Pradedame svarstyti tikrąjį dvigubo integralo skaičiavimo procesą ir susipažįstame su jo geometrine reikšme.

Dvigubas integralas yra skaitiniu požiūriu lygus plokščios figūros plotui (integracijos regionui). Tai paprasčiausia dvigubo integralo forma, kai dviejų kintamųjų funkcija lygi vienetui: .

Pirmiausia panagrinėkime problemą bendrais bruožais. Dabar nustebsite, kaip tai paprasta! Apskaičiuokime plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą. Siekiant apibrėžtumo, darome prielaidą, kad intervale . Šios figūros plotas yra lygus:

Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Pasirinkime pirmąjį būdą apeiti sritį:

Taigi:

Ir iš karto svarbus techninis triukas: iteruoti integralai gali būti nagrinėjami atskirai. Pirmiausia vidinis integralas, tada išorinis integralas. Šis metodas labai rekomenduojamas pradedantiesiems arbatinukų temoje.

1) Apskaičiuokite vidinį integralą, o integravimas atliekamas per kintamąjį "y":

Neapibrėžtas integralas čia yra paprasčiausias, tada naudojama banali Niutono-Leibnizo formulė su vieninteliu skirtumu integracijos ribos yra ne skaičiai, o funkcijos. Pirmiausia viršutinę ribą pakeitėme į „y“ (antiderivatinė funkcija), tada apatine

2) Pirmoje pastraipoje gautas rezultatas turi būti pakeistas išoriniu integralu:

Kompaktiškesnis viso sprendimo žymėjimas atrodo taip:

Gauta formulė - būtent tai yra darbinė formulė plokščios figūros plotui apskaičiuoti naudojant „įprastą“ apibrėžtąjį integralą! Žiūrėti pamoką Ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą, ji yra kiekviename žingsnyje!

T.y, ploto apskaičiavimo naudojant dvigubą integralą problema šiek tiek kitoks nuo srities suradimo naudojant apibrėžtąjį integralą problemos! Tiesą sakant, jie yra vienas ir tas pats!

Atitinkamai, jokių sunkumų neturėtų kilti! Aš nenagrinėsiu labai daug pavyzdžių, nes iš tikrųjų jūs ne kartą susidūrėte su šia problema.

9 pavyzdys

Sprendimas: Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Pasirinkime tokią regiono apėjimo tvarką:

Čia ir toliau nekalbėsiu apie tai, kaip pereiti sritį, nes pirmoji pastraipa buvo labai išsami.

Taigi:

Kaip jau pastebėjau, pradedantiesiems geriau skaičiuoti iteruotus integralus atskirai, aš laikysiuosi to paties metodo:

1) Pirma, naudodamiesi Niutono-Leibnizo formule, sprendžiame vidinį integralą:

2) Pirmajame žingsnyje gautas rezultatas pakeičiamas išoriniu integralu:

2 taškas iš tikrųjų yra plokščios figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą.

Atsakymas:

Čia tokia kvaila ir naivi užduotis.

Įdomus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

10 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos, apribotos tiesėmis , , plotą.

Galutinio sprendimo pavyzdys pamokos pabaigoje.

9-10 pavyzdžiuose daug pelningiau apeiti teritoriją naudoti pirmąjį būdą, smalsūs skaitytojai, beje, gali pakeisti apvažiavimo tvarką ir skaičiuoti plotus antruoju būdu. Jei nepadarote klaidos, tada, žinoma, gaunamos tos pačios ploto vertės.

Tačiau kai kuriais atvejais veiksmingesnis yra antrasis būdas apeiti teritoriją, o baigdami jauno vėpla kursą pažvelkime į dar keletą pavyzdžių šia tema:

11 pavyzdys

Naudodamiesi dvigubu integralu, apskaičiuokite plokštumos, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas: mes laukiame dviejų parabolių su vėjeliu, kurios guli ant šono. Nereikia šypsotis, dažnai susiduriama su panašiais dalykais keliuose integraluose.

Koks yra lengviausias būdas padaryti piešinį?

Pavaizduokime parabolę kaip dvi funkcijas:
- viršutinė šaka ir - apatinė šaka.

Panašiai įsivaizduokite parabolę kaip viršutinę ir apatinę šakos.

Toliau, taškas po taško braižykite diskus, todėl gaunama tokia keista figūra:

Figūros plotas apskaičiuojamas naudojant dvigubą integralą pagal formulę:

Kas nutiks, jei pasirinksime pirmąjį būdą aplenkti teritoriją? Pirma, ši sritis turės būti padalinta į dvi dalis. Ir, antra, mes stebėsime šį liūdną vaizdą: . Integralai, žinoma, nėra itin sudėtingo lygio, bet... yra senas matematinis posakis: kas draugauja su šaknimis, tam nereikia užskaitos.

