स्वतंत्र घटना किसे कहते हैं। आश्रित और स्वतंत्र घटनाएं

समस्या का सामान्य सूत्रीकरण: कुछ घटनाओं की संभावनाओं को जाना जाता है, लेकिन इन घटनाओं से जुड़ी अन्य घटनाओं की संभावनाओं की गणना की जानी चाहिए। इन कार्यों में, प्रायिकताओं पर प्रायिकताओं के योग और गुणन जैसी क्रियाओं की आवश्यकता होती है।

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय, दो गोलियां चलाई जाती हैं। आयोजन ए- पहले शॉट से डक मारना, घटना बी- दूसरे शॉट से मारा। फिर घटनाओं का योग एतथा बी- पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा।

एक अलग प्रकार के कार्य। कई घटनाएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए, सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि या तो हथियारों का कोट तीनों बार गिराया जाएगा, या कि हथियारों का कोट कम से कम एक बार खींचा जाएगा। यह संभावनाओं को गुणा करने की समस्या है।

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ना

संभाव्यताओं के योग का उपयोग तब किया जाता है जब आपको किसी संघ की संभाव्यता या यादृच्छिक घटनाओं के तार्किक योग की गणना करने की आवश्यकता होती है।

घटनाओं का योग एतथा बीनिरूपित ए + बीया ए ∪ बी... दो घटनाओं का योग एक घटना है जो तब घटित होती है जब और केवल तभी जब कम से कम एक घटना घटित होती है। इसका मतलब है कि ए + बी- एक घटना जो तब होती है जब और केवल जब कोई घटना अवलोकन के दौरान हुई हो एया घटना बी, या एक ही समय में एतथा बी.

अगर घटनाएं एतथा बीपरस्पर असंगत हैं और उनकी प्रायिकताएँ दी गई हैं, तो एक परीक्षण के परिणामस्वरूप इन घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता की गणना प्रायिकताओं के योग का उपयोग करके की जाती है।

संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय।दो परस्पर असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय, दो गोलियां चलाई जाती हैं। आयोजन ए- पहले शॉट से डक मारना, घटना वी- दूसरे शॉट से हिट, घटना ( ए+ वी) - पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा। तो अगर दो घटनाएं एतथा वी- असंगत घटनाएँ, तब ए+ वी- इनमें से कम से कम एक या दो घटनाओं की शुरुआत।

उदाहरण 1।बॉक्स में समान आकार की 30 गेंदें हैं: 10 लाल, 5 नीली और 15 सफेद। इस संभावना की गणना करें कि एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद बिना देखे ही ली जाएगी।

समाधान। आइए मान लें कि घटना ए- "लाल गेंद ली जाती है", और घटना वी- "एक नीली गेंद ली जाती है।" फिर घटना है "एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद ली जाती है"। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए:

और घटनाएं वी:

आयोजन एतथा वी- परस्पर असंगत, क्योंकि यदि एक गेंद ली जाती है, तो आप विभिन्न रंगों की गेंदें नहीं ले सकते। इसलिए, हम संभावनाओं के जोड़ का उपयोग करते हैं:

कई असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं के योग का प्रमेय।यदि घटनाएँ घटनाओं का पूरा समूह बनाती हैं, तो उनकी प्रायिकताओं का योग 1 है:

विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग भी 1 के बराबर होता है:

विपरीत घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा सेट बनाती हैं, और घटनाओं के एक पूरे सेट की संभावना 1 है।

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं को आमतौर पर छोटे अक्षरों में दर्शाया जाता है पीतथा क्यू... विशेष रूप से,

जिससे विपरीत घटनाओं की प्रायिकता के लिए निम्नलिखित सूत्र अनुसरण करते हैं:

उदाहरण 2।शूटिंग रेंज में लक्ष्य को 3 जोनों में बांटा गया है। संभावना है कि एक निश्चित शूटर पहले क्षेत्र में लक्ष्य पर गोली मारेगा 0.15, दूसरे क्षेत्र में - 0.23, तीसरे क्षेत्र में - 0.17। निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता और निशानेबाज के निशाने से चूकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: आइए इस प्रायिकता का पता लगाएं कि शूटर निशाने पर लगेगा:

आइए इस प्रायिकता का पता लगाएं कि शूटर लक्ष्य से चूक गया है:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

