Mišrūs kampai ir jų savybės. Vertikalūs ir gretimi kampai

Šioje pamokoje mes apsvarstysime ir patys suprasime gretimų kampų sąvoką. Apsvarstykite su jais susijusią teoremą. Supažindinkime su „vertikalių kampų“ sąvoka. Apsvarstykite pagrindžiančius faktus apie šiuos kampus. Toliau mes suformuluojame ir įrodome dvi pasekmes apie kampą tarp vertikalių kampų bisektorių. Pamokos pabaigoje apsvarstysime keletą šiai temai skirtų problemų.

Pamoką pradėkime nuo „gretimų kampų“ sąvokos. 1 paveiksle parodytas išvystytas kampas ∠AOC ir spindulys OB, kuris padalija šį kampą į 2 kampus.

Ryžiai. 1. Kampas ∠AOC

Apsvarstykite kampus ∠AOB ir ∠BOC. Visiškai akivaizdu, kad jie turi bendrą VO pusę, o AO ir OS pusės yra priešingos. OA ir OS spinduliai papildo vienas kitą, o tai reiškia, kad jie yra toje pačioje tiesioje linijoje. Kampai ∠AOB ir ∠BOC yra gretimi.

Apibrėžimas: jei du kampai turi bendrą kraštinę, o kitos dvi kraštinės yra vienas kitą papildantys spinduliai, tada šie kampai vadinami susijęs.

1 teorema: gretimų kampų suma lygi 180 o.

Ryžiai. 2. 1 teoremos brėžinys

∠MOL + ∠LON = 180o. Šis teiginys yra teisingas, nes spindulys OL padalija tiesųjį kampą ∠MON į du gretimus kampus. Tai yra, mes nežinome nė vieno gretimo kampo laipsnio matų, bet žinome tik jų sumą – 180 o.

Apsvarstykite dviejų linijų sankirtą. Paveikslėlyje parodyta dviejų tiesių sankirta taške O.

Ryžiai. 3. Vertikalūs kampai ∠BOA ir ∠COD

Apibrėžimas: Jei vieno kampo kraštinės yra antrojo kampo tęsinys, tai tokie kampai vadinami vertikaliais. Štai kodėl paveiksle pavaizduotos dvi vertikalių kampų poros: ∠AOB ir ∠COD, taip pat ∠AOD ir ∠BOC.

2 teorema: vertikalūs kampai lygūs.

Naudokime 3 pav. Panagrinėkime išvystytą kampą ∠AOC. ∠AOB \u003d ∠AOC – ∠BOC \u003d 180 o – β. Apsvarstykite išvystytą kampą ∠BOD. ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 o - β.

Remdamiesi šiais svarstymais darome išvadą, kad ∠AOB = ∠COD = α. Panašiai ∠AOD = ∠BOC = β.

1 išvada: kampas tarp gretimų kampų bisektorių yra 90°.

Ryžiai. 4. 1 pasekmės brėžinys

Kadangi OL yra kampo ∠BOA bisektorius, tai kampas ∠LOB = , panašiai kaip ∠BOK = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Kampų α + β suma lygi 180 o, kadangi šie kampai yra gretimi.

2 išvada: kampas tarp vertikalių kampų įstrižainių yra 180°.

Ryžiai. 5. 2 pasekmės brėžinys

KO yra ∠AOB pusiausvyra, LO yra ∠COD pusiausvyra. Akivaizdu, kad ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Kampų α + β suma lygi 180 o, kadangi šie kampai yra gretimi.

Panagrinėkime keletą užduočių:

Raskite kampą, esantį greta ∠AOC, jei ∠AOC = 111 o.

Padarykime užduoties piešinį:

Ryžiai. 6. Brėžinys, pavyzdžiui, 1

Kadangi ∠AOC = β ir ∠COD = α yra gretimi kampai, tai α + β = 180 o. Tai yra, 111 o + β \u003d 180 o.

Vadinasi, β = 69 o.

Šio tipo uždaviniai išnaudoja gretimų kampų sumos teoremą.

Vienas iš gretimų kampų yra stačiakampis, kuris (smailus, bukas ar dešinysis) yra kitas kampas?

