Paskirstymo funkcija šiuo atveju pagal (5.7) bus tokia:
čia: m yra matematinis lūkestis, s yra standartinis nuokrypis.
Vokiečių matematiko Gauso vardu normalusis skirstinys dar vadinamas Gauso. Tai, kad atsitiktinis dydis turi normalųjį skirstinį su parametrais: m,, žymimas taip: N (m, s), kur: m =a =M ;
Gana dažnai formulėse matematinis lūkestis žymimas a . Jeigu atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal dėsnį N(0,1), tai jis vadinamas normalizuotu arba standartizuotu normaliuoju dydžiu. Jo paskirstymo funkcija yra tokia:
|
|
.Normaliojo skirstinio tankio grafikas, kuris vadinamas normaliąja kreive arba Gauso kreive, parodytas 5.4 pav.
Ryžiai. 5.4. Normalus pasiskirstymo tankis
Atsitiktinio dydžio skaitinių charakteristikų nustatymas pagal jo tankį nagrinėjamas pavyzdyje.
6 pavyzdys.
Ištisinis atsitiktinis kintamasis nustatomas pagal pasiskirstymo tankį: 
.
Nustatykite skirstinio tipą, raskite matematinę lūkesčius M(X) ir dispersiją D(X).
Palyginus pateiktą pasiskirstymo tankį su (5.16), galime daryti išvadą, kad yra pateiktas normaliojo skirstinio dėsnis su m =4. Todėl matematinė lūkestis M(X)=4, dispersija D(X)=9.
Standartinis nuokrypis s=3.
Laplaso funkcija, kurios forma:
|
|
,yra susijęs su normaliojo pasiskirstymo funkcija (5.17), ryšiu:
F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.
Laplaso funkcija yra keista.
Ф(-x)=-Ф(x).
Laplaso funkcijos Ф(х) reikšmės pateikiamos lentelėse ir paimtos iš lentelės pagal x reikšmę (žr. 1 priedą).
Tikimybių teorijoje ir tikrovės aprašyme svarbų vaidmenį vaidina normalus nuolatinio atsitiktinio dydžio skirstinys, jis labai paplitęs atsitiktiniuose gamtos reiškiniuose. Praktikoje labai dažnai pasitaiko atsitiktinių dydžių, kurie susidaro būtent dėl daugelio atsitiktinių terminų sumavimo. Visų pirma, matavimo paklaidų analizė rodo, kad tai yra įvairių rūšių klaidų suma. Praktika rodo, kad matavimo paklaidų pasiskirstymas yra artimas normaliajam dėsniui.
Naudojant Laplaso funkciją, galima išspręsti tikimybės patekti į tam tikrą intervalą ir tam tikrą normalaus atsitiktinio dydžio nuokrypį skaičiavimo uždavinius.
Skirtingai nuo diskrečiojo atsitiktinio dydžio, nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai negali būti nurodyti jo pasiskirstymo dėsnio lentelės pavidalu, nes neįmanoma išvardyti ir užrašyti visų jo reikšmių tam tikra seka. Vienas iš galimų būdų apibrėžti nuolatinį atsitiktinį kintamąjį yra pasiskirstymo funkcijos naudojimas.
APIBRĖŽIMAS. Pasiskirstymo funkcija – tai funkcija, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, kuri pavaizduota realioje ašyje tašku į kairę nuo taško x, t.y.
Kartais vietoj termino „Paskirstymo funkcija“ vartojamas terminas „Integrinė funkcija“.
Paskirstymo funkcijos savybės:
1. Pasiskirstymo funkcijos reikšmė priklauso atkarpai: 0F(x)1
2. F(x) yra nemažėjanti funkcija, t.y. F(x 2)F(x 1), jei x 2 > x 1
Išvada 1. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis intervale (a, b) esančią reikšmę, yra lygi paskirstymo funkcijos prieaugiui šiame intervale:
P(aX
9 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo funkcija:
Raskite tikimybę, kad atlikus testą X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (0; 2): P(0) Sprendimas: Kadangi intervale (0;2) pagal sąlygą, F(x)=x/4+1/4, tai F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Taigi P (0 Išvada 2. Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X įgis vieną apibrėžtą reikšmę, lygi nuliui. Išvada 3. Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui (a;b), tai: 1) F(x)=0 xa; 2) F(x)=1 xb. Pasiskirstymo funkcijos grafikas yra juostoje, kurią riboja tiesės y=0, y=1 (pirmoji savybė). Kai x didėja intervale (a;b), kuriame yra visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, grafikas „kyla aukštyn“. Jei xa, grafiko ordinatės lygios nuliui; ties xb grafiko ordinatės yra lygios vienai: 10 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo lentele: Raskite paskirstymo funkciją ir sukurkite jos grafiką. APIBRĖŽIMAS: Ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybės pasiskirstymo tankis yra funkcija f (x) – pirmoji pasiskirstymo funkcijos F (x) išvestinė: f (x) \u003d F "(x) Iš šio apibrėžimo matyti, kad pasiskirstymo funkcija yra pasiskirstymo tankio antidarinė. Teorema. Tikimybė, kad ištisinis atsitiktinis dydis X įgis intervalui (a; b) priklausančią reikšmę, yra lygi tam tikram pasiskirstymo tankio integralui, paimtam intervale nuo a iki b: Tikimybių tankio savybės: 1. Tikimybių tankis yra neneigiama funkcija: f(x)0. 