16.1. Développement des fonctions élémentaires en série de Taylor et
Maclaurin
Montrons que si une fonction arbitraire est définie sur l'ensemble 
, au voisinage du point 
a de nombreuses dérivées et est la somme d'une série de puissances :
alors vous pouvez trouver les coefficients de cette série.
Substitut dans une série de puissance 
. Puis 
.
Trouver la dérivée première de la fonction 
:
À 
:
.
Pour la dérivée seconde on obtient :
À 
:
.
Poursuivre cette procédure n une fois qu'on obtient : 
.
Ainsi, nous obtenons une série de puissances de la forme :
,
qui est appelée près de taylor pour la fonction 
autour du point 
.
Un cas particulier de la série de Taylor est Série Maclaurinà 
:
Le reste de la série de Taylor (Maclaurin) est obtenu en écartant la série principale n les premiers termes et est noté 
. Ensuite la fonction 
peut s'écrire comme une somme n les premiers membres de la série 
et le reste 
:,
.
Le reste est généralement 
exprimées dans différentes formules.
L'un d'eux est sous la forme de Lagrange :
, où 
.
.
A noter qu'en pratique la série de Maclaurin est plus souvent utilisée. Ainsi, pour écrire la fonction 
sous forme de somme d'une série de puissances, il faut :
1) trouver les coefficients de la série de Maclaurin (Taylor) ;
2) trouver la région de convergence de la série de puissance résultante ;
3) prouver que la série donnée converge vers la fonction 
.
Théorème1
(une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la série de Maclaurin). Soit le rayon de convergence de la série 
. Pour que cette série converge dans l'intervalle 
Pour fonctionner 
, il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite : 
dans l'intervalle spécifié.
Théorème 2. Si les dérivées de tout ordre d'une fonction 
dans un certain intervalle 
limité en valeur absolue au même nombre M, c'est à dire 
, alors dans cet intervalle la fonction 
peut être étendu dans une série Maclaurin.
Exemple1
.
Développer dans une série de Taylor autour du point 
une fonction.
Décision.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Zone de convergence 
.
Exemple2
.
Développer la fonction 
dans une série de Taylor autour d'un point 
.
Décision:
On trouve la valeur de la fonction et ses dérivées à 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Remplacez ces valeurs dans une rangée. On a:
ou alors 
.
Trouvons la région de convergence de cette série. Selon le test d'Alembert, la série converge si
.
Par conséquent, pour tout 
cette limite est inférieure à 1, et donc le domaine de convergence de la série sera : 
.
Considérons quelques exemples de l'expansion dans la série de Maclaurin de fonctions élémentaires de base. Rappelons que la série Maclaurin :
.
converge sur l'intervalle 
Pour fonctionner 
.
Notez que pour développer la fonction en série, il faut :
a) trouver les coefficients de la série de Maclaurin pour une fonction donnée ;
b) calculer le rayon de convergence de la série résultante ;
c) prouver que la série résultante converge vers la fonction 
.
Exemple 3 Considérez la fonction 
.
Décision.
Calculons la valeur de la fonction et ses dérivées pour 
.
Alors les coefficients numériques de la série ont la forme :
pour tout le monde n.m. Nous substituons les coefficients trouvés dans la série de Maclaurin et obtenons : 
Trouver le rayon de convergence de la série résultante, à savoir :
.
Par conséquent, la série converge sur l'intervalle 
.
Cette série converge vers la fonction 
pour toutes les valeurs 
, car sur tout intervalle 
une fonction 
et ses dérivées en valeur absolue sont limitées par le nombre 
.
Exemple4
.
Considérez la fonction 
.
Décision.
:
Il est facile de voir que les dérivées d'ordre pair 
, et les dérivées d'ordre impair. Nous substituons les coefficients trouvés dans la série de Maclaurin et obtenons le développement :
Trouvons l'intervalle de convergence de cette série. Selon d'Alembert :
pour tout le monde 
. Par conséquent, la série converge sur l'intervalle 
.
Cette série converge vers la fonction 
, car toutes ses dérivées sont limitées à une.
Exemple5
.
.
Décision.
