गणितीय प्रेरण का सिद्धांत। उदाहरणों का समाधान

कई गणितीय गुणों और विभिन्न कथनों को सिद्ध करने के लिए पीनो के अभिगृहीत 4 पर आधारित एक प्रमाण विधि का उपयोग किया जाता है। इसका आधार निम्नलिखित प्रमेय है।

प्रमेय. यदि कथन लेकिन(एन)प्राकृतिक चर के साथ एनसच के लिए एन = 1 और इस तथ्य से कि यह सत्य है एन = के, यह इस प्रकार है कि यह अगली संख्या के लिए भी सत्य है एन = कश्मीर,फिर बयान लेकिन(एन) एन.

सबूत. द्वारा निरूपित करें एमउन और केवल उन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय जिसके लिए कथन लेकिन(एन)सच। तब प्रमेय की स्थिति से हमें प्राप्त होता है: 1) 1 एम; 2) के एमकएम. अतः अभिगृहीत 4 के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एम =एन, अर्थात। बयान लेकिन(एन)किसी भी प्राकृतिक के लिए सच एन.

इस प्रमेय पर आधारित प्रमाण की विधि कहलाती है गणितीय प्रेरण की विधि,और अभिगृहीत प्रेरण का अभिगृहीत है। इस प्रमाण के दो भाग हैं:

1) सिद्ध कीजिए कि कथन लेकिन(एन)सच के लिए एन = ए (1);

2) मान लें कि कथन लेकिन(एन)सच के लिए एन = के, और, इस धारणा से शुरू करते हुए, साबित करें कि बयान एक)सच के लिए n=k+ 1, यानी कि कथन सत्य है ए (के) ए (के + 1).

यदि एक लेकिन( 1) लेकिन(के) ए (के + 1) एक सत्य कथन है, तो वे निष्कर्ष निकालते हैं कि कथन एक)किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य एन.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण न केवल कथन की सत्यता की पुष्टि के साथ शुरू हो सकता है एन = 1, लेकिन किसी भी प्राकृतिक संख्या से भी एम. इस मामले में, बयान लेकिन(एन)सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सिद्ध किया जाएगा एनएम.

समस्या। आइए साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए समानता 1 + 3 + 5 ... + (2 .) एन- 1) = एन।

समाधान।समानता 1 + 3 + 5 ... + (2 .) एन- 1) = एनएक सूत्र है जिसका उपयोग पहली क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 = 16 (योग में 4 पद हैं), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 = 36 (योग में 6 पद हैं); यदि इस योग में संकेतित प्रकार के 20 पद हैं, तो यह 20 = 400, आदि के बराबर है। इस समानता की सच्चाई को सिद्ध करने के बाद, हम सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट प्रकार के शब्दों की संख्या का योग ज्ञात करने में सक्षम होंगे।

1) इस समानता की सच्चाई को सत्यापित करें एन = 1. कब एन = 1 समानता के बाईं ओर 1 के बराबर एक पद होता है, दायां पक्ष 1 = 1 के बराबर होता है। 1 = 1 के बाद से, के लिए एन = 1 यह समानता सत्य है।

2) मान लें कि यह समानता सत्य है एन = के, अर्थात। कि 1 + 3 + 5 +… + (2 .) क- 1) = क।इस धारणा के आधार पर, हम साबित करते हैं कि यह सच है n=k+ 1, यानी 1 + 3 + 5 + ... + (2 .) क- 1) + (2(कश्मीर + 1) - 1) = (कश्मीर + 1).

अंतिम समानता के बाईं ओर पर विचार करें।

धारणा के अनुसार, पहले का योग कशर्तें is कऔर इसलिए 1 + 3 + 5 + ... + (2 .) क- 1) + (2(कश्मीर + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2क- 1) + (2क+ 1)=

= के+(2कश्मीर + 1) = कश्मीर+ 2कश्मीर + 1. अभिव्यक्ति कश्मीर+ 2कश्मीर + 1 समान रूप से व्यंजक के बराबर है ( कश्मीर + 1).

इसलिए, इस समानता की सच्चाई n=k+ 1 सिद्ध होता है।

इस प्रकार, यह समानता सत्य है एन = 1 और इसकी सच्चाई से एन = केसत्य का अनुसरण करता है n=k+ 1.

इससे सिद्ध होता है कि यह समानता किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, न केवल समानता, बल्कि असमानताओं की भी सच्चाई को साबित किया जा सकता है।

एक कार्य। साबित करें कि जहां एन.एन.

समाधान।आइए हम असमानता की सच्चाई की जाँच करें एन = 1. हमारे पास - एक सच्ची असमानता है।

आइए मान लें कि असमानता सत्य है एन = कश्मीर,वे। - सच्ची असमानता। आइए हम इस धारणा के आधार पर साबित करें कि यह सत्य है n=k+ 1, यानी (*).

हम इस बात को ध्यान में रखते हुए असमानता (*) के बाईं ओर रूपांतरित करते हैं कि : .

परंतु , जिसका अर्थ है और .

तो यह असमानता सत्य है एन = 1, और, इस तथ्य से कि असमानता कुछ के लिए सही है एन = क, हमने पाया कि यह इसके लिए भी सत्य है एन = कश्मीर + 1.

इस प्रकार, अभिगृहीत 4 का उपयोग करते हुए, हमने सिद्ध किया है कि यह असमानता किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

अन्य अभिकथन को गणितीय आगमन विधि द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।

एक कार्य। सिद्ध कीजिए कि कथन किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

समाधान. आइए हम इस कथन की सत्यता की जाँच करें एन = 1:- सत्य कथन।

आइए मान लें कि यह कथन सत्य है एन = के: . आइए, इसका उपयोग करते हुए, के लिए कथन की सत्यता को प्रदर्शित करें n=k+ 1: .

आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें: . आइए जानें अंतर कतथा कश्मीर+ 1 सदस्य। यदि यह पता चलता है कि परिणामी अंतर 7 का गुणज है, और यह मानकर कि सबट्रेंड 7 से विभाज्य है, तो मिन्यूएंड भी 7 का गुणज है:

गुणनफल 7 का गुणज है, इसलिए, और .

अत: यह कथन के लिए सत्य है एन = 1 और इसकी सच्चाई से एन = केसत्य का अनुसरण करता है n=k+ 1.

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि यह कथन किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

एक कार्य। सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए एन 2 कथन (7-1)24 सत्य है।

समाधान। 1) के लिए कथन की सत्यता की जाँच करें एन= 2: - सत्य कथन।

गणितीय प्रेरण की विधि

परिचय

मुख्य हिस्सा

1. पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण
2. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत
3. गणितीय प्रेरण की विधि
4. उदाहरणों का समाधान
5. समानता
6. संख्या विभाजन
7. असमानताओं

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ किसी भी गणितीय शोध का आधार होती हैं। तर्क की निगमन विधि सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रही है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों में जाने पर प्रेरण लागू किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए प्रयास किया है, अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है।

यद्यपि गणितीय प्रेरण की पद्धति के अनुप्रयोग का क्षेत्र बढ़ा है, इसे स्कूली पाठ्यक्रम में बहुत कम समय दिया जाता है। खैर, मान लीजिए कि एक उपयोगी व्यक्ति उन दो या तीन पाठों द्वारा लाया जाएगा जिनके लिए वह सिद्धांत के पांच शब्द सुनता है, पांच आदिम समस्याओं को हल करता है, और परिणामस्वरूप, कुछ भी नहीं जानने के लिए पांच प्राप्त करता है।

लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण है - आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना।

मुख्य हिस्सा

अपने मूल अर्थ में, "प्रेरण" शब्द तर्क पर लागू होता है जिसके द्वारा कई विशेष कथनों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार के तर्क करने की सबसे सरल विधि पूर्ण प्रेरण है। इस तरह के तर्क का एक उदाहरण यहां दिया गया है।

यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n 4 . के भीतर< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ये नौ समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या को वास्तव में दो अभाज्य पदों के योग के रूप में दर्शाया जाता है।

इस प्रकार, पूर्ण प्रेरण यह है कि संभावित मामलों की एक सीमित संख्या में प्रत्येक में सामान्य कथन अलग से साबित होता है।

कभी-कभी सामान्य परिणाम की भविष्यवाणी सभी पर नहीं, बल्कि बड़ी संख्या में विशेष मामलों (तथाकथित अपूर्ण प्रेरण) पर विचार करने के बाद की जा सकती है।

हालाँकि, अपूर्ण प्रेरण द्वारा प्राप्त परिणाम, केवल एक परिकल्पना ही रहता है, जब तक कि यह सभी विशेष मामलों को शामिल करते हुए सटीक गणितीय तर्क द्वारा सिद्ध नहीं हो जाता। दूसरे शब्दों में, गणित में अपूर्ण प्रेरण को कठोर प्रमाण का एक वैध तरीका नहीं माना जाता है, लेकिन यह नए सत्य की खोज के लिए एक शक्तिशाली तरीका है।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, पहले n क्रमागत विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना आवश्यक है। विशेष मामलों पर विचार करें:

1+3+5+7+9=25=5 2

इन कुछ विशेष मामलों पर विचार करने के बाद, निम्नलिखित सामान्य निष्कर्ष स्वयं सुझाते हैं:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

वे। पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n 2 . है

बेशक, किया गया अवलोकन अभी तक उपरोक्त सूत्र की वैधता के प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता है।

पूर्ण प्रेरण में गणित में केवल सीमित अनुप्रयोग हैं। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, और हम अनंत मामलों के लिए परीक्षण नहीं कर सकते हैं। अधूरा प्रेरण अक्सर गलत परिणाम देता है।

