वितरण घनत्व को देखते हुए एक सतत यादृच्छिक चर के लक्षण। वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए

इस मामले में वितरण कार्य, (5.7) के अनुसार, रूप लेगा:

जहाँ: m गणितीय अपेक्षा है, s मानक विचलन है।

जर्मन गणितज्ञ गॉस के बाद सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर का पैरामीटर के साथ सामान्य वितरण होता है: एम, निम्नानुसार दर्शाया गया है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम;

अक्सर, सूत्रों में, गणितीय अपेक्षा को द्वारा निरूपित किया जाता है ए . यदि एक यादृच्छिक चर को नियम N(0,1) के अनुसार वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य मान कहा जाता है। इसके लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

.

सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ, जिसे सामान्य वक्र या गाऊसी वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।

चावल। 5.4. सामान्य वितरण घनत्व

एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं को उसके घनत्व द्वारा निर्धारित करने पर एक उदाहरण पर विचार किया जाता है।

उदाहरण 6.

वितरण घनत्व द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर दिया जाता है: .

वितरण के प्रकार का निर्धारण करें, गणितीय अपेक्षा M(X) और प्रसरण D(X) ज्ञात करें।

दिए गए वितरण घनत्व की (5.16) से तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि m = 4 के साथ सामान्य वितरण नियम दिया गया है। इसलिए, गणितीय अपेक्षा M(X)=4, प्रसरण D(X)=9.

मानक विचलन एस = 3।

लैपलेस फ़ंक्शन, जिसका रूप है:

,

सामान्य वितरण फलन (5.17) से संबंधित है, संबंध द्वारा:

एफ 0 (एक्स) \u003d एफ (एक्स) + 0.5।

लाप्लास फ़ंक्शन विषम है।

(-x)=-Ф(x)।

लाप्लास फ़ंक्शन (х) के मानों को सारणीबद्ध किया जाता है और x के मान के अनुसार तालिका से लिया जाता है (देखें परिशिष्ट 1)।

एक सतत यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण संभाव्यता के सिद्धांत और वास्तविकता के वर्णन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; यह यादृच्छिक प्राकृतिक घटनाओं में बहुत व्यापक है। व्यवहार में, बहुत बार यादृच्छिक चर होते हैं जो कई यादृच्छिक शब्दों के योग के परिणामस्वरूप सटीक रूप से बनते हैं। विशेष रूप से, माप त्रुटियों के विश्लेषण से पता चलता है कि वे विभिन्न प्रकार की त्रुटियों का योग हैं। अभ्यास से पता चलता है कि माप त्रुटियों का संभाव्यता वितरण सामान्य कानून के करीब है।

लैपलेस फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोई दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना और एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए विचलन की गणना करने की समस्याओं को हल कर सकता है।

असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, निरंतर यादृच्छिक चर को इसके वितरण कानून की तालिका के रूप में निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक निश्चित क्रम में इसके सभी मूल्यों को सूचीबद्ध करना और लिखना असंभव है। एक सतत यादृच्छिक चर को परिभाषित करने का एक संभावित तरीका वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करना है।

परिभाषा। वितरण फलन एक ऐसा फलन है जो इस प्रायिकता को निर्धारित करता है कि एक यादृच्छिक चर एक मान पर ले जाएगा जो वास्तविक अक्ष पर x बिंदु के बाईं ओर एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है, अर्थात।

कभी-कभी, "वितरण फ़ंक्शन" शब्द के बजाय, "एकात्म कार्य" शब्द का उपयोग किया जाता है।

वितरण समारोह गुण:

1. वितरण फ़ंक्शन का मान खंड से संबंधित है: 0F(x)1
2. F(x) एक गैर-घटता फलन है, अर्थात। एफ (एक्स 2) एफ (एक्स 1) अगर एक्स 2> एक्स 1

कोरोलरी 1. एक यादृच्छिक चर के अंतराल (ए, बी) में निहित मान लेने की संभावना इस अंतराल पर वितरण फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है:

पी(एएक्स

उदाहरण 9. एक यादृच्छिक चर X एक वितरण फलन द्वारा दिया गया है:

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X, अंतराल (0; 2) से संबंधित मान लेगा: P(0

हल: चूंकि अंतराल (0;2) पर शर्त के अनुसार, F(x)=x/4+1/4, तो F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. तो पी(0

कोरोलरी 2. एक सतत यादृच्छिक चर X के एक निश्चित मान लेने की प्रायिकता शून्य के बराबर है।

कोरोलरी 3. यदि एक यादृच्छिक चर के संभावित मान अंतराल (a;b) से संबंधित हैं, तो: 1) F(x)=0 xa के लिए; 2) एफ (एक्स) = 1 एक्सबी के लिए।
निम्नलिखित सीमा संबंध मान्य हैं:

वितरण फलन का ग्राफ सीधी रेखाओं y=0, y=1 (पहली संपत्ति) से घिरी हुई पट्टी में स्थित होता है। जैसे-जैसे x अंतराल (a;b) में बढ़ता है, जिसमें यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान होते हैं, ग्राफ़ "ऊपर उठता है"। xa के लिए, ग्राफ के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं; xb पर, ग्राफ के निर्देशांक एक के बराबर हैं:

चित्र 1

उदाहरण 10. एक असतत यादृच्छिक चर X एक वितरण तालिका द्वारा दिया गया है:

एक्स	1	4	8
पी	0.3	0.1	0.6

वितरण फलन ज्ञात कीजिए और उसका ग्राफ बनाइए।
हल: वितरण फलन को विश्लेषणात्मक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

चित्र 2

परिभाषा: एक सतत यादृच्छिक चर X की संभाव्यता वितरण घनत्व फ़ंक्शन f (x) है - वितरण फ़ंक्शन F (x) का पहला व्युत्पन्न: f (x) \u003d F "(x)

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि वितरण फलन वितरण घनत्व का व्युत्पन्न है।

प्रमेय। संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्स अंतराल (ए; बी) से संबंधित मान लेगा, वितरण घनत्व के एक निश्चित अभिन्न के बराबर है, जिसे ए से बी की सीमा में लिया गया है:

(8)

संभाव्यता घनत्व गुण:

1. प्रायिकता घनत्व एक गैर-ऋणात्मक फलन है: f(x)0।
2. एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण घनत्व का -∞ से +∞ तक निश्चित अभिन्न 1: f(x)dx=1 के बराबर है।
3. एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण घनत्व का -∞ से x तक का निश्चित समाकल इस चर के वितरण फलन के बराबर होता है: f(x)dx=F(x)

उदाहरण 11. एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन घनत्व दिया है

इस संभावना का पता लगाएं कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक्स अंतराल (0.5; 1) से संबंधित मान लेगा।

हल: वांछित संभावना:

आइए हम असतत मात्राओं की संख्यात्मक विशेषताओं की परिभाषा को निरंतर मात्राओं तक विस्तारित करें। मान लीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व f(x) द्वारा दिया गया है।

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा, जिसके संभावित मान खंड से संबंधित हैं, एक निश्चित समाकलन कहलाता है:

