La matrice $A^(-1)$ est appelée l'inverse de la matrice carrée $A$ si $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, où $E $ est la matrice identité dont l'ordre est égal à l'ordre de la matrice $A$.
Une matrice non singulière est une matrice dont le déterminant n'est pas égal à zéro. En conséquence, une matrice dégénérée est celle dont le déterminant est égal à zéro.
La matrice inverse $A^(-1)$ existe si et seulement si la matrice $A$ est non singulière. Si la matrice inverse $A^(-1)$ existe, alors elle est unique.
Il existe plusieurs façons de trouver l'inverse d'une matrice, et nous en examinerons deux. Cette page traitera de la méthode de la matrice adjointe, qui est considérée comme la norme dans la plupart des cours de mathématiques supérieures. La deuxième façon de trouver la matrice inverse (méthode des transformations élémentaires), qui implique l'utilisation de la méthode de Gauss ou de la méthode de Gauss-Jordan, est considérée dans la deuxième partie.
Méthode matricielle adjointe (union)
Soit la matrice $A_(n\times n)$ donnée. Pour trouver la matrice inverse $A^(-1)$, trois étapes sont nécessaires :
- Trouvez le déterminant de la matrice $A$ et assurez-vous que $\Delta A\neq 0$, c'est-à-dire que la matrice A est non dégénérée.
- Composez les compléments algébriques $A_(ij)$ de chaque élément de la matrice $A$ et notez la matrice $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ à partir des compléments algébriques.
- Ecrire la matrice inverse en tenant compte de la formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
La matrice $(A^(*))^T$ est souvent appelée matrice adjointe (mutuelle, alliée) de $A$.
Si la décision est prise manuellement, la première méthode n'est bonne que pour les matrices d'ordres relativement petits: deuxième (), troisième (), quatrième (). Pour trouver la matrice inverse d'une matrice d'ordre supérieur, d'autres méthodes sont utilisées. Par exemple, la méthode de Gauss, qui est discutée dans la deuxième partie.
Exemple 1
Trouver la matrice inverse de la matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(tableau) \right)$.
Puisque tous les éléments de la quatrième colonne sont égaux à zéro, alors $\Delta A=0$ (c'est-à-dire que la matrice $A$ est dégénérée). Puisque $\Delta A=0$, il n'y a pas de matrice inverse de $A$.
Exemple #2
Trouvez la matrice inverse de la matrice $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Nous utilisons la méthode de la matrice adjointe. Trouvons d'abord le déterminant de la matrice donnée $A$ :
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Puisque $\Delta A \neq 0$, alors la matrice inverse existe, donc on continue la solution. Trouver des compléments algébriques
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \ ; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \ ; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligné)
Composez une matrice de compléments algébriques : $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Transposez la matrice résultante : $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (le résultat matrice est souvent appelée matrice adjointe ou union à la matrice $A$). En utilisant la formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, nous avons :
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
On trouve donc la matrice inverse : $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \droit) $. Pour vérifier la vérité du résultat, il suffit de vérifier la vérité d'une des égalités : $A^(-1)\cdot A=E$ ou $A\cdot A^(-1)=E$. Vérifions l'égalité $A^(-1)\cdot A=E$. Afin de moins travailler avec les fractions, nous substituerons la matrice $A^(-1)$ non sous la forme $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ mais comme $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\right)$ :
Répondre: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Exemple #3
Trouvez l'inverse de la matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.
Commençons par calculer le déterminant de la matrice $A$. Ainsi, le déterminant de la matrice $A$ est :
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Puisque $\Delta A\neq 0$, alors la matrice inverse existe, donc on continue la solution. On trouve les compléments algébriques de chaque élément de la matrice donnée :
On compose une matrice d'additions algébriques et on la transpose :
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \ ; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
En utilisant la formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, on obtient :
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Donc $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(tableau) \right)$. Pour vérifier la vérité du résultat, il suffit de vérifier la vérité d'une des égalités : $A^(-1)\cdot A=E$ ou $A\cdot A^(-1)=E$. Vérifions l'égalité $A\cdot A^(-1)=E$. Afin de moins travailler avec les fractions, nous substituerons la matrice $A^(-1)$ non sous la forme $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, mais comme $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$ :
La vérification a été réussie, la matrice inverse $A^(-1)$ a été trouvée correctement.