कई मामलों में, इस तरह की कठिनाई से बाहर निकलने का तरीका तर्क की एक विशेष विधि का सहारा लेना है, जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। यह इस प्रकार है।

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n के लिए एक निश्चित कथन की वैधता को सिद्ध करना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करना आवश्यक है कि पहली n विषम संख्याओं का योग n 2 के बराबर है)। n के प्रत्येक मान के लिए इस कथन का प्रत्यक्ष सत्यापन असंभव है, क्योंकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए पहले n=1 के लिए इसकी वैधता की जाँच करें। तब यह सिद्ध हो जाता है कि k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए, n=k के लिए विचाराधीन कथन की वैधता का अर्थ n=k+1 के लिए भी इसकी वैधता है।

तब अभिकथन को सभी n के लिए सिद्ध माना जाता है। वास्तव में, कथन n=1 के लिए सत्य है। लेकिन फिर यह अगले नंबर n=1+1=2 के लिए भी मान्य है। n=2 के लिए अभिकथन की वैधता का तात्पर्य n=2+ . के लिए इसकी वैधता है

1=3. इसका तात्पर्य n=4, इत्यादि के लिए दिए गए कथन की वैधता से है। यह स्पष्ट है कि, अंत में, हम किसी भी प्राकृतिक संख्या n पर पहुंचेंगे। इसलिए, कथन किसी भी n के लिए सत्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम निम्नलिखित सामान्य सिद्धांत तैयार करते हैं।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

यदि वाक्य A(n), जो एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n=1 के लिए सत्य है, और इस तथ्य से कि यह n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह भी है अगली संख्या n=k +1 के लिए सत्य है, तो मान लें कि A(n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है।

यदि प्रस्ताव A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि किसी k>p के लिए A(k)ÞA(k+1), तो प्रस्ताव A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले अभिकथन को n = 1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात, कथन A(1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का एक भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, n=k+1 के लिए कथन की वैधता इस धारणा के तहत सिद्ध होती है कि कथन n=k (प्रेरण धारणा) के लिए सत्य है, अर्थात। सिद्ध कीजिए कि A(k)ÞA(k+1)।

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

हल: 1) हमारे पास n=1=1 2 है। फलस्वरूप,

कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k)ÞA(k+1)।

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ।

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 ।

वास्तव में,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 ।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nнN के लिए अनुमान A(n) सत्य है।

साबित करो

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), जहां x¹1

हल: 1) n=1 के लिए हमें प्राप्त होता है

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सत्य है; ए (1) सच है।

2) मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए सूत्र सत्य है, अर्थात्।

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1)।

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)।

वास्तव में

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 है।

हल: 1) n=3 के लिए, कथन सत्य है

और 3 सही है, क्योंकि एक त्रिभुज में

 ए 3 =3(3-3)/2=0 विकर्ण;

ए 2 ए (3) सच है।

2) मान लीजिए कि किसी में

उत्तल के-गॉन है-

ए 1 सिया ए के = के (के-3) / 2 विकर्ण।

A k आइए सिद्ध करें कि तब उत्तल में

(के+1)-गॉन नंबर

विकर्ण A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

मान लीजिए 1 2 А 3 …A k A k+1 -उत्तल (k+1)-कोण। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाते हैं। इस (k + 1)-gon के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। शीर्ष A k+1 से आने वाले (k+1)-gon के विकर्णों की संख्या, और, इसके अलावा, विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

इस तरह,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n के लिए कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

अत: n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k

एक्स के \u003d के 2 \u003d के (के + 1) (2k + 1) / 6.

3) n=k+1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, किसी भी प्राकृतिक n के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4।

हल: 1) मान लीजिए n=1.

फिर एक्स 1 = 3 = 1 2 (1+1) 2 /4=1।

हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि समानता n=k . के लिए सही है

एक्स के \u003d के 2 (के + 1) 2/4।

3) आइए हम इस कथन की सत्यता को n=k+1, अर्थात् सिद्ध करें।

एक्स के+1 =(के+1) 2 (के+2) 2 /4। एक्स के+1 = 3 +2 3 +…+के 3 +(के+1) 3 =के 2 (के+1) 2 /4+(के+1) 3 =(के 2 (के++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है।

साबित करो

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((एन 3 +1)/(एन 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), जहां n>2.

हल: 1) n=2 के लिए पहचान इस तरह दिखती है: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

वे। यह सही है।

2) मान लें कि n=k . के लिए व्यंजक सत्य है

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(के 3 +1)/(के 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)।

3) हम n=k+1 के लिए व्यंजक की सत्यता सिद्ध करेंगे।

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((के 3 +1)/(के 3 -1)))´((के+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

((k+1) 2 +(k+1)+1)।

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता साबित कर दी है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, कथन किसी भी n>2 के लिए सही है।

साबित करो

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

किसी भी प्राकृतिक एन.

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) मान लें कि n=k, तब

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)।

3) आइए n=k+1 . के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)।

n=k+1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो गई है, इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए कथन सत्य है।

पहचान की वैधता साबित करें

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

किसी भी प्राकृतिक एन.

1) n=1 के लिए सर्वसमिका सत्य है 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1)।

2) मान लें कि n=k . के लिए

(1 2 /1´3)+…+(के 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)।

3) आइए हम सिद्ध करें कि n=k+1 के लिए सर्वसमिका सत्य है।

(1 2 /1´3)+…+(के 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (के+2)/2(2(के+1)+1)।

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि अभिकथन किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133।

लेकिन (23´133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n=1 के लिए कथन सत्य है; ए (1) सच है।

2) मान लीजिए कि (11 k+2 +12 2k+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

3) आइए हम साबित करें कि इस मामले में

(11 k+3 +12 2k+3) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है। दरअसल, 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 ।

परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे कारक में 133 है। तो, А(k)ÞА(k+1)। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n 7 n -1 के लिए बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n=1, तो X 1 =7 1 -1=6 को 6 से विभाजित किया जाता है और शेषफल नहीं मिलता है। अतः n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k . के लिए

7 k -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है।

एक्स के+1 =7 के+1 -1=7´7 के -7+6=7(7 के -1)+6।

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1, 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसलिए 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 6 का गुणज है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि स्वेच्छ प्राकृतिक n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।
हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 बिना शेष के 11 से विभाजित है। अत: n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k . के लिए

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है।

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1।

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसलिए, योग है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से भी विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ धनात्मक पूर्णांक n के लिए 11 2n -1, बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n=1, तो 11 2 -1=120 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। अतः n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k . के लिए

11 2k -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1)।

दोनों पद शेषफल के बिना 6 से विभाज्य हैं: पहले में 6 संख्या 120 का गुणज है, और दूसरी धारणा द्वारा शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। अतः योग शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 3 3n+3 -26n-27 बिना किसी शेषफल के 26 2 (676) से विभाज्य है।

हल: आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n+3 -1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य है।

1. एन = 0 . के लिए

3 3 -1=26 26 . से विभाज्य है

2. मान लीजिए कि n=k . के लिए

3 3k+3 -1 26 . से विभाज्य है

3. आइए हम सिद्ध करें कि कथन

n=k+1 के लिए सत्य।

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26 से विभाज्य

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें।

1) यह स्पष्ट है कि n=1 के लिए कथन सत्य है

3 3+3 -26-27=676

2) मान लें कि n=k . के लिए

व्यंजक 3 3k+3 -26k-27 बिना शेष के 26 2 से विभाज्य है।

3) आइए सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)।

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है क्योंकि हमने साबित कर दिया है कि कोष्ठक में व्यंजक 26 से विभाज्य है, और दूसरा आगमनात्मक परिकल्पना से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि यदि n>2 और x>0, तो असमानता

(1+x) n >1+n´x।

हल: 1) n=2 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x।

तो ए (2) सच है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k)ÞA(k+1) यदि k> 2. मान लीजिए कि A(k) सत्य है, अर्थात असमानता

(1+x) k >1+k´x। (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A(k+1) भी सत्य है, अर्थात् असमानता

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x।

वास्तव में, असमानता के दोनों पक्षों (3) को एक धनात्मक संख्या 1+x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x)।

अंतिम असमान के दाहिने हिस्से पर विचार करें

स्टवा; अपने पास

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x।

परिणामस्वरूप, हमें वह मिलता है

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी के लिए भी मान्य है

सिद्ध कीजिए कि असमानता सत्य है

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 for a> 0.

हल: 1) m=1 . के लिए

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 दोनों भाग बराबर हैं।

2) मान लें कि m=k . के लिए

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) आइए हम साबित करें कि m=k+1 के लिए गैर-समानता सत्य है

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 ।

हमने m=k+1 के लिए असमानता की वैधता साबित कर दी है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक m के लिए सही है।

साबित करें कि n>6 के लिए असमानता

3 n >n´2 n+1 ।

हल: आइए असमानता को इस रूप में फिर से लिखें

1. n=7 के लिए हमारे पास है

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

असमानता सच है।

2. मान लीजिए कि n=k . के लिए

3) आइए n=k+1 के लिए असमानता की सत्यता सिद्ध करें।

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1)।

k>7 के बाद से, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक n के लिए मान्य है।

साबित करें कि n>2 के लिए असमानता

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/एन 2)<1,7-(1/n).

हल: 1) n=3 के लिए असमानता सत्य है

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. मान लीजिए कि n=k . के लिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/के 2)=1.7-(1/के)।

3) हम गैर की वैधता साबित करेंगे-

n=k+1 . के लिए समानताएं

(1+(1/2 2)+…+(1/के 2))+(1/(के+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

आइए हम सिद्ध करें कि 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

डब्ल्यू(1/(के+1) 2)+(1/के+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

k(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(के+1) 2)<1,7-(1/k+1).