एम (एक्स) = एक्सएफ (एक्स) डीएक्स (9)

यदि संभावित मान संपूर्ण x-अक्ष से संबंधित हैं, तो:

एम (एक्स) = एक्सएफ (एक्स) डीएक्स (10)

एक सतत यादृच्छिक चर X का बहुलक M 0 (X) इसका संभावित मान है, जो वितरण घनत्व के स्थानीय अधिकतम से मेल खाता है।

एक सतत यादृच्छिक चर X का माध्यिका M e (X) इसका संभावित मान है, जो समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

पी(एक्स ई (एक्स))=पी(एक्स>एम ई (एक्स))

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर का फैलाव इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा है। यदि X के संभावित मान खंड से संबंधित हैं, तो:

डी (एक्स) = 2 एफ (एक्स) डीएक्स (11)
या
डी (एक्स) = एक्स 2 एफ (एक्स) डीएक्स- 2 (11 *)

यदि संभावित मान संपूर्ण x-अक्ष से संबंधित हैं, तो।

समान वितरण। निरंतर मूल्य X समान रूप से वितरित हैअंतराल पर ( ए, बी) यदि इसके सभी संभावित मान इस अंतराल में हैं और संभाव्यता वितरण घनत्व स्थिर है:

यादृच्छिक चर के लिए एक्स, अंतराल में समान रूप से वितरित ( ए, बी) (चित्र 4), किसी भी अंतराल में गिरने की प्रायिकता ( एक्स 1 , एक्स 2) अंतराल के अंदर झूठ बोलना ( ए, बी), के बराबर है:

(30)


चावल। 4. समान वितरण घनत्व का ग्राफ

गोलाई त्रुटियाँ समान रूप से वितरित मात्राओं के उदाहरण हैं। इसलिए, यदि किसी निश्चित फ़ंक्शन के सभी सारणीबद्ध मानों को एक ही अंक में गोल किया जाता है, तो यादृच्छिक रूप से एक सारणीबद्ध मान का चयन करते हुए, हम मानते हैं कि चयनित संख्या की गोलाई त्रुटि अंतराल में समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर है

घातांकी रूप से वितरण। सतत यादृच्छिक चर एक्सयह है घातांकी रूप से वितरण

(31)

संभाव्यता वितरण घनत्व (31) का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 5.

चावल। 5. घातांक वितरण के घनत्व का ग्राफ

समय टीकंप्यूटर सिस्टम का विफलता-मुक्त संचालन एक यादृच्छिक चर है जिसमें पैरामीटर के साथ एक घातीय वितरण होता है λ , जिसका भौतिक अर्थ प्रति यूनिट समय में विफलताओं की औसत संख्या है, मरम्मत के लिए सिस्टम डाउनटाइम की गणना नहीं करना।

सामान्य (गाऊसी) वितरण। यादृच्छिक मूल्य एक्सयह है सामान्य (गाऊसी) वितरण, यदि इसकी संभावनाओं का घनत्व वितरण निर्भरता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(32)

कहाँ पे एम = एम(एक्स) , .

पर सामान्य वितरण कहलाता है मानक.

सामान्य वितरण (32) के घनत्व का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 6.

चावल। 6. सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ

सामान्य वितरण प्रकृति की विभिन्न यादृच्छिक घटनाओं में सबसे आम वितरण है। इस प्रकार, एक स्वचालित उपकरण द्वारा कमांड के निष्पादन में त्रुटियां, अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपण में त्रुटियां, कंप्यूटर सिस्टम के मापदंडों में त्रुटियां आदि। ज्यादातर मामलों में सामान्य या सामान्य वितरण के करीब होता है। इसके अलावा, बड़ी संख्या में यादृच्छिक शब्दों के योग से बनने वाले यादृच्छिक चर लगभग सामान्य कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं।

गामा वितरण। यादृच्छिक मूल्य एक्सयह है गामा वितरण, यदि इसकी संभावनाओं का घनत्व वितरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(33)

कहाँ पे यूलर गामा फ़ंक्शन है।

5. निश्चित अभिन्न। न्यूटन-लीबनिज सूत्र। एक निश्चित अभिन्न के गुण। एक निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ। समाकलन परिभाषित करें।

7. यादृच्छिक घटनाएं। एक यादृच्छिक घटना की संभावना की शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषाएँ। यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार

8. संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत। बार-बार स्वतंत्र परीक्षण। बर्नौली का सूत्र पॉइसन का सूत्र।

9. असतत यादृच्छिक चर। एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण का कानून। एक असतत यादृच्छिक चर की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएं और इसके गुण।

10. सतत यादृच्छिक चर। एक सतत यादृच्छिक चर और उसके गुणों का वितरण कार्य।

11. एक सतत यादृच्छिक चर और उसके गुणों के संभाव्यता वितरण का घनत्व। एक सतत यादृच्छिक चर की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएं।

12. सामान्य वितरण कानून। किसी दिए गए अंतराल में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता। थ्री सिग्मा नियम।

13. सांख्यिकीय समुच्चय सामान्य और नमूना सांख्यिकीय समुच्चय। सांख्यिकीय असतत वितरण श्रृंखला। आवृत्तियों और सापेक्ष आवृत्तियों के बहुभुज।

14. वितरण की सांख्यिकीय अंतराल श्रृंखला। सापेक्ष आवृत्तियों के आवृत्ति हिस्टोग्राम।

15. नमूना वितरण विशेषताएँ। सामान्य जनसंख्या की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं का बिंदु अनुमान

16. सामान्य जनसंख्या की संख्यात्मक विशेषताओं का अंतराल अनुमान। विश्वास अंतराल, आत्मविश्वास की संभावना। छात्र वितरण।

17. ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं की बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ। यांत्रिक कंपन। हार्मोनिक कंपन। अप्रकाशित कंपन।

18. नम कंपन। मजबूर कंपन। अनुनाद। आत्म-दोलन।

19. यांत्रिक (लोचदार) तरंगें। लहरों की मुख्य विशेषताएं। समतल तरंग समीकरण। ऊर्जा प्रवाह और तरंग तीव्रता। उमोव वेक्टर।

20. आंतरिक घर्षण (द्रव चिपचिपापन)। न्यूटन का सूत्र। न्यूटोनियन और गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ। लामिना और अशांत द्रव प्रवाह। हेगन-पोईसुइल सूत्र।

21. ध्वनि। ध्वनियों के प्रकार। ध्वनि की भौतिक विशेषताएं। श्रवण संवेदना के लक्षण और ध्वनि की भौतिक विशेषताओं के साथ उनका संबंध। ध्वनि तीव्रता के स्तर का पैमाना।

22. वेबर-फेचनर कानून। ध्वनि मात्रा स्तर पैमाने। समान प्रबलता के वक्र।

4. शरीर के पदार्थ, कोशिकाओं और ऊतकों पर अल्ट्रासाउंड का प्रभाव। चिकित्सा में अल्ट्रासाउंड का उपयोग।

25. डॉपलर प्रभाव और जैव चिकित्सा अनुसंधान में इसका उपयोग

26. प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियम। पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना। अपवर्तन के सीमित कोण। कुल परावर्तन का सीमित कोण।