पारस्परिक रूप से संगत घटनाओं की संभावनाओं का जोड़

दो यादृच्छिक घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है यदि एक घटना की घटना एक ही अवलोकन में दूसरी घटना की घटना को बाहर नहीं करती है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकते समय, घटना एसंख्या 4 का पतन माना जाता है, और घटना वी- एक सम संख्या छूट गई। चूँकि संख्या 4 एक सम संख्या है, इसलिए दोनों घटनाएँ संगत हैं। व्यवहार में, पारस्परिक रूप से संयुक्त घटनाओं में से एक की संभावनाओं की गणना के लिए कार्य हैं।

संयुक्त घटनाओं के लिए संभाव्यता जोड़ प्रमेय।संयुक्त घटनाओं में से एक होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है, जिसमें से दोनों घटनाओं की सामान्य घटना की संभावना घटा दी जाती है, यानी संभावनाओं का उत्पाद। संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का सूत्र इस प्रकार है:

घटनाओं के बाद से एतथा वीसंगत, घटना ए+ वीतब होता है जब तीन संभावित घटनाओं में से एक होता है: या अब... असंगत घटनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार, हम निम्नानुसार गणना करते हैं:

आयोजन एदो असंगत घटनाओं में से एक होने पर घटित होगा: या अब... हालाँकि, कई असंगत घटनाओं में से एक घटना के घटित होने की प्रायिकता इन सभी घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

इसी तरह:

व्यंजकों (6) और (7) को व्यंजक (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम संयुक्त घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र प्राप्त करते हैं:

सूत्र (8) का उपयोग करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि घटनाएं एतथा वीशायद:

• परस्पर स्वतंत्र;
• परस्पर आश्रित।

परस्पर स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

परस्पर निर्भर घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

अगर घटनाएं एतथा वीअसंगत हैं, तो उनका संयोग एक असंभव मामला है और इस प्रकार, पी(अब) = 0. असंगत घटनाओं के लिए चौथा प्रायिकता सूत्र इस प्रकार है:

उदाहरण 3.कार रेस में, पहली कार चलाते समय, दूसरी कार में ड्राइविंग करते समय जीतने का मौका होता है। पाना:

• दोनों कारों के जीतने की संभावना;
• संभावना है कि कम से कम एक कार जीत जाएगी;

1) पहली कार के जीतने की प्रायिकता दूसरी कार के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएं ए(पहली कार जीतती है) और वी(दूसरी कार जीतती है) - स्वतंत्र घटनाएँ। आइए दोनों कारों के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करें:

2) आइए दो कारों में से एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करें:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

संभाव्यता जोड़ समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4.दो सिक्के फेंके जाते हैं। आयोजन ए- पहले सिक्के पर हथियारों के कोट से गिरना। आयोजन बी- दूसरे सिक्के पर हथियारों के कोट से गिरना। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए सी = ए + बी .

संभावनाओं का गुणन

घटनाओं के तार्किक उत्पाद की संभावना की गणना करते समय प्रायिकता गुणन का उपयोग किया जाता है।

इसके अलावा, यादृच्छिक घटनाएं स्वतंत्र होनी चाहिए। दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि एक घटना की घटना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय।दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता एतथा वीइन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण 5.सिक्के को लगातार तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि भुजाओं का कोट तीनों बार गिराया जाएगा।

समाधान। संभावना है कि सिक्के के पहले उछाल पर हथियारों का कोट दूसरी बार, तीसरी बार दिखाई देगा। आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि भुजाओं का कोट तीनों बार खींचा जाएगा:

प्रायिकता गुणन समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6.नौ नई टेनिस गेंदों का एक बॉक्स शामिल है। खेल के लिए तीन गेंदें ली जाती हैं, खेल के बाद उन्हें वापस रख दिया जाता है। गेंदों का चयन करते समय, खेले और न खेले गए भेद नहीं किए जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीन गेम के बाद बॉक्स में कोई गेंद नहीं बचेगी?