Répondre: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(tableau) \right)$.
Exemple #4
Trouver la matrice inverse de $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(tableau) \right)$.
Pour une matrice du quatrième ordre, trouver la matrice inverse à l'aide d'additions algébriques est quelque peu difficile. Cependant, de tels exemples se trouvent dans les ouvrages de contrôle.
Pour trouver la matrice inverse, vous devez d'abord calculer le déterminant de la matrice $A$. La meilleure façon de procéder dans cette situation est de développer le déterminant dans une ligne (colonne). Nous sélectionnons n'importe quelle ligne ou colonne et trouvons le complément algébrique de chaque élément de la ligne ou de la colonne sélectionnée.
Soit une matrice carrée d'ordre n
La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A, si A * A -1 = E, où E est la matrice identité d'ordre n.
Matrice d'identité- une telle matrice carrée, dans laquelle tous les éléments le long de la diagonale principale, passant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, sont des uns et les autres sont des zéros, par exemple :
matrice inverse peut exister uniquement pour les matrices carrées ceux. pour les matrices qui ont le même nombre de lignes et de colonnes.
Théorème de la condition d'existence de la matrice inverse
Pour qu'une matrice ait une matrice inverse, il faut et il suffit qu'elle soit non dégénérée.
La matrice A = (A1, A2,...A n) est appelée non dégénéré si les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants. Le nombre de vecteurs colonnes linéairement indépendants d'une matrice est appelé le rang de la matrice. Par conséquent, on peut dire que pour qu'une matrice inverse existe, il faut et il suffit que le rang de la matrice soit égal à sa dimension, c'est-à-dire r = n.
Algorithme pour trouver la matrice inverse
- Écrivez la matrice A dans le tableau pour résoudre les systèmes d'équations par la méthode de Gauss et à droite (à la place des parties droites des équations) attribuez-lui la matrice E.
- À l'aide des transformations de Jordan, amenez la matrice A à une matrice composée de colonnes simples ; dans ce cas, il faut transformer simultanément la matrice E.
- Si nécessaire, réorganisez les lignes (équations) du dernier tableau afin que la matrice identité E soit obtenue sous la matrice A du tableau d'origine.
- Écrivez la matrice inverse A -1, qui se trouve dans le dernier tableau sous la matrice E du tableau d'origine.
Pour la matrice A, trouvez la matrice inverse A -1
Solution : Nous écrivons la matrice A et à droite nous attribuons la matrice identité E. En utilisant les transformations de Jordan, nous réduisons la matrice A à la matrice identité E. Les calculs sont présentés dans le tableau 31.1.
Vérifions l'exactitude des calculs en multipliant la matrice d'origine A et la matrice inverse A -1.
À la suite de la multiplication matricielle, la matrice d'identité est obtenue. Les calculs sont donc corrects.
Répondre: 
Solution des équations matricielles
Les équations matricielles peuvent ressembler à :
AX = B, XA = B, AXB = C,
où A, B, C sont des matrices données, X est la matrice souhaitée.
Les équations matricielles sont résolues en multipliant l'équation par des matrices inverses.
Par exemple, pour trouver la matrice d'une équation, vous devez multiplier cette équation par à gauche.
Par conséquent, pour trouver une solution à l'équation, vous devez trouver la matrice inverse et la multiplier par la matrice du côté droit de l'équation.
Les autres équations sont résolues de la même manière.
Résolvez l'équation AX = B si 
Décision: Puisque l'inverse de la matrice est égal (voir exemple 1)
Méthode matricielle en analyse économique
Avec d'autres, ils trouvent également une application méthodes matricielles. Ces méthodes sont basées sur l'algèbre linéaire et matricielle. Ces méthodes sont utilisées à des fins d'analyse de phénomènes économiques complexes et multidimensionnels. Le plus souvent, ces méthodes sont utilisées lorsqu'il est nécessaire de comparer le fonctionnement des organisations et leurs divisions structurelles.
