§ 87. Trupmenų sudėjimas.
Trupmenų sudėjimas turi daug panašumų su sveikųjų skaičių sudėjimu. Trupmenų sudėjimas yra veiksmas, susidedantis iš to, kad keli nurodyti skaičiai (dėmenys) sujungiami į vieną skaičių (sumą), kuriame yra visi terminų vienetai ir vienetų trupmenos.
Mes nagrinėsime tris atvejus iš eilės:
3. Mišrių skaičių pridėjimas.
1. Sudėjus trupmenas su tais pačiais vardikliais.
Apsvarstykite pavyzdį: 1/5 + 2/5.
Paimkite atkarpą AB (17 pav.), paimkite kaip vienetą ir padalinkite į 5 lygias dalis, tada šio atkarpos dalis AC bus lygi 1/5 atkarpos AB, o to paties atkarpos CD dalis. bus lygus 2/5 AB.
Brėžinyje parodyta, kad jei paimsite atkarpą AD, tai ji bus lygi 3/5 AB; bet segmentas AD yra tik segmentų AC ir CD suma. Taigi galime rašyti:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Atsižvelgdami į šiuos terminus ir gautą sumą, matome, kad sumos skaitiklis gautas sudėjus terminų skaitiklius, o vardiklis liko nepakitęs.
Iš čia gauname tokią taisyklę: norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, sudėkite jų skaitiklius ir palikite tą patį vardiklį.
Panagrinėkime pavyzdį:
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.
Sudedame trupmenas: 3/4 + 3/8 Pirma, jas reikia sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio:
Tarpinė nuoroda 6/8 + 3/8 negalėjo būti parašyta; aiškumo dėlei tai parašėme čia.
Taigi, norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas perkelti į mažiausią bendrą vardiklį, pridėti jų skaitiklius ir pasirašyti Bendras vardiklis.
Apsvarstykite pavyzdį (virš atitinkamų trupmenų parašysime papildomus veiksnius):
3. Mišrių skaičių pridėjimas.
Sudėkite skaičius: 2 3/8 + 3 5/6.
Pirma, trupmenines skaičių dalis sujungiame į bendrą vardiklį ir dar kartą perrašome:
Dabar iš eilės sudėkime visas ir trupmenines dalis:
§ 88. Trupmenų atėmimas.
Trupmenų atėmimas apibrėžiamas taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių atėmimas. Tai veiksmas, kai duotai dviejų ir vieno iš jų sumai randamas kitas terminas. Iš eilės panagrinėkime tris atvejus:
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.
1. Trupmenų su tuo pačiu vardikliu atėmimas.
Panagrinėkime pavyzdį:
13 / 15 - 4 / 15
Paimkite atkarpą AB (18 pav.), paimkite kaip vienetą ir padalinkite į 15 lygių dalių; tada šio ruožo AC dalis bus 1/15 AB, o to paties atkarpos AD dalis atitiks 13/15 AB. Atidėkime atkarpą ED, lygią 4/15 AB.
Turime atimti 4/15 iš 13/15. Brėžinyje tai reiškia, kad iš segmento AD reikia atimti atkarpą ED. Dėl to išliks segmentas AE, kuris sudaro 9/15 segmento AB. Taigi galime parašyti:
Mūsų pavyzdys rodo, kad skirtumo skaitiklis gaunamas atėmus skaitiklius, tačiau vardiklis išlieka toks pat.
Todėl, norėdami atimti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite atimti atimtojo skaitiklį iš sumažinto skaitiklio ir palikti tą patį vardiklį.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.
Pavyzdys. 3/4 - 5/8
Pirma, šias trupmenas pateikiame iki mažiausio bendro vardiklio:
Aiškumo dėlei čia parašyta tarpinė 6/8 – 5/8, bet toliau jos galima praleisti.
Taigi, norėdami atimti trupmeną iš trupmenos, pirmiausia turite juos perkelti į mažiausią bendrą vardiklį, tada atimti atimtojo skaitiklį iš sumažinto skaitiklio ir pasirašyti bendrąjį vardiklį pagal jų skirtumą.
Panagrinėkime pavyzdį:
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.
Pavyzdys. 10 3/4 - 7 2/3.
Sumažintos ir atimtos trupmenines dalis prikelkime iki mažiausio bendro vardiklio:
Iš visumos atimame visumą, o iš trupmenos – trupmeną. Tačiau yra atvejų, kai trupmeninė atimto dalis yra didesnė už trupmeninę sumažintos dalį. Tokiais atvejais reikia paimti vieną vienetą iš visos sumažintosios dalies, padalyti į tas dalis, kuriose išreikšta trupmeninė dalis, ir pridėti prie trupmeninės sumažintos dalies. Tada atimimas bus atliktas taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje:
§ 89. Trupmenų daugyba.
Tirdami trupmenų dauginimą, apsvarstysime šiuos klausimus:
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos.
5. Mišrių skaičių daugyba.
6. Susidomėjimo samprata.
7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas. Panagrinėkime juos paeiliui.
1. Trupmenos dauginimas iš sveikojo skaičiaus.
Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus turi tą pačią reikšmę kaip ir sveikojo skaičiaus padauginimas iš sveikojo skaičiaus. Trupmeną (daugiklį) padauginti iš sveikojo skaičiaus (daugiklio) reiškia, kad sudaroma tų pačių narių suma, kai kiekvienas narys yra lygus daugikliui, o dalių skaičius lygus dauginimui.
Taigi, jei jums reikia padauginti 1/9 iš 7, tai galima padaryti taip:
Rezultatą gavome nesunkiai, nes veiksmas buvo sumažintas iki trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Vadinasi,
Atsižvelgus į šį veiksmą, matyti, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus prilygsta šios trupmenos padidinimui tiek kartų, kiek vienetų yra sveikame skaičiuje. Ir kadangi trupmenos padidėjimas pasiekiamas arba padidinus jos skaitiklį
arba sumažindami jo vardiklį, tada galime arba padauginti skaitiklį iš sveikojo skaičiaus, arba padalyti iš jo vardiklį, jei toks padalijimas yra įmanomas.
Iš čia gauname taisyklę:
Norėdami padauginti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, padauginkite skaitiklį iš to sveikojo skaičiaus ir palikite vardiklį tokį pat arba, jei įmanoma, padalykite vardiklį iš to skaičiaus, palikdami skaitiklį nepakeistą.
Dauginant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas. Yra daug problemų, kurias sprendžiant reikia rasti arba apskaičiuoti tam tikro skaičiaus dalį. Skirtumas tarp šių užduočių nuo kitų yra tas, kad jose nurodomas kai kurių objektų skaičius arba matavimo vienetai ir reikia rasti šio skaičiaus dalį, kuri čia taip pat nurodoma tam tikra trupmena. Kad būtų lengviau suprasti, pirmiausia pateiksime tokių problemų pavyzdžių, o tada supažindinsime su jų sprendimo būdu.
1 tikslas. Aš turėjau 60 rublių; 1/3 šių pinigų išleidau knygoms pirkti. Kiek kainavo knygos?
2 tikslas. Traukinys turi nuvažiuoti atstumą tarp miestų A ir B, lygų 300 km. Jis jau įveikė 2/3 šio atstumo. Kiek tai kilometrų?
3 tikslas. Kaime yra 400 namų, iš kurių 3/4 mūriniai, likusieji mediniai. Kiek yra mūrinių namų?
Štai keletas iš daugelio problemų, su kuriomis turime susidurti ieškant tam tikro skaičiaus trupmenos. Paprastai jie vadinami tam tikro skaičiaus trupmenos radimo problemomis.
1 problemos sprendimas. Nuo 60 rublių. Knygoms išleidau 1/3; Taigi, norėdami sužinoti knygų kainą, skaičių 60 turite padalyti iš 3:
2 problemos sprendimas. Problemos prasmė ta, kad reikia rasti 2/3 iš 300 km. Apskaičiuokime pirmą 1/3 iš 300; tai pasiekiama 300 km padalijus iš 3:
300: 3 = 100 (tai yra 1/3 iš 300).
Norėdami rasti du trečdalius iš 300, turite padvigubinti gautą koeficientą, ty padauginti iš 2:
100 x 2 = 200 (tai yra 2/3 iš 300).
3 problemos sprendimas.Čia reikia nustatyti mūrinių namų skaičių, kuris yra 3/4 iš 400. Raskime pirmą 1/4 iš 400,
400: 4 = 100 (tai yra 1/4 iš 400).
Suskaičiuoti trys ketvirtadaliai nuo 400 gautas koeficientas turi būti patrigubinamas, tai yra, padauginamas iš 3:
100 x 3 = 300 (tai yra 3/4 iš 400).