उदाहरण 7.विभाजित वर्णमाला के कार्डों पर रूसी वर्णमाला के 32 अक्षर लिखे गए हैं। पांच कार्ड यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक निकाले जाते हैं और उपस्थिति के क्रम में मेज पर रखे जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अक्षर "अंत" शब्द बनाएंगे।

उदाहरण 8.ताश के पत्तों (52 शीट) के एक पूरे डेक से एक बार में चार पत्ते निकाले जाते हैं। इन चारों पत्तों के अलग-अलग सूटों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9.उदाहरण 8 की तरह ही समस्या, लेकिन निकाले जाने के बाद, प्रत्येक कार्ड डेक पर वापस आ जाता है।

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है, साथ ही साथ कई घटनाओं के उत्पाद की गणना करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

संभावना है कि परस्पर स्वतंत्र घटनाओं में से कम से कम एक घटित होगी, की गणना 1 से विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद को घटाकर की जा सकती है, अर्थात सूत्र का उपयोग करके।

आइए स्वतंत्र घटनाओं से शुरू करें। घटनाएँ हैं स्वतंत्र यदि घटना की संभावना उनमें से कोई भी निर्भर नहीं करताविचाराधीन सेट की शेष घटनाओं की उपस्थिति / गैर-उपस्थिति से (सभी संभावित संयोजनों में)।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय: स्वतंत्र घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना एतथा वीइन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है: पी (एबी) = पी (ए) × पी (बी)

आइए पहले पाठ के सबसे सरल उदाहरण पर वापस जाएं, जिसमें दो सिक्के उछाले जाते हैं और निम्नलिखित घटनाएं:

- थ्रो के परिणामस्वरूप, पहले सिक्के पर सिर गिरेंगे;
- थ्रो के परिणामस्वरूप, दूसरे सिक्के पर सिर गिरेगा।

आइए घटना की प्रायिकता ज्ञात करें 1 А 2 (पहले सिक्के पर एक चील दिखाई देती है तथादूसरे सिक्के पर एक चील दिखाई देगी - हमें याद है कि इसे कैसे पढ़ा जाता हैघटनाओं का उत्पादन !) ... एक सिक्के पर चित आने की प्रायिकता किसी भी तरह से दूसरे सिक्के को उछालने के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएँ A1 और A2 स्वतंत्र हैं। स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा:

पी (ए 1 ए 2) = पी (ए 1) × पी (ए 2) = × =
इसी तरह:

= × = × = संभावना है कि पहला सिक्का पूंछ पर उतरेगा तथादूसरी पूंछ पर;

= × = × = - पहले सिक्के पर चित आने की प्रायिकता तथादूसरी पूंछ पर;

= × = × = पहले सिक्के पर पट आने की प्रायिकता है तथा 2 ईगल पर।

ध्यान दें कि घटनाएँ,,, रूप पूरा समूहऔर उनकी प्रायिकताओं का योग एक के बराबर है: + + + = = 1

गुणन प्रमेय एक स्पष्ट तरीके से 6 . तक फैला हुआ है हेअधिक स्वतंत्र घटनाएँ, उदाहरण के लिए, यदि घटनाएँ ए, बी, सीस्वतंत्र हैं, तो उनके संयुक्त आक्रमण की संभावना बराबर है: पी (एबीसी) = पी (ए) × पी (बी) × पी (सी)।

समस्या 3

तीन बक्सों में से प्रत्येक में 10 भाग होते हैं। पहले बॉक्स में 8 मानक भाग हैं, दूसरे में - 7, तीसरे में - 9। प्रत्येक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से एक भाग लिया जाता है। सभी विवरण मानक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान: किसी भी बॉक्स से एक मानक या गैर-मानक भाग को पुनः प्राप्त करने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कौन से हिस्से अन्य बॉक्स से प्राप्त किए गए हैं, इसलिए, समस्या स्वतंत्र घटनाओं से संबंधित है। निम्नलिखित स्वतंत्र घटनाओं पर विचार करें:

एस 1- पहले बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया गया है;

एस 2- दूसरे बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया गया है;

एस 3- तीसरे बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया गया है।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार: पी (एस 1) = = 0,8; पी (एस 2) = = 0,7; पी (एस 3)= = 0.9; - संगत संभावनाएं।

हमारे लिए रुचि की घटना (पहले बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया जाएगातथा दूसरी कक्षा सेतथा तीसरी कक्षा से)उत्पाद द्वारा व्यक्त किया गया एस 1 एस 2 एस 3.