Dans le processus d'application des méthodes d'analyse matricielle, plusieurs étapes peuvent être distinguées.
Au premier stade la formation d'un système d'indicateurs économiques est effectuée et sur sa base une matrice de données initiales est compilée, qui est un tableau dans lequel les numéros de système sont indiqués dans ses lignes individuelles (i = 1,2,....,n), et le long des graphiques verticaux - nombre d'indicateurs (j = 1,2,....,m).
A la deuxième étape pour chaque colonne verticale, la plus grande des valeurs disponibles des indicateurs est révélée, qui est prise comme une unité.
Après cela, tous les montants reflétés dans cette colonne sont divisés par la plus grande valeur et une matrice de coefficients normalisés est formée.
A la troisième étape tous les composants de la matrice sont au carré. S'ils ont une signification différente, chaque indicateur de la matrice se voit attribuer un certain coefficient de pondération k. La valeur de ce dernier est déterminée par un expert.
Le dernier quatrième étape valeurs trouvées des notes Rj regroupés par ordre croissant ou décroissant.
Les méthodes matricielles ci-dessus doivent être utilisées, par exemple, dans une analyse comparative de divers projets d'investissement, ainsi que dans l'évaluation d'autres indicateurs de performance économique des organisations.
Définition 1 : Une matrice est dite dégénérée si son déterminant est nul.
Définition 2 : Une matrice est dite non singulière si son déterminant n'est pas égal à zéro.
La matrice "A" est appelée matrice inverse, si la condition A*A-1 = A-1 *A = E (matrice identité) est satisfaite.
Une matrice carrée n'est inversible que si elle est non singulière.
Schéma de calcul de la matrice inverse :
1) Calculer le déterminant de la matrice "A" si ∆ A = 0, alors la matrice inverse n'existe pas.
2) Trouver tous les compléments algébriques de la matrice "A".
3) Composer une matrice d'additions algébriques (Aij )
4) Transposer la matrice des compléments algébriques (Aij )T
5) Multiplier la matrice transposée par l'inverse du déterminant de cette matrice.
6) Lancez une vérification :
À première vue, cela peut sembler difficile, mais en fait, tout est très simple. Toutes les solutions sont basées sur des opérations arithmétiques simples, l'essentiel lors de la résolution est de ne pas se confondre avec les signes "-" et "+", et de ne pas les perdre.
Et maintenant, résolvons une tâche pratique avec vous en calculant la matrice inverse.
Tâche : trouver la matrice inverse "A", illustrée dans l'image ci-dessous :
1. La première chose à faire est de trouver le déterminant de la matrice "A":
Explication:
Nous avons simplifié notre déterminant en utilisant ses fonctions principales. Tout d'abord, nous avons ajouté aux 2e et 3e rangées les éléments de la première rangée, multipliés par un nombre.
Deuxièmement, nous avons changé les 2e et 3e colonnes du déterminant, et selon ses propriétés, nous avons changé le signe devant lui.
Troisièmement, nous avons retiré le facteur commun (-1) de la deuxième ligne, changeant ainsi à nouveau le signe, et il est devenu positif. Nous avons également simplifié la ligne 3 de la même manière qu'au tout début de l'exemple.
Nous avons un déterminant triangulaire, dans lequel les éléments sous la diagonale sont égaux à zéro, et par la propriété 7, il est égal au produit des éléments de la diagonale. En conséquence, nous avons obtenu ∆ A = 26, donc la matrice inverse existe.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. L'étape suivante consiste à compiler une matrice à partir des ajouts résultants :
5. Nous multiplions cette matrice par l'inverse du déterminant, c'est-à-dire par 1/26 :
6. Eh bien, il ne nous reste plus qu'à vérifier :
Lors de la vérification, nous avons reçu une matrice d'identité, par conséquent, la décision a été prise de manière absolument correcte.
2 façons de calculer la matrice inverse.
