Cramerio metodas pagrįstas determinantų naudojimu sprendžiant tiesinių lygčių sistemas. Tai labai pagreitina sprendimo procesą.
Kramerio metodu galima išspręsti tiek tiesinių lygčių, kiek kiekvienoje lygtyje yra nežinomųjų, sistemai. Jei sistemos determinantas nelygus nuliui, tai sprendime galima naudoti Cramerio metodą, jei lygus nuliui, tai ne. Be to, Cramerio metodas gali būti naudojamas sprendžiant tiesinių lygčių sistemas, kurios turi unikalų sprendimą.
Apibrėžimas. Determinantas, sudarytas iš nežinomųjų koeficientų, vadinamas sistemos determinantu ir žymimas (delta).
Determinantai
gaunami pakeitus koeficientus prie atitinkamų nežinomųjų laisvaisiais terminais:
;
.
Cramerio teorema. Jei sistemos determinantas nėra nulis, tai tiesinių lygčių sistema turi vieną vienintelį sprendinį, o nežinomasis yra lygus determinantų santykiui. Vardiklyje yra sistemos determinantas, o skaitiklyje – determinantas, gautas iš sistemos determinanto, koeficientus pakeitus nežinomuoju laisvaisiais terminais. Ši teorema galioja bet kokios eilės tiesinių lygčių sistemai.
1 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą:
Pagal Cramerio teorema mes turime:
Taigi, sistemos (2) sprendimas:
internetinis skaičiuotuvas, Cramerio sprendimo metodas.
Trys atvejai sprendžiant tiesinių lygčių sistemas
Kaip matyti iš Cramerio teoremos, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą, gali būti trys atvejai:
Pirmasis atvejis: tiesinių lygčių sistema turi unikalų sprendimą
(sistema yra nuosekli ir apibrėžta)
Antrasis atvejis: tiesinių lygčių sistema turi begalinį sprendinių skaičių
(sistema yra nuosekli ir neapibrėžta)
** 
,
tie. nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientai yra proporcingi.
Trečias atvejis: tiesinių lygčių sistema neturi sprendinių
(sistema nenuosekli)
Taigi sistema m tiesines lygtis su n kintamieji yra vadinami nesuderinamas jei jis neturi sprendimų, ir Bendras jei jis turi bent vieną sprendimą. Vadinama jungtinė lygčių sistema, turinti tik vieną sprendinį tam tikras, ir daugiau nei vienas neapibrėžtas.
Tiesinių lygčių sistemų sprendimo Cramerio metodu pavyzdžiai
Tegul sistema
.
Remiantis Cramerio teorema
………….
,
kur 
-
sistemos identifikatorius. Likę determinantai gaunami pakeitus stulpelį atitinkamo kintamojo (nežinomo) koeficientais laisvaisiais nariais:
2 pavyzdys
.
Todėl sistema yra apibrėžta. Norėdami rasti jos sprendimą, apskaičiuojame determinantus
Pagal Cramerio formules randame:
Taigi, (1; 0; -1) yra vienintelis sistemos sprendimas.
Norėdami patikrinti lygčių 3 X 3 ir 4 X 4 sistemų sprendinius, galite naudoti internetinį skaičiuotuvą, Cramerio sprendimo metodą.
Jeigu tiesinių lygčių sistemoje vienoje ar keliose lygtyse kintamųjų nėra, tai determinante juos atitinkantys elementai lygūs nuliui! Tai yra kitas pavyzdys.
3 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Cramerio metodu:
.
Sprendimas. Mes randame sistemos determinantą:
Atidžiai pažvelkite į lygčių sistemą ir į sistemos determinantą ir pakartokite atsakymą į klausimą, kokiais atvejais vienas ar keli determinanto elementai yra lygūs nuliui. Taigi determinantas nėra lygus nuliui, todėl sistema yra apibrėžta. Norėdami rasti sprendimą, apskaičiuojame nežinomųjų determinantus
Pagal Cramerio formules randame:
Taigi, sistemos sprendimas yra (2; -1; 1).
Norėdami patikrinti lygčių 3 X 3 ir 4 X 4 sistemų sprendinius, galite naudoti internetinį skaičiuotuvą, Cramerio sprendimo metodą.
Puslapio viršuje
Mes ir toliau kartu sprendžiame sistemas naudodami Cramer metodą
Kaip jau minėta, jei sistemos determinantas lygus nuliui, o nežinomųjų determinantai nelygūs nuliui, sistema yra nenuosekli, tai yra, ji neturi sprendinių. Iliustruojame tokiu pavyzdžiu.
6 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Cramerio metodu:
Sprendimas. Mes randame sistemos determinantą:
Sistemos determinantas lygus nuliui, todėl tiesinių lygčių sistema yra arba nenuosekli ir apibrėžta, arba nenuosekli, tai yra, neturinti sprendinių. Norėdami paaiškinti, apskaičiuojame nežinomųjų determinantus
Nežinomųjų determinantai nėra lygūs nuliui, todėl sistema yra nenuosekli, tai yra, neturi sprendinių.