Trouvons la valeur de la fonction et ses dérivées en 
:
Ainsi, les coefficients de cette série : 
et 
, Par conséquent:
De même avec la série précédente, la zone de convergence 
. La série converge vers la fonction 
, car toutes ses dérivées sont limitées à une.
Notez que la fonction 
développement impair et série en puissances impaires, fonction 
– pair et développement en série en puissances paires.
Exemple6
.
Série binomiale : 
.
Décision.
Trouvons la valeur de la fonction et ses dérivées en 
:
Cela montre que :
Nous substituons ces valeurs des coefficients dans la série de Maclaurin et obtenons le développement de cette fonction en une série de puissance :
Trouvons le rayon de convergence de cette série :
Par conséquent, la série converge sur l'intervalle 
. Aux points limites à 
et 
la série peut ou non converger en fonction de l'exposant 
.
La série étudiée converge sur l'intervalle 
Pour fonctionner 
, c'est-à-dire la somme de la série 
à 
.
Exemple7
.
Développons la fonction dans une série de Maclaurin 
.
Décision.
Pour développer cette fonction en une série, nous utilisons la série binomiale pour 
. On a: 
Sur la base de la propriété des séries entières (une série entière peut être intégrée dans la région de sa convergence), on trouve l'intégrale des parties gauche et droite de cette série :
Trouvez la zone de convergence de cette série: 
,
c'est-à-dire que la région de convergence de cette série est l'intervalle 
. Déterminons la convergence de la série aux extrémités de l'intervalle. À 
. Cette série est une série harmonique, c'est-à-dire qu'elle diverge. À 
on obtient une série de nombres avec un terme commun 
.
La série de Leibniz converge. Ainsi, la région de convergence de cette série est l'intervalle 
.
16.2. Application de séries de puissances de puissances dans des calculs approximatifs
Les séries de puissance jouent un rôle extrêmement important dans les calculs approximatifs. Avec leur aide, des tableaux de fonctions trigonométriques, des tableaux de logarithmes, des tableaux de valeurs d'autres fonctions utilisées dans divers domaines de la connaissance, par exemple en théorie des probabilités et en statistiques mathématiques, ont été compilés. De plus, le développement des fonctions en série entière est utile pour leur étude théorique. Le principal problème lors de l'utilisation de séries de puissance dans des calculs approximatifs est la question de l'estimation de l'erreur lors du remplacement de la somme d'une série par la somme de ses premiers n membres.
Considérez deux cas :
la fonction est développée en une série alternée ;
la fonction est développée en une série de signe constant.
Calcul par séries alternées
Laissez la fonction 
étendu à une série de puissance alternative. Ensuite, lors du calcul de cette fonction pour une valeur spécifique 
on obtient une suite de nombres à laquelle on peut appliquer le test de Leibniz. Conformément à ce critère, si la somme d'une série est remplacée par la somme de ses premières n membres, alors l'erreur absolue ne dépasse pas le premier terme du reste de cette série, c'est-à-dire : 
.
Exemple8
.
Calculer 
avec une précision de 0,0001.
Décision.
Nous utiliserons la série de Maclaurin pour 
, en remplaçant la valeur de l'angle en radians :
Si l'on compare les premier et second membres de la série avec une précision donnée, alors : .
Troisième terme d'extension :
inférieure à la précision de calcul spécifiée. Par conséquent, pour calculer 
il suffit de laisser deux termes de la série, c'est-à-dire
.
Ainsi 
.
Exemple9
.
Calculer 
avec une précision de 0,001.
Décision.
Nous utiliserons la formule de la série binomiale. Pour cela nous écrivons 
comme: 
.
Dans cette expression 
,
Comparons chacun des termes de la série avec la précision qui est donnée. Il est clair que 
. Par conséquent, pour calculer 
il suffit de laisser trois membres de la série.
ou alors 
.
Calcul à l'aide de séries à signe positif
Exemple10
.
Calculer le nombre 
avec une précision de 0,001.
Décision.
A la suite pour une fonction 
remplaçant 
. On a:
Estimons l'erreur qui survient lorsque la somme de la série est remplacée par la somme des premières 
membres. Écrivons l'inégalité évidente:
soit 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Selon l'état du problème, vous devez trouver n telle que l'inégalité suivante soit vraie : 
ou alors 
.