11 pavyzdys. Duotas atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis Sprendimas: pageidaujama tikimybė: Išplėskime diskrečiųjų dydžių skaitinių charakteristikų apibrėžimą iki nuolatinių dydžių. Tegu tolydinis atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo tankiu f(x). APIBRĖŽIMAS. Matematinė ištisinio atsitiktinio dydžio X, kurio galimos reikšmės priklauso segmentui, lūkestis vadinamas apibrėžtuoju integralu: M(x)=xf(x)dx (9) Jei galimos reikšmės priklauso visai x ašiai, tada: M(x)=xf(x)dx (10) Ištisinio atsitiktinio dydžio X režimas M 0 (X) yra jo galima reikšmė, atitinkanti pasiskirstymo tankio lokalų maksimumą. Ištisinio atsitiktinio dydžio X mediana M e (X) yra jo galima reikšmė, kurią lemia lygybė: P(X e (X)) = P(X>M e (X)) APIBRĖŽIMAS. Ištisinio atsitiktinio dydžio dispersija yra matematinė jo nuokrypio kvadrato lūkesčiai. Jei galimos X reikšmės priklauso segmentui , tada: D(x)=2 f(x)dx (11) Jei galimos reikšmės priklauso visai x ašiai, tada.
Tolygus paskirstymas.
nuolatinė vertė X pasiskirsto tolygiai per intervalą ( a, b) jei visos galimos jo reikšmės yra šiame intervale ir tikimybių pasiskirstymo tankis yra pastovus: Atsitiktiniam dydžiui X, tolygiai paskirstytas intervale ( a, b) (4 pav.), tikimybė patekti į bet kurį intervalą ( x 1
, x 2) gulėti intervalo viduje ( a, b), yra lygus: Apvalinimo paklaidos yra tolygiai paskirstytų dydžių pavyzdžiai. Taigi, jei visos tam tikros funkcijos lentelės reikšmės yra suapvalintos iki to paties skaitmens, tada atsitiktinai pasirinkę lentelės reikšmę, manome, kad pasirinkto skaičiaus apvalinimo paklaida yra atsitiktinis dydis, tolygiai paskirstytas intervale eksponentinis pasiskirstymas.
Nuolatinis atsitiktinis dydis X Tai turi eksponentinis pasiskirstymas Tikimybių pasiskirstymo tankio (31) grafikas parodytas fig. 5. Laikas T kompiuterinės sistemos veikimas be sutrikimų yra atsitiktinis dydis, turintis eksponentinį pasiskirstymą su parametru λ
, kurio fizinė reikšmė yra vidutinis gedimų skaičius per laiko vienetą, neskaičiuojant sistemos prastovų remontui. Normalus (Gauso) skirstinys.
Atsitiktinė vertė X Tai turi normalus (gauso) pasiskirstymas, jei jo tikimybių tankio skirstinys nustatomas pagal priklausomybę: kur m = M(X) , . At
vadinamas normalusis skirstinys standartinis. Normaliojo skirstinio (32) tankio grafikas parodytas pav. 6. Normalusis skirstinys yra labiausiai paplitęs pasiskirstymas įvairiuose atsitiktiniuose gamtos reiškiniuose. Taigi, automatizuoto įrenginio komandų vykdymo klaidos, erdvėlaivio paleidimo į tam tikrą erdvės tašką klaidos, kompiuterinių sistemų parametrų klaidos ir kt. daugeliu atvejų turi normalų arba artimą normaliam pasiskirstymui. Be to, atsitiktiniai dydžiai, suformuoti sudėjus daugybę atsitiktinių dėmenų, pasiskirsto beveik pagal įprastą dėsnį. Gama pasiskirstymas.
Atsitiktinė vertė X Tai turi gama pasiskirstymas, jei jo tikimybių tankio pasiskirstymas išreiškiamas formule: kur Paskirstymo funkcijos savybės: 1) Pasiskirstymo funkcija tenkina nelygybę: 0≤F(x)≤1 ; 2) Pasiskirstymo funkcija yra nemažėjanti funkcija, t.y. x 2 > x 1 reiškia F(x2)≥F(x1). 3) Pasiskirstymo funkcija linkusi į 0 neribotai mažėjant e-argumentui ir link 1, kai jo neribotas padidėjimas. Pasiskirstymo funkcijos grafikas Tikimybių tankis(tikimybių tankis) ištisinio atsitiktinio dydžio X f(x) yra šio kintamojo skirstinio funkcijos F(x) išvestinė: f(x)=F’(x) Tikimybių tankio savybės:
1)
Tikimybių tankis yra neneigiama funkcija: f(x)≥0; 2)
Tikimybė, kad atlikus testą nuolatinis atsitiktinis kintamasis paims bet kokias reikšmes iš intervalo (a, b), yra lygi: Pagal pagrindines nuolatinio atsitiktinio dydžio skaitines charakteristikas supraskite matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį. Matematinė nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkesčiai: Ištisinio atsitiktinio dydžio sklaida D(X)
=
M[
X
–
M(X)]
2
. (papildyti) Standartinis nuokrypis: σ(х)= √D(X) Iš visų nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo tipų dažniausiai naudojamas normalus skirstinys
, kuris nustatytas Gauso dėsnis.
