्वारा शेष के बिना 6 से विभाज्य है। इसका मतलब है कि राशि शेष के बिना 6 से विभाज्य है। कथन गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ प्राकृत संख्या n के लिए 3 3n + 3 -26n-27 बिना शेष के 26 2 (676) से विभाज्य है।

पहले, आइए हम सिद्ध करें कि 3 3n + 3 -1 बिना शेषफल के 26 से विभाज्य है

• 1. एन = 0 . के लिए
• 3 3 -1 = 26 26 . से विभाजित
• 2. मान लीजिए कि n = k . के लिए
• 3 3k + 3 -1 26 . से विभाज्य है
• 3. आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 . के लिए कथन सत्य है
• 3 3k + 6 -1 = 27 ґ 3 3k + 3 -1 = 26 ґ 3 3l + 3 + (3 3k + 3 -1) -26 में विभाजित

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए कथन को सिद्ध करें

• 1) स्पष्ट रूप से, n = 1 के लिए कथन सत्य है।
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) मान लीजिए कि n = k के लिए व्यंजक 3 3k + 3 -26k-27 26 2 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 . के लिए कथन सत्य है
• 3 3k + 6 -26 (k + 1) -27 = 26 (3 3k + 3 -1) + (3 3k + 3 -26k-27)

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है, क्योंकि हम कोष्ठकों में अभिव्यक्ति के 26 से विभाज्यता साबित करते हैं, और दूसरा प्रेरण परिकल्पना से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि से, कथन सिद्ध होता है

सिद्ध कीजिए कि यदि n> 2 और x> 0, तो असमानता (1 + x) n> 1 + n ґ x

• 1) n = 2 के लिए, असमानता मान्य है, क्योंकि
• (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2> 1 + 2x

अत: A (2) सत्य है

• 2) आइए हम साबित करें कि ए (के) 10 ए (के + 1) यदि के> 2। मान लीजिए कि ए (के) सत्य है, यानी असमानता
• (1 + एक्स) के> 1 + के एक्स। (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A (k + 1) भी सत्य है, अर्थात् असमानता

(1 + एक्स) के + 1> 1+ (के + 1) ґ एक्स

वास्तव में, असमानता के दोनों पक्षों (3) को एक धनात्मक संख्या 1 + x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1 + एक्स) के + 1> (1 + के एक्स) (1 + एक्स)

अंतिम असमानता के दाहिने पक्ष पर विचार करें; अपने पास

(1 + के एक्स) (1 + एक्स) = 1 + (के + 1) ґ एक्स + के ґ एक्स 2> 1+ (के + 1) ґ एक्स

परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं कि (1 + x) k + 1> 1+ (k + 1) ґ x

तो, ए (के) 10 ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n> 2 . के लिए मान्य है

सिद्ध कीजिए कि असमानता (1 + a + a 2) m> 1 + m ґ a + (m (m + 1) / 2) ґ a 2, a> 0 के लिए धारण करती है

हल: 1) m = 1 . के लिए

• (1 + ए + ए 2) 1> 1 + ए + (2/2) ґ ए 2 दोनों पक्ष बराबर हैं
• 2) मान लीजिए कि m = k . के लिए
• (1 + ए + ए 2) के> 1 + के ए + (के (के + 1) / 2) ґ ए 2
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि m = k + 1 के लिए असमानता सत्य है
• (1 + ए + ए 2) के + 1 = (1 + ए + ए 2) (1 + ए + ए 2) के> (1 + ए + ए 2) (1 + के ґ ए +

+ (के (के + 1) / 2) ґ ए 2) = 1 + (के + 1) ґ ए + ((के (के + 1) / 2) + के + 1) ґ ए 2 +

+ ((के (के + 1) / 2) + के) ए 3 + (के (के + 1) / 2) ґ ए 4> 1+ (के + 1) ґ ए +

+ ((के + 1) (के + 2) / 2) ए 2

हमने m = k + 1 के लिए असमानता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि से, असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या m के लिए मान्य है।