Il est facile de vérifier que lorsque n= 6:
.
Ainsi, 
.
Exemple11
.
Calculer 
avec une précision de 0,0001.
Décision.
Notez que pour calculer les logarithmes, on pourrait appliquer la série pour la fonction 
, mais cette série converge très lentement et il faudrait prendre 9999 termes pour atteindre la précision donnée ! Par conséquent, pour calculer les logarithmes, en règle générale, une série pour la fonction est utilisée 
, qui converge sur l'intervalle 
.
Calculer 
avec cette ligne. Laisser être 
, alors 
.
Ainsi, 
,
Afin de calculer 
avec une précision donnée, faire la somme des quatre premiers termes : 
.
Le reste de la rangée 
Jeter. Estimons l'erreur. Il est évident que 
ou alors 
.
Ainsi, dans la série qui a servi au calcul, il suffisait de ne prendre que les quatre premiers termes au lieu de 9999 dans la série pour la fonction 
.
Questions pour l'autodiagnostic
1. Qu'est-ce qu'une série de Taylor ?
2. quel genre de série avait Maclaurin ?
3. Formuler un théorème sur le développement d'une fonction dans une série de Taylor.
4. Écrivez le développement en série de Maclaurin des fonctions principales.
5. Indiquez les zones de convergence des séries considérées.
6. Comment estimer l'erreur dans les calculs approximatifs à l'aide de séries de puissance ?
Si la fonction f(x) a des dérivées de tous ordres sur un intervalle contenant le point a, alors la formule de Taylor peut lui être appliquée :
,
où rn- le terme dit résiduel ou le reste de la série, il peut être estimé par la formule de Lagrange :
, où le nombre x est compris entre x et a.
Règles de saisie des fonctions:
Si pour une certaine valeur X rn→0 à n→∞, alors à la limite la formule de Taylor pour cette valeur devient la convergente Série Taylor:
,
Ainsi, la fonction f(x) peut être développée en une série de Taylor au point x considéré si :
1) il a des dérivées de tous ordres ;
2) la série construite converge en ce point.
Pour a = 0 on obtient une série appelée près de Maclaurin:
,
Développement des fonctions les plus simples (élémentaires) de la série Maclaurin :
fonctions exponentielles
, R=∞
Fonctions trigonométriques 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
La fonction actgx ne se développe pas en puissances de x, car ctg0=∞
Fonctions hyperboliques
Fonctions logarithmiques
, -1
Série binomiale
.
Exemple 1. Développez la fonction dans une série de puissance f(x)= 2X.
Décision. Trouvons les valeurs de la fonction et de ses dérivées à X=0
f(x) = 2X, F( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2X ln2, F"( 0)
= 2 0
ln2 = ln2 ;
f""(x) = 2X En 2 2, F""( 0)
= 2 0
bûche 2 2= bûche 2 2 ;
…
f(n)(x) = 2X dans n 2, f(n)( 0)
= 2 0
dans n 2=In n 2.
En remplaçant les valeurs obtenues des dérivées dans la formule de la série de Taylor, nous obtenons:
Le rayon de convergence de cette série est égal à l'infini, donc ce développement est valable pour -∞<X<+∞.
Exemple #2. Écrire une série de Taylor en puissances ( X+4) pour la fonction f(x)= e X.
Décision. Trouver les dérivées de la fonction e X et leurs valeurs au point X=-4.
f(x)= e X, F(-4)
= e -4
;
f"(x)= e X, F"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e X, F""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4)
= e -4
.
Par conséquent, la série de Taylor souhaitée de la fonction a la forme :
Ce développement est également valable pour -∞<X<+∞.
Exemple #3. Développer la fonction f(x)=ln X dans une série par degrés ( X- 1),
(c'est-à-dire dans une série de Taylor au voisinage du point X=1).
Décision. On trouve les dérivées de cette fonction.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1) !