Taigi, jei mes turime daug nepriklausomų dydžių, kuriems galioja bet kokie pasiskirstymo dėsniai, tada tam tikromis bendromis sąlygomis jis maždaug paklus normaliam dėsniui. Nuolatinis atsitiktinis dydis vadinamas paskirstytu pagal įprastą dėsnį, jei jo tikimybės tankis yra: Pakeičiant išraišką paims reikšmę iš nurodyto intervalo: P(a<
X<
b)
=____________________ Trijų sigmų taisyklė
:
atsitiktinio dydžio normaliojo pasiskirstymo verčių nuokrypiai nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte praktiškai neviršija jo trigubo standartinio nuokrypio. (NSV)
tęstinis yra atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nuolat užima tam tikrą intervalą. Jei diskrečiųjį kintamąjį galima pateikti pagal visų galimų jo reikšmių ir jų tikimybių sąrašą, tai nuolatinis atsitiktinis kintamasis, kurio galimos reikšmės visiškai užima tam tikrą intervalą ( a, b) neįmanoma nurodyti visų galimų reikšmių sąrašo. Leisti būti X yra tikrasis skaičius. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis Xįgyja mažesnę vertę nei X, t.y. įvykio tikimybė X <X, žymimas F(x). Jeigu X pokyčiai, tada, žinoma, keičiasi ir F(x), t.y. F(x) yra funkcija X. paskirstymo funkcija iškviesti funkciją F(x), kuris nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X kaip bandymo rezultatas bus mažesnė nei X, t.y. F(x) = R(X < X). Geometriškai ši lygybė gali būti aiškinama taip: F(x) yra tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, kuri pavaizduota realioje ašyje tašku į kairę nuo taško X. Paskirstymo funkcijos savybės. dešimt . Paskirstymo funkcijos reikšmės priklauso intervalui: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2 0 . F(x) yra nemažėjanti funkcija, t.y. F(x 2) ≥ F(x 1) jei x 2 > x 1 . 1 pasekmė. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę, esančią intervale ( a, b), yra lygus paskirstymo funkcijos padidėjimui šiame intervale: R(a < X <b) = F(b) − F(a). Pavyzdys. Atsitiktinė vertė X duota paskirstymo funkcijos F(x) = Atsitiktinė vertė X 0, 2). Pagal 1 išvadą turime: R(0 < X <2) = F(2) − F(0). Kadangi intervale (0, 2), pagal sąlygą, F(x) = + , tada F(2) − F(0) = (+ ) − (+ ) = . Taigi, R(0 < X <2) = . 2 pasekmė. Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis Xįgis vieną apibrėžtą reikšmę, lygią nuliui. trisdešimt . Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui ( a, b), tada 1). F(x) = 0 už X ≤ a; 2). F(x) = 1 už X ≥ b. Pasekmė. Jei įmanoma, vertės NSV esančios visoje skaitinėje ašyje OI(−∞, +∞), tada galioja šie ribiniai ryšiai: Nagrinėjamos savybės leidžia pateikti bendrą ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos grafiko vaizdą: paskirstymo funkcija NSV X dažnai skambina integrali funkcija. Diskretus atsitiktinis dydis taip pat turi pasiskirstymo funkciją: Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos grafikas turi laiptuotą formą. Pavyzdys. DSV X duota platinimo įstatymo X 1 4 8 R 0,3 0,1 0,6. Raskite jos pasiskirstymo funkciją ir sukurkite grafiką. Jeigu X≤ 1, tada F(x) = 0. Jei 1< x≤ 4, tada F(x) = R 1 =0,3. Jei 4< x≤ 8, tada F(x) = R 1 + R 2 = 0,3 + 0,1 = 0,4. Jeigu X> 8, tada F(x) = 1 (arba F(x) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1). Taigi, duotosios paskirstymo funkcija DSV X: Norimos paskirstymo funkcijos grafikas: NSV galima nurodyti tikimybių pasiskirstymo tankiu. Tikimybių pasiskirstymo tankis NSV X iškviesti funkciją f(x) yra pirmoji skirstinio funkcijos išvestinė F(x): f(x) = . Pasiskirstymo funkcija yra pasiskirstymo tankio antidarinė. Pasiskirstymo tankis taip pat vadinamas tikimybės tankiu, diferencialinė funkcija. Pasiskirstymo tankio grafikas vadinamas pasiskirstymo kreivė. 