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा:

आर( एस 1 एस 2 एस 3) = पी (एस 1) × पी (एस 2) × पी (एस 3) = 0.8 × 0.7 × 0.9 = 0.504- संभावना है कि एक मानक भाग 3 बक्से से हटा दिया जाएगा।

उत्तर: सभी भागों के मानक होने की प्रायिकता 0.504 . है

समस्या 4 (एक स्वतंत्र समाधान के लिए)

तीन कलशों में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से प्रत्येक कलश से एक गेंद ली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) तीनों गेंदें सफेद होंगी; b) तीनों गेंदें एक ही रंग की होंगी।

प्राप्त जानकारी के आधार पर, अनुमान लगाएं कि "बी" आइटम से कैसे निपटें। समाधान का एक अनुमानित नमूना एक अकादमिक शैली में तैयार किया गया है जिसमें सभी घटनाओं की विस्तृत सूची पाठ के अंत में दी गई है।

आश्रित घटनाएं... आयोजन एक्सकहा जाता है लत लग यदि इसकी प्रायिकता पी (एक्स) निर्भर करता हैएक या बी से हेअधिक घटनाएं जो पहले ही हो चुकी हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है - बस नजदीकी स्टोर पर जाएं:

एक्स- कल 19.00 बजे ताज़ी ब्रेड बिक्री पर होगी।

इस घटना की संभावना कई अन्य घटनाओं पर निर्भर करती है: चाहे कल ताजी रोटी दी जाएगी, शाम 7 बजे से पहले बिक जाएगी या नहीं, आदि। विभिन्न परिस्थितियों के आधार पर, यह घटना विश्वसनीय दोनों हो सकती है पी (एक्स)= 1 और असंभव पी (एक्स)= 0. इस प्रकार, घटना एक्सएक लत लग.

एक और उदाहरण, वी- छात्र को परीक्षा के लिए एक साधारण टिकट मिलेगा।

यदि आप पहले नहीं जाते हैं, तो घटना वीनिर्भर होगा, क्योंकि इसकी प्रायिकता पी (बी)यह इस बात पर निर्भर करेगा कि साथी छात्रों द्वारा कौन से टिकट पहले ही निकाले जा चुके हैं।

घटनाएँ A, B, C... कहलाती हैं आश्रितयदि उनमें से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता अन्य घटनाओं के घटित होने या न होने के आधार पर बदल जाती है। घटनाओं को कहा जाता है स्वतंत्रयदि उनमें से प्रत्येक के घटित होने की प्रायिकता दूसरों के प्रकट होने या न होने पर निर्भर नहीं करती है।

सशर्त संभाव्यता(पीए (बी) -ए के सापेक्ष घटना बी की सशर्त संभावना) घटना बी की संभावना है, इस धारणा पर गणना की जाती है कि घटना ए पहले ही हो चुकी है। सशर्त संभाव्यता का उदाहरण घटना बी की सशर्त संभावना, बशर्ते कि घटना ए पहले ही हो चुकी है, परिभाषा के अनुसार, पीए (बी) = पी (एबी) / पी (ए) (पी (ए)> 0) के बराबर है।

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं का गुणन:दो घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना दूसरे की सशर्त संभावना से उनमें से एक की संभावना के उत्पाद के बराबर है, इस धारणा पर गणना की जाती है कि पहली घटना पहले ही हो चुकी है:
पी (एबी) = पी (ए) पीए (बी)

उदाहरण... कलेक्टर में 3 शंक्वाकार और 7 अण्डाकार रोलर्स हैं। कलेक्टर ने एक रोलर लिया और फिर दूसरा। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लिए गए रोलों में से पहला शंक्वाकार है और दूसरा अण्डाकार है।

समाधान:संभावना है कि पहला रोलर शंक्वाकार होगा (घटना ए), पी (ए) = 3/10। संभावना है कि दूसरा रोलर अंडाकार (घटना बी) होगा, इस धारणा पर गणना की जाती है कि पहला रोलर शंक्वाकार है, अर्थात् , सशर्त संभावना पीए (बी) = 7/9।
गुणन सूत्र के अनुसार, वांछित प्रायिकता P (AB) = P (A) PA (B) = (3/10) * (7/9) = 7/30। ध्यान दें कि, अंकन को ध्यान में रखते हुए, हम आसानी से पा सकते हैं : पी (बी) = 7/10, पीबी (ए) = 3/9, पी (बी) पीबी (ए) = 7/30

घटनाओं की स्वतंत्रता के लिए शर्त। स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं का गुणन। उदाहरण।

घटना बी घटना ए पर निर्भर नहीं करता है अगर

पी (बी / ए) = पी (बी) यानी। घटना B की प्रायिकता घटना A पर निर्भर नहीं करती है।

इस मामले में, घटना ए घटना बी पर निर्भर नहीं करती है, अर्थात घटनाओं की स्वतंत्रता की संपत्ति परस्पर है।