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, गैर-समानता सिद्ध होती है।

निष्कर्ष

विशेष रूप से, गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करने के बाद, मैंने गणित के इस क्षेत्र में अपना ज्ञान बढ़ाया, और यह भी सीखा कि उन समस्याओं को कैसे हल किया जाए जो पहले मेरी शक्ति से परे थीं।

मूल रूप से, ये तार्किक और मनोरंजक कार्य थे, अर्थात। सिर्फ वही जो एक विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाते हैं। ऐसी समस्याओं का समाधान एक मनोरंजक गतिविधि बन जाता है और अधिक से अधिक जिज्ञासु लोगों को गणितीय लेबिरिंथ की ओर आकर्षित कर सकता है। मेरी राय में, यह किसी भी विज्ञान का आधार है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन जारी रखते हुए, मैं यह सीखने की कोशिश करूंगा कि इसे न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीवन में ही समस्याओं को हल करने में कैसे लागू किया जाए।

गणित:

व्याख्यान, कार्य, समाधान

पाठ्यपुस्तक / वी। जी। बोल्त्यंस्की, यू। वी। सिदोरोव, एम। आई। शबुनिन। पोटपौरी एलएलसी 1996।

बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांत

पाठ्यपुस्तक / आई.टी. डेमिडोव, ए.एन. कोलमोगोरोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ग, ओएस इवाशेव-मुसातोव, बी.ई. "ज्ञानोदय" 1975।

प्रेरण विशेष टिप्पणियों से एक सामान्य विवरण प्राप्त करने की एक विधि है। मामले में जब एक गणितीय कथन वस्तुओं की एक सीमित संख्या से संबंधित होता है, तो इसे प्रत्येक वस्तु की जाँच करके सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कथन: "प्रत्येक दो अंकों की सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है," समानता की एक श्रृंखला से अनुसरण करती है जो स्थापित करने के लिए काफी यथार्थवादी हैं:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

प्रमाण की विधि, जिसमें सभी संभावनाओं को समाप्त करते हुए, सीमित संख्या में मामलों के लिए एक बयान सत्यापित किया जाता है, पूर्ण प्रेरण कहलाता है। यह विधि अपेक्षाकृत कम ही लागू होती है, क्योंकि गणितीय कथन, एक नियम के रूप में, चिंता सीमित नहीं है, लेकिन वस्तुओं के अनंत सेट हैं। उदाहरण के लिए, पूर्ण प्रेरण द्वारा सिद्ध दो अंकों की संख्याओं के बारे में कथन केवल प्रमेय का एक विशेष मामला है: "कोई भी संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है।" यह प्रमेय अभी तक सिद्ध या खंडित नहीं हुआ है।

गणितीय प्रेरण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर किसी भी प्राकृतिक n के लिए एक निश्चित कथन को साबित करने की एक विधि है: "यदि कोई कथन n = 1 के लिए सत्य है और n = k के लिए इसकी वैधता से यह निम्नानुसार है कि यह कथन n = के लिए सत्य है। k+1, तो यह सभी n "के लिए सत्य है। गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण की विधि इस प्रकार है:

1) प्रेरण का आधार: n=1 (कभी-कभी n=0 या n=n 0) के लिए कथन की वैधता को सिद्ध या सीधे सत्यापित करें;

2) प्रेरण चरण (संक्रमण): वे कुछ प्राकृतिक n=k के लिए कथन की वैधता मानते हैं और इस धारणा के आधार पर, n=k+1 के लिए कथन की वैधता साबित करते हैं।

समाधान के साथ समस्या

1. सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत n के लिए संख्या 3 2n+1 +2 n+2 7 से विभाज्य है।

A(n)=3 2n+1 +2 n+2 को निरूपित करें।

प्रेरण का आधार। यदि n=1, तो A(1)=3 3 +2 3 =35 और स्पष्ट रूप से 7 से विभाज्य है।

प्रेरण परिकल्पना। मान लीजिए A(k) 7 से विभाज्य है।

आगमनात्मक संक्रमण। आइए हम सिद्ध करें कि A(k+1) 7 से विभाज्य है, अर्थात n=k के लिए समस्या के कथन की वैधता।

А(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 3 2 +2 k+2 2 1 =3 2k+1 9+2 k+2 2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)-7 2 k +2 ।

अंतिम संख्या 7 से विभाज्य है, क्योंकि यह 7 से विभाज्य दो पूर्णांकों का अंतर है। इसलिए, 3 2n+1 +2 n+2 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 7 से विभाज्य है।

2. सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या 2 3 n +1 3 n+1 से विभाज्य है और 3 n+2 से विभाज्य नहीं है।

आइए संकेतन का परिचय दें: a i =2 3 i +1।

n=1 के लिए हमारे पास है, और 1 =2 3 +1=9 है। अत: a 1 3 2 से विभाज्य है और 3 3 से विभाज्य नहीं है।

मान लीजिए n=k के लिए संख्या a k 3 k+1 से विभाज्य है और 3 k+2 से विभाज्य नहीं है, अर्थात a k =2 3 k +1=3 k+1 m, जहाँ m 3 से विभाज्य नहीं है।

और k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k 2 –2 3 k +1)=3 k+1 m m ((2 3 k +1) 2 -3 2 3 k)=3 k+1 m ((3 k+1 m) 2 -3 2 3 k)=

3 k+2 m (3 2k+1 m 2-2 3 k)।

स्पष्ट रूप से, a k+1 3 k+2 से विभाज्य है और 3 k+3 से विभाज्य नहीं है।

इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए अभिकथन सिद्ध होता है।

3. यह ज्ञात है कि x+1/x एक पूर्णांक है। सिद्ध कीजिए कि n +1/х n भी किसी पूर्णांक n के लिए एक पूर्णांक है।

आइए संकेतन का परिचय दें: a i \u003d x i +1 / x i और तुरंत ध्यान दें कि a i \u003d a -i, इसलिए हम प्राकृतिक सूचकांकों के बारे में बात करना जारी रखेंगे।

नोट: और 1 शर्त के अनुसार एक पूर्णांक है; a 2 एक पूर्णांक है, क्योंकि a 2 \u003d (a 1) 2 -2; और 0=2।

मान लें कि k किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए एक पूर्णांक है जो n से अधिक नहीं है। तब a 1 ·a n एक पूर्णांक है, लेकिन a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 और a n+1 =a 1 ·a n –a n–1। हालाँकि, और n-1 प्रेरण परिकल्पना द्वारा एक पूर्णांक है। अत: а n+1 भी एक पूर्णांक है। इसलिए, n +1/х n किसी भी पूर्णांक n के लिए एक पूर्णांक है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

4. सिद्ध कीजिए कि 1 से बड़ा किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए दोहरी असमानता है

5. सिद्ध कीजिए कि प्राकृत n > 1 और |x| . के लिए

(1-एक्स)एन +(1+एक्स)एन

n=2 के लिए असमानता सत्य है। सचमुच,

(1–x) 2 + (1 + x) 2 \u003d 2 + 2 x 2

यदि असमानता n=k के लिए सही है, तो n=k+1 के लिए हमारे पास है

(1–x)k+1 +(1+x)k+1

असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n > 1 के लिए सिद्ध होती है।

6. तल पर n वृत्त हैं। सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों की किसी भी व्यवस्था के लिए इनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें।

n=1 के लिए अभिकथन स्पष्ट है।

मान लीजिए कि n वृत्तों द्वारा बनाए गए किसी भी मानचित्र के लिए कथन सत्य है, और मान लीजिए कि समतल पर n + 1 वृत्त दिए गए हैं। इनमें से किसी एक वृत्त को हटाकर, हमें एक नक्शा मिलता है, जो कि की गई धारणा के आधार पर, दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है (नीचे पहला चित्र देखें)।

फिर हम हटाए गए सर्कल को पुनर्स्थापित करते हैं और इसके एक तरफ, उदाहरण के लिए अंदर, प्रत्येक क्षेत्र का रंग विपरीत में बदलते हैं (दूसरी तस्वीर देखें)। यह देखना आसान है कि इस मामले में हमें दो रंगों के साथ सही रंग का नक्शा मिलता है, लेकिन अब केवल n + 1 सर्कल के साथ, जिसे साबित करना था।

7. यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं तो हम उत्तल बहुभुज को "सुंदर" कहेंगे:

1) इसके प्रत्येक कोने को तीन रंगों में से एक में चित्रित किया गया है;

2) किन्हीं दो निकटवर्ती शीर्षों को अलग-अलग रंगों में रंगा गया है;

3) बहुभुज का कम से कम एक शीर्ष तीन रंगों में से प्रत्येक में रंगीन है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी सुंदर n-gon को अप्रतिच्छेदी विकर्णों द्वारा "सुंदर" त्रिभुजों में काटा जा सकता है।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें।

प्रेरण का आधार। कम से कम संभव n=3 के लिए, समस्या का बयान स्पष्ट है: "सुंदर" त्रिकोण के कोने तीन अलग-अलग रंगों में चित्रित किए गए हैं और किसी कटौती की आवश्यकता नहीं है।

प्रेरण परिकल्पना। आइए मान लें कि समस्या का बयान किसी भी "सुंदर" एन-गॉन के लिए सही है।

प्रेरण कदम। एक मनमाना "सुंदर" (एन + 1) - पर विचार करें और प्रेरण परिकल्पना का उपयोग करके साबित करें कि इसे कुछ विकर्णों द्वारा "सुंदर" त्रिकोण में काटा जा सकता है। 1 , А 2 , А 3 , … n , А n+1 से निरूपित करें - (n+1)-gon के क्रमागत शीर्ष। यदि (n + 1)-गॉन का केवल एक शीर्ष तीन रंगों में से किसी एक रंग में रंगा हुआ है, तो इस शीर्ष को विकर्णों के साथ उन सभी शीर्षों से जोड़कर जो इसके निकट नहीं हैं, हमें (n + 1) का आवश्यक विभाजन प्राप्त होता है। "सुंदर" त्रिकोण में चले गए।