Jei vienas iš kampų yra tiesus, o dviejų kampų suma yra 180°, tai kitas kampas taip pat yra teisingas. Šia užduotimi tikrinamos žinios apie gretimų kampų sumą.

Ar tiesa, kad jei gretimi kampai yra lygūs, tai jie yra stačiakampiai?

Padarykime lygtį: α + β = 180 o, bet kadangi α = β, tai β + β = 180 o, vadinasi, β = 90 o.

Atsakymas: Taip, teiginys yra teisingas.

Duoti du vienodi kampai. Ar tiesa, kad greta jų esantys kampai taip pat bus lygūs?

Ryžiai. 7. Pavyzdžiui 4 piešinys

Jei du kampai lygūs α, tai atitinkami jų gretimi kampai bus 180 o - α. Tai yra, jie bus lygūs vienas kitam.

Atsakymas: teiginys yra teisingas.

Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I. tt Geometrija 7. - M.: Nušvitimas.
Atanasjanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B. ir kt., Geometrija 7. 5 leidimas. - M.: Švietimas.
\Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomcevas, V.V. Prasolovas, redagavo V.A. Sadovnichy. - M.: Švietimas, 2010 m.

Segmentų matavimas ().
Bendroji geometrijos pamoka 7 klasėje ().
Tiesi linija, segmentas ().

Nr. 13, 14. Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomcevas, V.V. Prasolovas, redagavo V.A. Sadovnichy. - M.: Švietimas, 2010 m.
Raskite du gretimus kampus, jei vienas iš jų yra 4 kartus didesnis už kitą.
Duotas kampas. Sukurkite gretimus ir vertikalius kampus. Kiek tokių kampelių galima pastatyti?
* Kokiu atveju gaunama daugiau vertikalių kampų porų: kai trys tiesės susikerta viename taške ar trijuose taškuose?

1. Gretimi kampai.

Jei tęsiame kokio nors kampo kraštinę už jo viršūnės, gauname du kampus (72 pav.): ∠ABC ir ∠CBD, kuriuose viena BC kraštinė yra bendra, o kitos dvi, AB ir BD, sudaro tiesią liniją. .

Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinami gretimais kampais.

Gretimus kampus galima gauti ir tokiu būdu: jei nubrėžiame spindulį iš kurio nors tiesės taško (neguli ant duotosios tiesės), tai gauname gretimus kampus.

Pavyzdžiui, ∠ADF ir ∠FDВ yra gretimi kampai (73 pav.).

Gretimi kampai gali turėti įvairiausių padėčių (74 pav.).

Gretimi kampai sudaro tiesų kampą, taigi dviejų gretimų kampų suma lygi 180°

Vadinasi, stačiasis kampas gali būti apibrėžtas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.

Žinodami vieno iš gretimų kampų reikšmę, galime rasti kito gretimo kampo reikšmę.

Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 54°, tada antrasis kampas bus:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikalūs kampai.

Jei išplečiame kampo kraštines už jo viršūnės, gausime vertikalius kampus. 75 paveiksle kampai EOF ir AOC yra vertikalūs; kampai AOE ir COF taip pat vertikalūs.

Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštinių tęsinys.

Tegul ∠1 = $\frac(7)(8)$ ⋅ 90° (76 pav.). ∠2 šalia jo bus lygus 180° - $\frac(7)(8)$ ⋅ 90°, t.y. 1$\frac(1)(8)$ ⋅ 90°.

Tuo pačiu būdu galite apskaičiuoti, kas yra ∠3 ir ∠4.

∠3 = 180° – 1$\frac(1)(8)$ ⋅ 90° = $\frac(7)(8)$ ⋅ 90°;

∠4 = 180° - $\frac(7)(8)$ ⋅ 90° = 1$\frac(1)(8)$ ⋅ 90° (77 pav.).

Matome, kad ∠1 = ∠3 ir ∠2 = ∠4.

Galite išspręsti dar keletą tų pačių problemų ir kiekvieną kartą gausite tą patį rezultatą: vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Tačiau norint įsitikinti, kad vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam, neužtenka atsižvelgti į atskirus skaitinius pavyzdžius, nes iš konkrečių pavyzdžių padarytos išvados kartais gali būti klaidingos.