Remdamiesi šių problemų sprendimu, galime išvesti tokią taisyklę:
Norėdami rasti tam tikro skaičiaus trupmenos reikšmę, turite padalyti šį skaičių iš trupmenos vardiklio ir gautą koeficientą padauginti iš jo skaitiklio.
3. Sveikojo skaičiaus dauginimas iš trupmenos.
Anksčiau (§ 26) buvo nustatyta, kad sveikųjų skaičių daugyba turi būti suprantama kaip tų pačių narių sudėjimas (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). Šioje pastraipoje (1 punktas) buvo nustatyta, kad trupmeną padauginti iš sveikojo skaičiaus reiškia rasti tų pačių narių sumą, lygią šiai trupmenai.
Abiem atvejais dauginimas susideda iš tų pačių narių sumos radimo.
Dabar pereiname prie sveikųjų skaičių daugybos iš trupmenos. Čia susidursime su tokia, pavyzdžiui, daugyba: 9 • 2/3. Visiškai akivaizdu, kad ankstesnis daugybos apibrėžimas šiuo atveju netinka. Tai matyti iš to, kad tokio daugybos negalime pakeisti pridėdami vieni kitiems lygius skaičius.
Dėl to turėsime pateikti naują daugybos apibrėžimą, tai yra, kitaip tariant, atsakyti į klausimą, ką reikėtų suprasti dauginant iš trupmenos, kaip suprasti šį veiksmą.
Sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos prasmė paaiškinama iš šio apibrėžimo: sveikojo skaičiaus (daugiklio) padauginimas iš trupmenos (daugiklio) reiškia rasti šią daugiklio trupmeną.
Būtent, padauginti 9 iš 2/3 reiškia rasti 2/3 iš devynių vienetų. Ankstesnėje pastraipoje tokios užduotys buvo išspręstos; todėl nesunku suprasti, kad baigsime 6.
Tačiau dabar iškyla įdomus ir svarbus klausimas: kodėl iš pirmo žvilgsnio tokie įvairių veiksmų kaip rasti sumą lygiais skaičiais o skaičiaus trupmenos radimas aritmetikoje vadinamas tuo pačiu žodžiu "daugyba"?
Taip atsitinka todėl, kad ankstesnis veiksmas (skaičiaus pakartojimas suminiais kelis kartus) ir naujas veiksmas (skaičiaus trupmenos radimas) duoda atsakymą į vienarūšius klausimus. Tai reiškia, kad čia mes vadovaujamės samprotavimu, kad vienarūšiai klausimai ar problemos išsprendžiami tuo pačiu veiksmu.
Norėdami tai suprasti, apsvarstykite šią problemą: „1 metras audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 4 m tokio audinio?
Ši problema išspręsta padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (4), ty 50 x 4 = 200 (rublių).
Paimkime tą pačią problemą, bet joje audinio kiekis bus išreikštas trupmeniniu skaičiumi: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 3/4 m tokio audinio?
Šią problemą taip pat reikia išspręsti padauginus rublių skaičių (50) iš metrų skaičiaus (3/4).
Galima ir dar kelis kartus, nekeičiant uždavinio reikšmės, keisti jame esančius skaičius, pavyzdžiui, imti 9/10 m arba 2 3/10 m ir pan.
Kadangi šios užduotys turi tą patį turinį ir skiriasi tik skaičiais, joms spręsti naudojamus veiksmus vadiname tuo pačiu žodžiu – daugyba.
Kaip sveikasis skaičius padauginamas iš trupmenos?
Paimkime skaičius, su kuriais susidūrėme paskutinėje užduotyje:
50 • 3 / 4 = ?
Pagal apibrėžimą turime rasti 3/4 iš 50. Pirmiausia randame 1/4 iš 50, o tada 3/4.
1/4 skaičiaus 50 yra 50/4;
3/4 skaičiaus 50 yra.
Vadinasi.
Apsvarstykite kitą pavyzdį: 12 • 5/8 =?
1/8 iš 12 yra 12/8,
5/8 skaičiaus 12 yra.
Vadinasi,
Iš čia gauname taisyklę:
Norėdami padauginti sveikąjį skaičių iš trupmenos, turite padauginti visą skaičių iš trupmenos skaitiklio ir padaryti šį sandaugą skaitikliu, o šios trupmenos vardiklį pažymėti kaip vardiklį.
Parašykime šią taisyklę raidėmis:
Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima žiūrėti kaip koeficientą. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus dauginimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo pateikta 38 straipsnyje.
Reikia atsiminti, kad prieš atlikdami dauginimą turėtumėte atlikti (jei įmanoma) sumažinimai, Pavyzdžiui:
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos. Trupmenos dauginimas iš trupmenos turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos, tai yra, dauginant trupmeną iš trupmenos, koeficiente reikia rasti trupmeną nuo pirmosios trupmenos (daugyba).
Būtent, padauginti 3/4 iš 1/2 (pusės), reiškia rasti pusę 3/4.
Kaip atliekamas trupmenos dauginimas iš trupmenos?
Paimkime pavyzdį: 3/4 karto 5/7. Tai reiškia, kad reikia rasti 5/7 iš 3/4. Pirmiausia raskite 1/7 iš 3/4, o tada 5/7
1/7 iš 3/4 bus išreikšta taip:
5/7 iš 3/4 bus išreikšta taip:
Šiuo būdu,
Kitas pavyzdys: 5/8 karto 4/9.
1/9 iš 5/8 yra,
4/9 skaičiaus 5/8 yra.
Šiuo būdu,
Atsižvelgiant į šiuos pavyzdžius, galima daryti išvadą, kad ši taisyklė:
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį - sandaugos vardikliu.
Ši taisyklė į bendras vaizdas galima parašyti taip:
Dauginant reikia daryti (jei įmanoma) sumažinimus. Panagrinėkime keletą pavyzdžių:
5. Mišrių skaičių daugyba. Kadangi mišrūs skaičiai gali būti lengvai pakeisti netinkamomis trupmenomis, ši aplinkybė dažniausiai naudojama dauginant mišrius skaičius. Tai reiškia, kad tais atvejais, kai daugiklis, koeficientas arba abu veiksniai išreiškiami mišriais skaičiais, tada jie pakeičiami neteisingomis trupmenomis. Padauginkime, pavyzdžiui, mišrius skaičius: 2 1/2 ir 3 1/5. Kiekvieną iš jų paverskime netaisyklingąja trupmena ir gautas trupmenas padauginsime pagal trupmenos dauginimo iš trupmenos taisyklę:
Taisyklė. Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos paversti netinkamomis trupmenomis, o tada padauginti pagal trupmenos dauginimo iš trupmenos taisyklę.
Pastaba. Jei vienas iš veiksnių yra sveikasis skaičius, tada daugyba gali būti atliekama pagal paskirstymo dėsnį taip:
6. Susidomėjimo samprata. Spręsdami uždavinius ir atlikdami įvairius praktinius skaičiavimus, naudojame visokias trupmenas. Tačiau reikia turėti omenyje, kad daugelis dydžių leidžia juos skirstyti ne bet kokius, o natūralius. Pavyzdžiui, galite paimti vieną šimtąją (1/100) rublio dalį, tai bus kapeika, dvi šimtosios yra 2 kapeikos, trys šimtosios - 3 kapeikos. Galite paimti 1/10 rublio, tai bus "10 kapeikų, arba centas. Galite paimti ketvirtadalį rublio, tai yra 25 kapeikas, pusę rublio, tai yra 50 kapeikų (penkiasdešimt kapeikų). Bet jie praktiškai neima, pavyzdžiui, 2/7 rublių, nes rublis nėra padalintas į septintąsias dalis.
Svorio matavimo vienetas, tai yra kilogramas, pirmiausia leidžia padalyti po kablelio, pavyzdžiui, 1/10 kg arba 100 g. Ir tokias kilogramo trupmenas kaip 1/6, 1/11, 1/13 yra nedažni.
Paprastai mūsų (metriniai) matai yra dešimtainiai ir leidžia padalyti po kablelio.
Tačiau reikia pastebėti, kad itin naudinga ir patogu pačiais įvairiausiais atvejais naudoti tą patį (vienodą) kiekių padalijimo būdą. Ilgametė patirtis parodė, kad toks puikiai pasiteisinęs skirstymas yra „šimtasis“ padalinys. Apsvarstykite keletą pavyzdžių iš įvairių žmogaus praktikos sričių.