यदि तीन रंगों में से प्रत्येक में (n + 1)-गॉन के कम से कम दो शीर्षों को चित्रित किया जाता है, तो हम शीर्ष A 1 के रंग को संख्या 1 से और शीर्ष A 2 के रंग को संख्या 2 से निरूपित करते हैं। . मान लीजिए k सबसे छोटी संख्या इस प्रकार है कि शीर्ष A k तीसरे रंग में रंगा हुआ है। यह स्पष्ट है कि k > 2. आइए हम त्रिभुज А k–2 k–1 А k को (n+1)-गॉन से k–2 А k के विकर्ण के साथ काटते हैं। संख्या k के चुनाव के अनुसार इस त्रिभुज के सभी शीर्षों को तीन अलग-अलग रंगों में रंगा गया है, अर्थात यह त्रिभुज "सुंदर" है। उत्तल n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , जो रहता है, आगमनात्मक धारणा के कारण भी "सुंदर" होगा, जिसका अर्थ है कि यह "सुंदर" त्रिभुजों में विभाजित किया गया है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

8. सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल n-गॉन में n से अधिक विकर्णों को चुनना असंभव है ताकि उनमें से किन्हीं दो का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो।

आइए गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण को पूरा करें।

आइए हम एक अधिक सामान्य कथन को सिद्ध करें: उत्तल n-gon में, n भुजाओं और विकर्णों से अधिक चुनना असंभव है, ताकि उनमें से किन्हीं दो का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। n = 3 के लिए अभिकथन स्पष्ट है। आइए मान लें कि यह अभिकथन एक मनमाना n-gon के लिए सही है और, इसका उपयोग करके, एक मनमाना (n + 1)-gon के लिए इसकी वैधता साबित करें।

मान लीजिए कि a (n + 1)-gon के लिए यह कथन सत्य नहीं है। यदि (n+1)-gon के प्रत्येक शीर्ष से दो से अधिक चुनी हुई भुजाएँ या विकर्ण नहीं निकलते हैं, तो उनमें से अधिक से अधिक n+1 चुने जाते हैं। इसलिए, कम से कम तीन चुनी हुई भुजाएँ या विकर्ण AB, AC, AD किसी शीर्ष A से निकलते हैं। माना AC, AB और AD के बीच स्थित है। चूँकि CA के अलावा C से निकलने वाली कोई भी भुजा या विकर्ण एक ही समय में AB और AD को पार नहीं कर सकता, C से केवल एक चुना हुआ विकर्ण CA निकलता है।

बिंदु C को विकर्ण CA के साथ छोड़ने पर, हमें एक उत्तल n-gon प्राप्त होता है जिसमें n से अधिक भुजाएँ और विकर्ण चुने जाते हैं, जिनमें से किन्हीं दो में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। इस प्रकार, हम इस धारणा के साथ एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं कि अभिकथन एक मनमाना उत्तल n-gon के लिए सही है।

अत: a (n + 1)-gon के लिए, कथन सत्य है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

9. तल में n रेखाएँ खींची गई हैं, जिनमें से कोई भी दो समानांतर नहीं हैं और कोई भी तीन एक ही बिंदु से नहीं गुजरती हैं। ये रेखाएँ समतल को कितने भागों में विभाजित करती हैं।

प्राथमिक रेखाचित्रों की सहायता से यह सुनिश्चित करना आसान है कि एक सीधी रेखा समतल को 2 भागों में, दो सीधी रेखाओं को 4 भागों में, तीन सीधी रेखाओं को 7 भागों में और चार सीधी रेखाओं को 11 भागों में विभाजित करती है।

N(n) से निरूपित करें उन भागों की संख्या जिनमें n रेखाएँ समतल को विभाजित करती हैं। यह देखा जा सकता है

एन(2)=एन(1)+2=2+2,

एन(3)=एन(2)+3=2+2+3,

एन(4)=एन(3)+4=2+2+3+4.

यह मान लेना स्वाभाविक है कि

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

या, जैसा कि स्थापित करना आसान है, एक अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करना,

एन (एन) = 1 + एन (एन + 1) / 2।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा इस सूत्र की वैधता को सिद्ध करें।

n=1 के लिए, सूत्र पहले ही सत्यापित हो चुका है।

आगमनात्मक धारणा बनाने के बाद, समस्या की स्थिति को संतुष्ट करने वाली k + 1 रेखाओं पर विचार करें। हम मनमाने ढंग से उनमें से k सीधी रेखाएँ चुनते हैं। आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, वे विमान को 1+ k(k+1)/2 भागों में विभाजित करते हैं। शेष (k + 1)-वीं पंक्ति को k + 1 भागों में चयनित k लाइनों द्वारा विभाजित किया जाएगा और इसलिए, (k + 1)-वें भाग से होकर गुजरेगा जिसमें विमान पहले ही विभाजित हो चुका है, और प्रत्येक इन भागों को 2 भागों में विभाजित किया जाएगा, अर्थात k+1 और भागों को जोड़ा जाएगा। इसलिए,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

क्यू.ई.डी.

10. व्यंजक x 1: x 2: ...: x n में, क्रियाओं के क्रम को इंगित करने के लिए कोष्ठक रखे जाते हैं और परिणाम भिन्न के रूप में लिखा जाता है:

(इस मामले में, प्रत्येक अक्षर x 1, x 2, ..., x n या तो भिन्न के अंश में या हर में है)। कोष्ठकों को व्यवस्थित करने के सभी संभावित तरीकों से इस प्रकार कितने भिन्न व्यंजक प्राप्त किए जा सकते हैं?

सबसे पहले तो यह स्पष्ट है कि परिणामी भिन्न में x 1 अंश में होगा। यह लगभग समान रूप से स्पष्ट है कि x 2 कोष्ठक की किसी भी व्यवस्था के लिए हर में होगा (x 2 से पहले का विभाजन चिह्न या तो x 2 को या अंश में x 2 वाले किसी भी व्यंजक को संदर्भित करता है)।

यह माना जा सकता है कि अन्य सभी अक्षर x 3 , x 4 , ... , x n अंश या हर में पूरी तरह से मनमाने तरीके से स्थित हो सकते हैं। यह इस प्रकार है कि कुल मिलाकर आप 2 n-2 अंश प्राप्त कर सकते हैं: प्रत्येक n-2 अक्षर x 3, x 4, ..., x n अंश या हर में दूसरों से स्वतंत्र रूप से हो सकता है।

आइए हम इस अभिकथन को प्रेरण द्वारा सिद्ध करें।

n=3 से आप 2 भिन्न प्राप्त कर सकते हैं:

इसलिए कथन सत्य है।

हम मानते हैं कि यह n=k के लिए मान्य है और इसे n=k+1 के लिए सिद्ध करें।

मान लीजिए कि व्यंजक x 1: x 2: ...: x k, कोष्ठों की कुछ व्यवस्था के बाद भिन्न Q के रूप में लिखा जाता है। यदि x k के स्थान पर x k: x k+1 को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो x k होगा जैसा कि भिन्न Q में था, और x k + 1 वह स्थान नहीं होगा जहाँ x k खड़ा था (यदि x k हर में था, तो x k + 1 अंश में होगा और इसके विपरीत)।

अब हम सिद्ध करते हैं कि हम x k+1 को उसी स्थान पर जोड़ सकते हैं जहाँ x k है। भिन्न Q में, कोष्ठक लगाने के बाद, आवश्यक रूप से q:x k के रूप का एक व्यंजक होगा, जहाँ q अक्षर x k–1 है या कोष्ठक में कुछ व्यंजक है। q: x k को व्यंजक (q: x k) से प्रतिस्थापित करने पर: x k + 1 = q: (x k x k + 1), हमें स्पष्ट रूप से वही भिन्न Q प्राप्त होता है, जहां x k के स्थान पर x k x k+1 है।

इस प्रकार, n=k+1 के मामले में संभावित भिन्नों की संख्या n=k के मामले में 2 गुना अधिक है और 2 k-2 ·2=2 (k+1)-2 के बराबर है। इस प्रकार कथन सिद्ध होता है।

उत्तर: 2 n-2 भिन्न।

समाधान के बिना समस्या

1. सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए:

क) संख्या 5 n -3 n + 2n 4 से विभाज्य है;

बी) संख्या n 3 +11n 6 से विभाज्य है;

ग) संख्या 7 n +3n-1, 9 से विभाज्य है;

d) संख्या 6 2n +19 n -2 n+1 17 से विभाज्य है;

e) संख्या 7 n+1 +8 2n-1, 19 से विभाज्य है;

च) संख्या 2 2n-1 -9n 2 +21n-14 27 से विभाज्य है।

2. सिद्ध कीजिए कि (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1)।

3. असमानता साबित करें |sin nx| n|sinx| किसी भी प्राकृतिक एन.