Todėl iš sąlygoje pateikto nesusipratimo išreiškiame atvirkštines funkcijas:

Šiame pavyzdyje pateiktų atvirkštinių funkcijų pranašumas yra tas, kad jos iš karto nustato visą parabolę be jokių lapų, gilių, šakų ir šaknų.

Pagal antrąjį metodą ploto perėjimas bus toks:

Taigi:

Kaip sakoma, pajusk skirtumą.

1) Mes susiduriame su vidiniu integralu:

Mes pakeičiame rezultatą į išorinį integralą:

Integravimas per kintamąjį „y“ neturėtų būti gėdingas, jei būtų raidė „zyu“ – būtų puiku integruoti per ją. Nors kas skaitė antrąją pamokos pastraipą Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį, jis nebepatiria nė menkiausio gėdos dėl integracijos dėl „y“.

Taip pat atkreipkite dėmesį į pirmąjį žingsnį: integrandas yra lygus, o integravimo segmentas yra simetriškas apie nulį. Todėl segmentą galima sumažinti perpus, o rezultatą padvigubinti. Ši technika išsamiai komentuojama pamokoje. Veiksmingi apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodai.

Ką pridėti…. Viskas!

Atsakymas:

Norėdami patikrinti savo integravimo techniką, galite pabandyti apskaičiuoti . Atsakymas turėtų būti visiškai toks pat.

12 pavyzdys

Naudodamiesi dvigubu integralu, apskaičiuokite plokštumos, apribotos linijomis, plotą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Įdomu pastebėti, kad jei bandysite naudoti pirmąjį būdą apeiti zoną, tada figūra bus padalinta ne į dvi, o į tris dalis! Ir atitinkamai gauname tris poras kartotinių integralų. Kartais taip nutinka.

Meistriškumo klasė baigėsi ir laikas pereiti į didmeistrio lygį - Kaip apskaičiuoti dvigubą integralą? Sprendimo pavyzdžiai. Antrame straipsnyje pasistengsiu nebūti tokia maniakiška =)

Linkiu tau sekmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:Sprendimas: Nubrėžkite sritį ant piešinio:

Pasirinkime tokią regiono apėjimo tvarką:

Taigi:
Pereikime prie atvirkštinių funkcijų:

Taigi:
Atsakymas:

4 pavyzdys:Sprendimas: Pereikime prie tiesioginių funkcijų:

Atlikime piešinį:

Pakeiskime teritorijos važiavimo tvarką:

Atsakymas:

Sprendimas.

Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas – brėžinio konstravimas.

Padarykime piešinį:

Lygtis y=0 nustato x ašį;

- x=-2 ir x=1 - tiesus, lygiagretus ašiai OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, kurios viršūnė yra taške (0;2).

komentuoti. Parabolei sukonstruoti pakanka rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus, t.y. dėjimas x=0 rasti sankirtą su ašimi OU ir išspręsdami atitinkamą kvadratinę lygtį, raskite sankirtą su ašimi Oi .

Parabolės viršūnę galima rasti naudojant formules:

Galite piešti linijas ir tašką po taško.

Intervale [-2;1] funkcijos grafikas y=x 2 +2 esantis virš ašies Jautis , Štai kodėl:

Atsakymas: S \u003d 9 kvadratiniai vienetai

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame brėžinyje esančių langelių skaičių – na, bus atspausdinta apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių aiškiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas pasirodė neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimi Oi?

b) Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=-e x , x=1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas.

Padarykime piešinį.

Jei kreivinė trapecija visiškai po ašimi Oi , tada jo plotą galima rasti pagal formulę:

Atsakymas: S=(e-1) kv.vnt.“ 1,72 kv.vnt

Dėmesio! Nepainiokite dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusės plokštumose.

su) Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Sprendimas.

Pirmiausia reikia padaryti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskite parabolės susikirtimo taškus ir tiesioginis Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis.

Išsprendžiame lygtį:

Taigi apatinė integracijos riba a=0 , viršutinė integracijos riba b = 3 .

Nutiesiame duotas tieses: 1. Parabolė - viršūnė taške (1;1); ašies susikirtimo Oi - taškais (0;0) ir (0;2). 2. Tiesi linija - 2-ojo ir 4-ojo koordinačių kampų pusiausvyra. O dabar Dėmesio! Jei per intervalą [ a;b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kokiai nors ištisinei funkcijai g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti pagal formulę: .