सिद्ध कीजिए कि n> 6 के लिए असमानता 3 n> n ґ 2 n + 1

हम असमानता को इस प्रकार लिखते हैं (3/2) n> 2n

• 1. n = 7 के लिए हमारे पास 3 7/2 7 = 2187/128> 14 = 2 7 असमानता सत्य है।
• 2. मान लीजिए कि n = k (3/2) k> 2k . के लिए
• 3) आइए n = k + 1 . के लिए असमानता की वैधता सिद्ध करें
• 3 k + 1/2 k + 1 = (3 k / 2 k) (3/2)> 2k (3/2) = 3k> 2 (k + 1)

k> 7 के बाद से, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि से, असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n . के लिए मान्य है

साबित करें कि n> 2 के लिए असमानता

1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / एन 2)<1,7-(1/n)

• 1) n = 3 के लिए, असमानता सत्य है
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. मान लीजिए कि n = k . के लिए
• 1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / के 2) = 1.7- (1 / के)
• 3) आइए हम n = k + 1 . के लिए असमानता सिद्ध करें
• (1+ (1/2 2) +… + (1 / के 2)) + (1 / (के + 1) 2)

आइए हम सिद्ध करें कि 1,7- (1 / k) + (1 / (k + 1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

(1 / (के + 1) 2) + (1 / के + 1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

के (के + 2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / (के + 1) 2)<1,7-(1/k+1)

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर असमानता सिद्ध होती है।

गणितीय प्रेरण की विधि

परिचय

मुख्य हिस्सा

1. पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण
2. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत
3. गणितीय प्रेरण की विधि
4. समाधान उदाहरण
5. समानता
6. संख्याओं का विभाजन
7. असमानता

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

सभी गणितीय शोध निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियों पर आधारित होते हैं। तर्क की निगमन विधि सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रही है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। इंडक्शन का उपयोग विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों की ओर जाते समय किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रगति के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे प्रेरक रूप से सोचने का इरादा किया है।

यद्यपि गणितीय प्रेरण की पद्धति के अनुप्रयोग का क्षेत्र बढ़ा है, लेकिन स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय दिया जाता है। ठीक है, उन्हें बताएं कि दो या तीन पाठ एक उपयोगी व्यक्ति लाएंगे, जिसके लिए वह सिद्धांत के पांच शब्द सुनेंगे, पांच आदिम समस्याओं को हल करेंगे, और परिणामस्वरूप, कुछ भी नहीं जानने के लिए ए प्राप्त करेंगे।

लेकिन आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है।

मुख्य हिस्सा

अपने मूल अर्थ के अनुसार, "प्रेरण" शब्द का प्रयोग तर्क-वितर्क के लिए किया जाता है जिसकी सहायता से कई विशेष कथनों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार के तर्क करने की सबसे सरल विधि पूर्ण प्रेरण है। यहाँ इस तर्क का एक उदाहरण है।

यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n 4 . के भीतर< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ये नौ समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या को वास्तव में दो सरल शब्दों के योग के रूप में दर्शाया गया है।

इस प्रकार, पूर्ण प्रेरण का अर्थ है कि संभावित मामलों की सीमित संख्या में प्रत्येक में सामान्य कथन अलग-अलग साबित होता है।

कभी-कभी सामान्य परिणाम की भविष्यवाणी सभी पर नहीं, बल्कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में विशेष मामलों (तथाकथित अपूर्ण प्रेरण) पर विचार करने के बाद की जा सकती है।

अपूर्ण प्रेरण द्वारा प्राप्त परिणाम, हालांकि, केवल एक परिकल्पना ही रहता है जब तक कि यह सभी विशेष मामलों को शामिल करने वाले सटीक गणितीय तर्क से सिद्ध नहीं हो जाता। दूसरे शब्दों में, गणित में अपूर्ण प्रेरण को कठोर प्रमाण का एक वैध तरीका नहीं माना जाता है, बल्कि यह नए सत्य की खोज का एक शक्तिशाली तरीका है।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, आप पहले n क्रमागत विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना चाहते हैं। आइए विशेष मामलों पर विचार करें:

1+3+5+7+9=25=5 2

इन कुछ विशेष मामलों पर विचार करने के बाद, निम्नलिखित सामान्य निष्कर्ष स्वयं ही सुझाते हैं:

1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2

वे। पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n 2 . है

बेशक, किया गया अवलोकन अभी तक उपरोक्त सूत्र की वैधता के प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता है।

पूर्ण प्रेरण गणित में सीमित उपयोग का है। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, लेकिन हम अनंत मामलों की जांच करने में सक्षम नहीं हैं। अधूरा प्रेरण अक्सर गलत परिणाम देता है।

कई मामलों में, इस तरह की कठिनाई से बाहर निकलने का तरीका तर्क की एक विशेष विधि की ओर मुड़ना है जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। यह इस प्रकार है।

मान लीजिए कि आपको किसी प्राकृत संख्या n के लिए एक निश्चित कथन की वैधता साबित करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, आपको यह साबित करने की आवश्यकता है कि पहली n विषम संख्याओं का योग n 2 के बराबर है)। n के प्रत्येक मान के लिए इस कथन का प्रत्यक्ष सत्यापन असंभव है, क्योंकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए पहले n = 1 के लिए इसकी वैधता की जाँच करें। तब यह सिद्ध हो जाता है कि k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए n = k के लिए विचाराधीन कथन की वैधता का अर्थ n = k + 1 के लिए भी उसकी वैधता है।

तब कथन को सभी n के लिए सिद्ध माना जाता है। वास्तव में, कथन n = 1 के लिए सत्य है। लेकिन फिर यह अगली संख्या n = 1 + 1 = 2 के लिए भी सत्य है। n = 2 के लिए कथन की वैधता का तात्पर्य n = 2 + . के लिए इसकी वैधता है

1 = 3. इसका तात्पर्य n = 4, आदि के लिए कथन की वैधता है। यह स्पष्ट है कि अंत में हम किसी भी प्राकृत संख्या n पर पहुंचेंगे। इसलिए, कथन किसी भी n के लिए सत्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम निम्नलिखित सामान्य सिद्धांत तैयार करते हैं।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

यदि एक वाक्य A (n), एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n = 1 के लिए सत्य है और इस तथ्य से कि यह n = k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह निम्नलिखित के लिए भी सत्य है अगली संख्या n = k +1 है, तो मान लीजिए कि A (n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

कुछ मामलों में, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n> p के लिए एक निश्चित कथन की वैधता को साबित करना आवश्यक है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है।

यदि वाक्य (n) n = p के लिए सत्य है और यदि А (k) ÞА (k + 1) किसी k> p के लिए, तो वाक्य (n) किसी भी n> p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जा रहे अभिकथन को n = 1 के लिए सत्यापित किया जाता है, अर्थात। कथन A (1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रूफ के इस भाग को इंडक्शन बेसिस कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का वह भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, हम n = k + 1 के लिए अभिकथन की वैधता को इस धारणा के तहत सिद्ध करते हैं कि अभिकथन n = k (प्रेरण परिकल्पना) के लिए मान्य है, अर्थात, सिद्ध कीजिए कि A (k) A (k + 1)।

सिद्ध कीजिए कि 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2।

हल: 1) हमारे पास n = 1 = 1 2 है। इसलिये,

कथन n = 1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सत्य है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि (k) A (k + 1)।

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n = k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k 2.

आइए हम सिद्ध करें कि यह कथन अगली प्राकृत संख्या n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात्, क्या

1 + 3 + 5 +… + (2k + 1) = (k + 1) 2.

वास्तव में,

1 + 3 + 5 +… + (2k-1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2.