1 teorema. Tikimybė, kad NSV X ims reikšmę, priklausančią intervalui ( a, b), yra lygus tam tikram pasiskirstymo tankio integralui, paimtam diapazone nuo a prieš b: R(a < X < b) = . ○ R(a < X <b) = F(b) −F(a) == . ● Geometrinė reikšmė: tikimybė, kad NSV ims reikšmę, priklausančią intervalui ( a, b), yra lygus kreivinės trapecijos, apribotos ašies, plotui OI, pasiskirstymo kreivė f(x) ir tiesioginis X =a ir X=b. Pavyzdys. Duotas tikimybės tankis NSV X f(x) = Raskite tikimybę, kad atlikus testą X ims reikšmę, priklausančią intervalui (0,5; 1). R(0,5 < X < 1) = 2= = 1 – 0,25 = 0,75. Pasiskirstymo tankio savybės: dešimt . Pasiskirstymo tankis yra neneigiama funkcija: f(x) ≥ 0. 20 . Netinkamas pasiskirstymo tankio integralas diapazone nuo −∞ iki +∞ yra lygus vienetui: Visų pirma, jei visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui ( a, b), tada Leisti būti f(x) yra pasiskirstymo tankis, F(X) yra paskirstymo funkcija F(X) = . ○ F(x) = R(X < X) = R(−∞ < X < X) = = , t.y. F(X) = . ● Pavyzdys (*). Raskite pasiskirstymo funkciją tam tikram pasiskirstymo tankiui: f(x) = Nubraižykite rastą funkciją. Yra žinoma, kad F(X) = . Jeigu, X ≤ a, tada F(X) = = == 0; Jeigu a < x ≤ b, tada F(X) = =+ = = . Jeigu X > b, tada F(X) = =+ + = = 1. F(x) = Norimos funkcijos grafikas: NSV skaitinės charakteristikos Matematinis lūkestis NSV Х, kurių galimos reikšmės priklauso segmentui [ a, b], vadinamas apibrėžtuoju integralu M(X) = . Jei visos galimos reikšmės priklauso visai ašiai OI, tada M(X) = . Daroma prielaida, kad netinkamas integralas absoliučiai suartėja. Dispersija NSV X vadinamas jo nuokrypio kvadrato matematiniu lūkesčiu. Jei įmanoma, vertės X priklauso segmentui [ a, b], tada D(X) = ; Jei įmanoma, vertės X priklauso visai realiajai ašiai (−∞; +∞), tada D(X) = . Nesunku gauti patogesnes dispersijos skaičiavimo formules: D(X) = − [M(X)] 2 , D(X) = − [M(X)] 2 . Standartinis nuokrypis NSV Х yra apibrėžiamas lygybės (X) = . komentuoti. Matematinės lūkesčių ir dispersijos savybės DSV taupoma už NSV X. Pavyzdys. Rasti M(X) ir D(X) atsitiktinis dydis X, pateiktą paskirstymo funkcija F(x) = Raskite pasiskirstymo tankį f(x) = = Raskime M(X): M(X) = = = = . Raskime D(X): D(X) = − [M(X)] 2 = − = − = . Pavyzdys (**). Rasti M(X), D(X) ir ( X) atsitiktinis dydis X, jei f(x) = Raskime M(X): M(X) = = =∙= . Raskime D(X): D(X) =− [M(X)] 2 =− = ∙−=. Raskime ( X): (X) = = = . Teoriniai NSV momentai. Pradinis teorinis eilės momentas k NSV X yra apibrėžiamas lygybės ν k = . Centrinis teorinis eilės momentas k NSW Х yra apibrėžiamas lygybės µk = . Visų pirma, jei visos įmanomos vertės X priklauso intervalui ( a, b), tada ν k = , µk = . Akivaizdu: k = 1: ν
1 = M(X), μ
1 = 0; k = 2: μ
2 = D(X). Ryšys tarp ν k ir µk Kaip DSV: μ
2 = ν
2 − ν
1 2 ; μ
3 = ν
3 − 3ν
2 ν
1 + 2ν
1 3 ; μ
4 = ν
4 − 4ν
3 ν
1 + 6 ν
2 ν
1 2 − 3ν
1 4 . NSW pasiskirstymo dėsniai Pasiskirstymo tankiai NSV taip pat vadinama platinimo dėsniai. Vienodo pasiskirstymo dėsnis. Tikimybių skirstinys vadinamas uniforma, jei intervale, kuriam priklauso visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, pasiskirstymo tankis išlieka pastovus. Tolygaus pasiskirstymo tikimybės tankis: f(x) = Jos tvarkaraštis: Iš (*) pavyzdžio matyti, kad vienodo skirstinio paskirstymo funkcija yra tokia: F(x) = Jos tvarkaraštis: Iš (**) pavyzdžio tolygaus skirstinio skaitinės charakteristikos yra tokios: M(X) = , D(X) = , (X) = . Pavyzdys. Tam tikro maršruto autobusai važiuoja griežtai pagal tvarkaraštį. Judesių intervalas 5 minutės. Raskite tikimybę, kad keleivis, atvykęs į stotelę, lauks kito autobuso mažiau nei 3 minutes. Atsitiktinė vertė X- artėjančio keleivio autobuso laukimo laikas. Jo galimos reikšmės priklauso intervalui (0; 5). Kaip X yra tolygiai paskirstytas dydis, tada tikimybės tankis yra: f(x) = = = intervale (0; 5). Kad keleivis lauktų kito autobuso mažiau nei 3 minutes, jis turi atvykti į stotelę likus 2-5 minutėms iki kito autobuso atvykimo: Vadinasi, R(2 < X < 5) == = = 0,6. Normaliojo pasiskirstymo dėsnis. normalus vadinamas tikimybių skirstiniu NSV X f(x) = . Normalus skirstinys apibrėžiamas dviem parametrais: a ir σ