1. Knygų kaina sumažėjo 12/100 ankstesnės kainos.
Pavyzdys. Ankstesnė knygos kaina – 10 rublių. Nukrito 1 rubliu. 20 kapeikų
2. Taupomosios kasos indėlininkams per metus išmoka 2/100 santaupoms skirtos sumos.
Pavyzdys. Kasininkė turi 500 rublių, pajamos iš šios sumos per metus yra 10 rublių.
3. Vieną mokyklą baigė 5/100 visų mokinių.
PAVYZDYS Mokykloje mokėsi tik 1200 mokinių, iš jų mokyklą baigė 60.
Šimtoji skaičiaus dalis vadinama procentais..
Žodis „procentas“ yra pasiskolintas iš lotynų kalbos, o jo šaknis „cent“ reiškia šimtą. Kartu su prielinksniu (pro centum) šis žodis reiškia „virš šimto“. Šio posakio reikšmė išplaukia iš to, kad iš pradžių m senovės Roma palūkanos buvo pinigai, kuriuos skolininkas mokėjo skolintojui „už kiekvieną šimtą“. Žodis „centas“ girdimas tokiais pažįstamais žodžiais: centneris (šimtas kilogramų), centimetras (pasakytas centimetras).
Pavyzdžiui, užuot sakę, kad praėjusį mėnesį gamykla davė laužą 1/100 visų savo produktų, pasakysime taip: praėjusį mėnesį gamykla davė vieną procentą laužo. Užuot sakę: gamykla pagamino 4/100 daugiau nei numatytas planas, sakysime: gamykla planą viršijo 4 procentais.
Aukščiau pateikti pavyzdžiai gali būti išdėstyti skirtingai:
1. Knygų kaina nuo ankstesnės kainos nukrito 12 procentų.
2. Taupomosios kasos indėlininkams išmoka 2 procentus per metus nuo taupymui skirtos sumos.
3. Vieną mokyklą baigė 5 procentai visų mokyklos mokinių.
Norint sutrumpinti raidę, vietoj žodžio „procentas“ įprasta rašyti % simbolį.
Tačiau reikia atsiminti, kad skaičiuojant % ženklas dažniausiai nerašomas, jis gali būti rašomas problemos teiginyje ir galutiniame rezultate. Atliekant skaičiavimus, reikia parašyti trupmeną, kurios vardiklis yra 100, o ne sveikasis skaičius su šiuo ženklu.
Turite turėti galimybę pakeisti sveikąjį skaičių nurodyta piktograma trupmena, kurios vardiklis yra 100:
Ir atvirkščiai, reikia priprasti rašyti sveikąjį skaičių su nurodytu ženklu, o ne trupmeną, kurios vardiklis yra 100:
7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas.
1 tikslas. Mokykla gavo 200 kub. m malkų, beržinėms malkoms tenka 30 proc. Kiek ten buvo beržinių malkų?
Šios problemos prasmė ta, kad beržinės malkos buvo tik dalis malkų, kurios buvo pristatytos į mokyklą, o ši dalis išreiškiama dalimi 30/100. Tai reiškia, kad mes susiduriame su užduotimi rasti skaičiaus trupmeną. Norėdami ją išspręsti, turime padauginti 200 iš 30/100 (skaičiaus trupmenos radimo problemos išsprendžiamos skaičių padauginus iš trupmenos.).
Tai reiškia, kad 30% iš 200 yra lygus 60.
Dalis 30/100, su kuria susiduriama šioje problemoje, gali būti sumažinta 10. Šį sumažinimą būtų galima atlikti nuo pat pradžių; problemos sprendimas nebūtų pasikeitęs.
2 tikslas. Stovykloje buvo 300 įvairaus amžiaus vaikų. 11 metų vaikai sudarė 21%, 12 metų vaikai – 61%, galiausiai 13 metų vaikai – 18%. Kiek kiekvieno amžiaus vaikų buvo stovykloje?
Šioje užduotyje reikia atlikti tris skaičiavimus, t. y. paeiliui rasti 11 metų, vėliau 12 metų ir galiausiai 13 metų vaikų skaičių.
Tai reiškia, kad čia jums reikės tris kartus rasti skaičiaus trupmeną. Padarykime tai:
1) Kiek vaikų buvo 11 metų?
2) Kiek vaikų buvo 12 metų?
3) Kiek vaikų buvo 13 metų?
Išsprendus uždavinį, pravartu sudėti rastus skaičius; jų suma turėtų būti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Taip pat turėtumėte atkreipti dėmesį į tai, kad palūkanų suma, nurodyta problemos sąlygoje, yra 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Tai rodo, kad iš viso vaikų stovykloje buvo paimti kaip 100 proc.
3 atvejis 3. Darbininkas gaudavo 1200 rublių per mėnesį. Iš jų 65% jis išleido maistui, 6% - butui ir šildymui, 4% - dujoms, elektrai ir radijui, 10% - kultūros reikmėms ir 15% - taupė. Kiek pinigų buvo išleista užduotyje nurodytiems poreikiams?
Norėdami išspręsti šią užduotį, turite rasti skaičiaus 1 200 trupmeną 5 kartus. Padarykime tai.
1) Kiek pinigų išleido maistui? Problema sako, kad šios išlaidos sudaro 65% viso uždarbio, tai yra 65/100 skaičiaus 1200. Paskaičiuokime:
2) Kiek sumokėta pinigų už butą su šildymu? Motyvuodami, kaip ir ankstesniame, gauname tokį skaičiavimą:
3) Kiek pinigų sumokėjai už dujas, elektrą ir radiją?
4) Kiek pinigų buvo išleista kultūros reikmėms?
5) Kiek pinigų darbuotojas sutaupė?
Norint patikrinti, naudinga pridėti šiuose 5 klausimuose pateiktus skaičius. Suma turėtų būti 1200 rublių. Visas uždarbis yra 100%, o tai lengva patikrinti sudėjus problemos pareiškime nurodytus procentus.
Išsprendėme tris problemas. Nepaisant to, kad šios problemos buvo susijusios su skirtingais dalykais (malkų pristatymas mokyklai, įvairaus amžiaus vaikų skaičius, darbuotojų išlaidos), jos buvo sprendžiamos vienodai. Taip atsitiko todėl, kad visose užduotyse reikėjo rasti kelis procentus pateiktų skaičių.
§ 90. Trupmenų skirstymas.
Tirdami trupmenų padalijimą, atsižvelgsime į šiuos klausimus:
2. Trupmenos dalyba iš sveikojo skaičiaus
4. Trupmenos padalijimas į trupmeną.
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
Panagrinėkime juos paeiliui.
1. Sveikojo skaičiaus padalijimas iš sveikojo skaičiaus.
Kaip buvo nurodyta sveikųjų skaičių skiltyje, padalijimas yra veiksmas, susidedantis iš to, kad duotam dviejų veiksnių sandaugai (dalijamoji) ir vienam iš šių veiksnių (daliklio) randamas kitas veiksnys.
Mes pažvelgėme į sveikojo skaičiaus padalijimą iš sveikojo skaičiaus sveikųjų skaičių skyriuje. Ten susidūrėme su dviem padalijimo atvejais: padalijimas be likučio arba „visiškai“ (150: 10 = 15) ir padalijimas su likusia dalimi (100: 9 = 11 ir 1 liekana). Todėl galime teigti, kad sveikųjų skaičių lauke tikslus padalijimas ne visada įmanomas, nes dividendas ne visada yra daliklio iš sveikojo skaičiaus sandauga. Įvedę daugybą iš trupmenos, galime laikyti bet kokį sveikųjų skaičių padalijimo atvejį įmanomu (neįtraukiama tik dalybos iš nulio).
Pavyzdžiui, 7 dalijimas iš 12 reiškia, kad reikia rasti skaičių, kurio sandauga iš 12 būtų 7. Tas skaičius yra 7/12, nes 7/12 • 12 = 7. Kitas pavyzdys: 14:25 = 14/25, nes 14/25 x 25 = 14.
Taigi, norėdami padalyti sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus, turite sudaryti trupmeną, kurios skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis.
2. Trupmenos dalyba iš sveikojo skaičiaus.
Trupmeną 6/7 padalinkite iš 3. Pagal aukščiau pateiktą padalijimo apibrėžimą, čia gauname sandaugą (6/7) ir vieną iš faktorių (3); reikia rasti tokį antrąjį koeficientą, kurį padauginus iš 3 gauta sandauga gautų 6/7. Akivaizdu, kad jis turėtų būti tris kartus mažesnis nei šis gabalas. Tai reiškia, kad mūsų užduotis buvo sumažinti trupmeną 6/7 3 kartus.
Jau žinome, kad trupmeną galima sumažinti mažinant jos skaitiklį arba didinant vardiklį. Todėl galima rašyti:
Šiuo atveju 6 skaitiklis dalijasi iš 3, todėl skaitiklį reikia sumažinti 3 kartus.