En substituant ces valeurs dans la formule, nous obtenons la série de Taylor souhaitée :
A l'aide du test de d'Alembert, on peut vérifier que la série converge en ½x-1½<1 . Действительно,
La série converge si ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 on obtient une série alternée qui satisfait les conditions du test de Leibniz. Pour x=0 la fonction n'est pas définie. Ainsi, la région de convergence de la série de Taylor est l'intervalle semi-ouvert (0;2].
Exemple #4. Développez la fonction dans une série de puissance. Exemple numéro 5. Développez la fonction dans une série Maclaurin. Commenter
.
Cette méthode est basée sur le théorème de l'unicité du développement d'une fonction dans une série entière. L'essence de ce théorème est qu'au voisinage d'un même point, il est impossible d'obtenir deux séries de puissances différentes qui convergeraient vers la même fonction, quelle que soit la manière dont son développement est effectué. Exemple n° 5a. Développez la fonction dans une série de Maclaurin, indiquez la zone de convergence. La fraction 3/(1-3x) peut être vue comme la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante avec un dénominateur de 3x si |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Exemple numéro 6. Développez la fonction en une série de Taylor au voisinage du point x = 3. Exemple numéro 7. Écrire une série de Taylor en puissances (x -1) de la fonction ln(x+2) . Exemple numéro 8. Développez la fonction f(x)=sin(πx/4) en une série de Taylor autour du point x =2. Exemple 1. Calculer ln(3) à 0,01 près. Exemple #2. Calculer au 0,0001 le plus proche. Exemple #3. Calculer l'intégrale ∫ 0 1 4 sin (x) x à 10 -5 près. Exemple #4. Calculer l'intégrale ∫ 0 1 4 e x 2 à 0,001 près.
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L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube d'origine de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Il s'avère un ensemble composé de 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En continuant ce processus indéfiniment, nous obtenons l'éponge de Menger. Les étudiants en mathématiques supérieures doivent être conscients que la somme d'une certaine série de puissances appartenant à l'intervalle de convergence de la série qui nous est donnée s'avère être une fonction continue et illimitée de fois différenciée. La question se pose : est-il possible d'affirmer qu'une fonction arbitraire donnée f(x) est la somme de certaines séries de puissances ? Autrement dit, sous quelles conditions la fonction f(x) peut-elle être représentée par une série entière ? L'importance de cette question réside dans le fait qu'il est possible de remplacer approximativement la fonction f(x) par la somme des premiers termes de la série entière, c'est-à-dire par un polynôme. Un tel remplacement d'une fonction par une expression assez simple - un polynôme - est également pratique pour résoudre certains problèmes, à savoir: lors de la résolution d'intégrales, lors du calcul, etc. Il est prouvé que pour certains f-ii f(x), dans lequel il est possible de calculer des dérivées jusqu'au (n + 1)ème ordre, y compris le dernier, au voisinage de (α - R; x 0 + R ) d'un point x = α formule : Cette formule porte le nom du célèbre scientifique Brook Taylor. La série obtenue à partir de la précédente s'appelle la série de Maclaurin : La règle qui permet de développer dans une série Maclaurin : R n (x) -> 0 pour n -> infini. S'il en existe une, la fonction f(x) qu'elle contient doit coïncider avec la somme de la série de Maclaurin. Considérez maintenant la série Maclaurin pour les fonctions individuelles. 1. Ainsi, le premier sera f(x) = e x. Bien sûr, selon ses caractéristiques, une telle fonction a des dérivées d'ordres très différents, et f (k) (x) \u003d e x, où k est égal à tout Substituons x \u003d 0. Nous obtenons f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1,2 ... Sur la base de ce qui précède, la série e x ressemblera à ceci: 2. La série de Maclaurin pour la fonction f(x) = sin x. Précisons immédiatement que la fonction pour toutes les inconnues aura des dérivées, outre f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin ( x +2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), où k est égal à tout nombre naturel. Autrement dit, en faisant des calculs simples, nous pouvons conclure que la série pour f(x) = sin x ressemblera à ceci : 3. Essayons maintenant de considérer la fonction f(x) = cos x. Il a des dérivées d'ordre arbitraire pour toutes les inconnues, et |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: Ainsi, nous avons répertorié les fonctions les plus importantes qui peuvent être étendues dans la série Maclaurin, mais elles sont complétées par la série Taylor pour certaines fonctions. Nous allons maintenant les lister. Il convient également de noter que les séries de Taylor et de Maclaurin sont une partie importante de la pratique de la résolution de séries en mathématiques supérieures. Donc, la série Taylor. 