. Skaitmeninės charakteristikos: M(X) == = = = = + = a, nes pirmasis integralas lygus nuliui (integralas nelyginis, antrasis integralas Puasono integralas, lygus . Taigi, M(X) = a, t.y. normaliojo skirstinio matematinė lūkestis lygi parametrui a. Turint omenyje M(X) = a, mes gauname D(X) = = = Taigi, D(X) = . Vadinasi, (X) = = = , tie. normaliojo skirstinio standartinis nuokrypis lygus parametrui . Generolas vadinamas normaliuoju skirstiniu su savavališkais parametrais a ir (> 0). normalizuotas vadinamas normaliuoju skirstiniu su parametrais a= 0 ir = 1. Pavyzdžiui, jei X– normalioji reikšmė su parametrais a ir tada U= − normalizuota normalioji vertė, ir M(U) = 0, (U) = 1. Normalizuoto skirstinio tankis: φ
(x) = . Funkcija F(x) bendrasis normalusis skirstinys: F(x) = , ir normalizuoto paskirstymo funkcija: F 0 (x) = . Normaliojo pasiskirstymo tankio grafikas vadinamas normali kreivė (Gauso kreivė): Keičiant parametrą a veda prie kreivės poslinkio išilgai ašies OI: teisingai, jei a didėja, o į kairę, jei a mažėja. Parametrų pasikeitimas lemia: didėjant normalios kreivės maksimali ordinatė mažėja, o pati kreivė tampa plokščia; mažėjant normali kreivė tampa labiau „smailėjusi“ ir išsitempia teigiama ašies kryptimi OY: Jeigu a= 0, a = 1, tada normalioji kreivė φ
(x) = paskambino normalizuotas. Tikimybė patekti į tam tikrą normalaus atsitiktinio dydžio intervalą. Tegu atsitiktinis dydis X paskirstytas pagal įprastą dėsnį. Tada tikimybė, kad X R(α
< X < β
) = = = Naudojant Laplaso funkciją Φ
(X) = , Pagaliau gauname R(α
< X < β
) = Φ
() − Φ
(). Pavyzdys. Atsitiktinė vertė X paskirstytas pagal įprastą dėsnį. Šio dydžio matematinė lūkestis ir standartinis nuokrypis yra atitinkamai 30 ir 10. Raskite tikimybę, kad X Pagal sąlygą, α
=10, β
=50, a=30, =1. R(10< X< 50) = Φ
() − Φ
() = 2Φ
(2). Pagal lentelę: Φ
(2) = 0,4772. Iš čia R(10< X< 50) = 2∙0,4772 = 0,9544. Dažnai reikia apskaičiuoti tikimybę, kad normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio nuokrypis X absoliučia verte mažesnė už nurodytą δ
> 0, t.y. reikia rasti nelygybės realizavimosi tikimybę | X − a| < δ
: R(| X − a| < δ
) = R(a − δ< X< a+ δ
) = Φ
() − Φ
() = = Φ
() − Φ
() = 2Φ
(). Visų pirma, kai a = 0: R(| X | < δ
) = 2Φ
(). Pavyzdys. Atsitiktinė vertė X paskirstytas normaliai. Matematinis lūkestis ir standartinis nuokrypis yra atitinkamai 20 ir 10. Raskite tikimybę, kad absoliučios vertės nuokrypis bus mažesnis už 3. Pagal sąlygą, δ
= 3, a= 20, =10. Tada R(| X − 20| < 3) = 2 Φ
() = 2Φ
(0,3). Pagal lentelę: Φ
(0,3) = 0,1179. Vadinasi, R(| X − 20| < 3) = 0,2358. Trijų sigmų taisyklė. Yra žinoma, kad R(| X − a| < δ
) = 2Φ
(). Leisti būti δ
= t, tada R(| X − a| < t) = 2Φ
(t). Jeigu t= 3 ir todėl t= 3, tada R(| X − a| < 3) = 2Φ
(3) = 2∙ 0,49865 = 0,9973, tie. sulaukė beveik neabejotino įvykio. Trijų sigmų taisyklės esmė: jeigu atsitiktinis dydis yra normaliai pasiskirstęs, tai jo absoliuti nuokrypio nuo matematinio lūkesčio reikšmė neviršija standartinio nuokrypio tris kartus. Praktikoje trijų sigmų taisyklė taikoma taip: jeigu tiriamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymas nežinomas, bet tenkinama minėtoje taisyklėje nurodyta sąlyga, tuomet yra pagrindo manyti, kad tiriamas kintamasis pasiskirstęs normaliai; kitu atveju jis nėra įprastai pasiskirstęs. Liapunovo centrinės ribos teorema. Jei atsitiktinis dydis X yra labai didelio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių kiekvieno įtaka visai sumai yra nereikšminga, tada X pasiskirstymas artimas normaliajam. Pavyzdys.