Vertikalių kampų savybės pagrįstumą būtina patikrinti įrodymu.

Įrodymas gali būti atliktas taip (78 pav.):

∠a +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(kadangi gretimų kampų suma yra 180°).

∠a +∠c = ∠b+∠c

(kadangi kairioji šios lygybės pusė yra 180°, o dešinė taip pat yra 180°).

Ši lygybė apima tą patį kampą iš.

Jei iš vienodų reikšmių atimsime vienodai, tai liks vienodai. Rezultatas bus: ∠a = ∠b, t.y., vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.

79 brėžinyje ∠1, ∠2, ∠3 ir ∠4 yra toje pačioje linijos pusėje ir turi bendrą viršūnę šioje tiesėje. Sumuojant šie kampai sudaro tiesų kampą, t.y.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Brėžinyje 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ir ∠5 turi bendrą viršūnę. Šie kampai sudaro visą kampą, t. y. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Kitos medžiagos

Geometrija yra labai daugialypis mokslas. Tai lavina logiką, vaizduotę ir intelektą. Žinoma, dėl savo sudėtingumo ir daugybės teoremų bei aksiomų tai ne visada patinka moksleiviams. Be to, reikia nuolat įrodyti savo išvadas taikant visuotinai priimtus standartus ir taisykles.

Gretimi ir vertikalūs kampai yra neatsiejama geometrijos dalis. Žinoma, daugelis moksleivių juos tiesiog dievina dėl to, kad jų savybės yra aiškios ir lengvai įrodomos.

Kampų formavimas

Bet koks kampas susidaro susikirtus dviem tiesėms arba nubrėžus du spindulius iš vieno taško. Jie gali būti vadinami viena arba trimis raidėmis, kurios iš eilės nurodo kampo konstrukcijos taškus.

Kampai matuojami laipsniais ir (priklausomai nuo jų vertės) gali būti vadinami skirtingai. Taigi, yra stačiu kampu, aštriu, buku ir išdėstytu. Kiekvienas iš pavadinimų atitinka tam tikro laipsnio matą arba jo intervalą.

Smailusis kampas yra kampas, kurio matmenys neviršija 90 laipsnių.

Bukus kampas yra kampas, didesnis nei 90 laipsnių.

Kampas vadinamas tiesiuoju, kai jo matas yra 90.

Tuo atveju, kai jį sudaro viena ištisinė tiesė, o jos laipsnio matas yra 180, jis vadinamas dislokuotu.

Kampai, turintys bendrą kraštinę, kurios antroji pusė tęsiasi viena kitą, vadinami gretimais. Jie gali būti aštrūs arba buki. Tiesės susikirtimas sudaro gretimus kampus. Jų savybės yra šios:

Tokių kampų suma bus lygi 180 laipsnių (yra tai įrodanti teorema). Todėl vieną iš jų galima nesunkiai apskaičiuoti, jei kitas žinomas.
Iš pirmojo taško matyti, kad gretimų kampų negali sudaryti du bukieji arba du smailieji kampai.

Dėl šių savybių visada galima apskaičiuoti kampo laipsnį, atsižvelgiant į kito kampo reikšmę arba bent jau santykį tarp jų.

Vertikalūs kampai

Kampai, kurių kraštinės yra vienas kito tęsiniai, vadinami vertikaliais. Bet kuri iš jų veislių gali veikti kaip tokia pora. Vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam.

Jie susidaro susikertant linijoms. Kartu su jais visada yra gretimų kampų. Kampas gali būti ir gretimas vienam, ir vertikalus kitam.

Kertant savavališką liniją, atsižvelgiama ir į dar kelis kampų tipus. Tokia linija vadinama sekantu ir sudaro atitinkamus, vienpusius ir kryžminius kampus. Jie yra lygūs vienas kitam. Į juos galima žiūrėti atsižvelgiant į vertikalių ir gretimų kampų savybes.

Taigi kampų tema atrodo gana paprasta ir suprantama. Visas jų savybes lengva prisiminti ir įrodyti. Spręsti uždavinius nėra sunku, kol kampai atitinka skaitinę reikšmę. Jau toliau, kai prasidės nuodėmės ir cos tyrimas, turėsite įsiminti daugybę sudėtingų formulių, jų išvadų ir pasekmių. Iki tol galite tiesiog mėgautis lengvais galvosūkiais, kuriuose jums reikia rasti gretimus kampus.