दो स्वतंत्र घटनाओं के गुणनफल की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है:

पी (एबी) = पी (ए) पी (बी)।

उदाहरण 1:समय t के दौरान संचालित होने वाले उपकरण में तीन नोड होते हैं, जिनमें से प्रत्येक, स्वतंत्र रूप से, समय t के दौरान विफल (विफल) हो सकता है। कम से कम एक नोड की विफलता पूरे डिवाइस की विफलता की ओर ले जाती है। समय टी के लिए, पहले नोड की विश्वसनीयता (विफलता मुक्त संचालन की संभावना) पी 1 = 0.8 के बराबर है; दूसरा पी 2 = 0.9 तीसरा पी 3 = 0.7। संपूर्ण रूप से डिवाइस की विश्वसनीयता का पता लगाएं।

समाधान।निरूपित करना:

ए - उपकरणों का परेशानी मुक्त संचालन,

ए 1 - पहले नोड का विफलता-मुक्त संचालन,

ए 2 - दूसरे नोड का विफलता-मुक्त संचालन,

ए 3 - तीसरे नोड का विफलता-मुक्त संचालन,

जहां से, स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा

पी (ए) = पी (ए 1) पी (ए 2) पी (ए 3) = पी 1 पी 2 पी 3 = 0.504

उदाहरण 2... दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर किसी संख्या के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान... पहले सिक्के (घटना ए) पी (ए) = 1/2 की आकृति के प्रकट होने की संभावना; दूसरे सिक्के (घटना बी) के अंक की उपस्थिति की संभावना - पी (बी) = 1/2।

घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, इसलिए हम वांछित प्रायिकता पाते हैं

सूत्र के अनुसार:

पी (एबी) = पी (ए) पी (बी) = 1/2 * 1/2 = 1/4

घटनाओं की संगतता और असंगति। दो संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का जोड़। उदाहरण।

दो घटनाओं को कहा जाता है संयुक्तयदि उनमें से एक की उपस्थिति प्रभावित नहीं करती है और दूसरे की उपस्थिति को बाहर नहीं करती है। संयुक्त घटनाओं को एक साथ महसूस किया जा सकता है, जैसे, उदाहरण के लिए, एक हड्डी पर एक संख्या की उपस्थिति या

किसी भी तरह से दूसरी हड्डी पर संख्याओं की उपस्थिति को प्रभावित नहीं करता है। घटनाएँ असंगत हैंयदि एक घटना में या एक परीक्षण में उन्हें एक साथ महसूस नहीं किया जा सकता है और उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को बाहर करती है (लक्ष्य को मारना और लापता होना असंगत है)।

दो संयुक्त घटनाओं A या B में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकता के योग के बराबर होती है, जिसमें उनके संयुक्त होने की प्रायिकता नहीं होती है:

पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी) -पी (एबी)।

उदाहरण... पहले एथलीट के लिए लक्ष्य को मारने की संभावना 0.85 है, और दूसरे के लिए - 0.8। एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से एथलीट

एक बार में एक गोली चलाई। कम से कम एक एथलीट के निशाने पर लगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए?

समाधान... आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: घटनाएँ A - "पहले एथलीट द्वारा मारा गया", B - "दूसरे एथलीट द्वारा मारा गया", C - "एथलीटों में से कम से कम एक द्वारा मारा गया"। जाहिर है, ए + बी = सी, और घटनाएं ए और बी संयुक्त हैं। सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

पी (सी) = पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी)

पी (सी) = पी (ए) + पी (बी) -पी (ए) पी (बी),

चूँकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं। इन मानों को P (A) = 0.85, P (B) = 0.8 को P (C) के सूत्र में रखने पर हम वांछित प्रायिकता पाते हैं।

पी (सी) = (0.85 + 0.8) - 0.85 0.8 = 0.97

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा।

किसी घटना की संभावना एक मात्रात्मक माप है जो घटनाओं की तुलना उनकी घटना की संभावना की डिग्री के अनुसार करने के लिए पेश की जाती है।

एक घटना जिसे कई प्रारंभिक घटनाओं के समुच्चय (योग) के रूप में दर्शाया जाता है, एक संयुक्त घटना कहलाती है।