□ Tegul išmatuojamas koks nors fizinis dydis. Bet koks matavimas duoda tik apytikslę išmatuoto dydžio reikšmę, nes matavimo rezultatui įtakos turi daugybė nepriklausomų atsitiktinių veiksnių (temperatūra, prietaiso svyravimai, drėgmė ir kt.). Kiekvienas iš šių veiksnių sukuria nereikšmingą „dalinę klaidą“. Tačiau kadangi šių veiksnių skaičius yra labai didelis, jų kumuliacinis poveikis sukuria jau pastebimą „visuminę paklaidą“. Laikydami bendrą paklaidą kaip labai daug tarpusavyje nepriklausomų dalinių klaidų sumą, galime daryti išvadą, kad bendrosios paklaidos pasiskirstymas yra artimas normaliajam. Patirtis patvirtina šios išvados pagrįstumą. ■ Užrašykime sąlygas, kurioms esant daugelio nepriklausomų narių suma skirstinys artimas normaliajam. Leisti būti X 1 , X 2 , …, X p− nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka, kurių kiekvienas turi baigtinį matematinį lūkestį ir dispersiją: M(X k) = a k , D(X k) = . Supažindinkime su užrašu: S n = , A n = , B n = . Normalizuotos sumos pasiskirstymo funkciją pažymėkime kaip F p(x) = P(< x). Jie sako sekai X 1 , X 2 , …, X p centrinės ribos teorema taikoma, jei kuriai nors X normalizuotos sumos pasiskirstymo funkcija ties P→ ∞ yra linkęs į normalaus pasiskirstymo funkciją: Eksponentinio skirstinio dėsnis. orientacinis(eksponentinis) vadinamas tikimybių skirstiniu NSV X, kuris apibūdinamas tankiu f(x) = kur λ
yra pastovi teigiama reikšmė. Eksponentinis skirstinys nustatomas vienu parametru λ
. Funkcijų grafikas f(x): Raskime paskirstymo funkciją: jei, X≤ 0, tada F(X) = = == 0; jeigu X≥ 0, tada F(X) == += λ∙
= 1 − e −λx. Taigi paskirstymo funkcija atrodo taip: F(x) = Norimos funkcijos grafikas: Skaitmeninės charakteristikos: M(X) == λ
= = . Taigi, M(X) = . D(X) =− [M(X)] 2 = λ
− = = . Taigi, D(X) = . (X) = = , t.y. ( X) = . Supratau M(X) = (X) = . Pavyzdys. NSV X f(x) = 5e −5X adresu X ≥ 0; f(x) = 0 už X < 0. Rasti M(X), D(X), (X). Pagal sąlygą, λ
= 5. Todėl M(X) = (X) = = = 0,2; D(X) = = = 0,04. Tikimybė, kad eksponentiškai pasiskirstęs atsitiktinis kintamasis patenka į tam tikrą intervalą. Tegu atsitiktinis dydis X paskirstytas pagal eksponentinį dėsnį. Tada tikimybė, kad X paims reikšmę iš intervalo ), yra lygus R(a < X < b) = F(b) − F(a) = (1 − e −λ b) − (1 − e −λ a) = e −λ a − e −λ b. Pavyzdys. NSV X paskirstytas pagal eksponentinį dėsnį f(x) = 2e −2X adresu X ≥ 0; f(x) = 0 už X < 0. Raskite tikimybę, kad atlikus testą X paims reikšmę iš intervalo ). Pagal sąlygą, λ
= 2. Tada R(0,3 < X < 1) = e − 2∙0,3 − e − 2∙1 = 0,54881− 0,13534 ≈ 0,41. Eksponentinis pasiskirstymas plačiai naudojamas programose, ypač patikimumo teorijoje. Mes paskambinsime elementas tam tikras įrenginys, nesvarbu, ar jis „paprastas“, ar „sudėtingas“. Tegul elementas pradeda veikti tuo momentu t 0 = 0 ir po laiko tįvyksta nesėkmė. Pažymėti T nuolatinis atsitiktinis kintamasis – elemento veikimo trukmė. Jei elementas veikė nepriekaištingai (prieš gedimą), laikas yra trumpesnis t, taigi tam tikrą laiką tįvyks atsisakymas. Taigi paskirstymo funkcija F(t) = R(T < t) nustato gedimo tikimybę per tam tikrą laiką t. Todėl be gedimų tikimybė veikti tą patį laiką t, t.y. priešingo įvykio tikimybė T > t, yra lygus R(t) = R(T > t) = 1− F(t). Patikimumo funkcija R(t) vadinama funkcija, kuri nustato elemento be gedimų tikimybę per tam tikrą laiką t: R(t) = R(T > t). Dažnai elemento veikimo trukmė turi eksponentinį pasiskirstymą, kurio pasiskirstymo funkcija yra F(t) = 1 − e −λ t. Todėl patikimumo funkcija, kai elemento veikimo laikas yra eksponentinis pasiskirstymas, yra tokia: R(t) = 1− F(t) = 1− (1 − e −λ t) = e −λ t. Eksponentinis patikimumo dėsnis vadinama patikimumo funkcija, apibrėžta lygybe R(t) = e −λ t, kur λ
– gedimų dažnis. Pavyzdys. Elemento veikimo laikas paskirstomas pagal eksponentinį dėsnį f(t) = 0,02e −0,02 t adresu t ≥0 (t- laikas). Raskite tikimybę, kad elementas nepriekaištingai veiks 100 valandų. Pagal susitarimą pastovus gedimų dažnis λ