तो, ए (के) Þए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nÎN के लिए धारणा A (n) सत्य है।

साबित करो

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n = (x n + 1 -1) / (x-1), जहां x¹1

हल: 1) n = 1 के लिए हमें प्राप्त होता है

1 + एक्स = (एक्स 2 -1) / (एक्स -1) = (एक्स -1) (एक्स + 1) / (एक्स -1) = एक्स + 1

इसलिए, n = 1 के लिए सूत्र सही है; ए (1) सत्य है।

2) मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n = k के लिए सूत्र सत्य है, अर्थात्।

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k = (x k + 1 -1) / (x-1)।

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1)।

वास्तव में

1 + एक्स + एक्स 2 + एक्स 3 +… + एक्स के + एक्स के + 1 = (1 + एक्स + एक्स 2 + एक्स 3 +… + एक्स के) + एक्स के + 1 =

= (एक्स के + 1 -1) / (एक्स -1) + एक्स के + 1 = (एक्स के + 2 -1) / (एक्स -1)।

तो, ए (के) Þए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n (n-3)/2 होती है।

हल: 1) n = 3 के लिए, कथन है:

और 3 धूर्त है, क्योंकि त्रिभुज में

3 = 3 (3-3) / 2 = 0 विकर्ण;

ए 2 ए (3) सत्य है।

2) मान लीजिए कि किसी में

उत्तल के-गॉन है-

А 1 sy k = k (k-3) / 2 विकर्ण।

А k आइए सिद्ध करें कि तब उत्तल में

(के + 1) -गॉन नंबर

विकर्ण k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2।

मान लीजिए A 1 A 2 A 3… A k A k + 1 -उत्तल (k + 1) -कोण। इसमें एक विकर्ण A 1 A k खींचिए। इस (k + 1) -gon के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2… A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। (k + 1) के विकर्णों की संख्या - शीर्ष k + 1 से बाहर जाने वाले, और, इसके अलावा, विकर्ण А 1 k को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

इस तरह,

के + 1 =  के + (के -2) + 1 = के (के -3) / 2 + के -1 = (के + 1) (के -2) / 2।

तो, ए (के) Þए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी n के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +… + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6.

हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो

एक्स 1 = 1 2 = 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1.

अत: n = 1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि n = k

एक्स के = के 2 = के (के + 1) (2 के + 1) / 6।

3) n = k + 1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

एक्स के + 1 = (के + 1) (के + 2) (2 के + 3) / 6।

एक्स के + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 +… + के 2 + (के + 1) 2 = के (के + 1) (2k + 1) / 6 + + (के + 1) 2 = (के (के + 1) (2k + 1) +6 (के + 1) 2) / 6 = (के + 1) (के (2k + 1) +

6 (के + 1)) / 6 = (के + 1) (2k 2 + 7k + 6) / 6 = (के + 1) (2 (के + 3/2) (के +

2)) / 6 = (के + 1) (के + 2) (2k + 3) / 6.

हमने n = k + 1 के लिए समानता की वैधता सिद्ध कर दी है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए निम्नलिखित समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +… + एन 3 = एन 2 (एन + 1) 2/4।

हल: 1) मान लीजिए n = 1 है।

फिर एक्स 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1।

हम देखते हैं कि n = 1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि n = k . के लिए समानता सत्य है

एक्स के = के 2 (के + 1) 2/4।

3) आइए n = k + 1 के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें, अर्थात्।

एक्स के + 1 = (के + 1) 2 (के + 2) 2/4। एक्स के + 1 = 1 3 +2 3 +… + के 3 + (के + 1) 3 = के 2 (के + 1) 2/4 + (के + 1) 3 = (के 2 (के ++ 1) 2 +4 (के + 1) 3) / 4 = (के + 1) 2 (के 2 + 4 के + 4) / 4 = (के + 1) 2 (के + 2) 2/4।

दिए गए प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n = k + 1 के लिए सत्य है, इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए समानता सत्य है।

साबित करो

((2 3 +1) / (2 3 -1)) ((3 3 +1) / (3 3 -1)) … ((एन 3 +1) / (एन 3 -1)) = 3एन (एन + 1) / 2 (एन 2 + एन + 1), जहां एन> 2।

हल: 1) n = 2 के लिए, पहचान इस तरह दिखती है: (2 3 +1) / (2 3 -1) = (3´2´3) / 2 (2 2 + 2 + 1),