4. ऐसी प्राकृत संख्याएँ a, b, c ज्ञात कीजिए जो 10 से विभाज्य नहीं हैं और ऐसी कि किसी भी प्राकृत n के लिए संख्या a n + b n और c n के अंतिम दो अंक समान हों।

5. सिद्ध कीजिए कि यदि n बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं, तो उन्हें जोड़ने वाली रेखाओं में से कम से कम n भिन्न हैं।

हर समय सच्चा ज्ञान एक पैटर्न स्थापित करने और कुछ परिस्थितियों में इसकी सत्यता को साबित करने पर आधारित था। तार्किक तर्क के अस्तित्व की इतनी लंबी अवधि के लिए, नियमों के सूत्र दिए गए, और अरस्तू ने "सही तर्क" की एक सूची भी तैयार की। ऐतिहासिक रूप से, सभी अनुमानों को दो प्रकारों में विभाजित करने की प्रथा है - कंक्रीट से बहुवचन (प्रेरण) और इसके विपरीत (कटौती)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशेष से सामान्य और सामान्य से विशेष तक के साक्ष्य केवल एक दूसरे से जुड़े होते हैं और इन्हें आपस में बदला नहीं जा सकता है।

गणित में प्रेरण

"प्रेरण" (प्रेरण) शब्द की लैटिन जड़ें हैं और इसका शाब्दिक अर्थ "मार्गदर्शन" है। बारीकी से अध्ययन करने पर, कोई भी शब्द की संरचना को अलग कर सकता है, अर्थात् लैटिन उपसर्ग - इन- (निर्देशित क्रिया को अंदर या अंदर होने को दर्शाता है) और -डक्शन - परिचय। यह ध्यान देने योग्य है कि दो प्रकार के होते हैं - पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण। पूर्ण रूप एक निश्चित वर्ग के सभी विषयों के अध्ययन से निकाले गए निष्कर्षों की विशेषता है।

अधूरा - निष्कर्ष कक्षा के सभी विषयों पर लागू होता है, लेकिन केवल कुछ इकाइयों के अध्ययन के आधार पर बनाया जाता है।

पूर्ण गणितीय प्रेरण किसी भी वस्तु के पूरे वर्ग के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष पर आधारित एक निष्कर्ष है जो इस कार्यात्मक संबंध के ज्ञान के आधार पर संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के संबंधों से कार्यात्मक रूप से संबंधित हैं। इस मामले में, सबूत प्रक्रिया तीन चरणों में होती है:

• पहले चरण में, गणितीय प्रेरण के कथन की सत्यता सिद्ध होती है। उदाहरण: f = 1, प्रेरण;
• अगला चरण इस धारणा पर आधारित है कि स्थिति सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए मान्य है। अर्थात्, f=h, यह आगमनात्मक धारणा है;
• तीसरे चरण में, पिछले पैराग्राफ की स्थिति की शुद्धता के आधार पर संख्या f=h+1 के लिए स्थिति की वैधता साबित होती है - यह एक प्रेरण संक्रमण है, या गणितीय प्रेरण का एक चरण है। एक उदाहरण तथाकथित है यदि पंक्ति में पहली हड्डी गिरती है (आधार), तो पंक्ति में सभी हड्डियां गिरती हैं (संक्रमण)।

मजाक में और गंभीरता से

धारणा में आसानी के लिए, गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा समाधान के उदाहरणों को मजाक की समस्याओं के रूप में निरूपित किया जाता है। यह विनम्र कतार कार्य है:

• आचरण के नियम पुरुष को महिला के सामने मोड़ लेने से मना करते हैं (ऐसी स्थिति में उसे सामने आने दिया जाता है)। इस कथन के आधार पर, यदि पंक्ति में अंतिम व्यक्ति पुरुष है, तो शेष सभी पुरुष हैं।

गणितीय प्रेरण की विधि का एक महत्वपूर्ण उदाहरण "आयाम रहित उड़ान" समस्या है:

• यह साबित करना आवश्यक है कि मिनीबस में कितने लोग फिट हैं। यह सच है कि एक व्यक्ति बिना किसी कठिनाई (आधार) के परिवहन के अंदर फिट हो सकता है। लेकिन मिनीबस कितनी भी भरी क्यों न हो, उसमें 1 यात्री हमेशा फिट रहेगा (इंडक्शन स्टेप)।

परिचित मंडलियां

गणितीय प्रेरण द्वारा समस्याओं और समीकरणों को हल करने के उदाहरण काफी सामान्य हैं। इस दृष्टिकोण के उदाहरण के रूप में, हम निम्नलिखित समस्या पर विचार कर सकते हैं।

स्थि‍ति: h वृत्त समतल पर रखे गए हैं। यह साबित करना आवश्यक है कि, आकृतियों की किसी भी व्यवस्था के लिए, उनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

समाधान: h=1 के लिए कथन की सच्चाई स्पष्ट है, इसलिए वृत्तों की संख्या h+1 के लिए प्रमाण बनाया जाएगा।

मान लीजिए कि किसी भी मानचित्र के लिए कथन सत्य है, और समतल पर h + 1 वृत्त दिए गए हैं। कुल में से किसी एक वृत्त को हटाकर, आप दो रंगों (काले और सफेद) में सही रंग का नक्शा प्राप्त कर सकते हैं।

हटाए गए सर्कल को पुनर्स्थापित करते समय, प्रत्येक क्षेत्र का रंग विपरीत (इस मामले में, सर्कल के अंदर) में बदल जाता है। यह दो रंगों में सही रंग का एक नक्शा निकला, जिसे साबित करना आवश्यक था।

प्राकृतिक संख्याओं के उदाहरण

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग नीचे स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

समाधान उदाहरण:

सिद्ध कीजिए कि किसी भी h के लिए समानता सही होगी:

1 2 +2 2 +3 2 +…+एच 2 =एच(एच+1)(2एच+1)/6.

1. मान लीजिए h=1, तब:

आर 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि h=1 के लिए कथन सही है।

2. यह मानते हुए कि h=d, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

आर 1 \u003d डी 2 \u003d डी (डी + 1) (2 डी + 1) / 6 \u003d 1

3. यह मानते हुए कि h=d+1, यह पता चला है:

आर डी+1 =(डी+1) (डी+2) (2डी+3)/6

आर डी+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+डी 2 +(डी+1) 2 = डी(डी+1)(2डी+1)/6+ (डी+1) 2 =(डी( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2डी+3)/6.

इस प्रकार, h=d+1 के लिए समानता की वैधता सिद्ध हो गई है, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है, जिसे गणितीय प्रेरण द्वारा समाधान उदाहरण में दिखाया गया है।

एक कार्य

स्थि‍ति: प्रमाण आवश्यक है कि h के किसी भी मान के लिए, व्यंजक 7 h -1 बिना शेष के 6 से विभाज्य है।

समाधान:

1. मान लें कि एच = 1, इस मामले में:

आर 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (अर्थात शेष के बिना 6 से विभाजित)

इसलिए, h=1 के लिए कथन सत्य है;

2. मान लीजिए h=d और 7 d -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है;

3. h=d+1 के लिए कथन की वैधता का प्रमाण सूत्र है:

आर डी +1 =7 डी +1 -1=7∙7 डी -7+6=7(7 डी -1)+6

इस मामले में, पहला पद पहले पैराग्राफ की धारणा से 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 के बराबर है। यह कथन कि 7 h -1 किसी भी प्राकृतिक h के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है, सत्य है।

निर्णय की भ्रांति

अक्सर इस्तेमाल किए गए तार्किक निर्माणों की अशुद्धि के कारण, सबूतों में गलत तर्क का उपयोग किया जाता है। मूल रूप से, यह तब होता है जब सबूत की संरचना और तर्क का उल्लंघन होता है। गलत तर्क का एक उदाहरण निम्नलिखित उदाहरण है।

एक कार्य

स्थि‍ति: इस बात के प्रमाण की आवश्यकता है कि पत्थरों का कोई ढेर ढेर नहीं है।

समाधान:

1. मान लें कि h=1, इस स्थिति में ढेर में 1 पत्थर है और कथन सत्य है (आधार);

2. मान लें कि h=d के लिए यह सत्य है कि पत्थरों का ढेर ढेर (धारणा) नहीं है;

3. मान लीजिए h=d+1, जिससे यह पता चलता है कि जब एक और पत्थर जोड़ा जाता है, तो सेट ढेर नहीं होगा। निष्कर्ष स्वयं बताता है कि यह धारणा सभी प्राकृतिक एच के लिए मान्य है।

त्रुटि इस तथ्य में निहित है कि ढेर के रूप में कितने पत्थरों की कोई परिभाषा नहीं है। इस तरह की चूक को गणितीय प्रेरण की विधि में जल्दबाजी में सामान्यीकरण कहा जाता है। एक उदाहरण इसे स्पष्ट रूप से दिखाता है।

प्रेरण और तर्क के नियम

ऐतिहासिक रूप से, वे हमेशा "हाथ में हाथ डालकर चलते हैं।" तर्क, दर्शन जैसे वैज्ञानिक विषयों में उनका वर्णन विरोधों के रूप में किया जाता है।

तर्क के नियम के दृष्टिकोण से, आगमनात्मक परिभाषाएँ तथ्यों पर आधारित होती हैं, और परिसर की सत्यता परिणामी कथन की शुद्धता का निर्धारण नहीं करती है। अक्सर निष्कर्ष एक निश्चित डिग्री की संभावना और संभाव्यता के साथ प्राप्त किए जाते हैं, जो निश्चित रूप से, अतिरिक्त शोध द्वारा सत्यापित और पुष्टि की जानी चाहिए। तर्क में प्रेरण का एक उदाहरण कथन होगा:

एस्टोनिया में सूखा, लातविया में सूखा, लिथुआनिया में सूखा।

एस्टोनिया, लातविया और लिथुआनिया बाल्टिक राज्य हैं। सभी बाल्टिक राज्यों में सूखा।

उदाहरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रेरण की विधि का उपयोग करके नई जानकारी या सत्य प्राप्त नहीं किया जा सकता है। निष्कर्षों की कुछ संभावित सत्यता पर ही भरोसा किया जा सकता है। इसके अलावा, परिसर की सच्चाई समान निष्कर्ष की गारंटी नहीं देती है। हालांकि, इस तथ्य का मतलब यह नहीं है कि कटौती के पिछवाड़े में इंडक्शन वनस्पतियां हैं: इंडक्शन की विधि का उपयोग करके बड़ी संख्या में प्रावधान और वैज्ञानिक कानूनों की पुष्टि की जाती है। गणित, जीव विज्ञान और अन्य विज्ञान एक उदाहरण के रूप में काम कर सकते हैं। यह मुख्य रूप से पूर्ण प्रेरण की विधि के कारण है, लेकिन कुछ मामलों में आंशिक भी लागू होता है।

प्रेरण के आदरणीय युग ने इसे मानव गतिविधि के लगभग सभी क्षेत्रों में प्रवेश करने की अनुमति दी - यह विज्ञान, अर्थशास्त्र और रोजमर्रा के निष्कर्ष हैं।

वैज्ञानिक वातावरण में प्रेरण

प्रेरण की विधि के लिए एक ईमानदार दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है, क्योंकि बहुत अधिक अध्ययन किए गए विवरणों की संख्या पर निर्भर करता है: जितनी बड़ी संख्या का अध्ययन किया जाता है, परिणाम उतना ही अधिक विश्वसनीय होता है। इस विशेषता के आधार पर, सभी संभावित संरचनात्मक तत्वों, कनेक्शनों और प्रभावों को अलग करने और उनका अध्ययन करने के लिए, प्रेरण की विधि द्वारा प्राप्त वैज्ञानिक कानूनों को संभाव्य मान्यताओं के स्तर पर पर्याप्त रूप से लंबे समय तक परीक्षण किया जाता है।

विज्ञान में, आगमनात्मक निष्कर्ष यादृच्छिक प्रावधानों के अपवाद के साथ, महत्वपूर्ण विशेषताओं पर आधारित है। यह तथ्य वैज्ञानिक ज्ञान की विशिष्टता के संबंध में महत्वपूर्ण है। यह विज्ञान में प्रेरण के उदाहरणों में स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

वैज्ञानिक जगत में (अध्ययन की पद्धति के संबंध में) दो प्रकार के प्रेरण हैं:

1. प्रेरण-चयन (या चयन);
2. प्रेरण - बहिष्करण (उन्मूलन)।

पहले प्रकार को उसके विभिन्न क्षेत्रों से एक वर्ग (उपवर्ग) के व्यवस्थित (जांच) नमूने द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है।

इस प्रकार के प्रेरण का एक उदाहरण इस प्रकार है: चांदी (या चांदी का लवण) पानी को शुद्ध करता है। निष्कर्ष दीर्घकालिक टिप्पणियों (पुष्टि और खंडन का एक प्रकार का चयन - चयन) पर आधारित है।

दूसरे प्रकार का प्रेरण उन निष्कर्षों पर आधारित है जो कारण संबंध स्थापित करते हैं और उन परिस्थितियों को बाहर करते हैं जो इसके गुणों के अनुरूप नहीं हैं, अर्थात्, सार्वभौमिकता, अस्थायी अनुक्रम का पालन, आवश्यकता और अस्पष्टता।

दर्शन के दृष्टिकोण से प्रेरण और कटौती

यदि आप ऐतिहासिक पूर्वव्यापी को देखें, तो "प्रेरण" शब्द का उल्लेख सबसे पहले सुकरात ने किया था। अरस्तू ने एक अधिक अनुमानित शब्दावली शब्दकोश में दर्शन में शामिल होने के उदाहरणों का वर्णन किया है, लेकिन अपूर्ण प्रेरण का प्रश्न खुला रहता है। अरिस्टोटेलियन न्यायशास्त्र के उत्पीड़न के बाद, आगमनात्मक पद्धति को फलदायी और प्राकृतिक विज्ञान में एकमात्र संभव माना जाने लगा। बेकन को एक स्वतंत्र विशेष विधि के रूप में प्रेरण का जनक माना जाता है, लेकिन वह अलग करने में विफल रहा, जैसा कि उनके समकालीनों ने मांग की, निगमन विधि से प्रेरण।

इंडक्शन का और विकास जे। मिल द्वारा किया गया, जिन्होंने चार मुख्य तरीकों के दृष्टिकोण से इंडक्शन सिद्धांत पर विचार किया: समझौता, अंतर, अवशेष और संबंधित परिवर्तन। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आज सूचीबद्ध तरीके, जब विस्तार से विचार किया जाता है, वे निगमनात्मक हैं।

बेकन और मिल के सिद्धांतों की असंगति के बारे में जागरूकता ने वैज्ञानिकों को प्रेरण के संभाव्य आधार की जांच करने के लिए प्रेरित किया। हालाँकि, यहाँ भी कुछ चरम सीमाएँ थीं: आने वाले सभी परिणामों के साथ, संभाव्यता के सिद्धांत के लिए प्रेरण को कम करने का प्रयास किया गया था।

प्रेरण कुछ विषय क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग में विश्वास मत प्राप्त करता है और आगमनात्मक आधार की मीट्रिक सटीकता के लिए धन्यवाद। दर्शन में प्रेरण और कटौती का एक उदाहरण सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम माना जा सकता है। कानून की खोज की तिथि पर, न्यूटन इसे 4 प्रतिशत की सटीकता के साथ सत्यापित करने में सक्षम था। और जब दो सौ से अधिक वर्षों के बाद जाँच की गई, तो 0.0001 प्रतिशत की सटीकता के साथ शुद्धता की पुष्टि की गई, हालाँकि जाँच उसी आगमनात्मक सामान्यीकरण द्वारा की गई थी।

आधुनिक दर्शन कटौती पर अधिक ध्यान देता है, जो अनुभव, अंतर्ज्ञान का सहारा लिए बिना, लेकिन "शुद्ध" तर्क का उपयोग किए बिना, जो पहले से ही ज्ञात है, उससे नया ज्ञान (या सत्य) प्राप्त करने की तार्किक इच्छा से निर्धारित होता है। निगमन पद्धति में वास्तविक परिसर का संदर्भ देते समय, सभी मामलों में, आउटपुट एक सही कथन होता है।

यह बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता आगमनात्मक पद्धति के मूल्य को कम नहीं करना चाहिए। चूंकि प्रेरण, अनुभव की उपलब्धियों के आधार पर, इसके प्रसंस्करण (सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण सहित) का एक साधन भी बन जाता है।

अर्थशास्त्र में प्रेरण का अनुप्रयोग

प्रेरण और कटौती लंबे समय से अर्थव्यवस्था के अध्ययन और इसके विकास की भविष्यवाणी करने के तरीकों के रूप में उपयोग किए जाते हैं।

प्रेरण विधि के उपयोग की सीमा काफी विस्तृत है: पूर्वानुमान संकेतक (लाभ, मूल्यह्रास, आदि) की पूर्ति का अध्ययन और उद्यम की स्थिति का सामान्य मूल्यांकन; तथ्यों और उनके संबंधों के आधार पर एक प्रभावी उद्यम प्रोत्साहन नीति का गठन।

शेवार्ट के चार्ट में प्रेरण की एक ही विधि का उपयोग किया जाता है, जहां, इस धारणा के तहत कि प्रक्रियाओं को नियंत्रित और अप्रबंधित में विभाजित किया गया है, यह कहा गया है कि नियंत्रित प्रक्रिया का ढांचा निष्क्रिय है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रेरण की विधि का उपयोग करके वैज्ञानिक कानूनों की पुष्टि और पुष्टि की जाती है, और चूंकि अर्थशास्त्र एक विज्ञान है जो अक्सर गणितीय विश्लेषण, जोखिम सिद्धांत और सांख्यिकीय डेटा का उपयोग करता है, यह बिल्कुल आश्चर्यजनक नहीं है कि प्रेरण मुख्य की सूची में शामिल है। तरीके।

निम्नलिखित स्थिति अर्थशास्त्र में प्रेरण और कटौती के उदाहरण के रूप में काम कर सकती है। भोजन (उपभोक्ता टोकरी से) और आवश्यक वस्तुओं की कीमत में वृद्धि उपभोक्ता को राज्य में उभरती उच्च लागत (प्रेरण) के बारे में सोचने के लिए प्रेरित करती है। उसी समय, उच्च लागत के तथ्य से, गणितीय विधियों का उपयोग करके, व्यक्तिगत वस्तुओं या वस्तुओं की श्रेणियों (कटौती) के लिए मूल्य वृद्धि के संकेतक प्राप्त करना संभव है।

अक्सर, प्रबंधन कर्मियों, प्रबंधकों और अर्थशास्त्रियों ने प्रेरण पद्धति की ओर रुख किया। एक उद्यम के विकास, बाजार के व्यवहार और पर्याप्त सत्यता के साथ प्रतिस्पर्धा के परिणामों की भविष्यवाणी करने में सक्षम होने के लिए, सूचना के विश्लेषण और प्रसंस्करण के लिए एक आगमनात्मक-निगमनात्मक दृष्टिकोण आवश्यक है।

भ्रामक निर्णयों का जिक्र करते हुए अर्थशास्त्र में शामिल होने का एक उदाहरण उदाहरण:

• कंपनी के लाभ में 30% की कमी हुई;
  एक प्रतियोगी ने अपनी उत्पाद लाइन का विस्तार किया है;
  और कुछ नहीं बदला है;
• एक प्रतिस्पर्धी कंपनी की उत्पादन नीति के कारण लाभ में 30% की कटौती हुई;
• इसलिए, समान उत्पादन नीति को लागू करने की आवश्यकता है।

उदाहरण एक रंगीन उदाहरण है कि कैसे प्रेरण की विधि का अयोग्य उपयोग एक उद्यम को बर्बाद करने में योगदान देता है।