= 0,02. Tada R(100) = e − 0,02∙100 = e − 2 = 0,13534. Eksponentinis patikimumo dėsnis turi svarbią savybę: tikimybę, kad elementas veiks be gedimų per tam tikrą laiko intervalą. t nepriklauso nuo ankstesnio darbo laiko iki nagrinėjamo intervalo pradžios, o priklauso tik nuo laiko trukmės t(už nurodytą gedimų dažnį λ
). Kitaip tariant, esant eksponentiniam patikimumo dėsniui, elemento be gedimų veikimas „praeityje“ neturi įtakos tikimybei, kad jis veiks „artimiausioje ateityje“. Šią savybę turi tik eksponentinis skirstinys. Todėl, jei praktiškai tiriamasis atsitiktinis dydis turi šią savybę, jis pasiskirsto pagal eksponentinį dėsnį. Didžiųjų skaičių dėsnis Čebyševo nelygybė. Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis X nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte, mažesnė už teigiamą skaičių ε
, ne mažiau kaip 1 – : R(|X – M(X)| < ε
) ≥ 1 – . Čebyševo nelygybė turi ribotą praktinę vertę, nes ji dažnai pateikia apytikslį ir kartais nereikšmingą (neįdomų) įvertinimą. Čebyševo nelygybės teorinė reikšmė labai didelė. Čebyševo nelygybė galioja DSV ir NSV. Pavyzdys. Prietaisą sudaro 10 nepriklausomai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo laike tikimybė T lygus 0,05. Naudodamiesi Čebyševo nelygybe, įvertinkite tikimybę, kad absoliuti skirtumo tarp sugedusių elementų skaičiaus ir vidutinio gedimų skaičiaus per tam tikrą laiką vertė T bus mažiau nei du. Leisti būti X yra sugedusių elementų skaičius laikui bėgant T. Vidutinis gedimų skaičius yra matematinis lūkestis, t.y. M(X). M(X) = ir tt = 10∙0,05 = 0,5; D(X) = npq =10∙0,05∙0,95 = 0,475. Mes naudojame Čebyševo nelygybę: R(|X – M(X)| < ε
) ≥ 1 – . Pagal sąlygą, ε
= 2. Tada R(|X – 0,5| < 2) ≥ 1 – = 0,88, R(|X – 0,5| < 2) ≥ 0,88. Čebyševo teorema. Jeigu X 1 , X 2 , …, X p yra poromis nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, o jų dispersijos yra tolygiai ribojamos (neviršija pastovaus skaičiaus Su), nesvarbu, koks mažas teigiamas skaičius ε
, nelygybės tikimybė |− | < ε
Bus savavališkai arti vieneto, jei atsitiktinių dydžių skaičius yra pakankamai didelis arba, kitaip tariant, − | < ε
) = 1. Taigi, Čebyševo teorema teigia, kad jei atsižvelgiama į pakankamai daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių su ribota dispersija, tai įvykis gali būti laikomas beveik patikimu, jei atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio nuokrypis nuo jų matematinių lūkesčių aritmetinio vidurkio bus savavališkai absoliučia verte mažas. Jeigu M(X 1) = M(X 2) = …= M(X p) = a, tada teoremos sąlygomis lygybė − a| < ε
) = 1. Čebyševo teoremos esmė yra tokia: nors atskirų nepriklausomų atsitiktinių dydžių reikšmės gali būti toli nuo matematinių lūkesčių, pakankamai didelio atsitiktinių dydžių skaičiaus aritmetinis vidurkis įgyja reikšmes, artimas tam tikram pastoviam skaičiui (arba numerį a konkrečiu atveju). Kitaip tariant, atskiri atsitiktiniai dydžiai gali turėti reikšmingą sklaidą, o jų aritmetinis vidurkis yra mažas. Taigi negalima užtikrintai numatyti, kokią galimą reikšmę įgis kiekvienas iš atsitiktinių dydžių, tačiau galima numatyti, kokią reikšmę įgis jų aritmetinis vidurkis. Praktikoje neįkainojamą reikšmę turi Čebyševo teorema: kai kurių fizinių kiekių, kokybės, pavyzdžiui, grūdų, medvilnės ir kitų produktų, matavimas ir kt. Pavyzdys. X 1 , X 2 , …, X p duota platinimo įstatymo X p −nα 0 nα R 1 − Ar Čebyševo teorema taikoma tam tikrai sekai? Tam, kad Čebyševo teorema būtų taikoma atsitiktinių dydžių sekai, pakanka, kad šie kintamieji: 1. būtų nepriklausomi nuo poros; 2). turėjo ribotus matematinius lūkesčius; 3). turi vienodai ribotus skirtumus. vienas). Kadangi atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, jie dar labiau yra nepriklausomi poromis. 2). M(X p) = −nα∙+ 0∙(1 − ) +