Norėdami patikrinti lygčių 3 X 3 ir 4 X 4 sistemų sprendinius, galite naudoti internetinį skaičiuotuvą, Cramerio sprendimo metodą.
Tiesinių lygčių sistemų uždaviniuose taip pat yra tokių, kur, be raidžių, žyminčių kintamuosius, yra ir kitų raidžių. Šios raidės reiškia tam tikrą skaičių, dažniausiai tikrąjį skaičių. Praktikoje tokios lygtys ir lygčių sistemos sukelia problemų ieškant bendrųjų bet kokių reiškinių ir objektų savybių. Tai yra, jūs išradote kažkokią naują medžiagą ar įrenginį, o norint apibūdinti jo savybes, kurios yra bendros nepriklausomai nuo kopijų dydžio ar skaičiaus, turite išspręsti tiesinių lygčių sistemą, kurioje vietoj kai kurių kintamųjų koeficientų yra raidės. Pavyzdžių toli ieškoti nereikia.
Kitas pavyzdys skirtas panašiai problemai, tik didėja lygčių, kintamųjų ir raidžių, žyminčių kokį nors realų skaičių, skaičius.
8 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Cramerio metodu:
Sprendimas. Mes randame sistemos determinantą:
Nežinomų determinantų paieška
Tegul tiesinių lygčių sistemoje yra tiek lygčių, kiek nepriklausomų kintamųjų, t.y. turi formą
Tokios tiesinių lygčių sistemos vadinamos kvadratinėmis. Determinantas, sudarytas iš nepriklausomų sistemos kintamųjų koeficientų (1.5), vadinamas pagrindiniu sistemos determinantu. Pažymėsime jį graikiška raide D. Taigi,
. (1.6)
Jei pagrindiniame determinantas yra savavališkas ( j th) stulpelį, pakeiskite jį laisvųjų sistemos narių stulpeliu (1.5), tada galime gauti daugiau n pagalbiniai determinantai:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Cramerio taisyklė kvadratinių tiesinių lygčių sistemų sprendimas yra toks. Jei sistemos (1.5) pagrindinis determinantas D nėra lygus nuliui, tai sistema turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti pagal formules:
(1.8)
1.5 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą Cramerio metodu
.
Apskaičiuokime pagrindinį sistemos determinantą:
Nuo D¹0 sistema turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti naudojant (1.8) formules:
Taigi,
Matricos veiksmai
1. Matricos dauginimas iš skaičiaus. Matricos dauginimo iš skaičiaus operacija apibrėžiama taip.
2. Norint padauginti matricą iš skaičiaus, reikia iš šio skaičiaus padauginti visus jos elementus. T.y
. (1.9)
1.6 pavyzdys. 
.
Matricos papildymas.
Ši operacija įvedama tik tos pačios eilės matricoms.
Norint pridėti dvi matricas, prie vienos matricos elementų reikia pridėti atitinkamus kitos matricos elementus:
(1.10)
Matricos sudėjimo operacija turi asociatyvumo ir komutatyvumo savybes.
1.7 pavyzdys. 
.
Matricos daugyba.
Jei matricos stulpelių skaičius BET atitinka matricos eilučių skaičių AT, tada tokioms matricoms įvedama daugybos operacija:
2 
Taigi, padauginus matricą BET matmenys m´ nį matricą AT matmenys n´ k gauname matricą Su matmenys m´ k. Šiuo atveju matricos elementai Su apskaičiuojami pagal šias formules:
1.8 problema. Jei įmanoma, raskite matricų sandaugą AB ir BA:
Sprendimas. 1) susirasti darbą AB, jums reikia matricos eilučių A padauginti iš matricos stulpelių B:
2) Meno kūrinys BA neegzistuoja, nes matricos stulpelių skaičius B neatitinka matricos eilučių skaičiaus A.
Atvirkštinė matrica. Tiesinių lygčių sistemų sprendimas matriciniu būdu
Matrica A- 1 vadinamas atvirkštine kvadratine matrica BET jei galioja lygybė:
per kur ašžymi tos pačios eilės tapatumo matricą kaip ir matrica BET:
.
Kad kvadratinė matrica turėtų atvirkštinę reikšmę, būtina ir pakanka, kad jos determinantas nebūtų lygus nuliui. Atvirkštinė matrica randama pagal formulę:
, (1.13)
kur A ij- algebriniai elementų papildymai aij matricos BET(atkreipkite dėmesį, kad matricos eilučių algebriniai papildymai BET yra išdėstyti atvirkštinėje matricoje atitinkamų stulpelių pavidalu).
1.9 pavyzdys. Raskite atvirkštinę matricą A- 1 į matricą
.
Atvirkštinę matricą randame pagal formulę (1.13), kuri tuo atveju n= 3 atrodo taip:
.
Raskime det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Kadangi pradinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio, tada egzistuoja atvirkštinė matrica.
1) Raskite algebrinius priedus A ij:
Kad būtų patogiau rasti atvirkštinę matricą, į atitinkamus stulpelius patalpinome pradinės matricos eilučių algebrinius papildymus.