मनोविज्ञान में कटौती और प्रेरण

चूंकि एक विधि है, तो तार्किक रूप से, एक उचित रूप से संगठित सोच भी है (विधि का उपयोग करने के लिए)। मनोविज्ञान एक विज्ञान के रूप में जो मानसिक प्रक्रियाओं, उनके गठन, विकास, संबंधों, अंतःक्रियाओं का अध्ययन करता है, कटौती और प्रेरण की अभिव्यक्ति के रूपों में से एक के रूप में "निगमनात्मक" सोच पर ध्यान देता है। दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर मनोविज्ञान के पन्नों पर, निगमन-प्रेरक पद्धति की अखंडता के लिए व्यावहारिक रूप से कोई औचित्य नहीं है। यद्यपि पेशेवर मनोवैज्ञानिकों को प्रेरण की अभिव्यक्तियों का सामना करने की अधिक संभावना है, या बल्कि, गलत निष्कर्ष।

गलत निर्णयों के उदाहरण के रूप में मनोविज्ञान में शामिल होने का एक उदाहरण यह कथन है: मेरी मां धोखेबाज है, इसलिए सभी महिलाएं धोखेबाज हैं। जीवन से प्रेरण के और भी "गलत" उदाहरण हैं:

• गणित में एक ड्यूस प्राप्त करने पर एक छात्र कुछ भी करने में सक्षम नहीं है;
• वह मूर्ख है;
• वह चतुर है;
• मैं कुछ भी कर सकता हूं;

और कई अन्य मूल्य निर्णय बिल्कुल यादृच्छिक और कभी-कभी महत्वहीन संदेशों पर आधारित होते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए: जब किसी व्यक्ति के निर्णयों की भ्रांति बेतुकेपन के बिंदु पर पहुंच जाती है, तो मनोचिकित्सक के लिए काम का एक मोर्चा दिखाई देता है। विशेषज्ञ नियुक्ति में प्रेरण का एक उदाहरण:

"रोगी को पूरा यकीन है कि लाल रंग किसी भी अभिव्यक्ति में उसके लिए केवल खतरा है। नतीजतन, एक व्यक्ति ने इस रंग योजना को अपने जीवन से बाहर कर दिया - जहाँ तक संभव हो। घर के माहौल में आराम से रहने के कई मौके मिलते हैं। आप सभी लाल वस्तुओं को मना कर सकते हैं या उन्हें एक अलग रंग योजना में बने एनालॉग्स से बदल सकते हैं। लेकिन सार्वजनिक स्थानों पर, काम पर, दुकान में - यह असंभव है। तनाव की स्थिति में आने पर, रोगी हर बार पूरी तरह से अलग भावनात्मक अवस्थाओं के "ज्वार" का अनुभव करता है, जो दूसरों के लिए खतरनाक हो सकता है।

प्रेरण और अनजाने में इस उदाहरण को "निश्चित विचार" कहा जाता है। यदि मानसिक रूप से स्वस्थ व्यक्ति के साथ ऐसा होता है, तो हम मानसिक गतिविधि के संगठन की कमी के बारे में बात कर सकते हैं। निगमनात्मक सोच का प्रारंभिक विकास जुनूनी अवस्थाओं से छुटकारा पाने का एक तरीका बन सकता है। अन्य मामलों में, मनोचिकित्सक ऐसे रोगियों के साथ काम करते हैं।

प्रेरण के उपरोक्त उदाहरण इंगित करते हैं कि "कानून की अज्ञानता परिणामों (गलत निर्णय) से मुक्त नहीं होती है।"

निगमनात्मक सोच के विषय पर काम कर रहे मनोवैज्ञानिकों ने लोगों को इस पद्धति में महारत हासिल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन की गई सिफारिशों की एक सूची तैयार की है।

पहला कदम समस्या समाधान है। जैसा कि देखा जा सकता है, गणित में प्रयुक्त प्रेरण के रूप को "शास्त्रीय" माना जा सकता है, और इस पद्धति का उपयोग मन के "अनुशासन" में योगदान देता है।

निगमनात्मक सोच के विकास के लिए अगली शर्त क्षितिज का विस्तार है (जो स्पष्ट रूप से सोचते हैं, स्पष्ट रूप से बताते हैं)। यह सिफारिश विज्ञान और सूचना के खजाने (पुस्तकालयों, वेबसाइटों, शैक्षिक पहल, यात्रा, आदि) के लिए "पीड़ा" को निर्देशित करती है।

अलग से, तथाकथित "मनोवैज्ञानिक प्रेरण" का उल्लेख किया जाना चाहिए। यह शब्द, हालांकि शायद ही कभी, इंटरनेट पर पाया जा सकता है। सभी स्रोत इस शब्द की कम से कम एक संक्षिप्त परिभाषा नहीं देते हैं, लेकिन "जीवन से उदाहरण" का उल्लेख करते हैं, जबकि किसी भी सुझाव, मानसिक बीमारी के कुछ रूपों, या मानव मानस के चरम राज्यों को एक नए प्रकार के प्रेरण के रूप में पारित करते हुए। उपरोक्त सभी से, यह स्पष्ट है कि झूठे (अक्सर असत्य) परिसर के आधार पर "नया शब्द" प्राप्त करने का प्रयास प्रयोगकर्ता को गलत (या जल्दबाजी में) बयान प्राप्त करने के लिए प्रेरित करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 1960 के प्रयोगों का संदर्भ (स्थल को इंगित किए बिना, प्रयोगकर्ताओं के नाम, विषयों का नमूना, और सबसे महत्वपूर्ण, प्रयोग का उद्देश्य) दिखता है, इसे हल्के ढंग से, असंबद्ध, और बयान कि मस्तिष्क धारणा के सभी अंगों को दरकिनार कर जानकारी को मानता है (इस मामले में "अनुभवी" वाक्यांश अधिक व्यवस्थित रूप से फिट होगा), किसी को कथन के लेखक की भोलापन और अनिश्चितता के बारे में सोचता है।

निष्कर्ष के बजाय

विज्ञान की रानी - गणित, व्यर्थ में प्रेरण और कटौती की विधि के सभी संभावित भंडार का उपयोग नहीं करता है। विचार किए गए उदाहरण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि सतही और अयोग्य (विचारहीन, जैसा कि वे कहते हैं) यहां तक ​​​​कि सबसे सटीक और विश्वसनीय तरीकों का उपयोग हमेशा गलत परिणाम देता है।

जन चेतना में, कटौती विधि प्रसिद्ध शर्लक होम्स के साथ जुड़ी हुई है, जो अपने तार्किक निर्माण में अक्सर आवश्यक स्थितियों में कटौती का उपयोग करते हुए प्रेरण के उदाहरणों का उपयोग करते हैं।

लेख ने मानव जीवन के विभिन्न विज्ञानों और क्षेत्रों में इन विधियों के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया।

गणितीय आगमन की विधि का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत के लिए एननिम्नलिखित समानताएं सत्य हैं:
एक) ;
बी) .

समाधान।

क) जब एन= 1 समानता मान्य है। के लिए समानता की वैधता मानते हुए एन, आइए हम दिखाते हैं कि यह इसके लिए भी मान्य है एन+ 1. वास्तव में,

क्यू.ई.डी.

बी) कब एन= 1 समानता की वैधता स्पष्ट है। इसकी निष्पक्षता की धारणा से एनचाहिए

समानता को देखते हुए 1 + 2 + ... + एन = एन(एन+ 1)/2, हमें प्राप्त होता है

1 3 + 2 3 + ... + एन 3 + (एन + 1) 3 = (1 + 2 + ... + एन + (एन + 1)) 2 ,

अर्थात्, कथन के लिए भी सत्य है एन + 1.

उदाहरण 1निम्नलिखित समानताएं सिद्ध करें

कहाँ पे एनहे एन.

समाधान।क) जब एन= 1 समानता 1=1 रूप लेगी, इसलिए, पी(1) सच। आइए मान लें कि यह समानता सत्य है, अर्थात हमारे पास है

. हमें जाँचने (साबित करने) की आवश्यकता है किपी(एन+ 1), यानी। सच। क्योंकि (आगमनात्मक धारणा का उपयोग करके)हमें मिलता है, अर्थात् पी(एन+ 1) एक सत्य कथन है।

इस प्रकार, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुसार, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है एन.

टिप्पणी 2.इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है। वास्तव में, योग 1 + 2 + 3 + ... + एनपहले का योग है एनपहले सदस्य के साथ अंकगणितीय प्रगति के सदस्य एक 1 = 1 और अंतर डी= 1. प्रसिद्ध सूत्र के आधार पर , हम पाते हैं

बी) कब एन= 1 समानता का रूप लेगा: 2 1 - 1 = 1 2 या 1=1, अर्थात्, पी(1) सच। आइए मान लें कि समानता

1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) = एन 2 और साबित करो किपी(एन + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) + (2(एन + 1) - 1) = (एन+ 1) 2 या 1 + 3 + 5 + ... + (2 .) एन - 1) + (2एन + 1) = (एन + 1) 2 .

प्रेरण परिकल्पना का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) + (2एन + 1) = एन 2 + (2एन + 1) = (एन + 1) 2 .

इस तरह, पी(एन+ 1) सत्य है और इसलिए आवश्यक समानता सिद्ध होती है।

टिप्पणी 3.गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग किए बिना इस उदाहरण को हल किया जा सकता है (पिछले एक के समान)।

ग) जब एन= 1 समानता सत्य है: 1=1. मान लें कि समानता सत्य है

और दिखाओ कि वह सच हैपी(एन) सत्य का तात्पर्य हैपी(एन+ 1)। सचमुच,और 2 . के बाद से एन 2 + 7 एन + 6 = (2 एन + 3)(एन+ 2), हमें मिलता है और, इसलिए, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य हैएन.

