एक आयताकार समांतर चतुर्भुज सूत्र का क्षेत्रफल क्या है? समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। पैरेललेपिपेड कितने प्रकार के होते हैं

ज्यामिति के अध्ययन की शुरुआत के साथ, सभी बच्चे क्षेत्र और परिधि जैसी अवधारणाओं से परिचित हो जाते हैं। यदि वे जल्दी से दूसरा मान ज्ञात करना सीख जाते हैं, क्योंकि गुणा करने की कोई आवश्यकता नहीं है, तो छोटे ग्रेड बाद में क्षेत्र के मूल्य पर आते हैं। सबसे पहले, बच्चे को यह अच्छी तरह से समझने की जरूरत है कि एक समानांतर चतुर्भुज क्या है, इसके चेहरे क्या हैं और यह अंतरिक्ष में कैसा दिखता है। तभी यह प्रत्यक्ष गुणन और क्षेत्र सूत्र पर आगे बढ़ने लायक है। इस प्रक्रिया को धीरे-धीरे कैसे समझें, यह आप इस लेख में देखेंगे।

किसी बॉक्स का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें: किसी आकृति के फलक

यह समझने के लिए कि किसी भी आकार का क्षेत्र कैसे स्थित है, आपको बस इसके किनारों को खोजने की जरूरत है। समानांतर चतुर्भुज में बारह किनारे और छह चेहरे होते हैं। ध्यान देने की कोशिश करें कि उनमें से कितने बराबर हैं? यदि आपको एक वर्ग का क्षेत्रफल मिलता है, तो आपको केवल एक मान की आवश्यकता होगी, क्योंकि इसकी भुजाएँ समान हैं, जबकि समानांतर चतुर्भुज की ऊँचाई, चौड़ाई और लंबाई के लिए अपना मान हो सकता है। संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको बस इन तीन मानों को जानने की आवश्यकता है।

आकृति की चौड़ाई, लंबाई और ऊंचाई को क्या कहते हैं, इसके लिए आकृति को देखें।

• ए - समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई;
• बी - इसकी लंबाई। सबसे बड़ा मान हमेशा सबसे लंबा होता है;
• सी - आकृति की चौड़ाई।

ध्यान दें कि यदि मान "ए" बी से दोगुना लंबा था, तो यह पहले से ही लंबा होगा, ऊंचाई नहीं। बाकी पार्टियों के साथ भी ऐसा ही हो सकता है। सभी मात्राएँ विशुद्ध रूप से सापेक्ष अवधारणा हैं, मुख्य बात यह है कि आप उनकी परिभाषा के सिद्धांत को समझें।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें: सूत्र

एक बार जब आप मूल्यों को जान लेते हैं, तो आप आसानी से बॉक्स का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

• एस = (एबी + बीसी + एसी) x 2

यही है, आपको सभी ज्ञात मूल्यों को आपस में गुणा करना होगा, प्राप्त मूल्यों को जोड़ना होगा, और फिर दो और से गुणा करना होगा। दोहरीकरण इसलिए होता है क्योंकि समानांतर चतुर्भुज एक ठोस आकृति है और इसकी भुजाएँ बिल्कुल समान हैं।

एक उदाहरण पर एक नज़र डालें:

समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई केवल 2 सेमी है, इसकी लंबाई 22 सेमी जितनी है, और इसकी चौड़ाई 5 सेमी है। सामान्य तौर पर, यह एक लंबी आकृति है, ऊंचाई में बहुत चपटा है, अगर आप इसे अपने दिमाग में कल्पना करने की कोशिश करते हैं। किसी दिए गए बॉक्स का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें।

• सबसे पहले आप सभी ज्ञात मात्राओं को गुणा करें, यानी 2*22, 2*5 और 5*22. परिणामी मान क्रमशः 10 सेमी, 44 सेमी और 110 सेमी हैं।
• आपको प्राप्त सभी समाधान जोड़ें। 10 + 44 + 110 आपको 164 सेमी मिलता है।
• यह केवल 164 सेमी को दो से गुणा करने के लिए रहता है। यह पता चला है कि समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 328 सेमी है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना इतना आसान है। थोड़ी देर बाद, आप कार्य को जटिल बना सकते हैं और एक ज्ञात क्षेत्र के साथ एक पक्ष ढूंढ सकते हैं। यह बच्चे के ज्ञान को मजबूत करेगा और उसे उस सूत्र के बारे में नहीं भूलने देगा जिसके अनुसार क्षेत्र स्थित है।

ईंटों, टीवी बॉक्सों और घरों में क्या समानता है? (चित्र .1।)

चावल। 1. ईंट, घर और टीवी बॉक्स

क्या उनके बारे में कुछ ऐसा समझना संभव है जो इनमें से प्रत्येक वस्तु से संबंधित हो?

यह गणित का कार्य है: किसी चीज का पूरी तरह से अलग-अलग चीजों में अध्ययन करना।

उदाहरण के लिए, एक गेंद और एक ग्लोब गेंद हैं और पृथ्वी लगभग एक गेंद है। (रेखा चित्र नम्बर 2।)

चावल। 2. गेंद और ग्लोब

लेकिन वापस ईंट, भवन और बॉक्स में। आप उनका वर्णन कैसे कर सकते हैं?