27. रेफ्रेक्टोमीटर के संचालन का सिद्धांत। प्रेषित और परावर्तित प्रकाश में रेफ्रेक्टोमीटर बीम पथ।

28. जैविक झिल्ली, उनकी संरचना और कार्य। झिल्ली मॉडल।

29. झिल्ली के माध्यम से कणों का स्थानांतरण। फिक का समीकरण। एक जैविक झिल्ली के लिए फिक समीकरण का अनुप्रयोग। नर्नस्ट-प्लैंक समीकरण।

30. निष्क्रिय परिवहन और इसके मुख्य प्रकार। सक्रिय परिवहन की अवधारणा।

31. बायोइलेक्ट्रिक क्षमता। विराम विभव। कार्रवाई संभावित पीढ़ी तंत्र।

1 आराम करने वाला राज्य 2 विध्रुवण शुरू हो गया है

3 क्षेत्र पूरी तरह से विध्रुवित है 4 पुन: ध्रुवीकरण शुरू हो गया है

32. प्रत्यावर्ती धारा। प्रत्यावर्ती धारा परिपथ में प्रतिबाधा। शरीर के ऊतक प्रतिबाधा। प्रतिबाधा का फैलाव।

33. सरलतम प्रकाशीय सूक्ष्मदर्शी की युक्ति। माइक्रोस्कोप की रिज़ॉल्यूशन और रिज़ॉल्यूशन सीमा। माइक्रोस्कोप के संकल्प को बढ़ाने के तरीके। विसर्जन प्रणाली।

34. सूक्ष्मदर्शी का पूर्ण और उपयोगी आवर्धन। सूक्ष्मदर्शी में किरणों का पथ। एपर्चर डायाफ्राम और एपर्चर कोण।

35. प्रकाश का अवशोषण। बूगर का नियम। बौगुएर-लैम्बर्ट-बीयर कानून। एकाग्रता वर्णमिति। नेफेलोमेट्री।

36. प्रकाश प्रकीर्णन। टिंडल घटना। आणविक प्रकीर्णन, रेले का नियम। रमन प्रकीर्णन।

37. प्राकृतिक और ध्रुवीकृत प्रकाश। ध्रुवीकरण और विश्लेषक। मालुस का नियम

38. दो डाइलेक्ट्रिक्स की सीमा पर परावर्तन और अपवर्तन के दौरान प्रकाश का ध्रुवीकरण। ब्रूस्टर का नियम।

39. द्विभाजन पर प्रकाश का ध्रुवीकरण। प्रिज्म निकोलस। ध्रुवीकरण के विमान का रोटेशन। जैव कानून।

40. तापीय विकिरण के ऊष्मीय नियम। प्लैंक सूत्र।

1. किरचॉफ का नियम: किसी पिंड की उत्सर्जकता और उसकी अवशोषण क्षमता का अनुपात शरीर की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है और सभी निकायों के लिए तरंग दैर्ध्य और तापमान का समान कार्य होता है:

2. 2. स्टीफन-बोल्ट्जमैन कानून: एक बिल्कुल काले शरीर की कुल (संपूर्ण स्पेक्ट्रम पर) उत्सर्जन पूर्ण तापमान की चौथी शक्ति के समानुपाती होता है:

3. वियन का नियम (विस्थापन कानून): एक काले शरीर की अधिकतम विकिरण ऊर्जा के लिए जिम्मेदार तरंग दैर्ध्य पूर्ण तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

41. सूर्य का विकिरण इन्फ्रारेड और पराबैंगनी विकिरण और चिकित्सा में उनका उपयोग।

42. जीव का ऊष्मा स्थानांतरण थर्मोग्राफी का भौतिक आधार।

43. ल्यूमिनेसेंस, इसके प्रकार। ल्यूमिनेसिसेंस का तंत्र और गुण। स्टोक्स का नियम।

44. दवा और फार्मेसी में ल्यूमिनोफोर्स और ल्यूमिनसेंट विश्लेषण का अनुप्रयोग।

45. जबरन उत्सर्जन। स्तरों की व्युत्क्रम जनसंख्या। लेजर के मूल तत्व।

1. एक उपकरण जो इसे सुसंगत विकिरण में संसाधित करने के लिए ऊर्जा की आपूर्ति करता है

2. एक सक्रिय माध्यम जो इस ऊर्जा को अवशोषित करता है और इसे सुसंगत विकिरण के रूप में पुन: विकिरणित करता है

3. डिवाइस जो फीडबैक प्रदान करता है

49. पदार्थ के साथ एक्स-रे की बातचीत की प्राथमिक प्रक्रियाएं: सुसंगत प्रकीर्णन, कॉम्पटन प्रभाव, फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव।

50. चिकित्सा में एक्स-रे के उपयोग की भौतिक नींव। एक्स-रे डायग्नोस्टिक्स। आधुनिक एक्स-रे कंप्यूटेड टोमोग्राफी।

51. रेडियोधर्मिता की घटना। रेडियोधर्मी क्षय के प्रकार। रेडियोधर्मी क्षय का मूल नियम।

52. नाभिक और इसकी विशेषताओं का अल्फा क्षय। बीटा क्षय, इसके प्रकार, विशेषताएं और स्पेक्ट्रम। नाभिक का गामा विकिरण।

53. पदार्थ के साथ आयनकारी विकिरण की बातचीत

54. विकिरण चिकित्सा के तरीके। रेडियोन्यूक्लाइड डायग्नोस्टिक्स।

55. रेडियोआइसोटोप थेरेपी के तरीके।

56. आवेशित कण त्वरक और चिकित्सा में उनका उपयोग।

57. आयनकारी विकिरण की डोसिमेट्री। अवशोषित और जोखिम खुराक। खुराक की दर।

58. आयनकारी विकिरण के जैविक प्रभाव का परिमाणीकरण। विकिरण गुणवत्ता कारक। बराबर खुराक।

वितरण कार्य. फलन F(x), इस प्रायिकता के बराबर है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप यादृच्छिक चर X का मान x से कम होगा, कहलाता है किसी दिए गए यादृच्छिक चर का वितरण कार्य:एफ(एक्स)= पी(एक्स< एक्स)

वितरण समारोह गुण: 1) वितरण फलन असमानता को संतुष्ट करता है: 0≤F(x)≤1 ; 2) वितरण फलन एक गैर-घटता फलन है, अर्थात्। x 2 > x 1 का तात्पर्य F(x2)≥F(x1) से है। 3) वितरण फ़ंक्शन ई-तर्क में असीमित कमी के साथ 0 पर जाता है और इसकी असीमित वृद्धि के साथ 1 तक जाता है।

वितरण समारोह प्लॉट

11. एक सतत यादृच्छिक चर और उसके गुणों के संभाव्यता वितरण का घनत्व। एक सतत यादृच्छिक चर की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएं।

संभावित गहराई(प्रायिकता घनत्व) एक सतत यादृच्छिक चर X का f(x) इस चर के वितरण फलन F(x) का व्युत्पन्न है: f(x)=F'(x)