Ir nesvarbu, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAUSIA (kitos diagramos atžvilgiu), o kuri yra PO. Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Galima tieses statyti taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios).

Norimą figūrą riboja parabolė iš viršaus ir tiesia linija iš apačios.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: S \u003d 4,5 kv.v

Šiame straipsnyje sužinosite, kaip naudojant integralinius skaičiavimus rasti linijomis apribotos figūros plotą. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai tik baigtas tam tikrų integralų tyrimas ir atėjo laikas pradėti praktikoje įgytų žinių geometrinę interpretaciją.

Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto suradimo naudojant integralus problemą:

Gebėjimas taisyklingai braižyti brėžinius;
Gebėjimas išspręsti apibrėžtąjį integralą naudojant gerai žinomą Niutono-Leibnizo formulę;
Galimybė „pamatyti“ pelningesnį sprendimą – t.y. suprasti, kaip tokiu ar kitu atveju bus patogiau vykdyti integraciją? Išilgai x ašies (OX) ar y ašies (OY)?
Na, kur be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti to kito tipo integralus, ir teisingus skaitinius skaičiavimus.

Figūros, apribotos linijomis, ploto skaičiavimo problemos sprendimo algoritmas:

1. Mes statome piešinį. Patartina tai padaryti ant popieriaus lapo narve, dideliu mastu. Virš kiekvieno grafiko pieštuku pasirašome šios funkcijos pavadinimą. Grafikų parašai daromi tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavus norimos figūros grafiką, daugeliu atvejų iš karto bus aišku, kokios integravimo ribos bus naudojamos. Taigi problemą išsprendžiame grafiškai. Tačiau atsitinka taip, kad ribų reikšmės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, pereikite prie antrojo veiksmo.

2. Jei integravimo ribos nėra aiškiai nustatytos, randame grafikų susikirtimo taškus tarpusavyje ir pažiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas atitinka analitinį.

3. Toliau reikia išanalizuoti piešinį. Priklausomai nuo to, kaip yra išdėstyti funkcijų grafikai, yra įvairių būdų, kaip rasti figūros plotą. Apsvarstykite įvairius pavyzdžius, kaip rasti figūros plotą naudojant integralus.

3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti kreivinės trapecijos plotą. Kas yra kreivinė trapecija? Tai plokščia figūra, kurią riboja x ašis (y = 0), tiesus x = a, x = b ir bet kuri kreivė, ištisinė intervale nuo a prieš b. Tuo pačiu metu šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau x ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus apibrėžtajam integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnizo formulę:

1 pavyzdys y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kokios linijos apibrėžia figūrą? Mes turime parabolę y = x2 - 3x + 3, kuris yra virš ašies OI, tai neneigiama, nes visi šios parabolės taškai yra teigiami. Toliau pateiktos tiesios linijos x = 1 ir x = 3 kurie eina lygiagrečiai ašiai OU, yra figūrą ribojančios linijos kairėje ir dešinėje. Na y = 0, ji yra x ašis, kuri riboja figūrą iš apačios. Gauta figūra yra užtamsinta, kaip matyti paveikslėlyje kairėje. Tokiu atveju galite nedelsiant pradėti spręsti problemą. Prieš mus yra paprastas kreivinės trapecijos pavyzdys, kurį išsprendžiame naudodami Niutono-Leibnizo formulę.

3.2. Ankstesniame 3.1 punkte buvo analizuojamas atvejis, kai kreivinė trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tokios pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnizo formulės pridedamas minusas. Kaip išspręsti tokią problemą, mes svarstysime toliau.

2 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Šiame pavyzdyje turime parabolę y=x2+6x+2, kuris kilęs iš po ašies OI, tiesus x=-4, x=-1, y=0. čia y = 0 riboja norimą figūrą iš viršaus. Tiesioginis x = -4 ir x = -1 tai yra ribos, per kurias bus skaičiuojamas apibrėžtasis integralas. Figūros ploto radimo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su pavyzdžiu numeriu 1. Skirtumas tik tas, kad duota funkcija nėra teigiama, o intervale viskas taip pat yra tęstinis. [-4; -1] . Ką reiškia ne teigiamas? Kaip matyti iš paveikslo, figūra, esanti duotame x ribose, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti spręsdami problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnizo formulę, tik su minuso ženklu pradžioje.

Straipsnis nebaigtas.