Iš gautų algebrinių priedų sudarome naują matricą ir padalijame ją iš determinanto det A. Taigi gausime atvirkštinę matricą:
Kvadratinės tiesinių lygčių sistemos, kurių pagrindinis determinantas nėra nulis, gali būti sprendžiamos naudojant atvirkštinę matricą. Tam sistema (1.5) parašyta matricos forma:
kur 
Abi kairėje esančios lygybės (1,14) puses padauginus iš A- 1 , gauname sistemos sprendimą:
, kur
Taigi, norint rasti kvadratinės sistemos sprendimą, reikia rasti atvirkštinę sistemos pagrindinės matricos matricą ir padauginti ją dešinėje iš laisvųjų dėmenų stulpelio matricos.
1.10 uždavinys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą
naudojant atvirkštinę matricą.
Sprendimas. Sistemą rašome matricine forma: ,
kur 
yra pagrindinė sistemos matrica, yra nežinomųjų stulpelis ir yra laisvųjų terminų stulpelis. Kadangi pagrindinis sistemos determinantas 
, tada pagrindinė sistemos matrica BET turi atvirkštinę matricą BET-vienas. Norėdami rasti atvirkštinę matricą BET-1 , apskaičiuokite visų matricos elementų algebrinius papildinius BET:
Iš gautų skaičių sudarome matricą (be to, algebrinius papildymus į matricos eilutes BETįrašykite atitinkamus stulpelius) ir padalykite jį iš determinanto D. Taigi radome atvirkštinę matricą:
Sistemos sprendimas randamas pagal formulę (1.15):
Taigi,
Tiesinių lygčių sistemų sprendimas įprastomis Jordano išimtimis
Pateikiame savavališką (nebūtinai kvadratinę) tiesinių lygčių sistemą:
(1.16)
Reikalaujama rasti sistemos sprendimą, t.y. toks kintamųjų rinkinys, tenkinantis visas sistemos lygybes (1.16). Bendruoju atveju sistema (1.16) gali turėti ne tik vieną sprendinį, bet ir begalinį sprendinių skaičių. Jis taip pat gali neturėti sprendimų.
Sprendžiant tokias problemas, naudojamas gerai žinomas nežinomųjų pašalinimo iš mokyklinio kurso metodas, kuris dar vadinamas įprastų Jordanijos pašalinimų metodu. Šio metodo esmė slypi tame, kad vienoje iš sistemos (1.16) lygčių vienas iš kintamųjų išreiškiamas kitais kintamaisiais. Tada šis kintamasis pakeičiamas į kitas sistemos lygtis. Rezultatas yra sistema, kurioje yra viena lygtis ir vienas kintamasis mažiau nei pradinėje sistemoje. Prisimenama lygtis, iš kurios buvo išreikštas kintamasis.
Šis procesas kartojamas tol, kol sistemoje lieka paskutinė lygtis. Pavyzdžiui, pašalinant nežinomus dalykus kai kurios lygtys gali virsti tikromis tapatybėmis. Tokios lygtys neįtraukiamos į sistemą, nes jos galioja bet kokioms kintamųjų reikšmėms ir todėl neturi įtakos sistemos sprendimui. Jei pašalinant nežinomuosius bent viena lygtis tampa lygybe, kurios negalima patenkinti jokioms kintamųjų reikšmėms (pavyzdžiui, ), tada darome išvadą, kad sistema neturi sprendimo.
Jei sprendžiant nenuoseklių lygčių neatsirado, tada vienas iš likusių kintamųjų randamas iš paskutinės lygties. Jei paskutinėje lygtyje lieka tik vienas kintamasis, tada jis išreiškiamas skaičiumi. Jei kiti kintamieji lieka paskutinėje lygtyje, jie laikomi parametrais, o per juos išreikštas kintamasis bus šių parametrų funkcija. Tada atliekamas vadinamasis „atvirkštinis judėjimas“. Rastas kintamasis pakeičiamas į paskutinę įsimintą lygtį ir randamas antrasis kintamasis. Tada du rasti kintamieji pakeičiami į priešpaskutinę įsimintą lygtį ir randamas trečiasis kintamasis ir taip toliau iki pirmosios įsimintos lygties.
Dėl to gauname sistemos sprendimą. Šis sprendimas bus vienintelis, jei rasti kintamieji yra skaičiai. Jei pirmasis rastas kintamasis, o paskui visi kiti priklauso nuo parametrų, tai sistema turės begalinį sprendinių skaičių (kiekviena parametrų rinkinys atitinka naują sprendinį). Formulės, leidžiančios rasti sistemos sprendimą priklausomai nuo tam tikro parametrų rinkinio, vadinamos bendruoju sistemos sprendimu.
1.11 pavyzdys.
x
Įsiminęs pirmąją lygtį 
ir įvedę panašius terminus antroje ir trečioje lygtyse, gauname sistemą:
Express y iš antrosios lygties ir pakeiskite ją pirmąja lygtimi:
Prisiminkite antrąją lygtį ir randame iš pirmosios z:
Atlikdami atvirkštinį judėjimą, iš eilės randame y ir z. Norėdami tai padaryti, pirmiausia pakeičiame paskutinę įsimintą lygtį, iš kurios randame y:
.