1. Transformation élémentaire de matrices
2. Matrice inverse via un convertisseur élémentaire.
La transformation matricielle élémentaire comprend :
1. Multiplier une chaîne par un nombre non nul.
2. Ajout à n'importe quelle ligne d'une autre ligne, multiplié par un nombre.
3. Permutation des lignes de la matrice.
4. En appliquant une chaîne de transformations élémentaires, on obtient une autre matrice.
MAIS -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. Un -1*A=E
Regardons cela dans un exemple pratique avec des nombres réels.
Exercer: Trouvez la matrice inverse.
Décision:
Allons vérifier:
Petite précision sur la solution :
Nous avons d'abord interverti les lignes 1 et 2 de la matrice, puis nous avons multiplié la première ligne par (-1).
Après cela, la première ligne a été multipliée par (-2) et ajoutée à la deuxième ligne de la matrice. Ensuite, nous avons multiplié la 2e rangée par 1/4.
La dernière étape de la transformation a été la multiplication de la deuxième ligne par 2 et l'addition de la première. En conséquence, nous avons une matrice d'identité à gauche, donc la matrice inverse est la matrice à droite.
Après vérification, nous avons été convaincus de la justesse de la décision.
Comme vous pouvez le voir, le calcul de la matrice inverse est très simple.
En conclusion de cette leçon, je voudrais également consacrer un peu de temps aux propriétés d'une telle matrice.
Considérons le problème de la définition de l'opération inverse de la multiplication matricielle.
Soit A une matrice carrée d'ordre n. Matrice A^(-1) , qui, avec la matrice A donnée, satisfait les égalités suivantes :
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
appelé sens inverse. La matrice A est appelée réversible, s'il existe un inverse, sinon - irréversible.
Il découle de la définition que si une matrice inverse A^(-1) existe, alors elle est carrée du même ordre que A . Cependant, toutes les matrices carrées n'ont pas d'inverse. Si le déterminant de la matrice A est égal à zéro (\det(A)=0) , alors il n'y a pas d'inverse pour lui. En effet, en appliquant le théorème sur le déterminant du produit de matrices pour la matrice identité E=A^(-1)A, on obtient une contradiction
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
puisque le déterminant de la matrice identité est égal à 1. Il s'avère que la différence à zéro du déterminant de la matrice carrée est la seule condition d'existence d'une matrice inverse. Rappelons qu'une matrice carrée dont le déterminant est égal à zéro est appelée dégénérée (singulière), sinon - non singulière (non singulière).
Théorème 4.1 sur l'existence et l'unicité de la matrice inverse. Matrice Carrée A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), dont le déterminant est non nul, a une matrice inverse et, de plus, une seule :
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\ ! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
où A^(+) est la matrice transposée pour la matrice composée des compléments algébriques des éléments de la matrice A .
La matrice A^(+) est appelée matrice jointe par rapport à la matrice A .
En effet, la matrice \frac(1)(\det(A))\,A^(+) existe sous la condition \det(A)\ne0 . Il faut montrer qu'il est inverse de A , c'est-à-dire satisfait à deux conditions :
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
Démontrons la première égalité. D'après le point 4 des Remarques 2.3, il résulte des propriétés du déterminant que AA^(+)=\det(A)\cdot E. Alors
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
qui devait être montré. La seconde égalité se démontre de la même façon. Donc, sous la condition \det(A)\ne0, la matrice A admet une inverse
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Nous prouvons l'unicité de la matrice inverse par contradiction. Soit en plus de la matrice A^(-1) il existe une autre matrice inverse B\,(B\ne A^(-1)) telle que AB=E . En multipliant les deux côtés de cette égalité à gauche par la matrice A^(-1) , on obtient \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. D'où B=A^(-1) , ce qui contredit l'hypothèse B\ne A^(-1) . Par conséquent, la matrice inverse est unique.
Remarques 4.1
1. Il résulte de la définition que les matrices A et A^(-1) sont permutables.
2. La matrice inverse d'une diagonale non dégénérée est aussi diagonale :
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. La matrice inverse d'une matrice triangulaire inférieure (supérieure) non dégénérée est triangulaire inférieure (supérieure).
4. Les matrices élémentaires ont des inverses, qui sont également élémentaires (voir point 1 des Remarques 1.11).
Propriétés de la matrice inverse
L'opération d'inversion de matrice a les propriétés suivantes :
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(aligné)
si les opérations indiquées dans les égalités 1-4 ont un sens.