Dabar kreipiamės į integralinio skaičiavimo taikymą. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. plokščios figūros ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą. Galiausiai, visi, kas ieško prasmės aukštojoje matematikoje – tegul jie ją randa. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai įvertinti vasarnamį su pagrindinėmis funkcijomis ir rasti jo plotą naudodami tam tikrą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžiamasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio konstravimą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai taip pat bus neatidėliotina problema. Bent jau reikia mokėti nubrėžti tiesę, parabolę ir hiperbolę.

Pradėkime nuo kreivinės trapecijos. Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, apribota kokios nors funkcijos grafiku y = f(x), ašis JAUTIS ir linijos x = a; x = b.

Kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme lygus tam tikram integralui

Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžiamasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai sakėme, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS. T.y, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą

Integrand

apibrėžia kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

, , , .

Tai yra tipiškas užduoties teiginys. Svarbiausias sprendimo momentas – brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.

Kuriant projektą rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau konstruoti visas eilutes (jei yra) ir tik po to- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Konstravimo taškas po taško techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti medžiagos, kuri yra labai naudinga mūsų pamokai - kaip greitai sukurti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.

Padarykime piešinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis y= 0 nurodo ašį JAUTIS):

Kreivinės trapecijos neperėsime, akivaizdu, apie kokią sritį čia kalbama. Sprendimas tęsiasi taip:

Ant intervalo [-2; 1] funkcijų grafikas y = x 2 + 2 yra virš ašiesJAUTIS, Štai kodėl:

Atsakymas: .

Kam sunku apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ir pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę

kreiptis į paskaitą Apibrėžiamasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai. Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus įvestos apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai, akivaizdu, kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas pasirodė neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą xy = 4, x = 2, x= 4 ir ašis JAUTIS.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimiJAUTIS?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = e-x, x= 1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jei kreivinė trapecija visiškai po ašimi JAUTIS , tada jo plotą galima rasti pagal formulę:

Tokiu atveju:

Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x – x 2 , y = -x.

Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Konstruojant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskite parabolės susikirtimo taškus y = 2x – x 2 ir tiesiai y = -x. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Taigi apatinė integracijos riba a= 0, viršutinė integravimo riba b= 3. Dažnai pelningiau ir greičiau statyti tieses taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Grįžtame prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Pakartojame, kad taškinėje konstrukcijoje integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė:

Jei per intervalą [ a; b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus tam tikra nuolatinė funkcija g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti pagal formulę:

Čia jau nebereikia galvoti, kur yra figūra – virš ašies ar žemiau ašies, o svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAU(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl nuo 2 x – x 2 reikia atimti - x.

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė y = 2x – x 2 viršuje ir tiesiai y = -x iš apačios.

2 segmente x – x 2 ≥ -x. Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: .

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. 3 pavyzdį) yra specialus formulės atvejis.

Nuo ašies JAUTIS pateikiama lygtimi y= 0, ir funkcijos grafikas g(x) yra žemiau ašies JAUTIS, tada

O dabar pora pavyzdžių savarankiškam sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendžiant ploto skaičiavimo problemas naudojant tam tikrą integralą, kartais nutinka juokingas incidentas. Brėžinys padarytas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, tačiau dėl neatidumo ... rado netinkamos figūros plotą.

7 pavyzdys

Pirmiausia pieškime:

Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva.(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktiškai dėl neatidumo jie dažnai nusprendžia, kad reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad jame figūros plotas apskaičiuojamas naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje [-1; 1] virš ašies JAUTIS grafikas tiesus y = x+1;

2) Atkarpoje virš ašies JAUTIS yra hiperbolės grafikas y = (2/x).

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Pateikime lygtis „mokyklos“ forma

ir nubrėžkite liniją:

Iš brėžinio matyti, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: b = 1.

Bet kokia yra apatinė riba? Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas?

Gal būt, a=(-1/3)? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti a=(-1/4). O kas, jei grafiką gautume ne taip?

Tokiais atvejais tenka skirti daugiau laiko ir analitiškai išgryninti integracijos ribas.

Raskite grafikų susikirtimo taškus

Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, a=(-1/3).

Tolesnis sprendimas yra trivialus. Svarbiausia nepainioti keitimų ir ženklų. Čia atlikti skaičiavimai nėra patys lengviausi. Ant segmento

, ,

pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Pamokos pabaigoje apsvarstysime dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: pieškite šią figūrą brėžinyje.