Paimkime dar vieną pavyzdį: 5/8 padalinkite iš 2. Čia 5 skaitiklis nesidalija tolygiai iš 2, todėl vardiklį reikia padauginti iš šio skaičiaus:
Remdamiesi tuo, galime suformuluoti taisyklę: norėdami padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, turite padalyti trupmenos skaitiklį iš šio sveikojo skaičiaus(jei įmanoma), paliekant tą patį vardiklį, arba padauginkite trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus, palikdami tą patį skaitiklį.
3. Sveikojo skaičiaus padalijimas į trupmeną.
Tarkime, kad reikia padalyti 5 iš 1/2, tai yra rasti skaičių, kurį padauginus iš 1/2, sandauga būtų 5. Akivaizdu, kad šis skaičius turi būti didesnis nei 5, nes 1/2 yra reguliarus trupmena, o dauginant skaičių taisyklingajai trupmenai sandauga turi būti mažesnė už dauginamąją. Kad būtų aiškiau, parašykime savo veiksmus taip: 5: 1/2 = X , todėl x • 1/2 = 5.
Turime rasti tokį skaičių X , kurį padauginus iš 1/2 gautume 5. Kadangi kokį nors skaičių padauginus iš 1/2 – tai reiškia rasti 1/2 šio skaičiaus, vadinasi, 1/2 nežinomo skaičiaus X yra lygus 5 ir sveikam skaičiui X dvigubai daugiau, tai yra 5 • 2 = 10.
Taigi 5: 1/2 = 5 • 2 = 10
Patikrinkime:
Paimkime kitą pavyzdį. Tarkime, kad norite padalyti 6 iš 2/3. Pirmiausia pabandykime rasti norimą rezultatą, naudodami piešinį (19 pav.).
19 pav
Nubraižykime atkarpą AB, lygią maždaug 6 vienetams, ir kiekvieną vienetą padalinkime į 3 lygias dalis. Kiekviename vienete trys trečdaliai (3/3) visame segmente AB yra 6 kartus daugiau, t.y. e. 18/3. Mažų skliaustų pagalba sujungiame 18 gautų segmentų po 2; bus tik 9 segmentai. Tai reiškia, kad frakcija 2/3 yra 6 vienetuose 9 kartus, arba, kitaip tariant, frakcija 2/3 yra 9 kartus mažesnė nei 6 sveiki vienetai. Vadinasi,
Kaip galite gauti šį rezultatą be plano, naudojant tik skaičiavimus? Ginčysime taip: reikia padalyti 6 iš 2/3, tai yra, reikia atsakyti į klausimą, kiek kartų 2/3 yra 6. Pirmiausia išsiaiškinkime: kiek kartų yra 1/3 yra 6? Visame vienete - 3 trečdaliai, o 6 vienetuose - 6 kartus daugiau, tai yra 18 trečdalių; norėdami rasti šį skaičių, turime padauginti 6 iš 3. Tai reiškia, kad 1/3 yra 6 vienetuose 18 kartų, o 2/3 yra 6 ne 18 kartų, o perpus mažiau, tai yra 18: 2 = 9. Todėl dalydami 6 iš 2/3, padarėme taip:
Iš to gauname sveikojo skaičiaus dalijimo iš trupmenos taisyklę. Norėdami padalyti sveikąjį skaičių į trupmeną, turite padauginti šį sveikąjį skaičių iš duotosios trupmenos vardiklio ir, padarę šį sandaugą skaitikliu, padalykite jį iš duotosios trupmenos skaitiklio.
Parašykime taisyklę raidėmis:
Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima žiūrėti kaip koeficientą. Todėl rastą taisyklę naudinga palyginti su skaičiaus dalijimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo pateikta 38 punkte. Atkreipkite dėmesį, kad ten buvo gauta ta pati formulė.
Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
4. Trupmenos padalijimas į trupmeną.
Tarkime, kad norite padalyti 3/4 iš 3/8. Koks bus skaičius, kuris bus padalijimo rezultatas? Tai atsakys į klausimą, kiek kartų trupmena 3/8 yra trupmenoje 3/4. Norėdami suprasti šią problemą, padarykite brėžinį (20 pav.).
Paimkite atkarpą AB, paimkite kaip vienetą, padalinkite į 4 lygias dalis ir pažymėkite 3 tokias dalis. AC segmentas bus lygus 3/4 AB segmento. Dabar kiekvieną iš keturių pradinių atkarpų padalinkime per pusę, tada AB atkarpa bus padalinta į 8 lygias dalis ir kiekviena tokia dalis bus lygi 1/8 AB atkarpos. Sujungkime 3 tokias atkarpas lankais, tada kiekvienas atkarpas AD ir DC bus lygus 3/8 atkarpos AB. Brėžinyje parodyta, kad atkarpa, lygi 3/8, lygiai 2 kartus yra lygiai 3/4 atkarpoje; todėl padalijimo rezultatas gali būti parašytas taip:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Paimkime kitą pavyzdį. Padalinkime 15/16 iš 3/32:
Galime samprotauti taip: reikia rasti skaičių, kurį padauginus iš 3/32 gautų sandaugą, lygią 15/16. Parašykime skaičiavimus taip:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 •X = 15 / 16
3/32 nežinomas numeris X yra 15/16
1/32 nežinomo skaičiaus X yra,
32/32 skaičiai X makiažas.
Vadinasi,
Taigi, norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį padauginti iš antrosios dalies skaitiklio, o pirmąjį sandaugą padaryti skaitikliu, o antrasis – vardiklis.
Parašykime taisyklę raidėmis:
Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
Dalijant mišrius skaičius, pirmiausia juos reikia paversti netinkamosiomis trupmenomis, o tada gautas trupmenas padalinti pagal trupmeninių skaičių padalijimo taisykles. Panagrinėkime pavyzdį:
Paverskime mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:
Dabar padalinkime:
Taigi, norėdami padalinti mišrius skaičius, turite juos konvertuoti į netinkamas trupmenas ir padalyti pagal trupmenų padalijimo taisyklę.
6. Duotos trupmenos skaičiaus radimas.
Tarp įvairių trupmenų uždavinių kartais pasitaiko tokių, kuriuose pateikiama kokios nors nežinomo skaičiaus trupmenos reikšmė ir reikia rasti šį skaičių. Šio tipo uždaviniai bus atvirkštiniai, palyginti su duoto skaičiaus trupmenos radimo problema; ten buvo duotas skaičius ir reikėjo rasti tam tikrą šio skaičiaus trupmeną, čia pateikiama skaičiaus trupmena ir reikia rasti patį šį skaičių. Ši mintis taps dar aiškesnė, jei pažvelgsime į tokio tipo problemų sprendimą.
1 tikslas. Pirmą dieną stiklintojai įstiklino 50 langų, tai yra 1/3 visų pastatyto namo langų. Kiek langų yra šiame name?
Sprendimas. Problema sako, kad 50 įstiklintų langų sudaro 1/3 visų namo langų, vadinasi, iš viso yra 3 kartus daugiau langų, t.y.
Namas turėjo 150 langų.
2 tikslas. Parduotuvėje buvo parduota 1500 kg miltų, tai yra 3/8 visos parduotuvės miltų. Koks buvo originalus miltų kiekis parduotuvėje?
Sprendimas. Iš problemos teiginio matyti, kad parduoti 1500 kg miltų sudaro 3/8 visų atsargų; Tai reiškia, kad 1/8 šios atsargos bus 3 kartus mažesnės, tai yra, norint ją apskaičiuoti, reikia sumažinti 1500 3 kartus:
1500: 3 = 500 (tai yra 1/8 akcijų).
Akivaizdu, kad visa atsarga bus 8 kartus didesnė. Vadinasi,
500 • 8 = 4000 (kg).
Pradinė miltų saugykla parduotuvėje buvo 4000 kg.
Apsvarsčius šią problemą, galima išvesti tokią taisyklę.
Norint rasti tam tikros jo trupmenos vertės skaičių, pakanka šią reikšmę padalyti iš trupmenos skaitiklio ir rezultatą padauginti iš trupmenos vardiklio.
Išsprendėme dvi užduotis, kaip rasti skaičių iš duotosios trupmenos. Tokios problemos, kaip ypač aiškiai matyti iš pastarųjų, sprendžiamos dviem veiksmais: dalyba (kai randama viena dalis) ir daugyba (kai randamas visas skaičius).
Tačiau ištyrę trupmenų padalijimą, aukščiau išvardintos problemos gali būti išspręstos vienu veiksmu, būtent: padalijimas iš trupmenos.