एक घटना जिसे सरल में विभाजित नहीं किया जा सकता है, प्राथमिक कहलाती है।

एक घटना को असंभव कहा जाता है यदि यह किसी दिए गए प्रयोग (परीक्षण) की शर्तों के तहत कभी नहीं होता है।

प्रशंसनीय और असंभव घटनाएं यादृच्छिक नहीं हैं।

संयुक्त कार्यक्रम- कई घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है, यदि प्रयोग के परिणामस्वरूप, उनमें से एक की घटना दूसरों की उपस्थिति को बाहर नहीं करती है।

असंगत घटनाएं- किसी दिए गए प्रयोग में कई घटनाओं को असंगत कहा जाता है यदि उनमें से एक की उपस्थिति दूसरों की उपस्थिति को बाहर कर देती है। दो घटनाओं को कहा जाता है विलोम,यदि उनमें से एक होता है और केवल यदि दूसरा नहीं होता है।

घटना A की प्रायिकता है पी (ए) – संख्या का अनुपात कहा जाता है एमप्रारंभिक घटनाएँ (परिणाम) घटना की घटना के लिए अनुकूल हैं ए,संख्या के लिए एनकिसी दिए गए संभाव्य प्रयोग की शर्तों के तहत सभी प्राथमिक घटनाओं का।

संभाव्यता के निम्नलिखित गुण परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1. एक यादृच्छिक घटना की संभावना 0 और 1 के बीच एक सकारात्मक संख्या है:

2. एक निश्चित घटना की प्रायिकता 1: (3) है

3. यदि कोई घटना असंभव है, तो इसकी प्रायिकता है:

4. यदि घटनाएँ असंगत हैं, तो

5. यदि घटनाएँ A और B संयुक्त हैं, तो उनके योग की प्रायिकता उनके संयुक्त घटित होने की प्रायिकता के बिना इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी)(6)

6. यदि और विपरीत घटनाएँ हैं, तो (7)

7. घटनाओं की संभावनाओं का योग 1, 2, ..., nएक पूरा समूह बनाना 1 के बराबर है:

पी (ए 1) + पी (ए 2) + ... + पी (ए एन) = 1।(8)

आर्थिक अध्ययन में, मूल्यों और एक सूत्र में अलग-अलग व्याख्या की जा सकती है। पर सांख्यिकीय परिभाषाकिसी घटना की प्रायिकता को उस प्रयोग के परिणामों के अवलोकनों की संख्या के रूप में समझा जाता है जिसमें घटना ठीक एक बार हुई थी। इस मामले में, संबंध कहा जाता है घटना की सापेक्ष आवृत्ति (आवृत्ति)

आयोजन ए, बीकहा जाता है स्वतंत्रयदि उनमें से प्रत्येक की प्रायिकता इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कोई अन्य घटना घटी है या नहीं। स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकता कहलाती है बिना शर्त.

आयोजन ए, बीकहा जाता है आश्रितयदि उनमें से प्रत्येक की प्रायिकता इस बात पर निर्भर करती है कि कोई अन्य घटना घटी है या नहीं। घटना बी की संभावना, इस धारणा पर गणना की जाती है कि एक और घटना ए पहले ही हो चुकी है, कहा जाता है सशर्त संभाव्यता.

यदि दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो समानताएँ सत्य हैं:

पी (बी) = पी (बी / ए), पी (ए) = पी (ए / बी) या पी (बी / ए) - पी (बी) = 0(9)

दो आश्रित घटनाओं ए, बी के उत्पाद की संभावना उनमें से एक की संभावना के उत्पाद के बराबर है जो दूसरे की सशर्त संभावना है:

पी (एबी) = पी (बी) पी (ए / बी)या पी (एबी) = पी (ए) पी (बी / ए) (10)

घटना B की प्रायिकता, बशर्ते कि घटना A घटित हो:

दो . के गुणनफल की प्रायिकता स्वतंत्रघटनाएँ A, B उनकी प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर हैं:

पी (एबी) = पी (ए) पी (बी)(12)

यदि कई घटनाएँ जोड़ीदार स्वतंत्र हैं, तो कुल मिलाकर उनकी स्वतंत्रता यहाँ से नहीं चलती है।

आयोजन 1, А 2, ..., n (n> 2)समुच्चय में स्वतंत्र कहलाते हैं यदि उनमें से प्रत्येक की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कोई अन्य घटना हुई है या नहीं।

कई घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना, कुल में स्वतंत्र, इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