Tada pakeičiame ir į pirmąją įsimintą lygtį iš kur randame x:
1.12 uždavinys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą pašalindami nežinomus dalykus:
. (1.17)
Sprendimas. Išreikškime kintamąjį iš pirmosios lygties x ir pakeiskite ją į antrąją ir trečiąją lygtis:
.
Prisiminkite pirmąją lygtį 
Šioje sistemoje pirmoji ir antroji lygtys prieštarauja viena kitai. Tikrai, išreiškiant y 
, gauname, kad 14 = 17. Ši lygybė netenkinama jokioms kintamųjų reikšmėms x, y, ir z. Vadinasi, sistema (1.17) yra nenuosekli, t.y. neturi sprendimo.
Skaitytojai kviečiami savarankiškai patikrinti, ar pagrindinis pradinės sistemos determinantas (1.17) yra lygus nuliui.
Apsvarstykite sistemą, kuri nuo sistemos (1.17) skiriasi tik vienu laisvu terminu.
1.13 uždavinys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą pašalindami nežinomus dalykus:
. (1.18)
Sprendimas. Kaip ir anksčiau, kintamąjį išreiškiame iš pirmosios lygties x ir pakeiskite ją į antrąją ir trečiąją lygtis:
.
Prisiminkite pirmąją lygtį o panašius terminus pateikiame antroje ir trečioje lygtyse. Prieiname prie sistemos:
išreiškiantis y iš pirmosios lygties ir pakeičiant ją antrąja lygtimi , gauname tapatybę 14 = 14, kuri neturi įtakos sistemos sprendimui, todėl gali būti pašalinta iš sistemos.
Paskutinėje įsimintoje lygybėje kintamasis z bus laikomas parametru. Mes tikime . Tada
Pakaitalas y ir zį pirmą įsimintą lygybę ir rasti x:
.
Taigi sistema (1.18) turi begalinį sprendinių rinkinį, o bet kurį sprendimą galima rasti iš (1.19) formulių, pasirinkus savavališką parametro reikšmę t:
(1.19)
Taigi, pavyzdžiui, sistemos sprendiniai yra šios kintamųjų rinkiniai (1; 2; 0), (2; 26; 14) ir tt Formulės (1.19) išreiškia bendrą (bet kurį) sistemos (1.18) sprendimą ).
Tuo atveju, kai pradinėje sistemoje (1.16) yra pakankamai daug lygčių ir nežinomųjų, nurodytas įprastų Jordano eliminavimo būdas atrodo sudėtingas. Tačiau taip nėra. Pakanka išvesti sistemos vieno žingsnio koeficientų perskaičiavimo bendra forma algoritmą ir užduoties sprendimą formalizuoti specialių Jordano lentelių pavidalu.
Pateikiame tiesinių formų (lygčių) sistemą:
, (1.20)
kur x j- nepriklausomi (geidžiami) kintamieji, aij- pastovūs koeficientai
(aš = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Dešiniosios sistemos dalys y i (aš = 1, 2,…, m) gali būti ir kintamieji (priklausomi), ir konstantos. Būtina rasti šios sistemos sprendimus pašalinant nežinomus dalykus.
Panagrinėkime šią operaciją, toliau vadinamą „vienu žingsniu iš įprastų Jordanijos išimčių“. Iš savavališko ( r th) lygybė, išreiškiame savavališką kintamąjį ( x s) ir pakeisti į visas kitas lygybes. Žinoma, tai įmanoma tik tuo atveju, jei a rs¹ 0. Koeficientas a rs vadinamas sprendžiamuoju (kartais vadovaujančiu arba pagrindiniu) elementu.
Gausime tokią sistemą:
. (1.21)
Iš s sistemos lygybę (1.21), vėliau rasime kintamąjį x s(radus kitus kintamuosius). SŠi eilutė įsimenama ir vėliau pašalinama iš sistemos. Likusioje sistemoje bus viena lygtis ir vienas mažiau nepriklausomas kintamasis nei pradinėje sistemoje.
Apskaičiuokime gautos sistemos (1.21) koeficientus pradinės sistemos (1.20) koeficientais. Pradėkime nuo r lygtis, kuri, išreiškus kintamąjį x s per kitus kintamuosius atrodys taip:
Taigi nauji koeficientai r lygtis apskaičiuojama pagal šias formules:
(1.23)
Dabar apskaičiuokime naujus koeficientus b ij(i¹ r) savavališkos lygties. Norėdami tai padaryti, pakeičiame kintamąjį, išreikštą (1.22) x s in i sistemos lygtis (1.20):
Suvedę panašias sąlygas, gauname:
(1.24)
Iš lygybės (1.24) gauname formules, pagal kurias apskaičiuojami likę sistemos (1.21) koeficientai (išskyrus r lygtis):
(1.25)
Tiesinių lygčių sistemų transformavimas įprastų Jordano eliminacijų metodu pateikiamas lentelių (matricų) pavidalu. Šios lentelės vadinamos "Jordan lentelėmis".