वे। सच ही है।

2) मान लीजिए कि n = k . के लिए व्यंजक सत्य है

(2 3 +1) / (2 3 -1) … (के 3 +1) / (के 3 -1) = 3के (के + 1) / 2 (के 2 + के + 1)।

3) आइए हम n = k + 1 के लिए व्यंजक की सत्यता सिद्ध करें।

(((2 3 +1) / (2 3 -1)) … ((के 3 +1) / (के 3 -1))) ((के + 1) 3 +

1) / ((के + 1) 3 -1)) = (3के (के + 1) / 2 (के 2 + के + 1)) ((के + 2) ((के +

1) 2 - (के + 1) +1) / के ((के + 1) 2 + (के + 1) +1)) = 3 (के + 1) (के + 2) / 2´

((के + 1) 2 + (के + 1) +1)।

हमने समानता को सिद्ध कर दिया है और n = k + 1 के लिए, इसलिए, गणितीय आगमन की विधि से, कथन किसी भी n> 2 के लिए सत्य है।

साबित करो

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +… + (2n-1) 3 - (2n) 3 = -n 2 (4n + 3)

किसी भी प्राकृतिक n.

हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) मान लीजिए कि n = k, तब

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +… + (2k-1) 3 - (2k) 3 = -k 2 (4k + 3)।

3) आइए n = k + 1 . के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें

(1 3 -2 3 +… + (2k-1) 3 - (2k) 3) + (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = -k 2 (4k + 3) +

+ (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = - (k + 1) 3 (4 (k + 1) +3)।

n = k + 1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो गई थी, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

पहचान की शुद्धता साबित करें

(1 2 / 1´3) + (2 2 / 3´5) +… + (एन 2 / (2एन-1) ´ (2एन + 1)) = एन (एन + 1) / 2 (2एन + 1)

किसी भी प्राकृतिक n.

1) n = 1 के लिए, सर्वसमिका सत्य है 1 2/1´3 = 1 (1 + 1)/2 (2 + 1)।

2) मान लीजिए कि n = k . के लिए

(1 2 / 1´3) +… + (के 2 / (2के-1) (2के + 1)) = के (के + 1) / 2 (2के + 1)।

3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 के लिए सर्वसमिका सत्य है।

(1 2 / 1´3) +… + (के 2 / (2के-1) (2के + 1)) + (के + 1) 2 / (2के + 1) (2के + 3) = (के (के +) 1) / 2 (2के + 1)) + ((के + 1) 2 / (2के + 1) (2के +3)) = ((के + 1) / (2के + 1)) ((के / 2) ) + ((k + 1) / (2k + 3))) = (k + 1) (k + 2) (2k + 1) / 2 (2k + 1) (2k + 3) = (k + 1 ) (के + 2) / 2 (2 (के + 1) +1)।

दिए गए प्रमाण से यह स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n + 2 +12 2n + 1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो

11 3 +12 3 = (11 + 12) (11 2-132 + 12 2) = 23´133।

लेकिन (23´133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n = 1 के लिए कथन सत्य है; ए (1) सत्य है।

2) मान लीजिए कि (11 k + 2 + 12 2k + 1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

3) आइए हम साबित करें कि इस मामले में

(11 k + 3 +12 2k + 3) बिना शेषफल के 133 से विभाज्य है। दरअसल, 11 k + 3 +12 2n + 3 = 11´11 k + 2 +12 2´ 12 2k + 1 = 11´11 k + 2 +

+ (11 + 133) 12 2k + 1 = 11 (11 k + 2 +12 2k + 1) + 133´12 2k + 1.

परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे कारक में 133 है। तो, ए (के) ÞA (के + 1)। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n 7 n -1 के लिए, बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो X 1 = 7 1 -1 = 6 को 6 से विभाजित किया जाता है और शेषफल नहीं मिलता है। इसका अर्थ है कि n = 1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि n = k . के लिए

7 k -1 बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 के लिए कथन सत्य है।

एक्स के + 1 = 7 के + 1 -1 = 7´7 के -7 + 6 = 7 (7 के -1) +6।

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1, 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसलिए 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 6 का गुणज है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि 3 3n-1 +2 4n-3 एक मनमाना n-दौर n के लिए 11 से विभाज्य है।
हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो

X 1 = 3 3 - 1 +2 4 - 3 = 3 2 +2 1 = 11 बिना शेष के 11 से विभाज्य है। अत: n = 1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि n = k . के लिए

X k = 3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 के लिए कथन सत्य है।

एक्स के + 1 = 3 3 (के + 1) -1 +2 4 (के + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 + 16´2 4k-3 = (16 + 11) ´3 3k-1 + 16´2 4k-3 = 16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 + 16´2 4k-3 = 16 (3 3k-1 +2 4k-3) + 11´3 3k-1।

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसका अर्थ है कि योग विभाज्य है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ प्राकृत n के लिए 11 2n -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो 11 2 -1 = 120 बिना शेष के 6 से विभाज्य है। इसका अर्थ है कि n = 1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि n = k . के लिए

11 2k -1 बिना शेष के 6 से विभाज्य है।

11 2 (के + 1) -1 = 121´11 2k -1 = 120´11 2k + (11 2k -1)।

दोनों पद शेषफल के बिना 6 से विभाज्य हैं: पहले में 120 के साथ 6 का गुणज है, और दूसरा अनुमान द्वारा शेष के बिना 6 से विभाज्य है। इसका मतलब है कि राशि शेष के बिना 6 से विभाज्य है। कथन गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ प्राकृत संख्या n के लिए 3 3n + 3 -26n-27 बिना शेष के 26 2 (676) से विभाज्य है।

हल: आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n + 3 -1 बिना शेष के 26 से विभाज्य है।

1. एन = 0 . के लिए

3 3 -1 = 26 26 . से विभाजित

2. मान लीजिए कि n = k . के लिए

3 3k + 3 -1 26 . से विभाज्य है

3. आइए हम सिद्ध करें कि कथन

n = k + 1 के लिए सत्य है।

3 3k + 6 -1 = 27´3 3k + 3 -1 = 26´3 3L + 3 + (3 3k + 3 -1) -26 में विभाजित

अब हम समस्या कथन में निरूपित कथन को सिद्ध करेंगे।

1) स्पष्ट रूप से, n = 1 के लिए कथन सत्य है

3 3+3 -26-27=676

2) मान लीजिए कि n = k . के लिए

व्यंजक 3 3k + 3 -26k-27 बिना शेष के 26 2 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 . के लिए कथन सत्य है

3 3k + 6 -26 (k + 1) -27 = 26 (3 3k + 3 -1) + (3 3k + 3 -26k-27)।

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है, क्योंकि हम कोष्ठकों में अभिव्यक्ति के 26 से विभाज्यता साबित करते हैं, और दूसरा प्रेरण परिकल्पना से विभाज्य है। कथन गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध होता है।

सिद्ध करें कि यदि n> 2 और х> 0, तो असमानता

(1 + एक्स) एन> 1 + एन'एक्स।

हल: 1) n = 2 के लिए, असमानता मान्य है, क्योंकि

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2> 1 + 2x।

अत: A (2) सत्य है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि A (k) A (k + 1) यदि k> 2. मान लीजिए कि A (k) सत्य है, अर्थात् असमानता

(1 + एक्स) के> 1 + केएक्स। (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A (k + 1) भी सत्य है, अर्थात् असमानता

(1 + एक्स) के + 1> 1+ (के + 1) x।

वास्तव में, असमानता के दोनों पक्षों (3) को एक धनात्मक संख्या 1 + x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1 + x) k + 1> (1 + k´x) (1 + x)।

अंतिम असमानता के दाहिने हाथ पर विचार करें

सम्पदा; अपने पास

(1 + k´x) (1 + x) = 1 + (k + 1) x + k´x 2> 1+ (k + 1) x।

परिणामस्वरूप, हमें वह मिलता है

(1 + एक्स) के + 1> 1+ (के + 1) x।

तो, ए (के) Þए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली असमानता किसी के लिए भी मान्य है