Démontrons la propriété 2 : si le produit AB de matrices carrées non singulières du même ordre a une matrice inverse, alors (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
En effet, le déterminant du produit des matrices AB n'est pas égal à zéro, puisque
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), où \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Par conséquent, la matrice inverse (AB)^(-1) existe et est unique. Montrons par définition que la matrice B^(-1)A^(-1) est inverse par rapport à la matrice AB . Vraiment.
Trouver la matrice inverse- un problème qui est le plus souvent résolu par deux méthodes :
- la méthode des additions algébriques, dans laquelle il faut trouver des déterminants et transposer des matrices ;
- Élimination gaussienne des inconnues, qui nécessite des transformations élémentaires de matrices (additionner des lignes, multiplier des lignes par le même nombre, etc.).
Pour ceux qui sont particulièrement curieux, il existe d'autres méthodes, par exemple la méthode des transformations linéaires. Dans cette leçon, nous analyserons les trois méthodes mentionnées et les algorithmes pour trouver la matrice inverse par ces méthodes.
matrice inverse MAIS, une telle matrice est appelée
MAIS
. (1)
matrice inverse , qui doit être trouvée pour une matrice carrée donnée MAIS, une telle matrice est appelée
le produit par lequel les matrices MAISà droite se trouve la matrice d'identité, c'est-à-dire
. (1)
Une matrice identité est une matrice diagonale dans laquelle toutes les entrées diagonales sont égales à un.
Théorème.Pour toute matrice carrée non singulière (non dégénérée, non singulière), on peut trouver une matrice inverse, et de plus, une seule. Pour une matrice carrée spéciale (dégénérée, singulière), la matrice inverse n'existe pas.
La matrice carrée s'appelle non spécial(ou alors non dégénéré, non singulier) si son déterminant n'est pas égal à zéro, et spécial(ou alors dégénérer, singulier) si son déterminant est nul.
La matrice inverse ne peut être trouvée que pour une matrice carrée. Naturellement, la matrice inverse sera également carrée et du même ordre que la matrice donnée. Une matrice pour laquelle une matrice inverse peut être trouvée est appelée une matrice inversible.
Pour matrice inverse il y a une bonne analogie avec l'inverse d'un nombre. Pour chaque numéro un, qui n'est pas égal à zéro, il existe un nombre b que le travail un et bégal à un : un B= 1 . Numéro b s'appelle l'inverse d'un nombre b. Par exemple, pour le nombre 7, l'inverse est le nombre 1/7, puisque 7*1/7=1.
Recherche de la matrice inverse par la méthode des additions algébriques (matrice d'union)
Pour une matrice carrée non singulière MAIS l'inverse est la matrice
où est le déterminant de la matrice MAIS, а est la matrice associée à la matrice MAIS.
Allié à une matrice carrée UN est une matrice de même ordre dont les éléments sont les compléments algébriques des éléments correspondants du déterminant de la matrice transposée par rapport à la matrice A. Ainsi, si
alors 
et 
Algorithme pour trouver la matrice inverse par la méthode des additions algébriques
1. Trouver le déterminant de cette matrice UN. Si le déterminant est égal à zéro, la recherche de la matrice inverse s'arrête, car la matrice est dégénérée et il n'y a pas d'inverse pour elle.
2. Trouver une matrice transposée par rapport à UN.
3. Calculez les éléments de la matrice d'union comme les compléments algébriques de la marita trouvés à l'étape 2.
4. Appliquer la formule (2) : multiplier l'inverse du déterminant de la matrice UN, à la matrice d'union trouvée à l'étape 4.
5. Vérifier le résultat obtenu à l'étape 4 en multipliant cette matrice UNà la matrice inverse. Si le produit de ces matrices est égal à la matrice identité, alors la matrice inverse a été trouvée correctement. Sinon, recommencez le processus de résolution.
Exemple 1 Pour matrice
trouver la matrice inverse.
Décision. Pour trouver la matrice inverse, il faut trouver le déterminant de la matrice MAIS. On trouve par la règle des triangles :
Par conséquent, la matrice MAIS est non singulier (non dégénéré, non singulier) et il y a un inverse pour cela.