Taigi problema (1.20) susieta su šia Jordano lentele:
1.1 lentelė
| x 1 | x 2 | … | x j | … | x s | … | x n | |
| y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i= | a i 1 | a i 2 | aij | a yra | a in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | a r 1 | a r 2 | a rj | a rs | a rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | esu 1 | esu 2 | a mj | a ms | amn |
Jordano lentelėje 1.1 yra kairysis antraštės stulpelis, kuriame rašomos dešinės sistemos dalys (1.20), ir viršutinė antraštės eilutė, kurioje rašomi nepriklausomi kintamieji.
Likę lentelės elementai sudaro pagrindinę sistemos (1.20) koeficientų matricą. Jei padauginsime matricą BETį matricą, susidedančią iš viršutinės antraštės eilutės elementų, tada gauname matricą, susidedančią iš kairiojo antraštės stulpelio elementų. Tai yra, iš esmės Jordano lentelė yra tiesinių lygčių sistemos rašymo matricinė forma: . Šiuo atveju ši Jordano lentelė atitinka sistemą (1.21):
1.2 lentelė
| x 1 | x 2 | … | x j | … | y r | … | x n | |
| y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b yra | b in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | br 1 | br 2 | b rj | brs | b rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | b m 1 | b m 2 | bmj | b ms | bmn |
Leidžiamasis elementas a rs paryškinsime paryškintu šriftu. Prisiminkite, kad norint įgyvendinti vieną Jordanijos išimčių žingsnį, sprendžiamasis elementas turi būti nulis. Lentelės eilutė, kurioje yra leistinas elementas, vadinama leistina eilute. Stulpelis, kuriame yra įgalinimo elementas, vadinamas įgalinimo stulpeliu. Pereinant iš nurodytos lentelės į kitą lentelę, vienas kintamasis ( x s) iš lentelės viršutinės antraštės eilutės perkeliamas į kairįjį antraštės stulpelį ir, atvirkščiai, vienas iš laisvųjų sistemos narių ( y r) perkeliamas iš kairiojo lentelės antraštės stulpelio į viršutinę antraštės eilutę.
Apibūdinkime koeficientų perskaičiavimo algoritmą pereinant iš Jordano lentelės (1.1) į lentelę (1.2), kuris išplaukia iš (1.23) ir (1.25) formulių.
1. Įgalinantis elementas pakeičiamas atvirkštiniu skaičiumi:
2. Likę leistinosios linijos elementai dalijami iš leistinojo elemento ir pakeičiamas ženklas į priešingą: 
3. Likę įgalinimo stulpelio elementai suskirstomi į įgalinimo elementą: 
4. Elementai, neįtraukti į sprendžiamąją eilutę ir stulpelį, perskaičiuojami pagal formules: 
Paskutinę formulę lengva prisiminti, jei pastebėsite, kad elementai, sudarantys trupmeną 
, yra sankryžoje i-o ir r-osios eilutės ir j ir s-tieji stulpeliai (sprendžiamoji eilutė, sprendžiamoji stulpelis ir eilutė bei stulpelis, kurių sankirtoje yra perskaičiuojamas elementas). Tiksliau, įsimenant formulę 
galite naudoti šią diagramą:
Atliekant pirmąjį Jordanijos išimčių veiksmą, bet kuris 1.3 lentelės elementas yra stulpeliuose x 1 ,…, x 5 (visi nurodyti elementai nėra lygūs nuliui). Turėtumėte ne tik pasirinkti įgalinimo elementą paskutiniame stulpelyje, nes reikia rasti nepriklausomus kintamuosius x 1 ,…, x 5 . Mes pasirenkame, pavyzdžiui, koeficientą 1 su kintamuoju x 3 1.3 lentelės trečioje eilutėje (įgalinimo elementas rodomas paryškintu šriftu). Pereinant prie 1.4 lentelės, kintamasis x 3 iš viršutinės antraštės eilutės pakeičiamas kairiojo antraštės stulpelio (trečios eilutės) konstanta 0. Tuo pačiu metu kintamasis x 3 išreiškiamas likusiais kintamaisiais.
styga x 3 (1.4 lentelė), prieš tai prisiminus, gali būti išbrauktas iš 1.4 lentelės. 1.4 lentelėje taip pat neįtrauktas trečiasis stulpelis, kurio viršutinėje antraštės eilutėje yra nulis. Esmė ta, kad nepriklausomai nuo šio stulpelio koeficientų b i 3 visi jį atitinkantys kiekvienos lygties 0 terminai b i 3 sistemos bus lygios nuliui. Todėl šių koeficientų apskaičiuoti negalima. Vieno kintamojo pašalinimas x 3 ir prisiminę vieną iš lygčių, gauname sistemą, atitinkančią 1.4 lentelę (su perbraukta linija x 3). Lentelėje 1.4 pasirenkamas kaip sprendžiamasis elementas b 14 = -5, pereikite prie 1.5 lentelės. 1.5 lentelėje prisimename pirmąją eilutę ir neįtraukiame į lentelę kartu su ketvirtuoju stulpeliu (su nuliu viršuje).