1. Le premier sera une ligne pour f-ii f (x) = ln (1 + x). Comme dans les exemples précédents, étant donné f (x) = ln (1 + x), nous pouvons ajouter une série en utilisant la forme générale de la série de Maclaurin. cependant, pour cette fonction, la série de Maclaurin peut être obtenue beaucoup plus simplement. Après intégration d'une certaine série géométrique, on obtient une série pour f (x) = ln (1 + x) d'un tel échantillon : 2. Et le second, qui sera final dans notre article, sera une série pour f (x) \u003d arctg x. Pour x appartenant à l'intervalle [-1 ; 1], le développement est valide : C'est tout. Cet article a examiné les séries de Taylor et Maclaurin les plus couramment utilisées en mathématiques supérieures, en particulier dans les universités économiques et techniques. Décomposition d'une fonction en une série de Taylor, Maclaurin et Laurent sur le site de formation aux savoir-faire pratiques. Ce développement en série d'une fonction donne aux mathématiciens une idée de l'estimation de la valeur approximative d'une fonction à un certain point de son domaine de définition. Il est beaucoup plus facile de calculer une telle valeur de fonction, par rapport à l'utilisation de la table Bredis, qui est tellement obsolète à l'ère de l'informatique. Développer une fonction en une série de Taylor signifie calculer les coefficients devant les fonctions linéaires de cette série et les écrire sous la forme correcte. Les élèves confondent ces deux rangées, ne comprenant pas ce qui est un cas général et ce qui est un cas particulier de la seconde. Nous vous rappelons une fois pour toutes, la série de Maclaurin est un cas particulier de la série de Taylor, c'est-à-dire qu'il s'agit de la série de Taylor, mais au point x = 0. Tous les brefs enregistrements de l'expansion des fonctions connues, telles que e ^x, Sin(x), Cos(x) et autres, ce sont des développements en série de Taylor, mais au point 0 pour l'argument. Pour les fonctions d'un argument complexe, la série de Laurent est le problème le plus courant dans le TFKT, car elle représente une série infinie à deux côtés. C'est la somme de deux lignes. Nous vous proposons de regarder un exemple de décomposition directement sur le site du site, c'est très simple de le faire en cliquant sur "Exemple" avec n'importe quel chiffre, puis sur le bouton "Solution". C'est à ce développement d'une fonction en série qu'est associée la série majorante, qui limite la fonction d'origine dans une certaine région le long de l'axe des ordonnées, si la variable appartient à la région des abscisses. L'analyse vectorielle est comparée à une autre discipline intéressante en mathématiques. Étant donné que chaque terme doit être étudié, beaucoup de temps est nécessaire pour le processus. Toute série de Taylor peut être associée à une série de Maclaurin en remplaçant x0 par zéro, mais pour la série de Maclaurin, la représentation inverse de la série de Taylor n'est parfois pas évidente. Peu importe qu'il ne soit pas nécessaire de le faire dans sa forme pure, il est intéressant pour le développement personnel général. Chaque série de Laurent correspond à une série de puissances infinies bilatérales en puissances entières de z-a, c'est-à-dire une série du même type de Taylor, mais légèrement différente dans le calcul des coefficients. Nous parlerons de la région de convergence de la série de Laurent un peu plus tard, après plusieurs calculs théoriques. Comme au siècle dernier, une expansion progressive d'une fonction dans une série ne peut guère être obtenue qu'en réduisant les termes à un dénominateur commun, puisque les fonctions dans les dénominateurs ne sont pas linéaires. Le calcul approximatif de la valeur fonctionnelle nécessite la formulation de problèmes. Pensez au fait que lorsque l'argument de la série de Taylor est une variable linéaire, alors le développement se déroule en plusieurs étapes, mais une image complètement différente, lorsqu'une fonction