संभाव्यता घनत्व गुण: 1) प्रायिकता घनत्व एक गैर-ऋणात्मक फलन है: f(x)≥0; 2) संभावना है कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक निरंतर यादृच्छिक चर अंतराल (ए, बी) से कोई भी मान लेगा, इसके बराबर है: 3) एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता घनत्व की अनंतता से + अनंत तक की सीमा में निश्चित अभिन्न एक के बराबर है: 4) एक सतत यादृच्छिक चर के प्रायिकता घनत्व का निश्चित समाकल, ऋण अनंत से लेकर x तक, इस चर के वितरण फलन के बराबर होता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं के तहत गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन को समझें।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एक सतत यादृच्छिक चर का फैलाव डी(एक्स) = एम[ एक्स – एम(एक्स)] 2 . (जोड़ें)

मानक विचलन: σ(х)= √D(X)

12. सामान्य वितरण कानून। किसी दिए गए अंतराल में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता। थ्री सिग्मा नियम।

निरंतर यादृच्छिक चर के सभी प्रकार के वितरण में से, सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है सामान्य वितरण , जो सेट है गॉस कानून। इसलिए, यदि हमारे पास बड़ी संख्या में स्वतंत्र मात्रा का योग है, जो वितरण के किसी भी कानून के अधीन है, तो कुछ सामान्य परिस्थितियों में यह लगभग सामान्य कानून का पालन करेगा। सतत यादृच्छिक चर सामान्य कानून के अनुसार वितरित कहा जाता है,यदि इसकी संभाव्यता घनत्व है: (वृद्धि, जोड़ें), जहां एम गणितीय अपेक्षा है, वर्ग विचरण है, σ इस मान का मानक विचलन है। यह गाऊसी वक्र है:

व्यंजक को प्रतिस्थापित करना व्यंजक में सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के प्रायिकता घनत्व के लिए , हम संभावना प्राप्त करते हैं कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर

दिए गए अंतराल से एक मान लेगा: पी(ए< एक्स< बी) =____________________

थ्री सिग्मा रूल : एक यादृच्छिक चर के सामान्य वितरण के मूल्यों का विचलन इसकी गणितीय अपेक्षा से निरपेक्ष मूल्य में व्यावहारिक रूप से इसके तीन गुना मानक विचलन से अधिक नहीं है।

(एनएसवी)

निरंतरएक यादृच्छिक चर है जिसका संभावित मान लगातार एक निश्चित अंतराल पर कब्जा कर लेता है।

यदि एक असतत चर को उसके सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं की सूची द्वारा दिया जा सकता है, तो एक निरंतर यादृच्छिक चर जिसका संभावित मान पूरी तरह से एक निश्चित अंतराल पर कब्जा कर लेता है ( ए, बी) सभी संभावित मूल्यों की सूची निर्दिष्ट करना असंभव है।

रहने दो एक्सएक वास्तविक संख्या है। घटना की संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्ससे कम मान लेता है एक्स, अर्थात। घटना की संभावना एक्स <एक्स, द्वारा चिह्नित एफ(एक्स) यदि एक एक्सपरिवर्तन, फिर, निश्चित रूप से, परिवर्तन और एफ(एक्स), अर्थात। एफ(एक्स) का एक कार्य है एक्स.

वितरण समारोहफ़ंक्शन को कॉल करें एफ(एक्स), जो इस संभावना को निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर एक्सपरीक्षण के परिणामस्वरूप से कम मान लेगा एक्स, अर्थात।

एफ(एक्स) = आर(एक्स < एक्स).

ज्यामितीय रूप से, इस समानता की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: एफ(एक्स) प्रायिकता है कि यादृच्छिक चर उस मान को ले लेगा जो वास्तविक अक्ष पर बिंदु के बाईं ओर एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है एक्स.

वितरण समारोह गुण।

दस । वितरण फ़ंक्शन के मान अंतराल से संबंधित हैं:

0 ≤ एफ(एक्स) ≤ 1.

2 0 . एफ(एक्स) एक गैर-घटता कार्य है, अर्थात।

एफ(एक्स 2) ≥ एफ(एक्स 1) अगर एक्स 2 > एक्स 1 .

परिणाम 1.संभावना है कि एक यादृच्छिक चर अंतराल में निहित मान पर ले जाएगा ( ए, बी), इस अंतराल पर वितरण फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है:

आर(ए < एक्स <बी) = एफ(बी) − एफ(ए).

उदाहरण।यादृच्छिक मूल्य एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया

एफ(एक्स) =

यादृच्छिक मूल्य एक्स 0, 2).

कोरोलरी 1 के अनुसार, हमारे पास है:

आर(0 < एक्स <2) = एफ(2) − एफ(0).

चूंकि अंतराल (0, 2) पर, शर्त के अनुसार, एफ(एक्स) = + , तो

एफ(2) − एफ(0) = (+ ) − (+ ) = .

इस प्रकार,

आर(0 < एक्स <2) = .

परिणाम 2.संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक्सशून्य के बराबर एक निश्चित मान लेगा।

तीस । यदि यादृच्छिक चर के संभावित मान अंतराल से संबंधित हैं ( ए, बी), तब

1). एफ(एक्स) = 0 के लिए एक्स ≤ ए;

2). एफ(एक्स) = 1 के लिए एक्स ≥ बी.

परिणाम।यदि संभव हो तो मान एनएसवीसंपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर स्थित है ओह(−∞, +∞), तो निम्नलिखित सीमा संबंध धारण करते हैं:

विचार किए गए गुण हमें एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन के ग्राफ का एक सामान्य दृश्य प्रस्तुत करने की अनुमति देते हैं:

वितरण समारोह एनएसवी एक्सअक्सर कॉल अभिन्न कार्य.

एक असतत यादृच्छिक चर का एक वितरण कार्य भी होता है:

असतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक चरणबद्ध रूप होता है।

उदाहरण। डीएसवी एक्सवितरण कानून द्वारा दिया गया

एक्स 1 4 8

आर 0,3 0,1 0,6.

इसका वितरण फलन ज्ञात कीजिए और एक ग्राफ बनाइए।

यदि एक एक्स 1, तो एफ(एक्स) = 0.

अगर 1< एक्स 4, फिर एफ(एक्स) = आर 1 =0,3.

अगर 4< एक्स 8, फिर एफ(एक्स) = आर 1 + आर 2 = 0,3 + 0,1 = 0,4.

यदि एक एक्स> 8, फिर एफ(एक्स) = 1 (या एफ(एक्स) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1).

तो, दिए गए का वितरण कार्य डीएसवी एक्स:

वांछित वितरण समारोह का ग्राफ:

एनएसवीसंभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

संभाव्यता वितरण घनत्व NSV Xफ़ंक्शन को कॉल करें एफ(एक्स) वितरण फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है एफ(एक्स):

एफ(एक्स) = .

वितरण फलन वितरण घनत्व के लिए प्रतिअवकलन है। वितरण घनत्व को संभाव्यता घनत्व भी कहा जाता है, विभेदक कार्य.

वितरण घनत्व के प्लॉट को कहा जाता है वितरण वक्र.