Pavyzdžiui, paskutinę užduotį galima išspręsti vienu žingsniu taip:
V tolimesnes užduotis norėdami rasti skaičių pagal jo trupmeną, išspręsime vienu veiksmu – padalijimu.
7. Skaičiaus radimas procentais.
Atlikdami šias užduotis turėsite rasti skaičių, žinodami kelis procentus šio skaičiaus.
1 tikslas. Pradžioje šie metai Iš taupyklos gavau 60 rublių. pajamų iš sumos, kurią sukaupiau santaupoms prieš metus. Kiek pinigų įdėjau į taupomąjį kasą? (Kasos kasos suteikia 2% pajamų per metus.)
Problemos esmė ta, kad tam tikrą pinigų sumą aš įnešiau į taupomąjį kasą ir ten išbuvau metus. Po metų iš jos gavau 60 rublių. pajamų, tai yra 2/100 mano įdėtų pinigų. Kiek pinigų įdėjau?
Todėl žinant dalį šių pinigų, išreikštų dviem būdais (rubliais ir trupmena), turime rasti visą, iki šiol nežinomą, sumą. Tai įprasta užduotis ieškant skaičiaus iš tam tikros trupmenos. Šios užduotys sprendžiamos padalijimu:
Tai reiškia, kad į taupyklę buvo įdėta 3000 rublių.
2 tikslas.Žvejai per dvi savaites mėnesio planą įvykdė 64 proc., išgaudami 512 tonų žuvies. Koks buvo jų planas?
Iš problemos teiginio žinoma, kad dalį plano žvejai įvykdė. Ši dalis lygi 512 tonų, tai yra 64% plano. Kiek tonų žuvies reikia paruošti pagal planą, nežinome. Šio skaičiaus radimas bus problemos sprendimas.
Tokios užduotys išsprendžiamos dalijant:
Tai reiškia, kad pagal planą reikia paruošti 800 tonų žuvies.
3 tikslas. Traukinys išvyko iš Rygos į Maskvą. Kai pravažiavo 276-ąjį kilometrą, vienas iš keleivių paklausė pravažiuojančio konduktoriaus, kurią kelio dalį jie jau pravažiavo. Į tai konduktorė atsakė: „Mes jau įveikėme 30% viso maršruto“. Koks atstumas nuo Rygos iki Maskvos?
Iš problemos teiginio matyti, kad 30% maršruto iš Rygos į Maskvą yra 276 km. Turime rasti visą atstumą tarp šių miestų, tai yra, tam tikroje dalyje, rasti visumą:
§ 91. Abipusiai abipusiai skaičiai. Dalybos pakeitimas daugyba.
Paimkite trupmeną 2/3 ir perkelkite skaitiklį į vardiklį, kad gautumėte 3/2. Gavome atvirkštinę šios trupmenos vertę.
Norint gauti atvirkštinę duotosios trupmenos vertę, vardiklio vietoje reikia įdėti jos skaitiklį, o vietoj skaitiklio – vardiklį. Tokiu būdu galime gauti bet kurios trupmenos atvirkštinę vertę. Pavyzdžiui:
3/4, atvirkštinis 4/3; 5/6, atvirkštinis 6/5
Dvi trupmenos, turinčios savybę, kad pirmosios skaitiklis yra antrojo vardiklis, o pirmosios - antrojo vardiklis, vadinamos abipusiai atvirkštinis.
Dabar pagalvokime, kuri trupmena bus atvirkštinė 1/2. Akivaizdu, kad tai bus 2/1 arba tik 2. Ieškodami atvirkštinės duotosios trupmenos, gavome sveikąjį skaičių. Ir šis atvejis nėra pavienis; priešingai, visų trupmenų, kurių skaitiklis yra 1 (vienas), sveikieji skaičiai bus atvirkštiniai, pavyzdžiui:
1/3, atvirkštinis 3; 1/5, atvirkštinis 5
Kadangi ieškodami atvirkštinių trupmenų susidūrėme ir su sveikaisiais skaičiais, toliau kalbėsime ne apie grįžtamąsias trupmenas, o apie grįžtamuosius skaičius.
Išsiaiškinkime, kaip parašyti sveikojo skaičiaus atvirkštinį skaičių. Dėl trupmenų tai galima išspręsti paprastai: į skaitiklio vietą reikia įdėti vardiklį. Taip pat galite gauti atvirkštinį sveikojo skaičiaus skaičių, nes bet kuris sveikasis skaičius gali turėti vardiklį 1. Vadinasi, atvirkštinis skaičius 7 bus 1/7, nes 7 = 7/1; skaičiui 10 atvirkštinė vertė bus 1/10, nes 10 = 10/1
Šią mintį galima išreikšti ir kitaip: duoto skaičiaus atvirkštinė vertė gaunama padalijus vieną iš nurodyto skaičiaus... Šis teiginys galioja ne tik sveikiesiems skaičiams, bet ir trupmenoms. Išties, jei norime parašyti trupmenos 5/9 atvirkštinį koeficientą, tai galime paimti 1 ir padalyti iš 5/9, t.y.
Dabar atkreipkime dėmesį į vieną nuosavybė abipusiai abipusiai skaičiai, kurie mums bus naudingi: abipusių abipusių skaičių sandauga lygi vienetui. Iš tikrųjų:
Naudodamiesi šia savybe, galime rasti abipusius koeficientus tokiu būdu. Tarkime, kad reikia rasti atvirkštinį skaičių 8.
Pažymėkime tai raide X , tada 8 • X = 1, vadinasi X = 1/8. Raskime kitą skaičių, atvirkštinį 7/12, pažymėkime jį raide X , tada 7/12 • X = 1, vadinasi X = 1: 7/12 arba X = 12 / 7 .
Siekdami šiek tiek papildyti informaciją apie trupmenų padalijimą, čia pristatėme abipusių abipusių skaičių sąvoką.
Padalijus skaičių 6 iš 3/5, darome taip:
Atidžiai atkreipkite dėmesį į posakį ir palyginkite jį su pateiktu:.
Jei paimtume išraišką atskirai, be ryšio su ankstesne, tai neįmanoma išspręsti klausimo, iš kur ji atsirado: padalijus 6 iš 3/5 arba padauginus 6 iš 5/3. Abiem atvejais rezultatas yra tas pats. Taigi galime pasakyti kad vieno skaičiaus dalijimas iš kito gali būti pakeistas dividendą padauginus iš daliklio atvirkštinio skaičiaus.
Toliau pateikti pavyzdžiai visiškai patvirtina šią išvadą.
2011 m. liepos 30 d
Trupmenos yra įprasti skaičiai, juos taip pat galima sudėti ir atimti. Tačiau dėl to, kad jie turi vardiklį, jiems reikalingos sudėtingesnės taisyklės nei sveikiesiems skaičiams.
Apsvarstykite paprasčiausią atvejį, kai yra dvi trupmenos, turinčios tą patį vardiklį. Tada:
Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, pridėkite jų skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą.
Norėdami atimti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios dalies skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą.
Kiekvienoje išraiškoje trupmenų vardikliai yra lygūs. Apibrėždami trupmenų sudėtį ir atėmimą, gauname:
Kaip matote, nieko sudėtingo: tiesiog pridėkite arba atimkite skaitiklius ir viskas.
Tačiau net ir atlikdami tokius paprastus veiksmus žmonės sugeba suklysti. Dažniausiai pamirštama, kad vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, kai jie pridedami, jie taip pat pradeda pridėti, ir tai iš esmės neteisinga.
Atsikratyti Blogas įprotis pridėti vardiklius yra pakankamai paprasta. Pabandykite tą patį padaryti atimdami. Dėl to vardiklis bus lygus nuliui, o trupmena (staiga!) neteks prasmės.
Todėl atminkite kartą ir visiems laikams: vardiklis nesikeičia sudėjus ir atimant!
Be to, daugelis klysta pridėdami kelias neigiamas trupmenas. Kyla painiavos su ženklais: kur dėti minusą, o kur pliusą.
Šią problemą taip pat labai lengva išspręsti. Pakanka prisiminti, kad minusas prieš trupmenos ženklą visada gali būti perkeltas į skaitiklį – ir atvirkščiai. Ir, žinoma, nepamirškite dviejų paprastų taisyklių:
- Pliusas ir minusas duoda minusą;
- Du neigiami dalykai daro teigiamą.
Išanalizuokime visa tai konkrečiais pavyzdžiais:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Pirmuoju atveju viskas paprasta, bet antruoju prie trupmenų skaitiklių pridedame minusus:
Ką daryti, jei vardikliai skiriasi
Negalite tiesiogiai pridėti trupmenų su skirtingais vardikliais. Bent jau man šis metodas nežinomas. Tačiau pradines trupmenas visada galima perrašyti taip, kad vardikliai taptų vienodi.