1.5 lentelė 1.6 lentelė
Iš paskutinės 1.7 lentelės randame: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Paeiliui pakeisdami jau rastus kintamuosius į įsimintas eilutes, randame likusius kintamuosius:
Taigi sistema turi begalinį sprendimų skaičių. kintamasis x 5, galite priskirti savavališkas reikšmes. Šis kintamasis veikia kaip parametras x 5 = t. Įrodėme sistemos suderinamumą ir radome bendrą jos sprendimą:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Pateikiamas parametras t skirtingos reikšmės, gauname begalinį pradinės sistemos sprendimų skaičių. Taigi, pavyzdžiui, sistemos sprendimas yra toks kintamųjų rinkinys (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Esant lygčių skaičiui toks pat kaip ir nežinomųjų su pagrindiniu matricos determinantu, kuris nėra lygus nuliui, sistemos koeficientai (tokių lygčių sprendinys yra ir jis tik vienas).
Cramerio teorema.
Kai kvadratinės sistemos matricos determinantas yra ne nulis, tada sistema yra suderinama ir turi vieną sprendinį ir jį galima rasti pagal Cramerio formulės:
kur Δ - sistemos matricos determinantas,
Δ i- sistemos matricos determinantas, kuriame vietoj i stulpelis yra dešiniųjų dalių stulpelis.
Kai sistemos determinantas yra nulis, tada sistema gali tapti nuosekli arba nenuosekli.
Šis metodas dažniausiai naudojamas mažoms sistemoms su tūrio skaičiavimais ir kai reikia nustatyti 1 iš nežinomųjų. Metodo sudėtingumas yra tas, kad reikia apskaičiuoti daug determinantų.
Cramerio metodo aprašymas.
Yra lygčių sistema:
3 lygčių sistemą galima išspręsti Cramerio metodu, kuris buvo aptartas aukščiau 2 lygčių sistemai.
Determinantą sudarome iš nežinomųjų koeficientų:
Tai bus sistemos kvalifikatorius. Kada D≠0, todėl sistema yra nuosekli. Dabar sudarysime 3 papildomus determinantus:
,
,
Mes išsprendžiame sistemą pagal Cramerio formulės:
Lygčių sistemų sprendimo Cramerio metodu pavyzdžiai.
1 pavyzdys.
Pateikta sistema:
Išspręskime tai Cramerio metodu.
Pirmiausia turite apskaičiuoti sistemos matricos determinantą:
Nes Δ≠0, taigi pagal Cramerio teoremą sistema yra suderinama ir turi vieną sprendimą. Apskaičiuojame papildomus determinantus. Determinantas Δ 1 gaunamas iš determinanto Δ, pakeičiant jo pirmąjį stulpelį laisvųjų koeficientų stulpeliu. Mes gauname:
Tokiu pat būdu gauname determinantą Δ 2 iš sistemos matricos determinanto, antrąjį stulpelį pakeičiant laisvųjų koeficientų stulpeliu:
Metodai Krameris ir Gauso vienas populiariausių sprendimų SLAU. Be to, kai kuriais atvejais patartina naudoti specifinius metodus. Sesija baigta, o dabar pats laikas juos pakartoti arba įvaldyti nuo nulio. Šiandien mes sprendžiame Cramerio metodą. Juk tiesinių lygčių sistemos sprendimas Kramerio metodu yra labai naudingas įgūdis.
Tiesinių algebrinių lygčių sistemos
Tiesinių algebrinių lygčių sistema yra lygčių sistema, kurios forma:
Vertė nustatyta x , kurioje sistemos lygtys virsta tapatybėmis, vadinamas sistemos sprendiniu, a ir b yra realūs koeficientai. Paprasta sistema, susidedanti iš dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais, gali būti išspręsta mintyse arba išreiškiant vieną kintamąjį kitą. Tačiau SLAE gali būti daug daugiau nei du kintamieji (x), todėl čia būtinos paprastos mokyklos manipuliacijos. Ką daryti? Pavyzdžiui, išspręskite SLAE Cramerio metodu!
Taigi tegul sistema būna n lygtys su n nežinomas.
Tokią sistemą galima perrašyti matricos pavidalu
čia A yra pagrindinė sistemos matrica, X ir B , atitinkamai, nežinomų kintamųjų ir laisvųjų narių stulpelių matricos.
SLAE sprendimas Cramerio metodu
Jei pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui (matrica yra neišsigimusi), sistemą galima išspręsti Cramerio metodu.
Pagal Cramerio metodą sprendimas randamas pagal formules:
čia delta yra pagrindinės matricos determinantas, ir delta x n-oji – determinantas, gautas iš pagrindinės matricos determinanto, n-tą stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu.