Bernulio teorema. Jei kiekviename iš P nepriklausomo testo tikimybė Rįvykio atsiradimas BET yra pastovi, tada tikimybė, kad santykinio dažnio nuokrypis nuo tikimybės R bus savavališkai mažas absoliučia verte, jei bandymų skaičius yra pakankamai didelis. Kitaip tariant, jei ε
yra savavališkai mažas teigiamas skaičius, tada teoremos sąlygomis turime lygybę − R| < ε
) = 1. Bernulio teorema teigia, kad kada P→ ∞ santykinis dažnis linkęs pagal tikimybęį R. Trumpai tariant, Bernulio teorema gali būti parašyta taip: komentuoti. Atsitiktinių dydžių seka X 1 , X 2 , … susilieja pagal tikimybęį atsitiktinį dydį X, jei bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiui ε
nelygybės tikimybė | X n – X| < ε
adresu P→ ∞ linkęs į vienybę. Bernulio teorema paaiškina, kodėl pakankamai didelio bandymų skaičiaus santykinis dažnis turi stabilumo savybę ir pateisina statistinį tikimybės apibrėžimą. Markovo grandinės Markovo grandinė vadinama bandymų seka, kiekviename iš kurių tik vienas iš k nesuderinami įvykiai BET 1 , BET 2 ,…,A k visa grupė ir sąlyginė tikimybė p ij(S), kad in S- įvyks įvykis A j (j = 1, 2,…, k), su sąlyga, kad ( S– 1)-asis bandymas įvyko įvykių A i (i = 1, 2,…, k), nepriklauso nuo ankstesnių bandymų rezultatų. Pavyzdys.□ Jei bandymų seka sudaro Markovo grandinę ir visa grupė susideda iš 4 nesuderinamų įvykių BET 1 , BET 2 , BET 3 , BET 4 , ir yra žinoma, kad 6-ajame teisme įvyko įvykis BET 2 , tada sąlyginė tikimybė, kad įvykis įvyks 7-uoju bandymu BET 4 nepriklauso nuo to, kokie įvykiai pasirodė 1, 2,…, 5 bandymuose. ■ Anksčiau svarstyti nepriklausomi bandymai yra ypatingas Markovo grandinės atvejis. Iš tiesų, jei bandymai yra nepriklausomi, tai kokio nors konkretaus įvykio įvykis bet kuriame bandyme nepriklauso nuo anksčiau atliktų testų rezultatų. Iš to išplaukia, kad Markovo grandinės sąvoka yra nepriklausomų bandymų sampratos apibendrinimas. Užrašykime atsitiktinių dydžių Markovo grandinės apibrėžimą. Atsitiktinių dydžių seka X t, t= 0, 1, 2, …, vadinamas Markovo grandinė su valstybėmis BET = { 1, 2, …, N), jei , t = 0, 1, 2, …, ir bet kokiam ( P, ., Tikimybių skirstinys X t savavališku momentu t galima rasti naudojant bendrosios tikimybės formulę
Galioja šie ribiniai santykiai:
1 paveikslasX
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Sprendimas: paskirstymo funkciją galima analitiškai parašyti taip:
2 pav
(8)
2. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankio apibrėžtasis integralas nuo -∞ iki +∞ lygus 1: f(x)dx=1.
3. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankio apibrėžtasis integralas nuo -∞ iki x yra lygus šio kintamojo pasiskirstymo funkcijai: f(x)dx=F(x)
Raskite tikimybę, kad atlikus testą X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (0,5; 1).
arba
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)
(30)
Ryžiai. 4. Tolygaus pasiskirstymo tankio grafikas
(31)
Ryžiai. 5. Eksponentinio skirstinio tankio grafikas
(32)
Ryžiai. 6. Normaliojo skirstinio tankio grafikas
(33)
yra Eulerio gama funkcija.11. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio tankis ir jo savybės. Pagrindinės nuolatinio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.
3)
Nuolatinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio apibrėžtasis integralas intervale nuo -begalybės iki + begalybės yra lygus vienetui:
4)
Nuolatinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio apibrėžtasis integralas, svyruojantis nuo minus begalybės iki x, yra lygus šio kintamojo pasiskirstymo funkcijai: 
12. Normalaus paskirstymo dėsnis. Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą intervalą.Trijų sigmų taisyklė.
(padidinti, pridėti), kur M matematinis lūkestis, σ kvadratas – dispersija, σ – standartinis šios reikšmės nuokrypis. Tai Gauso kreivė:
normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio tikimybės tankiui į išraišką 
, gauname tikimybę, kad testo rezultatas yra normaliai pasiskirstęs atsitiktinis kintamasis