प्रमेय 1.संभावना है कि एनएसवी एक्सअंतराल से संबंधित मान लेगा ( ए, बी), वितरण घनत्व के एक निश्चित अभिन्न के बराबर है, से सीमा में लिया गया है एइससे पहले बी:

आर(ए < एक्स < बी) = .

○ आर(ए < एक्स <बी) = एफ(बी) −एफ(ए) == . ●

ज्यामितीय अर्थ: संभावना है कि एनएसवीअंतराल से संबंधित मान लेगा ( ए, बी), अक्ष से घिरे वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर है ओहवितरण वक्र एफ(एक्स) और प्रत्यक्ष एक्स =एऔर एक्स=बी.

उदाहरण।संभाव्यता घनत्व को देखते हुए एनएसवी एक्स

एफ(एक्स) =

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्सअंतराल से संबंधित मान लेगा (0.5; 1)।

आर(0,5 < एक्स < 1) = 2= = 1 – 0,25 = 0,75.

वितरण घनत्व गुण:

दस । वितरण घनत्व एक गैर-ऋणात्मक कार्य है:

एफ(एक्स) ≥ 0.

20. −∞ से +∞ की सीमा में वितरण घनत्व का अनुचित समाकलन एक के बराबर होता है:

विशेष रूप से, यदि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान अंतराल से संबंधित हैं ( ए, बी), तब

रहने दो एफ(एक्स) वितरण घनत्व है, एफ(एक्स) वितरण फलन है, तो

एफ(एक्स) = .

○ एफ(एक्स) = आर(एक्स < एक्स) = आर(−∞ < एक्स < एक्स) = =, यानी।

एफ(एक्स) = . ●

उदाहरण (*)।किसी दिए गए वितरण घनत्व के लिए वितरण फलन ज्ञात कीजिए:

एफ(एक्स) =

पाए गए फ़ंक्शन को प्लॉट करें।

ह ज्ञात है कि एफ(एक्स) = .

यदि एक, एक्स ≤ ए, तब एफ(एक्स) = = == 0;

यदि एक ए < एक्स ≤ बी, तब एफ(एक्स) = =+ = = .

यदि एक एक्स > बी, तब एफ(एक्स) = =+ + = = 1.

एफ(एक्स) =

वांछित फ़ंक्शन का ग्राफ:

एनएसवी की संख्यात्मक विशेषताएं

गणितीय अपेक्षा NSV X, जिसके संभावित मान अंतराल के हैं [ ए, बी], निश्चित समाकलन कहा जाता है

एम(एक्स) = .

यदि सभी संभावित मान संपूर्ण अक्ष के हैं ओह, तब

एम(एक्स) = .

यह माना जाता है कि अनुचित अभिन्न पूरी तरह से अभिसरण करता है।

फैलाव एनएसवी एक्सइसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

यदि संभव हो तो मान एक्सखंड से संबंधित हैं [ ए, बी], तब

डी(एक्स) = ;

यदि संभव हो तो मान एक्ससंपूर्ण वास्तविक अक्ष (−∞; +∞) से संबंधित हैं, तब

डी(एक्स) = .

प्रसरण की गणना के लिए अधिक सुविधाजनक सूत्र प्राप्त करना आसान है:

डी(एक्स) = − [एम(एक्स)] 2 ,

डी(एक्स) = − [एम(एक्स)] 2 .

मानक विचलन एनएसवीसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है

(एक्स) = .

टिप्पणी।गणितीय अपेक्षा और विचरण के गुण डीएसवीके लिए सहेजा गया एनएसवी एक्स.

उदाहरण।ढूँढ़ने के लिए एम(एक्स) और डी(एक्स) अनियमित चर एक्स, वितरण समारोह द्वारा दिया गया

एफ(एक्स) =

वितरण घनत्व का पता लगाएं

एफ(एक्स) = =

हमे पता करने दें एम(एक्स):

एम(एक्स) = = = = .

हमे पता करने दें डी(एक्स):

डी(एक्स) = − [एम(एक्स)] 2 = − = − = .

उदाहरण (**)।ढूँढ़ने के लिए एम(एक्स), डी(एक्स) और ( एक्स) अनियमित चर एक्स, अगर

एफ(एक्स) =

हमे पता करने दें एम(एक्स):

एम(एक्स) = = =∙= .

हमे पता करने दें डी(एक्स):

डी(एक्स) =− [एम(एक्स)] 2 =− = ∙−=.

हमे पता करने दें ( एक्स):

(एक्स) = = = .

एनएसवी के सैद्धांतिक क्षण।

आदेश के प्रारंभिक सैद्धांतिक क्षण k NSV Xसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है

के = .

आदेश के केंद्रीय सैद्धांतिक क्षण k NSWसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है

माइक्रो = .

विशेष रूप से, यदि सभी संभव मान एक्सअंतराल से संबंधित हैं ( ए, बी), तब

के = ,

माइक्रो = .

स्पष्टतः:

क = 1: ν 1 = एम(एक्स), μ 1 = 0;

क = 2: μ 2 = डी(एक्स).

के बीच संबंध केऔर माइक्रोपसंद करना डीएसवी:

μ 2 = ν 2 − ν 1 2 ;

μ 3 = ν 3 − 3ν 2 ν 1 + 2ν 1 3 ;

μ 4 = ν 4 − 4ν 3 ν 1 + 6 ν 2 ν 1 2 − 3ν 1 4 .

एनएसवी के वितरण के कानून

वितरण घनत्व एनएसवीयह भी कहा जाता है वितरण कानून.

समान वितरण का नियम।

प्रायिकता बंटन कहलाता है वर्दी, यदि अंतराल पर यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान संबंधित हैं, तो वितरण घनत्व स्थिर रहता है।

समान वितरण का प्रायिकता घनत्व:

एफ(एक्स) =

उसका कार्यक्रम:

उदाहरण (*) से यह इस प्रकार है कि समान वितरण के वितरण कार्य का रूप है:

एफ(एक्स) =

उसका कार्यक्रम:

उदाहरण (**) से, समान वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं इस प्रकार हैं:

एम(एक्स) = , डी(एक्स) = , (एक्स) = .

उदाहरण।एक निश्चित रूट की बसें शेड्यूल के अनुसार सख्ती से चलती हैं। आंदोलन अंतराल 5 मिनट। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक स्टॉप पर पहुंचने वाला यात्री 3 मिनट से कम समय के लिए अगली बस की प्रतीक्षा करेगा।

यादृच्छिक मूल्य एक्स- आने वाले यात्री द्वारा बस का इंतजार करने का समय। इसके संभावित मान अंतराल (0; 5) के हैं।

जैसा एक्सएक समान रूप से वितरित मात्रा है, तो संभाव्यता घनत्व है:

एफ(एक्स) = = = अंतराल पर (0; 5)।

यात्री को 3 मिनट से कम समय के लिए अगली बस की प्रतीक्षा करने के लिए, उसे अगली बस के आने से 2 से 5 मिनट पहले की अवधि के भीतर बस स्टॉप पर आना होगा:

इसलिये,

आर(2 < एक्स < 5) == = = 0,6.

