कोई स्कूल कार्यक्रमइसमें ज्यामिति जैसे विषय शामिल हैं। हम में से प्रत्येक ने, एक छात्र के रूप में, इस अनुशासन का अध्ययन किया और कुछ समस्याओं को हल किया। लेकिन कई लोगों के लिए स्कूल वर्षपीछे रह गए थे और अर्जित ज्ञान का हिस्सा स्मृति से मिटा दिया गया था। लेकिन क्या होगा अगर आपको अचानक स्कूल की पाठ्यपुस्तक से किसी प्रश्न का उत्तर खोजने की आवश्यकता हो, उदाहरण के लिए, समकोण त्रिभुज में ऊँचाई कैसे ज्ञात करें? इस मामले में, आधुनिक उन्नत कंप्यूटर उपयोगकर्ता सबसे पहले इंटरनेट खोलेगा और उसके लिए रुचि की जानकारी ढूंढेगा।
त्रिभुजों के बारे में बुनियादी जानकारी
इस ज्यामितीय आकृति में अंत बिंदुओं पर एक दूसरे से जुड़े 3 खंड होते हैं, और इन बिंदुओं के संपर्क बिंदु एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिभुज को बनाने वाले खण्ड इसकी भुजाएँ कहलाते हैं। पक्षों के जोड़ आकृति के शीर्षों के साथ-साथ इसके कोनों को भी बनाते हैं।कोणों के आधार पर त्रिभुजों के प्रकार
इस आकृति में तीन प्रकार के कोण हो सकते हैं: न्यून, अधिक कोण और सीधे। इसके आधार पर, निम्नलिखित किस्मों को त्रिभुजों में प्रतिष्ठित किया जाता है:
भुजाओं की लंबाई के आधार पर त्रिभुजों के प्रकार
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह आकृति तीन रेखाखंडों से बनी है। उनके आकार के आधार पर, निम्न प्रकार के त्रिभुजों को प्रतिष्ठित किया जाता है:
समकोण त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें
एक समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ, जो उनके संपर्क बिंदु पर समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। उन्हें जोड़ने वाला खंड "कर्ण" कहलाता है। किसी दिए गए में ऊंचाई खोजने के लिए ज्यामितीय आकृति, समकोण के शीर्ष से कर्ण तक रेखा को नीचे करना आवश्यक है। इसके अलावा, इस रेखा को 90º कोण को ठीक आधे में विभाजित करना चाहिए। ऐसे खंड को द्विभाजक कहा जाता है।
ऊपर की तस्वीर दिखाती है सही त्रिकोण, ऊंचाईजिसकी हमें गणना करनी है। यह कई मायनों में किया जा सकता है: 
यदि आप त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त खींचते हैं और एक त्रिज्या खींचते हैं, तो इसका मान कर्ण के मान का आधा होगा। इसके आधार पर, एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: इस लेख में, हमने वर्णन किया है कि समकोण त्रिभुज की ऊँचाई की गणना कैसे की जाती है। विभिन्न तरीके... मूल कार्य में आपको कौन से मान दिए गए हैं, इसके आधार पर आप अपने लिए सबसे उपयुक्त गणना विकल्प चुन सकते हैं। निर्देश
एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें, जहाँ ABC = 90° है। आइए हम इस कोण से ऊँचाई h को कर्ण AC पर छोड़ते हैं, और कर्ण के साथ ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु को D से निरूपित करते हैं।