I SKYRIUS.

PAGRINDINĖS SĄVOKOS.

§vienuolika. GRETIMAS IR VERTIKALŪS KAMPAI.

1. Gretimi kampai.

Jei tęsiame kurio nors kampo kraštą už jo viršūnės, gausime du kampus (72 pav.): / Saulė ir / SVD, kurioje viena pusė BC yra bendra, o kitos dvi AB ir BD sudaro tiesią liniją.

Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinami gretimais kampais.

Gretimus kampus galima gauti ir tokiu būdu: jei nubrėžiame spindulį iš kurio nors tiesės taško (neguli ant duotosios tiesės), tai gauname gretimus kampus.
Pavyzdžiui, / ADF ir / FDВ - gretimi kampai (73 pav.).

Gretimi kampai gali turėti įvairiausių padėčių (74 pav.).

Gretimi kampai sudaro tiesų kampą, taigi dviejų gretimų kampų umma yra 2d.

Vadinasi, stačiasis kampas gali būti apibrėžtas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.

Žinodami vieno iš gretimų kampų reikšmę, galime rasti kito gretimo kampo reikšmę.

Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 3/5 d, tada antrasis kampas bus lygus:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Vertikalūs kampai.

Jei išplečiame kampo kraštines už jo viršūnės, gausime vertikalius kampus. 75 brėžinyje kampai EOF ir AOC yra vertikalūs; kampai AOE ir COF taip pat vertikalūs.

Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštinių tęsinys.

Leisti būti / 1 = 7 / 8 d(76 pav.). Šalia jo / 2 bus lygus 2 d- 7 / 8 d, t.y. 1 1/8 d.

Tuo pačiu būdu galite apskaičiuoti, kas yra lygi / 3 ir / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(77 pav.).

Mes tai matome / 1 = / 3 ir / 2 = / 4.

Galite išspręsti dar keletą tų pačių problemų ir kiekvieną kartą gausite tą patį rezultatą: vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Vertikalių kampų savybės pagrįstumą būtina patikrinti samprotavimu, įrodymu.

Įrodymas gali būti atliktas taip (78 pav.):

/ a +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(nes gretimų kampų suma lygi 2 d).

/ a +/ c = / b+/ c

(kadangi kairioji šios lygybės pusė lygi 2 d, o jo dešinioji pusė taip pat lygi 2 d).

Ši lygybė apima tą patį kampą iš.

Jei iš vienodų reikšmių atimsime vienodai, tai liks vienodai. Rezultatas bus: / a = / b, t.y., vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Svarstydami vertikalių kampų klausimą, pirmiausia paaiškinome, kurie kampai vadinami vertikaliais, t.y. apibrėžimas vertikalūs kampai.

Tada padarėme sprendimą (teiginį) apie vertikalių kampų lygybę ir šio sprendimo pagrįstumu įsitikinome įrodymais. Tokie sprendimai, kurių pagrįstumas turi būti įrodytas, yra vadinami teoremos. Taigi, šiame skyriuje pateikėme vertikalių kampų apibrėžimą, taip pat išdėstėme ir įrodėme teoremą apie jų savybę.

Ateityje studijuodami geometriją nuolat teks susidurti su teoremų apibrėžimais ir įrodymais.

3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.

79 piešinyje / 1, / 2, / 3 ir / 4 yra toje pačioje tiesės pusėje ir turi bendrą šios tiesios viršūnę. Sumuojant šie kampai sudaro tiesų kampą, t.y.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Ant piešinio 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ir / 5 turi bendrą viršų. Sumuojant šie kampai sudaro pilną kampą, t.y. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Pratimai.

1. Vienas iš gretimų kampų yra 0,72 d. Apskaičiuokite kampą, kurį sudaro šių gretimų kampų pusiausvyros.

2. Įrodykite, kad dviejų gretimų kampų pusiausvyros sudaro statųjį kampą.

3. Įrodykite, kad jei du kampai yra lygūs, tai ir gretimi jų kampai yra lygūs.