सामान्य वितरण का नियम।

सामान्यसंभाव्यता वितरण कहा जाता है एनएसवी एक्स

एफ(एक्स) = .

सामान्य वितरण दो मापदंडों द्वारा परिभाषित किया गया है: एऔर σ .

संख्यात्मक विशेषताएं:

एम(एक्स) == = =

= = + = ए,

क्योंकि पहला इंटीग्रल शून्य के बराबर है (इंटीग्रैंड विषम है, दूसरा इंटीग्रल पोइसन इंटीग्रल है, जो बराबर है।

इस प्रकार, एम(एक्स) = ए, अर्थात। सामान्य वितरण की गणितीय अपेक्षा पैरामीटर के बराबर है ए.

मान लीजिये एम(एक्स) = ए, हम पाते हैं

डी(एक्स) = = =

इस प्रकार, डी(एक्स) = .

इसलिये,

(एक्स) = = = ,

वे। सामान्य वितरण का मानक विचलन पैरामीटर के बराबर है।

आममनमाना मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण कहा जाता है एऔर (>0)।

सामान्यीकृतमापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण कहा जाता है ए= 0 और = 1. उदाहरण के लिए, यदि एक्स- मापदंडों के साथ सामान्य मूल्य एऔर फिर यू= - सामान्यीकृत सामान्य मान, और एम(यू) = 0, (यू) = 1.

सामान्यीकृत वितरण का घनत्व:

φ (एक्स) = .

समारोह एफ(एक्स) सामान्य सामान्य वितरण:

एफ(एक्स) = ,

और सामान्यीकृत वितरण समारोह:

एफ 0 (एक्स) = .

सामान्य वितरण घनत्व प्लॉट को कहा जाता है सामान्य वक्र (गाऊसी वक्र):

पैरामीटर बदलना एअक्ष के अनुदिश वक्र के विस्थापन की ओर ले जाता है ओह: सही अगर एबढ़ता है, और बाईं ओर यदि एघटता है।

पैरामीटर में परिवर्तन होता है: वृद्धि के साथ, सामान्य वक्र की अधिकतम कोटि कम हो जाती है, और वक्र स्वयं समतल हो जाता है; घटने पर, सामान्य वक्र अधिक "शिखर" हो जाता है और अक्ष की सकारात्मक दिशा में फैल जाता है ओए:

यदि एक ए= 0, ए = 1, फिर सामान्य वक्र

φ (एक्स) =

बुलाया सामान्यीकृत.

एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना।

चलो यादृच्छिक चर एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित। तो संभावना है कि एक्स

आर(α < एक्स < β ) = = =

लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करना

Φ (एक्स) = ,

अंत में हमें मिलता है

आर(α < एक्स < β ) = Φ () − Φ ().

उदाहरण।यादृच्छिक मूल्य एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित। इस मात्रा की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन क्रमशः 30 और 10 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक्स

शर्त से, α =10, β =50, ए=30, =1.

आर(10< एक्स< 50) = Φ () − Φ () = 2Φ (2).

तालिका के अनुसार: Φ (2) = 0.4772. यहां से

आर(10< एक्स< 50) = 2∙0,4772 = 0,9544.

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के विचलन की संभावना की गणना करने के लिए अक्सर इसकी आवश्यकता होती है एक्सनिर्दिष्ट से कम निरपेक्ष मूल्य में δ > 0, यानी। असमानता के बोध की प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है | एक्स − ए| < δ :

आर(| एक्स − ए| < δ ) = आर(ए -< एक्स< ए+ δ ) = Φ () − Φ () =

= Φ () − Φ () = 2Φ ().

विशेष रूप से, जब ए = 0:

आर(| एक्स | < δ ) = 2Φ ().

उदाहरण।यादृच्छिक मूल्य एक्ससामान्य रूप से वितरित। गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन क्रमशः 20 और 10 हैं। निरपेक्ष मान में विचलन 3 से कम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

शर्त से, δ = 3, ए= 20, = 10। फिर

आर(| एक्स − 20| < 3) = 2 Φ () = 2Φ (0,3).

तालिका के अनुसार: Φ (0,3) = 0,1179.

इसलिये,

आर(| एक्स − 20| < 3) = 0,2358.

थ्री सिग्मा नियम।

ह ज्ञात है कि

आर(| एक्स − ए| < δ ) = 2Φ ().

रहने दो δ = टी, तब

आर(| एक्स − ए| < टी) = 2Φ (टी).

यदि एक टी= 3 और इसलिए, टी= 3, तब

आर(| एक्स − ए| < 3) = 2Φ (3) = 2∙ 0,49865 = 0,9973,

वे। लगभग एक निश्चित घटना प्राप्त की।

थ्री सिग्मा नियम का सार: यदि एक यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा से इसके विचलन का निरपेक्ष मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है।

व्यवहार में, तीन-सिग्मा नियम निम्नानुसार लागू किया जाता है: यदि अध्ययन के तहत यादृच्छिक चर का वितरण अज्ञात है, लेकिन उपरोक्त नियम में निर्दिष्ट शर्त पूरी होती है, तो यह मानने का कारण है कि अध्ययन किया गया चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है; अन्यथा, यह सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है।

ल्यपुनोव की केंद्रीय सीमा प्रमेय।

यदि यादृच्छिक चर एक्सपारस्परिक रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर की एक बहुत बड़ी संख्या का योग है, जिनमें से प्रत्येक का प्रभाव पूरी राशि पर नगण्य है, तो एक्सवितरण सामान्य के करीब है।

उदाहरण।मान लीजिए कि कुछ भौतिक मात्राएँ मापी जाती हैं। कोई भी माप मापी गई मात्रा का केवल एक अनुमानित मूल्य देता है, क्योंकि कई स्वतंत्र यादृच्छिक कारक (तापमान, उपकरण में उतार-चढ़ाव, आर्द्रता, आदि) माप परिणाम को प्रभावित करते हैं। इनमें से प्रत्येक कारक एक नगण्य "आंशिक त्रुटि" उत्पन्न करता है। हालाँकि, चूंकि इन कारकों की संख्या बहुत बड़ी है, इसलिए उनका संचयी प्रभाव पहले से ही ध्यान देने योग्य "कुल त्रुटि" उत्पन्न करता है।

कुल त्रुटि को पारस्परिक रूप से स्वतंत्र आंशिक त्रुटियों की एक बहुत बड़ी संख्या के योग के रूप में देखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कुल त्रुटि का वितरण सामान्य के करीब है। अनुभव इस निष्कर्ष की वैधता की पुष्टि करता है। मैं

आइए हम उन शर्तों को लिखें जिनके तहत बड़ी संख्या में स्वतंत्र पदों के योग का वितरण सामान्य के करीब होता है।

रहने दो एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स पी- स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक क्रम, जिनमें से प्रत्येक की एक सीमित गणितीय अपेक्षा और विचरण है:

एम(एक्स के) = एक को , डी(एक्स के) = .

आइए संकेतन का परिचय दें:

एस नहीं = , एक = , बी नहीं = .

आइए हम सामान्यीकृत योग के वितरण फलन को इस प्रकार निरूपित करें:

एफ पी(एक्स) = पी(< एक्स).