complexe ou non linéaire agit comme un argument de la fonction à développer, alors le processus de représentation d'une telle fonction dans une série de puissances est évident, car, de cette manière, il est facile de calculer, bien qu'approximatif, mais la valeur en tout point du domaine de définition, avec une erreur minimale qui a peu effet sur les calculs ultérieurs. Ceci s'applique également à la série Maclaurin. lorsqu'il est nécessaire de calculer la fonction au point zéro. Cependant, la série de Laurent elle-même est ici représentée par un développement plan avec des unités imaginaires. De plus, la solution correcte du problème ne sera pas sans succès au cours du processus global. En mathématiques, cette approche n'est pas connue, mais elle existe objectivement. En conséquence, vous pouvez arriver à la conclusion des sous-ensembles dits ponctuels, et dans l'expansion d'une fonction dans une série, vous devez appliquer des méthodes connues pour ce processus, telles que l'application de la théorie des dérivées. Une fois de plus, nous sommes convaincus de la justesse de l'enseignant, qui a fait ses hypothèses sur les résultats des calculs post-calcul. Notons que la série de Taylor, obtenue selon tous les canons des mathématiques, existe et est définie sur tout l'axe numérique, cependant, chers utilisateurs du service du site, n'oubliez pas la forme de la fonction d'origine, car elle peut s'avérer qu'il est initialement nécessaire de définir le domaine de la fonction, c'est-à-dire d'écrire et d'exclure des considérations ultérieures les points où la fonction n'est pas définie dans le domaine des nombres réels. Pour ainsi dire, cela montrera votre rapidité à résoudre le problème. La construction de la série de Maclaurin avec une valeur nulle de l'argument ne fera pas exception à ce qui a été dit. Dans le même temps, personne n'a annulé le processus de recherche du domaine de définition d'une fonction, et vous devez aborder cette action mathématique avec tout le sérieux. Si la série Laurent contient la partie principale, le paramètre "a" sera appelé un point singulier isolé, et la série Laurent sera développée dans l'anneau - c'est l'intersection des zones de convergence de ses parties, à partir de laquelle le correspondant théorème suivra. Mais tout n'est pas aussi difficile que cela puisse paraître à première vue pour un étudiant inexpérimenté. Après avoir étudié uniquement la série de Taylor, on peut facilement comprendre la série de Laurent - un cas généralisé d'expansion de l'espace des nombres. Tout développement d'une fonction en série ne peut se faire qu'en un point du domaine de la fonction. Il faut tenir compte des propriétés de telles fonctions, par exemple la périodicité ou la dérivabilité infinie. Nous vous suggérons également d'utiliser le tableau des développements prêts à l'emploi dans la série de fonctions élémentaires de Taylor, car une fonction peut être représentée par jusqu'à des dizaines de séries de puissances qui diffèrent les unes des autres, ce qui peut être vu à l'utilisation de notre en ligne calculatrice. La série en ligne de Maclaurin est plus facile que jamais pour déterminer si vous utilisez le service de site unique, il vous suffit d'entrer la fonction écrite correcte et vous recevrez la réponse présentée en quelques secondes, elle sera garantie exacte et sous une forme écrite standard . Vous pouvez réécrire immédiatement le résultat dans une copie propre pour la remettre à l'enseignant. Il serait correct de déterminer d'abord l'analyticité de la fonction considérée dans les anneaux, puis de déclarer sans ambiguïté qu'elle peut être développée en une série de Laurent dans tous ces anneaux. Un moment important est de ne pas perdre de vue les membres de la série de Laurent contenant des degrés négatifs. Concentrez-vous sur cela autant que possible. Faire bon usage du théorème de Laurent sur le développement d'une fonction en une série en puissances entières.
Décision. Dans la décomposition (1) on remplace x par -x 2, on obtient :
, -∞
Décision. Nous avons
En utilisant la formule (4), on peut écrire :
en substituant à la place de x dans la formule -x, on obtient :
De là, nous trouvons : ln(1+x)-ln(1-x) = -
En élargissant les parenthèses, en réarrangeant les termes de la série et en réduisant les termes similaires, on obtient
. Cette série converge dans l'intervalle (-1;1) puisqu'elle est obtenue à partir de deux séries dont chacune converge dans cet intervalle.