Tai yra visa Cramerio metodo esmė. Rastų reikšmių pakeitimas aukščiau pateiktomis formulėmis x į norimą sistemą, esame įsitikinę savo sprendimo teisingumu (arba atvirkščiai). Kad padėtume jums greitai suvokti esmę, toliau pateikiame išsamaus SLAE sprendimo Cramer metodu pavyzdį:
Net jei nepavyks iš pirmo karto, nenusiminkite! Šiek tiek pasipraktikuodami pradėsite lėtėti kaip riešutai. Be to, dabar visiškai nereikia naršyti per sąsiuvinį, sprendžiant sudėtingus skaičiavimus ir rašant ant strypo. SLAE nesunku išspręsti naudojant Cramer metodą internete, tiesiog pakeičiant koeficientus į gatavą formą. Pavyzdžiui, šioje svetainėje galite išbandyti internetinį skaičiuotuvą, skirtą Cramer metodui išspręsti.
Ir jei sistema pasirodė užsispyrusi ir nepasiduoda, visada galite kreiptis pagalbos į mūsų autorius, pavyzdžiui, į. Jei sistemoje yra bent 100 nežinomųjų, tikrai teisingai ir laiku išspręsime!
Norėdami įvaldyti šią pastraipą, turite mokėti atidaryti kvalifikacinius elementus „du po du“ ir „trys iš trijų“. Jei kvalifikaciniai rodikliai yra blogi, perskaitykite pamoką Kaip apskaičiuoti determinantą?
Pirmiausia išsamiai išnagrinėjame Cramerio taisyklę dviejų tiesinių lygčių sistemai dviejuose nežinomuose. Kam? „Juk paprasčiausia sistema gali būti išspręsta mokykliniu metodu, kurso papildymu!
Faktas yra tas, kad net jei kartais, bet yra tokia užduotis - išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą naudojant Cramerio formules. Antra, paprastesnis pavyzdys padės suprasti, kaip naudoti Cramerio taisyklę sudėtingesniam atvejui – trijų lygčių sistemai su trimis nežinomaisiais.
Be to, yra tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais, kurias patartina išspręsti tiksliai pagal Cramerio taisyklę!
Apsvarstykite lygčių sistemą
Pirmajame žingsnyje apskaičiuojame determinantą , jis vadinamas pagrindinis sistemos determinantas.
Gauso metodas.
Jei , tada sistema turi unikalų sprendimą ir norėdami rasti šaknis, turime apskaičiuoti dar du determinantus:
ir
Praktiškai aukščiau išvardyti kvalifikatoriai taip pat gali būti žymimi lotyniška raide.
Lygties šaknys randamos pagal formules:
,
7 pavyzdys
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą 
Sprendimas: Matome, kad lygties koeficientai gana dideli, dešinėje pusėje yra dešimtainės trupmenos su kableliu. Praktinėse matematikos užduotyse kablelis gana retas svečias, šią sistemą ėmiau iš ekonometrinės problemos.
Kaip išspręsti tokią sistemą? Galite pabandyti išreikšti vieną kintamąjį kitu, tačiau tokiu atveju tikrai gausite siaubingų įmantrių trupmenų, su kuriomis dirbti itin nepatogu, o sprendimo dizainas atrodys tiesiog siaubingai. Antrąją lygtį galite padauginti iš 6 ir atimti iš termino, tačiau čia bus rodomos tos pačios trupmenos.
Ką daryti? Tokiais atvejais į pagalbą ateina Cramerio formulės.
;
;
Atsakymas: ,
Abi šaknys turi begalinę uodegą ir yra apytiksliai, o tai yra gana priimtina (ir netgi įprasta) ekonometrijos problemoms spręsti.
Komentarų čia nereikia, nes užduotis išspręsta pagal paruoštas formules, tačiau yra vienas įspėjimas. Naudojant šį metodą, privalomas Užduoties fragmentas yra toks: "Taigi sistema turi unikalų sprendimą". Priešingu atveju recenzentas gali jus nubausti už Cramerio teoremos nepagarbą.
Nebus nereikalinga patikrinti, ką patogu atlikti skaičiuotuvu: apytiksles reikšmes pakeičiame kiekvienos sistemos lygties kairėje pusėje. Dėl to su nedidele klaida turėtų būti gauti skaičiai, esantys dešinėje pusėje.
8 pavyzdys
Išreikškite savo atsakymą paprastomis netinkamosiomis trupmenomis. Padaryti čekį.
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys (dailaus dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje).
Mes kreipiamės į Cramerio taisyklės svarstymą trijų lygčių sistemai su trimis nežinomaisiais: 
Mes randame pagrindinį sistemos determinantą: 
Jei , tai sistema turi be galo daug sprendinių arba yra nenuosekli (sprendinių neturi). Šiuo atveju Cramerio taisyklė nepadės, reikia naudoti Gauso metodą.
Jei , tada sistema turi unikalų sprendimą ir norėdami rasti šaknis, turime apskaičiuoti dar tris determinantus: 
, 
, 
Ir galiausiai atsakymas apskaičiuojamas pagal formules: 
Kaip matote, atvejis „trys iš trijų“ iš esmės nesiskiria nuo atvejo „du po du“, laisvųjų terminų stulpelis nuosekliai „eina“ iš kairės į dešinę išilgai pagrindinio determinanto stulpelių.
9 pavyzdys
Išspręskite sistemą naudodami Cramerio formules. 