त्रिभुज ADB दो कोणों में त्रिभुज ABC के समरूप है: ABC = ADB = 90 °, BAD उभयनिष्ठ है। त्रिभुजों की समानता से, हम पहलू अनुपात प्राप्त करते हैं: AD / AB = BD / BC = AB / AC। हम अनुपात का पहला और अंतिम अनुपात लेते हैं और हम पाते हैं कि AD = AB² / AC है।
चूँकि त्रिभुज ADB आयताकार है, पाइथागोरस प्रमेय इसके लिए मान्य है: AB² = AD² + BD²। इस समानता में AD को प्रतिस्थापित कीजिए। यह पता चला है कि BD² = AB² - (AB² / AC) । या, समकक्ष रूप से, BD² = AB² (AC²-AB²) / AC²। चूँकि त्रिभुज ABC आयताकार है, तो AC² - AB² = BC², तो हम BD² = AB²BC² / AC² प्राप्त करते हैं या, समानता के दोनों ओर से मूल लेते हुए, BD = AB * BC / AC प्राप्त करते हैं।
दूसरी ओर, त्रिभुज BDC भी दो कोणों में त्रिभुज ABC के समरूप है: ABC = BDC = 90 °, DCB उभयनिष्ठ है। इन त्रिभुजों की समानता से, हम पहलू अनुपात प्राप्त करते हैं: BD / AB = DC / BC = BC / AC। इस अनुपात से, हम DC को मूल समकोण त्रिभुज की भुजाओं के रूप में व्यक्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, अनुपात में दूसरी समानता पर विचार करें और डीसी = बीसी²/एसी प्राप्त करें।
चरण 2 में प्राप्त संबंध से, हमें यह प्राप्त होता है कि AB² = AD * AC। चरण 4 से हमारे पास वह BC² = DC * AC है। फिर बीडी² = (एबी * बीसी / एसी) = एडी * एसी * डीसी * एसी / एसी² = एडी * डीसी। इस प्रकार, BD की ऊँचाई AD और DC के गुणनफल के मूल के बराबर होती है, या, जैसा कि वे कहते हैं, उन भागों का ज्यामितीय माध्य जिसमें यह ऊँचाई त्रिभुज के कर्ण को विभाजित करती है।
कद त्रिकोणवह रेखा कहलाती है जो उसके किसी एक शीर्ष से गिरी हुई है, जो भुजा वाली रेखा के लंबवत है त्रिकोणइस शीर्ष के विपरीत त्रिकोण... प्रत्येक त्रिभुज की तीन ऊँचाइयाँ होती हैं।
निर्देश
बनाने के लिए ऊंचाईतीव्र कोण त्रिकोण, इसके शीर्ष से विपरीत दिशा में लंबवत एक सीधी रेखा खींचें। लंब रेखाओं और शीर्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने वाला खंड, और शीर्ष होगा त्रिकोणदी गई ऊंचाई से गिरा। इसके अलावा, न्यूनकोण की तीनों ऊँचाइयाँ त्रिकोणअंदर लेटना चाहिए त्रिकोण.
कुंठित होने के मामले में त्रिकोण, इसके दो नुकीले कोनों से नीचे की ओर ऊँचाई का निर्माण करने के लिए, मोटे कोने से सटे पक्षों वाली सीधी रेखाओं को जारी रखना आवश्यक है। एक न्यून कोण से गिराई गई ऊँचाई त्रिकोण, शीर्ष के विपरीत पक्ष की निरंतरता पर स्थित है, बाहर त्रिकोण.
यदि कोनों में से एक त्रिकोणसीधे फिर पक्ष त्रिकोणसमकोण (पैर) से सटे पहले से ही इसकी ऊँचाई हैं (ऊँचाइयों के साथ मेल खाते हैं त्रिकोण) तीसरी आयताकार ऊंचाई त्रिकोणइसके कर्ण के लिए खींचा गया पक्षों की सीमा के भीतर है त्रिकोण.