Norėdami piešti tašką po taško, turite žinoti sinusoidės išvaizdą. Apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikus, taip pat kai kurias sinuso reikšmes. Juos galima rasti verčių lentelėje trigonometrinės funkcijos. Tam tikrais atvejais (pavyzdžiui, šiuo atveju) leidžiama sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame iš esmės teisingai turi būti atvaizduoti grafikai ir integravimo ribos.

Čia nėra problemų dėl integravimo apribojimų, jie tiesiogiai išplaukia iš sąlygos:

- "x" keičiasi iš nulio į "pi". Priimame tolesnį sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas y= nuodėmė 3 x esantis virš ašies JAUTIS, Štai kodėl:

(1) Pamokoje galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelygines galias Trigonometrinių funkcijų integralai. Nugriebiame vieną sinusą.

(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę

(3) Pakeiskime kintamąjį t= cos x, tada: yra virš ašies , taigi:

Pastaba: atkreipkite dėmesį, kaip imamas liestinės integralas kube, čia naudojama pagrindinės trigonometrinės tapatybės pasekmė

Užduotis numeris 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Integralo taikymas sprendžiant taikomąsias problemas

Ploto skaičiavimas

Tolydžios neneigiamos funkcijos f(x) apibrėžtasis integralas skaitine prasme lygus kreivinės trapecijos plotas, apribotas kreivės y \u003d f (x), O x ašies ir tiesių x \u003d a ir x \u003d b. Atitinkamai, ploto formulė parašyta taip:

Apsvarstykite keletą plokštumos figūrų plotų skaičiavimo pavyzdžių.

Užduoties numeris 1. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja linijos y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Sprendimas. Sukurkime figūrą, kurios plotą turėsime apskaičiuoti.

y \u003d x 2 + 1 yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi vienu vienetu aukštyn (1 pav.).

1 pav. Funkcijos y = x 2 + 1 grafikas

Užduotis numeris 2. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 intervale nuo 0 iki 1.

Sprendimas.Šios funkcijos grafikas yra šakos parabolė, kuri nukreipta į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu paslinkta vienu vienetu žemyn (2 pav.).

2 pav. Funkcijos y \u003d x 2 - 1 grafikas

Užduotis numeris 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

y = 8 + 2x - x 2 ir y = 2x - 4.

Sprendimas. Pirmoji iš šių dviejų tiesių yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn, nes koeficientas, esantis x 2, yra neigiamas, o antroji linija yra tiesi linija, kertanti abi koordinačių ašis.

Norėdami sudaryti parabolę, raskime jos viršūnės koordinates: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – viršūnė abscisė; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 yra jo ordinatė, N(1;9) yra jo viršūnė.

Dabar išspręsdami lygčių sistemą randame parabolės ir tiesės susikirtimo taškus:

Lygties, kurios kairiosios pusės yra lygios, dešiniųjų kraštinių prilyginimas.

Gauname 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 arba x 2 - 12 \u003d 0, iš kur .

Taigi taškai yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškai (1 pav.).

3 pav. Funkcijų y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4 grafikai

Nutieskime tiesę y = 2x - 4. Ji eina per taškus (0;-4), (2; 0) koordinačių ašyse.

Norėdami sukurti parabolę, taip pat galite turėti jos susikirtimo taškus su 0x ašimi, ty lygties 8 + 2x - x 2 = 0 arba x 2 - 2x - 8 = 0 šaknis. Pagal Vieta teoremą tai yra nesunku rasti jo šaknis: x 1 = 2, x 2 = 4.

3 paveiksle parodyta figūra (parabolinė atkarpa M 1 N M 2), kurią riboja šios linijos.

Antroji problemos dalis – rasti šios figūros plotą. Jo plotą galima rasti naudojant apibrėžtąjį integralą, naudojant formulę .

Atsižvelgdami į šią sąlygą, gauname integralą:

2 Apsisukimo kūno tūrio apskaičiavimas

Kūno tūris, gautas sukant kreivę y \u003d f (x) aplink O x ašį, apskaičiuojamas pagal formulę:

Sukant aplink O y ašį formulė atrodo taip:

Užduotis numeris 4. Nustatykite kūno tūrį, gautą sukant kreivinę trapeciją, kurią riboja tiesios linijos x \u003d 0 x \u003d 3, ir kreivė y \u003d aplink O x ašį.

Sprendimas. Pastatykime brėžinį (4 pav.).

4 pav. Funkcijos y = grafikas

Norimas tūris lygus

Užduotis numeris 5. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą iš kreivinės trapecijos, apribotos kreivės y = x 2 ir tiesių y = 0 ir y = 4, sukimosi aplink ašį O y .

Sprendimas. Mes turime:

Peržiūrėkite klausimus