4. Kiek porų gretimų kampų yra 81 brėžinyje?

5. Ar gretimų kampų pora gali susidėti iš dviejų smailiųjų kampų? iš dviejų buko kampų? stačiu ir buku kampu? stačiu ir smailiu kampu?

6. Jei vienas iš gretimų kampų yra teisingas, tai ką galima pasakyti apie kampo, esančio šalia jo, reikšmę?

7. Jei dviejų tiesių susikirtimo vietoje yra vienas stačias kampas, tai ką galima pasakyti apie kitų trijų kampų dydį?

Įvadas į kampus

Duokime du savavališkus spindulius. Padėkime juos vieną ant kito. Tada

1 apibrėžimas

Kampas yra dviejų tos pačios kilmės spindulių pavadinimas.

2 apibrėžimas

Taškas, kuris yra spindulių pradžia 3 apibrėžimo rėmuose, vadinamas šio kampo viršūne.

Kampas bus žymimas trimis jo taškais: viršūne, tašku ant vieno iš spindulių ir tašku ant kito spindulio, o kampo viršūnė rašoma jo žymėjimo viduryje (1 pav.).

Dabar apibrėžkime, kokia yra kampo reikšmė.

Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti tam tikrą "atskaitos" kampą, kurį mes paimsime kaip vienetą. Dažniausiai toks kampas yra kampas, lygus tiesiojo kampo dalies $\frac(1)(180)$. Ši vertė vadinama laipsniu. Pasirinkę tokį kampą lyginame su juo kampus, kurių vertę reikia rasti.

Yra 4 tipų kampai:

3 apibrėžimas

Kampas vadinamas smailiu, jei jis yra mažesnis nei $90^0$.

4 apibrėžimas

Kampas vadinamas buku, jei jis didesnis nei $90^0$.

5 apibrėžimas

Kampas vadinamas tiesiu, jei jis lygus $180^0$.

6 apibrėžimas

Kampas vadinamas stačiu kampu, jei jis lygus $90^0$.

Be tokių kampų tipų, kurie aprašyti aukščiau, galima atskirti kampų tipus vienas kito atžvilgiu, būtent vertikalius ir gretimus kampus.

Gretimi kampai

Apsvarstykite tiesų kampą $COB$. Nubrėžkite spindulį $OA$ iš jo viršūnės. Šis spindulys padalins pradinį į du kampus. Tada

7 apibrėžimas

Du kampai bus vadinami gretimi, jei viena jų kraštinių pora yra tiesi kampas, o kita pora sutampa (2 pav.).

Šiuo atveju kampai $COA$ ir $BOA$ yra gretimi.

1 teorema

Gretimų kampų suma yra $180^0$.

Įrodymas.

Apsvarstykite 2 pav.

Pagal 7 apibrėžimą kampas $COB$ jame bus lygus $180^0$. Kadangi antroji gretimų kampų kraštinių pora sutampa, spindulys $OA$ dalins tiesų kampą iš 2, todėl

$∠COA+∠BOA=180^0$

Teorema įrodyta.

Apsvarstykite problemos sprendimą naudodami šią koncepciją.

1 pavyzdys

Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite kampą $C$

Pagal 7 apibrėžimą gauname, kad kampai $BDA$ ir $ADC$ yra gretimi. Todėl pagal 1 teoremą gauname

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Remdamiesi teorema apie trikampio kampų sumą, turėsime

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Atsakymas: $40^0$.

Vertikalūs kampai

Apsvarstykite išvystytus kampus $AOB$ ir $MOC$. Suderinkime jų viršūnes (tai yra, tašką $O"$ pastatykime ant taško $O$), kad nė viena šių kampų kraštinė nesutaptų.

8 apibrėžimas

Du kampai bus vadinami vertikaliais, jei jų kraštinių poros yra tiesūs kampai ir jų reikšmės yra vienodos (3 pav.).

Šiuo atveju kampai $MOA$ ir $BOC$ yra vertikalūs, o kampai $MOB$ ir $AOC$ taip pat vertikalūs.

2 teorema

Vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Įrodymas.

Apsvarstykite 3 paveikslą. Įrodykime, pavyzdžiui, kad kampas $MOA$ yra lygus kampui $BOC$.