(А 1 2 3 … n) = (А 1) (А 2) (А 3) ... (А n)। (13)

गणित में यूएसई कार्यों में, अधिक जटिल संभाव्यता समस्याएं भी हैं (जैसा कि हमने भाग 1 में माना है), जहां आपको जोड़ का नियम लागू करना होगा, संभावनाओं का गुणा करना होगा, और संयुक्त और असंगत घटनाओं के बीच अंतर करना होगा।

तो सिद्धांत।

संयुक्त और असंगत घटनाएं

घटनाओं को असंगत कहा जाता है यदि उनमें से एक की घटना दूसरों की घटना को बाहर करती है। अर्थात्, केवल एक विशिष्ट घटना हो सकती है, या कोई अन्य।

उदाहरण के लिए, एक पासे को फेंकने से, अंकों की एक सम संख्या और विषम संख्या में अंक जैसी घटनाओं को पहचाना जा सकता है। ये घटनाएं असंगत हैं।

घटनाओं को संयुक्त घटनाएँ कहा जाता है यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना को बाहर नहीं करती है।

उदाहरण के लिए, एक पासा फेंककर, विषम संख्या में अंक और तीन बिंदुओं के गुणक जैसी घटनाओं को पहचाना जा सकता है। जब तीन रोल होते हैं, तो दोनों घटनाएँ घटित होती हैं।

घटनाओं का योग

कई घटनाओं का योग (या संयोजन) एक ऐसी घटना है जिसमें इनमें से कम से कम एक घटना का घटित होना शामिल है।

जिसमें दो असंगत घटनाओं का योग इन घटनाओं की संभावनाओं का योग है:

उदाहरण के लिए, एक रोल के साथ पासे पर 5 या 6 अंक प्राप्त करने की संभावना होगी, क्योंकि दोनों घटनाएं (रोल 5, रोल 6) असंगत हैं और एक या दूसरी घटना की संभावना की गणना निम्नानुसार की जाती है:

संभावना दो संयुक्त घटनाओं का योग उनकी संयुक्त घटना को ध्यान में रखे बिना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

उदाहरण के लिए, एक शॉपिंग सेंटर में, दो समान वेंडिंग मशीनें कॉफी बेचती हैं। दिन के अंत तक मशीन के कॉफी खत्म होने की प्रायिकता 0.3 है। दोनों मशीनों में कॉफी खत्म होने की प्रायिकता 0.12 है। आइए इसकी प्रायिकता ज्ञात करें कि दिन के अंत तक कम से कम एक मशीन में कॉफी खत्म हो जाएगी (अर्थात या तो एक में, या दूसरे में, या दोनों में एक ही बार में)।

पहली घटना की संभावना "पहली मशीन में कॉफी खत्म हो जाती है" और साथ ही दूसरी घटना की संभावना "दूसरी मशीन में कॉफी समाप्त होती है" की संभावना 0.3 के बराबर है। घटनाएँ सहयोगी हैं।

शर्त के अनुसार पहली दो घटनाओं की संयुक्त प्राप्ति की संभावना 0.12 है।

इसका मतलब यह है कि संभावना है कि दिन के अंत तक कम से कम एक मशीन कॉफी से बाहर हो जाएगी

आश्रित और स्वतंत्र घटनाएं

दो यादृच्छिक घटनाएँ A और B स्वतंत्र कहलाती हैं यदि उनमें से एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की प्रायिकता में परिवर्तन नहीं होता है। अन्यथा, घटनाओं ए और बी को आश्रित कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि दो पासों को एक साथ उछाला जाता है, तो उनमें से एक, मान लीजिए 1 और दूसरे 5 पर, स्वतंत्र घटनाएँ होती हैं।

संभावनाओं का उत्पाद

कई घटनाओं का उत्पाद (या प्रतिच्छेदन) एक ऐसी घटना है जिसमें इन सभी घटनाओं का संयुक्त रूप शामिल है।

अगर दो होते हैं स्वतंत्र कार्यक्रमए और बी, क्रमशः पी (ए) और पी (बी) की संभावनाओं के साथ, फिर घटनाओं ए और बी की घटनाओं की संभावना एक साथ संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण के लिए, हम लगातार दो बार पासों पर छक्कों के गिरने में रुचि रखते हैं। दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं और उनमें से प्रत्येक के अलग-अलग होने की प्रायिकता है। इन दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाएगी:

विषय पर काम करने के लिए कार्यों का चयन देखें।