ये समतल से घिरी हुई आकृतियाँ हैं (चित्र 3)। प्रत्येक फलक एक आयत है। ऐसे सभी आंकड़े कहलाते हैं आयताकार समांतर चतुर्भुज.


चावल। 3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के फलक

नाम से पता चलता है कि गैर-आयताकार समानांतर चतुर्भुज भी हैं। दरअसल, एक समानांतर चतुर्भुज के चेहरे न केवल आयत हो सकते हैं, बल्कि मनमानी समांतर चतुर्भुज भी हो सकते हैं (चित्र 4)।

चावल। 4. मनमाना समांतर चतुर्भुज

जिस तरह आप एक आयत से एक नियमित समांतर चतुर्भुज बना सकते हैं, उसी तरह एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज से "तिरछी समानांतर चतुर्भुज" बनाना आसान है (चित्र 5)।

चावल। 5. तिरछा समानांतर चतुर्भुज

सबसे पहले, आपको हमारे सबसे करीब की तरफ, दीवार, चेहरा (यह एक आयत है) और फिर ऊपर की तरफ खींचने की जरूरत है। आपको इसे एक कोण पर थोड़ा खींचने की जरूरत है, जैसे कि आप इसे एक तरफ से देख रहे हों।

अब आपको दाहिने किनारे को खींचने की जरूरत है। चूँकि सभी फलक आयत हैं, इसलिए आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि विपरीत दिशाएये चेहरे एक दूसरे के समानांतर थे।

यह स्पष्ट है कि, एक वास्तविक त्रि-आयामी आकृति को देखते हुए, इसे एक ही बार में सभी पक्षों से देखना असंभव है।

बाकी, "अदृश्य" पार्टियों की भी जरूरत है। इसलिए, हम उन रेखाओं को खींचने के लिए सहमत हुए जो एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाई नहीं दे रही हैं। समानता को देखते हुए, उन्हें चित्रित करना समाप्त करना आवश्यक है। (चित्र 6.)

चावल। 6. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आरेखण

यही है, आयताकार समानांतर चतुर्भुज की छवि तैयार है।

किसी भी आयताकार बॉक्स में 8 शीर्ष होते हैं। प्राय: इन्हें नीचे से,,,, - ऊपर से निरूपित किया जाता है। (चित्र 7.)

चावल। 7. आयताकार समांतर चतुर्भुज

6 आयत, जिनके शीर्ष समांतर चतुर्भुज के शीर्षों से मेल खाते हैं, फलक कहलाते हैं:

चित्र में, वे सभी आयतों की तरह नहीं दिखते, ऐसा इसलिए है क्योंकि हम उन्हें सीधे नहीं, बल्कि एक कोण पर देख रहे हैं।

तो, किसी भी समानांतर चतुर्भुज में हमेशा 8 शीर्ष, 6 फलक और 12 किनारे होते हैं।

बहुफलक। पॉलीटोप्स के लिए यूलर का प्रमेय।

आइए उन तत्वों पर करीब से नज़र डालें, जिनके बारे में हमने बात की: चेहरे, किनारे, कोने।

खंड अंक द्वारा सीमित है। समतल पर क्षेत्र की सीमा एक रेखा या कई खंड हैं।

विमान पर खंडों और उनकी सीमाओं (बिंदुओं) से, हम बहुभुज (त्रिकोण, चतुर्भुज, ... 100-गॉन) एकत्र करते हैं।

अन्तरिक्ष में हमारे पास समतल हैं, उनकी सीमाएँ किनारे हैं, इसके अतिरिक्त किनारों की भी एक सीमा होती है - बिन्दुओं को शीर्ष कहते हैं।

उनका उपयोग बहुभुज के स्थानिक एनालॉग्स को इकट्ठा करने के लिए किया जा सकता है - पॉलीहेड्रा (चित्र 1)। समानांतर चतुर्भुज पॉलीहेड्रा का एक उदाहरण है।

चावल। 1. रेखाखंड, बहुभुज और बहुफलक

"सबसे छोटा" पॉलीहेड्रॉन एक त्रिकोणीय पिरामिड (या टेट्राहेड्रोन) (चित्र 2) है, जो "सबसे छोटे" बहुभुज के साथ सादृश्य द्वारा - एक त्रिकोण है।

चावल। 2. चतुष्फलक

एक दिलचस्प तथ्य: किसी भी बहुफलक में निम्नलिखित गुण होते हैं , जहाँ फलकों की संख्या है, शीर्षों की संख्या है, किनारों की संख्या है।

आइये गिनते हैं:

1) चतुष्फलक: 4 शीर्ष, 4 फलक और 6 किनारे।

चावल। 3. चतुष्फलक

2) बॉक्स: 8 कोने, 6 फलक और 12 किनारे।

चावल। 4. समानांतरपिंड

3) पंचकोणीय प्रिज्म: 10 शीर्ष, 7 फलक और 15 किनारे

अंजीर। 5. पंचकोणीय प्रिज्म

शीर्षों और फलकों की एक साथ संख्या हमेशा किनारों की संख्या से 2 अधिक होती है। और यह संपत्ति सभी पॉलीहेड्रा के लिए है। इस संपत्ति को लियोनार्ड यूलर ने अपने समय में तैयार किया था। संपत्ति का नाम इसलिए रखा गया था: यूलर का प्रमेय.