साबित करें कि असमानता

(1 + a + a 2) m> 1 + m´a + (m (m + 1) / 2) a 2 a> 0 के लिए।

हल: 1) m = 1 . के लिए

(1 + a + a 2) 1> 1 + a + (2/2) ´a 2 दोनों भाग बराबर हैं।

2) मान लीजिए कि m = k . के लिए

(1 + a + a 2) k> 1 + k´a + (k (k + 1) / 2) a 2

3) आइए हम सिद्ध करें कि m = k + 1 के लिए असमानता सत्य है

(1 + ए + ए 2) के + 1 = (1 + ए + ए 2) (1 + ए + ए 2) के> (1 + ए + ए 2) (1 + के´ए +

+ (के (के + 1) / 2) ए 2) = 1 + (के + 1) ´ए + ((के (के + 1) / 2) + के + 1) ´ए 2 +

+ ((के (के + 1) / 2) + के) ए 3 + (के (के + 1) / 2) ए 4> 1+ (के + 1) ए +

+ ((के + 1) (के + 2) / 2) ए 2।

हमने m = k + 1 के लिए असमानता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक m के लिए मान्य है।

साबित करें कि n> 6 के लिए असमानता

3 एन> एन´2 एन + 1।

हल: हम असमानता को इस प्रकार लिखते हैं:

1. n = 7 के लिए हमारे पास है

3 7/2 7 = 2187/128> 14 = 2´7

असमानता सच है।

2. मान लीजिए कि n = k . के लिए

3) आइए n = k + 1 के लिए असमानता की वैधता सिद्ध करें।

3 k + 1/2 k + 1 = (3 k / 2 k) (3/2)> 2k´ (3/2) = 3k> 2 (k + 1)।

k> 7 के बाद से, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए मान्य है।

साबित करें कि n> 2 के लिए असमानता

1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / एन 2)<1,7-(1/n).

हल: 1) n = 3 के लिए, असमानता सत्य है

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. मान लीजिए कि n = k . के लिए

1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / के 2) = 1.7- (1 / के)।

3) आइए हम इसकी वैधता सिद्ध करें

n = k + 1 . के लिए समानता

(1+ (1/2 2) +… + (1 / के 2)) + (1 / (के + 1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

आइए हम सिद्ध करें कि 1,7- (1 / k) + (1 / (k + 1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

(1 / (के + 1) 2) + (1 / के + 1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

k (के + 2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / (के + 1) 2)<1,7-(1/k+1).

असमानता गणितीय प्रेरण की विधि से सिद्ध होती है।

निष्कर्ष

विशेष रूप से, गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करने के बाद, मैंने गणित के इस क्षेत्र में अपने ज्ञान में सुधार किया, और यह भी सीखा कि उन समस्याओं को कैसे हल किया जाए जो पहले मेरी शक्ति से परे थीं।

मूल रूप से, ये तार्किक और मनोरंजक कार्य थे, अर्थात। सिर्फ वही जो एक विज्ञान के रूप में गणित में ही रुचि बढ़ाते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करना एक मनोरंजक गतिविधि बन जाती है और अधिक से अधिक जिज्ञासु लोगों को गणितीय लेबिरिंथ की ओर आकर्षित कर सकती है। मेरी राय में, यह किसी भी विज्ञान का आधार है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन जारी रखते हुए, मैं यह सीखने की कोशिश करूंगा कि इसे न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीवन की समस्याओं को हल करने में भी कैसे लागू किया जाए।

गणित:

व्याख्यान, समस्याएं, समाधान

पाठ्यपुस्तक / वी.जी. बोल्त्यंस्की, यू.वी. सिदोरोव, एम.आई.शबुनिन। एलएलसी "पोटपौरी" 1996।

बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत

पाठ्यपुस्तक / आई.टी.डेमिडोव, ए.एन. कोलमोगोरोव, एस.आई.श्वार्ज़बर्ग, ओ.एस.इवाशेव-मुसातोव, बी.ई. वेइट्ज़। "ज्ञानोदय" 1975।