Yra daug būdų konvertuoti trupmenas. Trys iš jų aptariami pamokoje „Trupmenų redukavimas į bendrą vardiklį“, todėl čia prie jų neapsistosime. Geriau pažvelkime į pavyzdžius:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Pirmuoju atveju trupmenas suvedame į bendrą vardiklį naudodami „kryžminio“ metodą. Antrajame ieškosime LCM. Atkreipkite dėmesį, kad 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Paskutiniai šių išplėtimų faktoriai yra lygūs, o pirmieji yra koprime. Todėl LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.
Ką daryti, jei trupmena turi sveikąjį skaičių
Galiu jus pamaloninti: skirtingi trupmenų vardikliai dar nėra didžiausia blogybė. Daug daugiau klaidų atsiranda, kai pridėjimo trupmenose pasirenkama sveikoji dalis.
Žinoma, yra savo algoritmų tokių trupmenų sudėti ir atimti, tačiau jie yra gana sudėtingi ir reikalauja ilgas tyrimas... Geriau naudoti paprasta schemažemiau:
- Konvertuoti visas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, į neteisingas. Gauname normalius terminus (net su skirtingais vardikliais), kurie skaičiuojami pagal aukščiau aptartas taisykles;
- Tiesą sakant, apskaičiuokite gautų trupmenų sumą arba skirtumą. Dėl to mes praktiškai rasime atsakymą;
- Jei užduotyje reikėjo tik to, atliekame atvirkštinę transformaciją, t.y. atsikratome neteisingos trupmenos, išryškindami joje visą dalį.
Perėjimo į netinkamąsias trupmenas ir visos dalies paryškinimo taisyklės išsamiai aprašytos pamokoje „Kas yra skaitinė trupmena“. Jei neprisimenate, būtinai pakartokite. Pavyzdžiai:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Čia viskas paprasta. Kiekvienos išraiškos viduje esantys vardikliai yra lygūs, todėl belieka visas trupmenas paversti neteisingomis ir suskaičiuoti. Mes turime:
Kad viskas būtų paprasta, praleidau kai kuriuos akivaizdžius veiksmus paskutiniuose pavyzdžiuose.
Maža pastaba apie du naujausi pavyzdžiai, kur atimamos trupmenos su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi. Minusas prieš antrąją trupmeną reiškia, kad atimama visa trupmena, o ne tik visa trupmena.
Dar kartą perskaitykite šį sakinį, pažiūrėkite į pavyzdžius – ir pagalvokite. Čia pradedantieji daro daugybę klaidų. Jie mėgsta atlikti tokias užduotis valdymo darbai... Taip pat daugybę kartų su jais susidursite šios pamokos, kuri netrukus bus paskelbta, testuose.
Santrauka: bendra skaičiavimo schema
Baigdamas pateiksiu bendrą algoritmą, kuris padės rasti dviejų ar daugiau trupmenų sumą arba skirtumą:
- Jei viena ar kelios trupmenos turi visą dalį, konvertuokite šias trupmenas į neteisingas;
- Suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį bet kokiu jums patogiu būdu (nebent, žinoma, tai padarė problemos autoriai);
- Sudėti arba atimti gautus skaičius pagal trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimo ir atimties taisykles;
- Jei įmanoma, sumažinkite rezultatą. Jei trupmena neteisinga, pasirinkite visą dalį.
Atminkite, kad geriau pasirinkti visą dalį pačioje problemos pabaigoje, prieš pat įrašant atsakymą.
aš. Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.
Pavyzdžiai.
II. Jei reikia pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia trupmenos veda į mažiausią bendrą vardiklį, o tada pridėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais.
Pavyzdžiai.
III. Norėdami atimti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį tą patį.
Pavyzdžiai.
IV. Jei jums reikia atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, tada jie pirmiausia sujungia jas į bendrą vardiklį, o tada atima trupmenas su tais pačiais vardikliais.
Pavyzdžiai.
V. Atliekant mišriųjų skaičių sudėjimą ar atėmimą, šie veiksmai atliekami atskirai sveikosioms dalims ir trupmeninėms dalims, o tada rezultatas rašomas kaip mišrus skaičius.
Pavyzdžiai.
taip, reikia atskirai pridėti visas mišraus skaičiaus dalis ir atskirai trupmenines dalis.
ne, nereikia atskirai dažyti mišrių skaičių sveikųjų ir trupmeninių dalių.
Svarbu: nepradėkite pridėti, kol nekonvertavote mišrių skaičių trupmeninių dalių į mažiausią bendrą vardiklį (LCN).
Atminkite, kad vienetą galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, kurios skaitiklis ir vardiklis yra bet koks lygiavertis draugas draugui su skaičiais.
Svarbu: nepradėkite atimti tol, kol nesumažinsite mišrių skaičių trupmeninių dalių iki mažiausio bendro vardiklio (LCN) ir įsitikinsite, kad iš pirmosios trupmenos skaitiklio galite atimti antrosios trupmenos skaitiklį. Ką daryti, jei negalite atimti?
Tada jūs „pasiskolinate“ iš visos sumažinto vieno viso vieneto dalies, pateikiate ją kaip netaisyklingą trupmeną su tuo pačiu vardikliu (NOZ) ir pridedate šią netaisyklingą trupmeną (padalytas vienetas) prie sumažinto trupmeninės dalies.
Matematika. 5 Klasė. Testas 4 ... Parinktis 2 .
1. Norėdami trupmenas privesti prie mažiausio bendro vardiklio, turite: 1) rasti šių trupmenų vardklių LCM, tai bus jų mažiausias bendras vardiklis; 2) padalykite mažiausią bendrą vardiklį iš šių trupmenų vardikų ir kiekvienai trupmenai raskite papildomą koeficientą; 3) padauginkite kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento. Sumažinti iki mažiausio bendro trupmenos vardiklio:
2. Sumažinkite mišrius skaičius iki mažiausio bendro vardiklio:
3 ... Koordinačių spindulyje mažesnė trupmena pavaizduota didesnės trupmenos kairėje, o didesnė... mažesnės trupmenos dalis.
A)į kairę; V) priekyje; SU) už nugaros; D) aukščiau; E) daugiau į dešinę.
4. Užrašykite trupmenos didėjimo tvarka:
5. Pakeiskite žvaigždutę skaičiumi, kad gautumėte teisingą lygybę.
A) 10; AT 7; C) 2; D) 20; E) 25.
6 ... Naudojant raides, dviejų trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo taisyklę galima parašyti taip:
7. Norint pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, reikia: 1) suvesti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio; 2) atlikti gautų trupmenų sudėjimą pagal trupmenų su vienodais vardikliais sudėjimo taisyklę. Pridėkite trupmenas su skirtingais vardikliais:
8. Norint atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, reikia: 1) suvesti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio; 2) atlikti gautų trupmenų atėmimo veiksmą pagal trupmenų su tais pačiais vardikliais atėmimo taisyklę. Atimkite trupmenas su skirtingais vardikliais:
9 ... Atlikite papildymą:
10. Apskaičiuoti:
11 ... Apskaičiuoti:
12. Raskite stačiakampio, kurio kraštinės yra 7 cm ir 9 cm, plotą.
A) 63 cm²; V) 32 cm; SU) 72 cm²; D) 16 cm; E) 54 cm².
Puslapyje rasite testų atsakymus " Atsakymai " .
1 puslapis iš 1 1
Trupmenų pavyzdžiai yra vienas iš pagrindinių matematikos elementų. Yra daug skirtingų trupmeninių lygčių tipų. Žemiau yra išsamias instrukcijas spręsdami tokio tipo pavyzdžius.
Kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis – bendrosios taisyklės
Norėdami išspręsti pavyzdžius su bet kokio tipo trupmenomis, nesvarbu, ar tai būtų sudėjimas, atimtis, daugyba ar padalijimas, turite žinoti pagrindines taisykles:
- Norint pridėti trupmenines išraiškas su tuo pačiu vardikliu (vardiklis yra skaičius trupmenos apačioje, skaitiklis yra viršuje), reikia pridėti jų skaitiklius, o vardiklį palikti tą patį.
- Norėdami atimti antrą iš vienos trupmeninės išraiškos (su tuo pačiu vardikliu), turite atimti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.
- Norėdami pridėti arba atimti trupmenines išraiškas su skirtingais vardikliais, turite rasti mažiausią bendrą vardiklį.