कहा पे: - चेहरों की संख्या, - शीर्षों की संख्या, - किनारों की संख्या।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी फलक (उनमें से 6 हैं) आयत हैं। क्या ये सभी आयत अलग-अलग हैं? बिल्कुल नहीं।

बॉक्स को अपने हाथों में पकड़े हुए, आप देख सकते हैं कि विपरीत फलक समान हैं, अर्थात वे बिल्कुल समान आयत हैं।

उदाहरण के लिए, सामने वाला चेहरा पिछले चेहरे जैसा ही है। इसी तरह, ऊपर और नीचे के फलक, बाएँ और दाएँ, एक दूसरे के बराबर हैं।

क्या समान किनारे हैं?

हां, बिल्कुल, आप देख सकते हैं कि ऊर्ध्वाधर किनारे, उनमें से 4 हैं, सभी एक दूसरे के बराबर हैं। इसी तरह, समान किनारों के दो और चौगुने हैं।

प्रश्न: यदि आपको ऐसे पेपर को समानांतर चतुर्भुज में गोंद करने की आवश्यकता है, तो कितने पेपर की आवश्यकता है? और एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज या अन्य पॉलीहेड्रॉन को गोंद करना कैसे आवश्यक है?

सबसे पहले, आपको आयताकार समानांतर चतुर्भुज (चित्र 8) को अनियंत्रित करने की आवश्यकता है।

चावल। 8. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज को खोलना

आप उस पर पहले से ही 6 फलक देख सकते हैं, जो एक दूसरे के बराबर हैं। यदि आप इसे लाइनों के साथ मोड़ते हैं, तो आपको एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज मिलता है।

इस झाडू का क्षेत्रफल कागज की वह मात्रा है जिसकी आवश्यकता होती है। इसे सतह क्षेत्र कहा जाता है। जाहिर है, यह सभी छह चेहरों के क्षेत्रों के योग के बराबर है।

अब आप एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

एक शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की अलग-अलग लंबाई हो सकती है। उन्हें नामित किया जाए, और। (चित्र 9.)

चावल। 9. भुजाओं वाला आयताकार समांतर चतुर्भुज, तथा

अन्य सभी किनारे इनमें से किसी एक मान के बराबर हैं। सभी चेहरों के क्षेत्रों को ढूंढना और उन्हें जोड़ना आवश्यक है।

नीचे के चेहरे का क्षेत्रफल बराबर है, इसलिए यह एक आयत है। ऊपर का किनारा बिल्कुल वैसा ही है, उसका क्षेत्रफल भी बराबर है। दाएं और बाएं चेहरों में से प्रत्येक में क्षेत्र हैं। आगे और पीछे - प्रत्येक।

इन सभी क्षेत्रों को जोड़ने पर, हमें सतह क्षेत्र मिलता है:

एक कार्डबोर्ड बॉक्स को पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता होगी यदि बॉक्स की ऊंचाई, चौड़ाई और लंबाई क्रमशः 20, 30 और 60 सेमी है? प्रत्येक 100 सेमी 2 के लिए पेंट की खपत 1 ग्राम है।

समाधान

आपको किस क्षेत्र को पेंट करना चाहिए? जाहिर है, यह बॉक्स का सतह क्षेत्र है, क्योंकि हम इसकी सतह को पेंट करेंगे।

बॉक्स का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। बॉक्स एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है। पृष्ठीय क्षेत्रफल सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है और फलक जोड़े में बराबर होते हैं।

पेंट की खपत - 1 ग्राम प्रति 100 सेमी 2. पेंट की आवश्यक मात्रा ज्ञात करने के लिए, कुल क्षेत्रफल को 100 से विभाजित करें:

यह पता चला है कि एक बॉक्स को पेंट करने के लिए 72 ग्राम पेंट की जरूरत होती है।

निष्कर्ष

इस पाठ में एक आयताकार समांतर चतुर्भुज, इसके मुख्य गुणों और तत्वों का अध्ययन किया गया। साथ ही इसकी सतह का सूत्र निकाला गया और इस सूत्र को लागू करने की समस्या का समाधान किया गया।

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2. पोर्टल "सितंबर का पहला" ()

3. पोर्टल "स्कूली बच्चों के लिए प्रस्तुतियाँ" ()

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1. एक घन को जिसकी ऊँचाई, चौड़ाई और लंबाई क्रमशः 20, 45 और 60 सेमी है, पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता होगी? प्रत्येक 100 सेमी 2 के लिए पेंट की खपत 5 ग्राम है।