वे क्रम से कहते हैं एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स पीकेंद्रीय सीमा प्रमेय लागू होता है यदि किसी के लिए एक्ससामान्यीकृत योग का वितरण फलन पी→ सामान्य वितरण फलन की ओर प्रवृत्त होता है:

घातीय वितरण का नियम।

सूचक(घातीय) को प्रायिकता बंटन कहा जाता है एनएसवी एक्स, जो घनत्व द्वारा वर्णित है

एफ(एक्स) =

कहाँ पे λ एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है।

घातीय वितरण एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है λ .

फंक्शन ग्राफ एफ(एक्स):

आइए वितरण फ़ंक्शन खोजें:

अगर, एक्स 0, तब एफ(एक्स) = = == 0;

अगर एक्स 0, तब एफ(एक्स) == += λ∙ = 1 − ई −λx.

तो वितरण समारोह इस तरह दिखता है:

एफ(एक्स) =

वांछित फ़ंक्शन का ग्राफ:

संख्यात्मक विशेषताएं:

एम(एक्स) == λ = = .

इसलिए, एम(एक्स) = .

डी(एक्स) =− [एम(एक्स)] 2 = λ − = = .

इसलिए, डी(एक्स) = .

(एक्स) = =, यानी। ( एक्स) = .

मिला क्या एम(एक्स) = (एक्स) = .

उदाहरण। एनएसवी एक्स

एफ(एक्स) = 5इ −5एक्सपर एक्स ≥ 0; एफ(एक्स) = 0 के लिए एक्स < 0.

ढूँढ़ने के लिए एम(एक्स), डी(एक्स), (एक्स).

शर्त से, λ = 5. इसलिए,

एम(एक्स) = (एक्स) = = = 0,2;

डी(एक्स) = = = 0,04.

संभावना है कि एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर किसी दिए गए अंतराल में आता है।

चलो यादृच्छिक चर एक्सएक घातीय कानून के अनुसार वितरित। तो संभावना है कि एक्सअंतराल से एक मान लेगा), के बराबर है

आर(ए < एक्स < बी) = एफ(बी) − एफ(ए) = (1 − ई -λ बी) − (1 − ई −λ ए) = ई −λ ए − ई -λ बी.

उदाहरण। एनएसवी एक्सघातीय कानून के अनुसार वितरित

एफ(एक्स) = 2इ −2एक्सपर एक्स ≥ 0; एफ(एक्स) = 0 के लिए एक्स < 0.

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्सअंतराल से एक मान लेगा)।

शर्त से, λ = 2. तब

आर(0,3 < एक्स < 1) = ई - 2∙0,3 − ई - 2∙1 = 0,54881− 0,13534 ≈ 0,41.

घातीय वितरण व्यापक रूप से अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, विश्वसनीयता सिद्धांत में।

हम फोन करेंगे तत्वकुछ उपकरण, चाहे वह "सरल" हो या "जटिल"।

तत्व समय के क्षण में काम करना शुरू करें टी 0 = 0, और समय के बाद टीविफलता होती है। द्वारा निरूपित करें टीनिरंतर यादृच्छिक चर - तत्व के अपटाइम की अवधि। यदि तत्व त्रुटिपूर्ण रूप से (विफलता से पहले) काम करता है, तो समय कम है टी, तो, इसलिए, एक समय अवधि के लिए टीइनकार हो जाएगा।

तो वितरण समारोह एफ(टी) = आर(टी < टी) समय अवधि के साथ विफलता की संभावना निर्धारित करता है टी. इसलिए, एक ही समय अवधि के लिए विफलता-मुक्त संचालन की संभावना टी, अर्थात। विपरीत घटना की संभावना टी > टी, के बराबर है

आर(टी) = आर(टी > टी) = 1− एफ(टी).

विश्वसनीयता समारोह आर(टी) को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जो एक समय अवधि में किसी तत्व के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना को निर्धारित करता है टी:

आर(टी) = आर(टी > टी).

अक्सर, किसी तत्व के अपटाइम की अवधि का एक घातीय वितरण होता है, जिसका वितरण कार्य होता है

एफ(टी) = 1 − ई -λ टी.

इसलिए, तत्व के अपटाइम के घातीय वितरण के मामले में विश्वसनीयता फ़ंक्शन का रूप है:

आर(टी) = 1− एफ(टी) = 1− (1 − ई -λ टी) = ई -λ टी.

विश्वसनीयता का घातीय नियमसमानता द्वारा परिभाषित विश्वसनीयता फलन कहलाता है

आर(टी) = ई -λ टी,

कहाँ पे λ - विफलता दर।

उदाहरण।तत्व का अपटाइम घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है

एफ(टी) = 0,02इ −0,02 टीपर टी ≥0 (टी- समय)।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि तत्व 100 घंटे तक त्रुटिपूर्ण ढंग से कार्य करेगा।

परंपरा के अनुसार, निरंतर विफलता दर λ = 0.02। फिर

आर(100) = ई - 0,02∙100 = ई - 2 = 0,13534.

विश्वसनीयता के घातीय नियम का एक महत्वपूर्ण गुण है: अवधि के समय अंतराल पर किसी तत्व के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना टीमाना अंतराल की शुरुआत से पहले पिछले काम के समय पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल समय की अवधि पर निर्भर करता है टी(किसी दी गई विफलता दर के लिए λ ).

दूसरे शब्दों में, विश्वसनीयता के घातीय नियम के मामले में, "अतीत में" किसी तत्व का विफलता-मुक्त संचालन "निकट भविष्य में" इसके विफलता-मुक्त संचालन की संभावना को प्रभावित नहीं करता है।

केवल घातीय वितरण में ही यह गुण होता है। इसलिए, यदि व्यवहार में अध्ययन के तहत यादृच्छिक चर में यह गुण होता है, तो इसे घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

बड़ी संख्या का नियम

चेबीशेव की असमानता।

एक यादृच्छिक चर के विचलन की प्रायिकता एक्सएक सकारात्मक संख्या से कम निरपेक्ष मान में इसकी गणितीय अपेक्षा से ε , कम से कम 1 - :

आर(|एक्स – एम(एक्स)| < ε ) ≥ 1 – .

चेबीशेव की असमानता सीमित व्यावहारिक मूल्य की है, क्योंकि यह अक्सर एक मोटा और कभी-कभी तुच्छ (बिना रुचि के) अनुमान देता है।

चेबीशेव की असमानता का सैद्धांतिक महत्व बहुत बड़ा है।

चेबीशेव की असमानता के लिए मान्य है डीएसवीऔर एनएसवी.

उदाहरण।डिवाइस में 10 स्वतंत्र रूप से ऑपरेटिंग तत्व होते हैं। समय में प्रत्येक तत्व के विफल होने की प्रायिकता टी 0.05 के बराबर है। चेबीशेव असमानता का उपयोग करते हुए, इस संभावना का अनुमान लगाएं कि समय के साथ विफल तत्वों की संख्या और विफलताओं की औसत संख्या के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य टीदो से कम होगा।

रहने दो एक्ससमय के साथ विफल तत्वों की संख्या है टी.