Les formules (1) à (5) peuvent également être utilisées pour développer les fonctions correspondantes dans une série de Taylor, c'est-à-dire pour le développement de fonctions en puissances entières positives ( Ha). Pour ce faire, il est nécessaire d'effectuer de telles transformations identiques sur une fonction donnée afin d'obtenir l'une des fonctions (1) - (5), dans laquelle au lieu de X coûte k( Ha) m , où k est un nombre constant, m est un entier positif. Il est souvent commode de changer la variable t=Ha et développer la fonction résultante par rapport à t dans la série de Maclaurin.
Décision. On trouve d'abord 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
à l'élémentaire :
avec région de convergence |x|< 1/3.
Décision. Ce problème peut être résolu, comme précédemment, en utilisant la définition de la série de Taylor, pour laquelle il est nécessaire de trouver les dérivées des fonctions et leurs valeurs à X=3. Cependant, il sera plus simple d'utiliser la décomposition existante (5) :
=
La série résultante converge à ou -3
Décision.
La série converge à , ou -2< x < 5.
Décision. Faisons le remplacement t=x-2 :
En utilisant le développement (3), dans lequel on substitue π / 4 t à x, on obtient :
La série résultante converge vers la fonction donnée à -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Calculs approximatifs utilisant des séries de puissance
Les séries de puissance sont largement utilisées dans les calculs approximatifs. Avec leur aide, avec une précision donnée, vous pouvez calculer les valeurs des racines, des fonctions trigonométriques, des logarithmes de nombres, des intégrales définies. Les séries sont également utilisées dans l'intégration des équations différentielles.
Considérons l'expansion de la fonction dans une série de puissance :
Calculer la valeur approximative d'une fonction en un point donné X, appartenant à la région de convergence de la série indiquée, le premier n membres ( n est un nombre fini), et les termes restants sont ignorés :
Pour estimer l'erreur de la valeur approchée obtenue, il est nécessaire d'estimer le résidu rejeté r n (x) . Pour cela, les méthodes suivantes sont utilisées :
Décision. Utilisons la décomposition , où x=1/2 (voir exemple 5 dans le sujet précédent) :
Vérifions si nous pouvons écarter le reste après les trois premiers termes du développement, pour cela nous l'évaluons en utilisant la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante :
On peut donc écarter ce reste et obtenir
Décision. Utilisons la série binomiale. Puisque 5 3 est le cube entier le plus proche de 130, il est conseillé de représenter le nombre 130 comme 130=5 3 +5. 
puisque le quatrième terme de la série à alternance de signes obtenue qui satisfait au test de Leibniz est déjà inférieur à la précision requise :
, de sorte que lui et les termes qui le suivent peuvent être ignorés.
De nombreuses intégrales définies ou impropres pratiquement nécessaires ne peuvent pas être calculées à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, car son application est associée à la recherche d'une primitive, souvent sans expression dans les fonctions élémentaires. Il arrive aussi que trouver une primitive soit possible, mais inutilement laborieux. Cependant, si l'intégrande est développée en une série de puissances et que les limites d'intégration appartiennent à l'intervalle de convergence de cette série, alors un calcul approximatif de l'intégrale avec une précision prédéterminée est possible.
Décision. L'intégrale indéfinie correspondante ne peut pas être exprimée en fonctions élémentaires, c'est-à-dire est une "intégrale impossible". La formule de Newton-Leibniz ne peut pas être appliquée ici. Calculons approximativement l'intégrale.
Division terme à terme de la série pour le péché X sur le X, on a: 
En intégrant cette série terme à terme (ceci est possible puisque les bornes d'intégration appartiennent à l'intervalle de convergence de cette série), on obtient :
Puisque la série résultante satisfait aux conditions de Leibniz et qu'il suffit de faire la somme des deux premiers termes pour obtenir la valeur désirée avec une précision donnée.
Ainsi, on trouve 
.
Décision.
. Vérifions si nous pouvons éliminer le reste après le deuxième terme de la série résultante.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.