- Norint rasti trupmeninę sandaugą, reikia padauginti skaitiklius ir vardiklius ir, jei įmanoma, sumažinti.
- Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti pirmąją trupmeną iš apverstos antros.
Kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis – praktika
1 taisyklės 1 pavyzdys:
Apskaičiuokite 3/4 +1/4.
Pagal 1 taisyklę, jei dviejų (ar daugiau) trupmenų vardiklis yra toks pat, tereikia pridėti jų skaitiklius. Gauname: 3/4 + 1/4 = 4/4. Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra vienodi, ši trupmena bus 1.
Atsakymas: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
2 taisyklė, 1 pavyzdys:
Apskaičiuokite: 3/4 - 1/4
Naudodami taisyklę numeris 2, norėdami išspręsti šią lygtį, turite atimti 1 iš 3 ir vardiklį palikti tą patį. Gauname 2/4. Kadangi du 2 ir 4 gali būti atšaukti, mes galime atšaukti ir gauti 1/2.
Atsakymas: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.
3 taisyklė, 1 pavyzdys
Apskaičiuokite: 3/4 + 1/6
Sprendimas: naudodamiesi 3-ia taisykle raskite mažiausią bendrą vardiklį. Mažiausias bendras vardiklis yra skaičius, padalytas iš visų pavyzdyje pateiktų trupmeninių reiškinių vardikų. Taigi reikia rasti tokį minimalų skaičių, kuris dalytųsi ir iš 4, ir iš 6. Tas skaičius yra 12. Vardikliu užrašome 12. 12 padalijame iš pirmosios trupmenos vardiklio, gauname 3, padauginame iš 3 , skaitiklyje parašykite 3 * 3 ir + ženklą. 12 padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio, gauname 2, 2 padauginame iš 1, skaitiklyje įrašome 2 * 1. Taigi, mes gavome naują trupmeną, kurios vardiklis lygus 12, o skaitiklis lygus 3 * 3 + 2 * 1 = 11. 11/12.
Atsakymas: 11/12
3 taisyklė, 2 pavyzdys:
Apskaičiuokite 3/4 - 1/6. Šis pavyzdys labai panašus į ankstesnį. Atliekame visus tuos pačius veiksmus, tačiau skaitiklyje vietoj + ženklo rašome minuso ženklą. Gauname: 3 * 3-2 * 1/12 = 9-2 / 12 = 7/12.
Atsakymas: 7/12
4 taisyklė, 1 pavyzdys:
Apskaičiuokite: 3/4 * 1/4
Naudodami ketvirtąją taisyklę, padauginame pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos skaitiklį - iš antrosios trupmenos skaitiklio. 3 * 1/4 * 4 = 3/16.
Atsakymas: 3/16
4 taisyklė, 2 pavyzdys:
Apskaičiuokite 2/5 * 10/4.
Ši trupmena gali būti sutrumpinta. Produkto atveju pirmosios trupmenos skaitiklis ir antrosios vardiklis bei antrosios trupmenos skaitiklis ir pirmosios trupmenos vardiklis panaikinami.
2 sumažinamas iš 4. 10 sumažinamas iš 5. gauname 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.
Atsakymas: 2/5 * 10/4 = 1
5 taisyklė, 1 pavyzdys:
Apskaičiuokite: 3/4: 5/6
Naudodami 5-ąją taisyklę, gauname: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Sumažinkite trupmeną, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, ir gaukite 9/10.
Atsakymas: 9/10.
Kaip išspręsti trupmenų pavyzdžius – trupmeninės lygtys
Trupmenų lygtys yra pavyzdžiai, kai vardiklyje yra nežinomasis. Norėdami išspręsti tokią lygtį, turite vadovautis tam tikromis taisyklėmis.
Panagrinėkime pavyzdį:
Išspręskite lygtį 15 / 3x + 5 = 3
Atminkite, kad negalima dalyti iš nulio, t.y. vardiklis neturi būti lygus nuliui. Sprendžiant tokius pavyzdžius, tai būtina nurodyti. Tam yra ODZ (leistinų verčių diapazonas).
Taigi 3x + 5 ≠ 0.
Taigi: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Jei x = 5/3, lygtis tiesiog neturi sprendimo.
Nurodęs ODZ, geriausias būdas išsprendę šią lygtį atsikratysite trupmenų. Norėdami tai padaryti, visas ne trupmenines reikšmes pirmiausia pavaizduojame kaip trupmeną, šiuo atveju skaičių 3. Gauname: 15 / (3x + 5) = 3/1. Norėdami atsikratyti trupmenų, turite kiekvieną iš jų padauginti iš mažiausio bendro vardiklio. Šiuo atveju tai būtų (3x + 5) * 1. Seka:
- Padauginkite 15 / (3x + 5) iš (3x + 5) * 1 = 15 * (3x + 5).
- Išplėskite skliaustus: 15 * (3x + 5) = 45x + 75.
- Tą patį darome su dešine lygties puse: 3 * (3x + 5) = 9x + 15.
- Kairės ir dešinės pusės lyginimas: 45x + 75 = 9x +15
- Perkelkite x į kairę, skaičius į dešinę: 36x = - 50
- Raskite x: x = -50/36.
- Sumažinti: -50/36 = -25/18
Atsakymas: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis – trupmeninės nelygybės
Trupmeninės nelygybės, tokios kaip (3x-5) / (2-x) ≥0, išsprendžiamos naudojant skaičių ašį. Panagrinėkime šį pavyzdį.
Seka:
- Skaitiklio ir vardiklio prilyginimas nuliui: 1,3x-5 = 0 => 3x = 5 => x = 5/3
2,2-x = 0 => x = 2 - Nubrėžiame skaičių ašį, užrašydami ant jos gautas reikšmes.
- Nubrėžkite apskritimą po verte. Apskritimas yra dviejų tipų – užpildytas ir tuščias. Užpildytas ratas tai reiškia duota vertė yra įtrauktas į sprendimų asortimentą. Tuščias apskritimas rodo, kad ši reikšmė neįtraukta į sprendimų diapazoną.
- Kadangi vardiklis negali būti nulis, po 2-uoju bus tuščias apskritimas.
- Norėdami nustatyti ženklus, į lygtį pakeiskite bet kurį skaičių, didesnį nei du, pavyzdžiui, 3. (3 * 3-5) / (2-3) = -4. reikšmė neigiama, todėl virš ploto po dviejų rašome minusą. Tada pakeiskite x bet kuria intervalo reikšme nuo 5/3 iki 2, pavyzdžiui, 1. Reikšmė vėl yra neigiama. Rašome minusą. Pakartokite tą patį su plotu iki 5/3. Pakeiskite bet kurį skaičių, mažesnį nei 5/3, pavyzdžiui, 1. Vėlgi minusas.
- Kadangi mus domina x reikšmės, kurioms esant išraiška bus didesnė arba lygi 0, o tokių reikšmių nėra (visur yra minusų), ši nelygybė neturi sprendimo, tai yra, x = Ø ( tuščias rinkinys).
Atsakymas: x = Ø
Vienas iš svarbiausių mokslų, kurio taikymas matomas tokiose disciplinose kaip chemija, fizika ir net biologija, yra matematika. Šio mokslo studijos leidžia ugdyti kai kurias psichines savybes, tobulėti ir gebėjimą susikaupti. Viena iš temų, kurioms „Matematikos“ kurse nusipelno ypatingo dėmesio, yra trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Daugeliui mokinių to mokytis sunku. Galbūt mūsų straipsnis padės geriau suprasti šią temą.
Kaip atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais
Trupmenos yra tie patys skaičiai, su kuriais galite atlikti įvairius veiksmus. Jie skiriasi nuo sveikųjų skaičių, kai yra vardiklis. Štai kodėl atliekant veiksmus su trupmenomis, reikia išstudijuoti kai kurias jų savybes ir taisykles. Paprasčiausias atvejis yra paprastųjų trupmenų atėmimas, kurių vardikliai vaizduojami kaip tas pats skaičius. Šis veiksmas nebus sunkus, jei žinosite paprastą taisyklę:
- Norint iš vienos trupmenos atimti antrąją, iš sumažintos trupmenos skaitiklio reikia atimti atimtos trupmenos skaitiklį. Šį skaičių įrašome į skirtumo skaitiklį, o vardiklį paliekame tą patį: k / m - b / m = (k-b) / m.
Trupmenų, kurių vardikliai yra vienodi, atėmimo pavyzdžiai
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Iš sumažintos trupmenos skaitiklio „7“ atimame atimtos trupmenos skaitiklį „3“, gauname „4“. Šį skaičių įrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje dedame tą patį skaičių, kuris buvo pirmosios ir antrosios trupmenų vardikliuose – „19“.