विफलताओं की औसत संख्या गणितीय अपेक्षा है, अर्थात। एम(एक्स).

एम(एक्स) = आदि = 10∙0,05 = 0,5;

डी(एक्स) = एनपीक्यू =10∙0,05∙0,95 = 0,475.

हम चेबीशेव असमानता का उपयोग करते हैं:

आर(|एक्स – एम(एक्स)| < ε ) ≥ 1 – .

शर्त से, ε = 2. तब

आर(|एक्स – 0,5| < 2) ≥ 1 – = 0,88,

आर(|एक्स – 0,5| < 2) ≥ 0,88.

चेबीशेव का प्रमेय।

यदि एक एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स पीजोड़ीवार स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, और उनके प्रसरण समान रूप से सीमित हैं (एक स्थिर संख्या से अधिक नहीं है साथ में), तो सकारात्मक संख्या कितनी भी छोटी क्यों न हो ε , असमानता की संभावना

|− | < ε

मनमाने ढंग से एकता के करीब होगा यदि यादृच्छिक चर की संख्या काफी बड़ी है या, दूसरे शब्दों में,

− | < ε ) = 1.

इस प्रकार, चेबीशेव प्रमेय में कहा गया है कि यदि सीमित भिन्नताओं के साथ पर्याप्त संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर पर विचार किया जाता है, तो एक घटना को लगभग विश्वसनीय माना जा सकता है यदि उनकी गणितीय अपेक्षाओं के अंकगणितीय माध्य से यादृच्छिक चर के अंकगणितीय माध्य का विचलन होगा मनमाने ढंग से निरपेक्ष मूल्य में छोटा।

यदि एक एम(एक्स 1) = एम(एक्स 2) = …= एम(एक्स पी) = ए, फिर, प्रमेय की शर्तों के तहत, समानता

− ए| < ε ) = 1.

चेबीशेव के प्रमेय का सार इस प्रकार है: हालांकि व्यक्तिगत स्वतंत्र यादृच्छिक चर उनकी गणितीय अपेक्षाओं से बहुत दूर मान ले सकते हैं, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर का अंकगणितीय माध्य एक निश्चित स्थिर संख्या के करीब मान लेता है। संख्या एकिसी विशेष मामले में)। दूसरे शब्दों में, अलग-अलग यादृच्छिक चर का एक महत्वपूर्ण प्रसार हो सकता है, और उनका अंकगणितीय माध्य छोटा बिखरा हुआ है।

इस प्रकार, कोई भी आत्मविश्वास से भविष्यवाणी नहीं कर सकता कि प्रत्येक यादृच्छिक चर क्या संभावित मूल्य लेगा, लेकिन कोई यह अनुमान लगा सकता है कि उनका अंकगणितीय माध्य कितना मूल्य लेगा।

अभ्यास के लिए, चेबीशेव प्रमेय का अमूल्य महत्व है: कुछ भौतिक मात्रा, गुणवत्ता, उदाहरण के लिए, अनाज, कपास और अन्य उत्पादों आदि का मापन।

उदाहरण। एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स पीवितरण कानून द्वारा दिया गया

एक्स पी −nα 0 nα

आर 1 −

क्या चेबीशेव का प्रमेय किसी दिए गए अनुक्रम पर लागू होता है?

चेबीशेव प्रमेय को यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर लागू करने के लिए, यह पर्याप्त है कि ये चर: 1. जोड़ीदार स्वतंत्र हों; 2))। सीमित गणितीय अपेक्षाएँ थीं; 3))। समान रूप से सीमित भिन्नताएं हैं।

एक)। चूंकि यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं, वे और भी अधिक जोड़ीदार स्वतंत्र हैं।

2). एम(एक्स पी) = −nα∙+ 0∙(1 − ) +

बर्नौली का प्रमेय।

यदि प्रत्येक में पीस्वतंत्र परीक्षण संभावना आरकिसी घटना का घटित होना लेकिनस्थिर है, तो प्रायिकता से सापेक्ष आवृत्ति के विचलन की प्रायिकता आरनिरपेक्ष मूल्य में मनमाने ढंग से छोटा होगा यदि परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है।

दूसरे शब्दों में, यदि ε एक मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या है, तो प्रमेय की शर्तों के तहत हमारे पास समानता है

− आर| < ε ) = 1.

बर्नौली के प्रमेय में कहा गया है कि जब पी→ ∞ सापेक्ष आवृत्ति की प्रवृत्ति होती है संभावना सेको आर।संक्षेप में, बर्नौली के प्रमेय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

टिप्पणी।यादृच्छिक चर का अनुक्रम एक्स 1 , एक्स 2 ,… अभिसरण संभावना सेएक यादृच्छिक चर के लिए एक्स, यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिए ε असमानता की संभावना | एक्स एन – एक्स| < ε पर पी→ एकता की ओर प्रवृत्त होता है।

बर्नौली का प्रमेय बताता है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों की सापेक्ष आवृत्ति में स्थिरता की संपत्ति क्यों होती है और संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा को सही ठहराती है।

मार्कोव चेन

मार्कोव चेनपरीक्षणों का एक क्रम कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक में केवल एक कअसंगत घटनाएं लेकिन 1 , लेकिन 2 ,…,एक कोपूर्ण समूह, और सशर्त संभाव्यता पी आईजेयू(एस) में है कि एस-वें परीक्षण एक घटना घटित होगी एक जू (जे = 1, 2,…, क), बशर्ते कि ( एस- 1)-वें परीक्षण में हुई घटनाएं एक मैं (मैं = 1, 2,…, क), पिछले परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है।

उदाहरण।यदि परीक्षणों का क्रम एक मार्कोव श्रृंखला बनाता है और पूरे समूह में 4 असंगत घटनाएं होती हैं लेकिन 1 , लेकिन 2 , लेकिन 3 , लेकिन 4 , और यह ज्ञात है कि 6 वें परीक्षण में एक घटना सामने आई लेकिन 2 , तो सशर्त संभावना है कि घटना 7 वें परीक्षण पर होगी लेकिन 4 इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि 1, 2,…, 5वें परीक्षणों में कौन सी घटनाएँ सामने आईं। मैं

पहले माना गया स्वतंत्र परीक्षण मार्कोव श्रृंखला का एक विशेष मामला है। वास्तव में, यदि परीक्षण स्वतंत्र हैं, तो किसी भी परीक्षण में किसी विशिष्ट घटना की घटना पहले किए गए परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है। यह इस प्रकार है कि मार्कोव श्रृंखला की अवधारणा स्वतंत्र परीक्षणों की अवधारणा का सामान्यीकरण है।

आइए यादृच्छिक चर के लिए मार्कोव श्रृंखला की परिभाषा लिखें।

यादृच्छिक चर का अनुक्रम एक्स टी, टी= 0, 1, 2,…, कहा जाता है मार्कोव चेनराज्यों के साथ लेकिन = { 1, 2, …, एन), अगर

, टी = 0, 1, 2, …,

और किसी के लिए ( पी, ।,

संभावना वितरण एक्स टीसमय में एक मनमाना बिंदु पर टीकुल संभाव्यता सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है