Trouvons la matrice associée à la matrice donnée MAIS.
Trouvons la matrice transposée par rapport à la matrice UN:
On calcule les éléments de la matrice d'union comme des compléments algébriques de la matrice transposés par rapport à la matrice UN:
Par conséquent, la matrice conjuguée à la matrice UN, a la forme
Commenter. L'ordre de calcul des éléments et de transposition de la matrice peut être différent. On peut d'abord calculer les compléments algébriques de la matrice UN, puis transposer la matrice des compléments algébriques. Le résultat devrait être les mêmes éléments de la matrice d'union.
En appliquant la formule (2), on trouve la matrice inverse de la matrice MAIS:
Trouver la matrice inverse par élimination gaussienne des inconnues
La première étape pour trouver la matrice inverse par élimination gaussienne est d'affecter à la matrice UN matrice d'identité de même ordre, les séparant par une barre verticale. On obtient une matrice duale. Multipliez les deux parties de cette matrice par , puis nous obtenons
,
Algorithme pour trouver la matrice inverse par l'élimination gaussienne des inconnues
1. Vers la matrice UN attribuer une matrice identité du même ordre.
2. Transformez la matrice duale résultante de sorte que la matrice identité soit obtenue dans sa partie gauche, puis la matrice inverse sera automatiquement obtenue dans la partie droite à la place de la matrice identité. Matrice UN du côté gauche est converti en la matrice identité par des transformations élémentaires de la matrice.
2. Si en cours de transformation matricielle UN dans la matrice d'identité dans n'importe quelle ligne ou dans n'importe quelle colonne, il n'y aura que des zéros, alors le déterminant de la matrice est égal à zéro, et, par conséquent, la matrice UN sera dégénéré, et il n'a pas de matrice inverse. Dans ce cas, la poursuite de la recherche de la matrice inverse s'arrête.
Exemple 2 Pour matrice
trouver la matrice inverse.
et nous allons la transformer pour que la matrice identité soit obtenue du côté gauche. Commençons la transformation.
Multipliez la première ligne de la matrice gauche et droite par (-3) et ajoutez-la à la deuxième ligne, puis multipliez la première ligne par (-4) et ajoutez-la à la troisième ligne, puis nous obtenons
.
Pour que, si possible, il n'y ait pas de nombres fractionnaires lors des transformations ultérieures, nous allons d'abord créer une unité dans la deuxième ligne du côté gauche de la matrice duale. Pour ce faire, multipliez la deuxième ligne par 2 et soustrayez-en la troisième ligne, puis nous obtenons
.
Ajoutons la première ligne à la seconde, puis multiplions la deuxième ligne par (-9) et ajoutons-la à la troisième ligne. Ensuite on obtient
.
Divisez la troisième rangée par 8, puis
.
Multipliez la troisième rangée par 2 et ajoutez-la à la deuxième rangée. Il s'avère:
.
En échangeant les places des deuxième et troisième lignes, on obtient finalement :
.
On voit que la matrice identité est obtenue du côté gauche, donc la matrice inverse est obtenue du côté droit. Ainsi:
.
Vous pouvez vérifier l'exactitude des calculs en multipliant la matrice d'origine par la matrice inverse trouvée :
Le résultat devrait être une matrice inverse.
Exemple 3 Pour matrice
trouver la matrice inverse.
Décision. Compilation d'une matrice duale
et nous le transformerons.
Nous multiplions la première ligne par 3, et la seconde par 2, et soustrayons de la seconde, puis nous multiplions la première ligne par 5, et la troisième par 2 et soustrayons de la troisième ligne, puis nous obtenons
.
Nous multiplions la première ligne par 2 et l'ajoutons à la seconde, puis soustrayons la seconde de la troisième ligne, puis nous obtenons
.
Nous voyons que dans la troisième ligne du côté gauche, tous les éléments se sont avérés égaux à zéro. Par conséquent, la matrice est dégénérée et n'a pas de matrice inverse. Nous arrêtons plus loin la découverte de la maria inverse.