Sprendimas: Išspręskime sistemą naudodami Cramerio formules. 
, todėl sistema turi unikalų sprendimą.
Atsakymas: 
.
Tiesą sakant, čia ir vėl nėra ką ypatingo komentuoti, atsižvelgiant į tai, kad sprendimas priimamas pagal paruoštas formules. Bet yra pora pastabų.
Pasitaiko, kad atlikus skaičiavimus gaunamos „blogosios“ neredukuojamos trupmenos, pavyzdžiui: .
Rekomenduoju tokį „gydymo“ algoritmą. Jei po ranka nėra kompiuterio, darome taip:
1) Skaičiavimuose gali būti klaida. Kai tik pamatysite „blogą“ šūvį, turite nedelsdami patikrinti, ar ar sąlyga perrašyta teisingai. Jei sąlyga perrašoma be klaidų, tada determinantus reikia perskaičiuoti naudojant išplėtimą kitoje eilutėje (stulpelyje).
2) Jei atlikus patikrinimą klaidų nerasta, greičiausiai užduoties sąlygoje buvo padaryta rašybos klaida. Tokiu atveju ramiai ir ATSARGIAI išspręskite užduotį iki galo, o tada būtinai patikrink ir po sprendimo surašyti jį švaria kopija. Žinoma, patikrinti trupmeninį atsakymą yra nemaloni užduotis, tačiau tai bus nuginkluojantis argumentas mokytojui, kuris, na, labai mėgsta dėti minusą už bet kokį blogą dalyką. Kaip elgtis su trupmenomis, išsamiai aprašyta 8 pavyzdžio atsakyme.
Jei po ranka turite kompiuterį, tuomet patikrinkite jį automatine programa, kurią galite nemokamai atsisiųsti pačioje pamokos pradžioje. Beje, palankiausia programa naudotis iš karto (net prieš pradedant sprendimą), iškart pamatysite tarpinį žingsnį, kuriame suklydote! Tas pats skaičiuotuvas automatiškai apskaičiuoja sistemos sprendimą matricos metodu.
Antra pastaba. Retkarčiais atsiranda sistemų, kurių lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: 
Čia pirmoje lygtyje kintamojo nėra, antrojoje – nėra. Tokiais atvejais labai svarbu teisingai ir ATSARGIAI užrašyti pagrindinį determinantą: 
– vietoj trūkstamų kintamųjų dedami nuliai.
Beje, determinantus racionalu atidaryti su nuliais eilutėje (stulpelyje), kurioje yra nulis, nes skaičiavimų yra pastebimai mažiau.
10 pavyzdys
Išspręskite sistemą naudodami Cramerio formules. 
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys (pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje).
4 lygčių su 4 nežinomaisiais sistemai Cramerio formulės rašomos pagal panašius principus. Galite pamatyti gyvą pavyzdį Determinant Properties pamokoje. Sumažinus determinanto eilę – penki 4 eilės determinantai yra gana išsprendžiami. Nors užduotis jau labai primena profesoriaus batą ant laimingo studento krūtinės.
Sistemos sprendimas naudojant atvirkštinę matricą
Atvirkštinės matricos metodas iš esmės yra ypatingas atvejis matricos lygtis(Žr. nurodytos pamokos pavyzdį Nr. 3).
Norėdami ištirti šį skyrių, turite mokėti išplėsti determinantus, rasti atvirkštinę matricą ir atlikti matricos dauginimą. Atitinkamos nuorodos bus pateiktos aiškinimo eigoje.
11 pavyzdys
Išspręskite sistemą matricos metodu 
Sprendimas: Mes rašome sistemą matricos forma:
, kur 
Pažvelkite į lygčių sistemą ir matricas. Kokiu principu rašome elementus į matricas, manau, visi supranta. Vienintelis komentaras: jei lygtyse trūktų kai kurių kintamųjų, tada atitinkamose matricos vietose reikėtų dėti nulius.
Atvirkštinę matricą randame pagal formulę:
, kur yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica .
Pirmiausia panagrinėkime determinantą:
Čia determinantas išplečiamas pirmąja eilute.
Dėmesio! Jei , tai atvirkštinė matrica neegzistuoja, o sistemos išspręsti matricos metodu neįmanoma. Šiuo atveju sistema sprendžiama pašalinant nežinomuosius (Gauso metodas).
Dabar reikia suskaičiuoti 9 nepilnamečius ir įrašyti juos į nepilnamečių matricą 
Nuoroda: Pravartu žinoti dvigubų indeksų reikšmę tiesinėje algebroje. Pirmasis skaitmuo yra eilutės, kurioje yra elementas, numeris. Antrasis skaitmuo yra stulpelio, kuriame yra elementas, numeris: 
Tai reiškia, kad dvigubas indeksas rodo, kad elementas yra pirmoje eilutėje, trečiame stulpelyje, o, pavyzdžiui, elementas yra 3 eilutėje, 2 stulpelyje.
Sprendžiant geriau detaliai aprašyti nepilnamečių skaičiavimą, nors, turint tam tikrą patirtį, juos galima koreguoti skaičiuoti su klaidomis žodžiu.