घ) जब एन= 1 समानता मान्य है: 1 = 1। आइए मान लें कि वहाँ है

और साबित करो कि

सचमुच,

ई) अनुमोदन पी(1) सच: 2=2। आइए मान लें कि समानता

सच है, और हम साबित करते हैं कि यह समानता का तात्पर्य हैसचमुच,

इसलिए, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए है एन.

एफ) पी(1) सच: 1/3 = 1/3। समानता होने दो पी(एन):

. आइए हम दिखाते हैं कि अंतिम समानता का तात्पर्य निम्नलिखित है:

दरअसल, यह देखते हुए पी(एन) होता है, हमें मिलता है

इस प्रकार समानता सिद्ध होती है।

छ) कब एन= 1 हमारे पास है एक + बी = बी + एकऔर इसलिए समानता सत्य है।

मान लें कि न्यूटन का द्विपद सूत्र के लिए मान्य है एन = क, वह है,

फिर समानता का उपयोग करनाहम पाते हैं

उदाहरण 2असमानता साबित करें

ए) बर्नौली की असमानता: (1 + ए) एन ≥ 1 + एनए, ए> -1, एनहे एन.

बी) एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन ≥ एन, यदि एक्स 1 एक्स 2 · ... · एक्स एन= 1 और एक्स मैं > 0, .

c) अंकगणित माध्य और ज्यामितीय माध्य के संबंध में कॉची की असमानता कहाँ पे एक्स मैं > 0, , एन ≥ 2.

घ) पाप 2 एन a + cos2 एनएक 1, एनहे एन.

इ)

च) 2 एन > एन 3 , एनहे एन, एन ≥ 10.

समाधान।क) जब एन= 1 हमें वास्तविक असमानता प्राप्त होती है

1 + ए 1 + ए। आइए मान लें कि असमानता है

(1 + ए) एन ≥ 1 + एनएक

(1)

और दिखाओ कि तब हमारे पास है(1 + ए) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए।

वास्तव में, चूंकि a > -1 का अर्थ है a + 1 > 0, तो असमानता के दोनों पक्षों को (a + 1) से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1 + ए) एन(1 + ए) (1 + एनए)(1 + ए) या (1 + ए) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए + एनए 2 क्योंकि एनएक 2 0, इसलिए,(1 + ए) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए + एनए 2 1 + ( एन+ 1)ए।

इस प्रकार, यदि पी(एन) सच है, तो पी(एन+ 1) सत्य है, इसलिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, बर्नौली की असमानता सत्य है।

बी) कब एन= 1 हमें मिलता है एक्स 1 = 1 और इसलिए, एक्स 1 1 अर्थात पी(1) एक उचित कथन है। चलो दिखावा करते हैं कि पी(एन) सच है, यानी अगर एडिका, एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन - एनधनात्मक संख्याएँ जिनका गुणनफल एक के बराबर है, एक्स 1 एक्स 2 ·...· एक्स एन= 1, और एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन ≥ एन.

आइए हम दिखाते हैं कि यह प्रस्ताव दर्शाता है कि निम्नलिखित सत्य है: यदि एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन ,एक्स एन+1 - (एन+ 1) धनात्मक संख्याएँ जैसे कि एक्स 1 एक्स 2 ·...· एक्स एन · एक्स एन+1 = 1, तो एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन + एक्स एन + 1 ≥एन + 1.

निम्नलिखित दो मामलों पर विचार करें:

1) एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन = एक्स एन+1 = 1. तो इन संख्याओं का योग है ( एन+ 1), और आवश्यक असमानता संतुष्ट है;

2) कम से कम एक संख्या एक से भिन्न होती है, उदाहरण के लिए, एक से बड़ी होने दें। तब से एक्स 1 एक्स 2 · ... · एक्स एन · एक्स एन+ 1 = 1, कम से कम एक अन्य संख्या है जो एक से भिन्न है (अधिक सटीक, एक से कम)। होने देना एक्स एन+ 1 > 1 और एक्स एन < 1. Рассмотрим एनसकारात्मक संख्या

एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन-1 ,(एक्स एन · एक्स एन+1). इन संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर है, और परिकल्पना के अनुसार, एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन एक्स एन + 1 ≥ एन. अंतिम असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा गया है: एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन एक्स एन+1 + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन + एक्स एन + एक्स एन+1 या एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन + एक्स एन + एक्स एन+1 - एक्स एन एक्स एन+1 .

क्यों कि

(1 - एक्स एन)(एक्स एन+1 - 1)> 0, तब एन + एक्स एन + एक्स एन+1 - एक्स एन एक्स एन+1 = एन + 1 + एक्स एन+1 (1 - एक्स एन) - 1 + एक्स एन =
= एन + 1 + एक्स एन+1 (1 - एक्स एन) - (1 - एक्स एन) = एन + 1 + (1 - एक्स एन)(एक्स एन+1 - 1) ≥ एन+ 1. इसलिए, एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन+1, यानी, अगर पी(एन) सच है, तोपी(एन+ 1) उचित है। असमानता सिद्ध हुई है।

टिप्पणी 4.समान चिह्न तब होता है जब और केवल यदि एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन = 1.

ग) चलो एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एनमनमानी सकारात्मक संख्याएं हैं। निम्न पर विचार करें एनसकारात्मक संख्या:

चूंकि उनका उत्पाद एक के बराबर है: पहले सिद्ध असमानता के अनुसार b), यह इस प्रकार हैकहाँ पे

टिप्पणी 5.समानता तभी होती है जब और केवल अगर एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन .

डी) पी(1) - एक निष्पक्ष कथन: sin 2 a + cos 2 a = 1. मान लीजिए कि पी(एन) एक सत्य कथन है:

पाप 2 एन a + cos2 एनएक 1 और दिखाओ कि वहाँ हैपी(एन+ 1)। सचमुच,पाप 2 ( एन+ 1) a + cos 2( एन+ 1) ए \u003d पाप 2 एनएक पाप 2 ए + कॉस 2 एनएक कॉस 2 ए< sin 2एन a + cos2 एन a 1 (यदि sin 2 a 1, तो cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 ए ≤ 1, फिर पाप 2 ए < 1). Таким образом, для любого एनहे एनपाप 2 एन a + cos2 एन ≤ 1 और बराबर का चिन्ह तभी मिलता है जबएन = 1.

ई) कब एन= 1 कथन सत्य है: 1< 3 / 2 .

आइए मान लें कि और साबित करो कि

क्यों कि
मानते हुए पी(एन), हम पाते हैं

च) टिप्पणी 1 को ध्यान में रखते हुए, हम जांचते हैं पी(10): 2 10 > 10 3 , 1024 > 1000, इसलिए, के लिए एन= 10 कथन सत्य है। मान लीजिए 2 एन > एन 3 (एन> 10) और साबित करें पी(एन+ 1), यानी 2 एन+1 > (एन + 1) 3 .

चूंकि ए.टी एन> 10 हमारे पास है or , उसका अनुसरण करता है

2एन 3 > एन 3 + 3एन 2 + 3एन+ 1 या एन 3 > 3एन 2 + 3एन + 1. असमानता को ध्यान में रखते हुए (2 एन > एन 3), हमें 2 . मिलता है एन+1 = 2 एन 2 = 2 एन + 2 एन > एन 3 + एन 3 > एन 3 + 3एन 2 + 3एन + 1 = (एन + 1) 3 .

इस प्रकार, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुसार, किसी भी प्राकृतिक के लिए एनहे एन, एन 10 हमारे पास 2 . है एन > एन 3 .

उदाहरण 3साबित करें कि किसी के लिए एनहे एन

समाधान।एक) पी(1) एक सत्य कथन है (0, 6 से विभाज्य है)। होने देना पी(एन) निष्पक्ष है, अर्थात् एन(2एन 2 - 3एन + 1) = एन(एन - 1)(2एन- 1) 6 से विभाज्य है। आइए हम प्रदर्शित करें कि हमारे पास है पी(एन+ 1), अर्थात्, ( एन + 1)एन(2एन+ 1) 6 से विभाज्य है। दरअसल, चूँकि

और कैसे एन(एन - 1)(2 एन- 1) और 6 एन 2 6 से विभाज्य हैं, तो उनका योगएन(एन + 1)(2 एन+ 1) 6 से विभाज्य है।

इस तरह, पी(एन+ 1) एक निष्पक्ष कथन है, और इसलिए, एन(2एन 2 - 3एन+ 1) किसी के लिए 6 से विभाज्य है एनहे एन.

बी) चेक पी(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, इसलिए पी(1) एक उचित कथन है। यह सिद्ध किया जाना चाहिए कि यदि 6 2 एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1 11 से विभाज्य है ( पी(एन)), फिर 6 2 एन + 3 एन+2 + 3 एन 11 से भी विभाज्य है ( पी(एन+ 1))। दरअसल, चूंकि

6 2एन + 3 एन+2 + 3 एन = 6 2एन-2+2 + 3 एन+1+1 + 3 एन-1+1 == 6 2 6 2 एन-2 + 3 3 एन+1 + 3 3 एन-1 = 3 (6 2 .) एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1) + 33 6 2 एन-2 और लाइक 6 2 एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1 और 33 6 2 एन-2 11 से विभाज्य हैं, तो उनका योग 6 . है 2एन + 3 एन+2 + 3 एन 11 से विभाज्य है। अभिकथन सिद्ध होता है। ज्यामिति में प्रेरण

उदाहरण 4सही 2 . के पक्ष की गणना करें एन-गोन त्रिज्या के एक वृत्त में खुदा हुआ आर.