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta keletas panašių pavyzdžių. 
Apsvarstykite sudėtingesnį pavyzdį, kai atimamos trupmenos su tais pačiais vardikliais:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Iš sumažintos trupmenos skaitiklio „29“ paeiliui atimant visų vėlesnių trupmenų skaitiklius – „3“, „8“, „2“, „7“. Dėl to gauname rezultatą „9“, kurį įrašome į atsakymo skaitiklį, o vardiklyje užrašome skaičių, kuris yra visų šių trupmenų vardikliuose – „47“.
turintys tą patį vardiklį
Paprastųjų trupmenų sudėjimas ir atėmimas atliekamas tuo pačiu principu.
- Norint pridėti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi, reikia pridėti skaitiklius. Gautas skaičius yra sumos skaitiklis, o vardiklis išlieka toks pat: k / m + b / m = (k + b) / m.
Pažiūrėkime, kaip tai atrodo pavyzdyje:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Prie pirmojo trupmenos nario skaitiklio - "1" - pridėkite antrojo trupmenos nario skaitiklį - "2". Rezultatas – „3“ – rašomas sumos skaitiklyje, o vardiklis yra toks pat kaip ir trupmenose – „4“. 
Skirtingus vardiklius turinčios trupmenos ir jų atėmimas
Jau apsvarstėme veiksmą su trupmenomis, kurios turi tą patį vardiklį. Kaip matote, žinant paprastos taisyklės, tokius pavyzdžius išspręsti gana paprasta. Bet ką daryti, jei reikia atlikti veiksmą su trupmenomis, kurios turi skirtingus vardiklius? Daugelį aukštųjų mokyklų moksleivių šie pavyzdžiai glumina. Tačiau net ir čia, jei žinote sprendimo principą, pavyzdžiai jums nebekels jokių sunkumų. Čia taip pat yra taisyklė, be kurios tokių trupmenų sprendimas tiesiog neįmanomas.
Mes kalbėsime išsamiau apie tai, kaip tai padaryti.
Trupmenos savybė
Norint suvesti kelias trupmenas į tą patį vardiklį, sprendime reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę: skaitiklį ir vardiklį padalijus arba padauginus iš tas pats numeris gausite trupmeną, lygią duotajai.
Taigi, pavyzdžiui, trupmena 2/3 gali turėti tokius vardiklius kaip "6", "9", "12" ir tt, tai yra, ji gali turėti bet kokio skaičiaus, kuris yra "3" kartotinis, formą. Padauginus skaitiklį ir vardiklį iš „2“, gauname trupmeną 4/6. Pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus iš „3“, gauname 6/9, o jei tą patį veiksmą atliekame su skaičiumi „4“, gauname 8/12. Su viena lygybe tai galima parašyti taip:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Kaip paversti kelias trupmenas į tą patį vardiklį
Panagrinėkime, kaip kelias trupmenas suvesti į tą patį vardiklį. Pavyzdžiui, paimkite trupmenas, parodytas paveikslėlyje žemiau. Pirmiausia turite nustatyti, koks skaičius gali tapti jų visų vardikliu. Kad būtų lengviau, įvertiname galimus vardiklius.
1/2 ir 2/3 vardiklis negali būti koeficientas. Vardiklis 7/9 turi du koeficientus 7/9 = 7 / (3 x 3), trupmenos vardiklis 5/6 = 5 / (2 x 3). Dabar reikia nustatyti, kurie veiksniai bus mažiausi visoms šioms keturioms frakcijoms. Kadangi pirmoje vardiklio trupmenoje yra skaičius „2“, o tai reiškia, kad jis turi būti visuose vardikliuose, tai 7/9 trupmenoje yra du trigubai, o tai reiškia, kad jie abu turi būti ir vardiklyje. Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, nustatome, kad vardiklis susideda iš trijų veiksnių: 3, 2, 3 ir yra lygus 3 x 2 x 3 = 18. 
Apsvarstykite pirmąją trupmeną - 1/2. Jo vardiklyje yra „2“, tačiau nėra nė vieno skaitmens „3“, bet turėtų būti du. Norėdami tai padaryti, vardiklį padauginame iš dviejų trigubų, tačiau, atsižvelgiant į trupmenos savybę, skaitiklį turime padauginti iš dviejų trigubų:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18.
Panašiai atliekame veiksmus su likusiomis trupmenomis.
- 2/3 – vardiklyje trūksta vieno trijų ir vieno dviejų:
2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 arba 7 / (3 x 3) – vardiklyje trūksta dviejų:
7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18. - 5/6 arba 5 / (2 x 3) – vardiklyje trūksta trigubo:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.
Kartu tai atrodo taip: 
Kaip atimti ir sudėti trupmenas su skirtingais vardikliais
Kaip minėta aukščiau, norint pridėti ar atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada naudoti jau aprašytas trupmenų su tuo pačiu vardikliu atėmimo taisykles.
Pažvelkime į šį pavyzdį: 4/18 – 3/15.
Raskite 18 ir 15 kartotinį:
- Skaičius 18 sudarytas iš 3 x 2 x 3.
- Skaičius 15 sudarytas iš 5 x 3.
- Bendrasis kartotinis bus 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
Suradus vardiklį, reikia apskaičiuoti daugiklį, kuris kiekvienai trupmenai skirsis, tai yra skaičių, iš kurio reikės padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį. Norėdami tai padaryti, mūsų rastas skaičius (bendrasis kartotinis) yra padalintas iš trupmenos, kuriai reikia nustatyti papildomus veiksnius, vardiklio.
- 90 padalintas iš 15. Gautas skaičius "6" bus koeficientas 3/15.
- 90 padalytas iš 18. Gautas skaičius "5" bus daugiklis 4/18.
Kitas mūsų sprendimo žingsnis – kiekvieną trupmeną suvesti į vardiklį „90“.
Jau aptarėme, kaip tai daroma. Pažiūrėkime, kaip tai parašyta pavyzdyje:
(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Jei trupmenos yra su mažais skaičiais, tada galima nustatyti bendrą vardiklį, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. 
Panašiai atliekamas trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.
Trupmenų su sveikosiomis dalimis atėmimas ir sudėjimas
Mes jau išsamiai aptarėme trupmenų atėmimą ir jų pridėjimą. Bet kaip atimti, jei trupmena turi sveikąjį skaičių? Vėlgi, pasinaudokime keliomis taisyklėmis:
- Visos trupmenos, turinčios sveikąją dalį, turi būti konvertuojamos į neteisingas. Kalbėdamas paprastais žodžiais, nuimkite visą dalį. Norėdami tai padaryti, sveikosios dalies skaičių padauginkite iš trupmenos vardiklio, gautą sandaugą pridėkite prie skaitiklio. Skaičius, kuris bus gautas atlikus šiuos veiksmus, yra netinkamos trupmenos skaitiklis. Vardiklis lieka nepakitęs.
- Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, turėtumėte juos suvesti į tą patį.
- Pridėkite arba atimkite naudodami tuos pačius vardiklius.
- Jei gausite neteisingą trupmeną, pasirinkite visą dalį.
Yra ir kitas būdas, kuriuo galite sudėti ir atimti trupmenas su sveikomis dalimis. Tam veiksmai atliekami atskirai su ištisomis dalimis, o atskirai – su trupmenomis, o rezultatai fiksuojami kartu. 
Pirmiau pateiktame pavyzdyje pateikiamos trupmenos, turinčios tą patį vardiklį. Tuo atveju, kai vardikliai skiriasi, juos reikia sumažinti iki vienodų, o tada atlikti veiksmus, kaip parodyta pavyzdyje.
Trupmenų atėmimas iš sveikojo skaičiaus
Kitas veiksmų su trupmenomis tipas yra atvejis, kai trupmeną reikia atimti iš Iš pirmo žvilgsnio šis pavyzdys atrodo sunkiai išsprendžiamas. Tačiau čia viskas gana paprasta. Norėdami tai išspręsti, reikia paversti sveikąjį skaičių į trupmeną ir su tuo pačiu vardikliu, kuris yra atimamoje trupmenoje. Tada mes atliekame atimtį, panašią į atimtį su tais pačiais vardikliais. Pavyzdžiui, tai atrodo taip:
7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Šiame straipsnyje pateiktas trupmenų atėmimas (6 klasė) yra pagrindas sprendžiant sudėtingesnius pavyzdžius, kurie nagrinėjami tolesnėse klasėse. Šios temos žinios vėliau naudojamos sprendžiant funkcijas, išvestines ir pan. Todėl labai svarbu suprasti ir suprasti aukščiau aptartus veiksmus su trupmenomis.