बनाने के लिए ऊंचाईकोई त्रिकोणएक कंपास लें और उसके दो शीर्षों से एक वृत्त बनाएं, जिसकी त्रिज्या आसन्न भुजा के बराबर हो त्रिकोण... वृत्तों में दो प्रतिच्छेदन बिंदु होंगे, जिन्हें जोड़ने पर आपको एक सीधी रेखा मिलती है जिसमें ऊंचाई त्रिकोणअपने तीसरे शिखर पर पहुँचा।
किसी भी त्रिभुज की ऊँचाइयों वाली सभी तीन रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है - प्रतिच्छेदन बिंदु। इस बिंदु को त्रिभुज का लंबकेन्द्र कहा जाता है। एक न्यूनकोण त्रिभुज में, लंबकेन्द्र त्रिभुज के अंदर होता है और उन खंडों पर स्थित होता है जो त्रिभुज की ऊँचाई होते हैं। एक समकोण त्रिभुज में, त्रिभुज का लंबकेन्द्र इसका एक शीर्ष होता है - त्रिभुज के समकोण का शीर्ष। एक अधिक त्रिभुज में, इसकी ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के बाहर, त्रिभुजों के संगत शीर्षों को त्रिभुज की ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदुओं और इसके विपरीत भुजा वाली सीधी रेखा से जोड़ने वाले खंडों के बाहर स्थित होता है।
स्रोत:
- एक न्यूनकोण त्रिभुज की ऊंचाई
टिप 3: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण कैसे खोजें
कर्ण समकोण त्रिभुज में वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित होती है। कर्ण समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। समकोण त्रिभुज में शेष भुजाओं को पाद कहते हैं।
आपको चाहिये होगा
- बुनियादी ज्ञानज्यामिति।
ऊँचाई-लंबवत, त्रिभुज के शीर्ष से जावक और उसके ऊपर खींचा गया विपरीत दिशा... एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई ज्ञात करने की समस्या को हल करने की विधि का चयन स्थिति के आधार पर करना चाहिए।
उत्पाद सूत्र का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई ज्ञात कीजिए
यदि आप भागों की लंबाई (या उनके अनुपात) को जानते हैं जिससे ऊंचाई कर्ण को विभाजित करती है, तो आप इसे इन खंडों के खंडों की लंबाई के उत्पाद के माध्यम से पा सकते हैं।
ऊंचाई गणना सूत्र:
त्रिभुज के क्षेत्रफल से एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई ज्ञात कीजिए
- यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल स्थिति से ज्ञात होता है, तो आप ऊँचाई की गणना के लिए सूत्र को आसानी से व्यक्त कर सकते हैं: त्रिभुज और कर्ण के दुगुने क्षेत्रफल का भागफल:
सीएच-ऊंचाई, एस-त्रिकोण का क्षेत्र, एबी-कर्ण
- साथ ही, इस सूत्र को पैरों और कर्ण के निजी उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:
परिचालित वृत्त की त्रिज्या से एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई ज्ञात कीजिए
यदि त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जाता है, इसकी त्रिज्या ज्ञात है, तो पैरों के आंशिक उत्पाद के सूत्र और वृत्त की दोगुनी त्रिज्या का उपयोग करके ऊंचाई की गणना की जा सकती है।
एक कोण की ज्या का प्रयोग करके एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई ज्ञात कीजिए
- किसी एक न्यून कोण की ज्या को आसन्न पैर से गुणा करके ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है।
यह सूत्र कैसा दिखता है:
- एक अन्य विकल्प: कर्ण खंड को आसन्न न्यून कोण की स्पर्शरेखा से गुणा करें।
इन सूत्रों का उपयोग करके, आप आसानी से एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं। ऊंचाई खोजने के ज्ञान का उपयोग अक्सर कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में किया जाता है, इसलिए यह ज्यामिति में सबसे बुनियादी सूत्रों में से एक है।
इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस स्कूल के कार्यक्रम में ज्यामिति जैसा विषय शामिल है। हम में से किसी ने, एक छात्र के रूप में, इस अनुशासन का अध्ययन किया और कुछ समस्याओं का समाधान किया। लेकिन कई लोगों के लिए, स्कूल के वर्ष पीछे रह गए और अर्जित ज्ञान का कुछ हिस्सा स्मृति से मिट गया।
लेकिन क्या होगा अगर आपको अचानक स्कूल की पाठ्यपुस्तक से किसी प्रश्न का उत्तर खोजने की आवश्यकता हो, उदाहरण के लिए, समकोण त्रिभुज में ऊँचाई कैसे ज्ञात करें? इस मामले में, एक आधुनिक उन्नत कंप्यूटर उपयोगकर्ता पहले वेब खोलेगा और वह जानकारी ढूंढेगा जिसमें उसकी रुचि है।
त्रिभुजों के बारे में बुनियादी जानकारी
इस ज्यामितीय आकृति में अंत बिंदुओं पर एक दूसरे से जुड़े 3 खंड होते हैं, और इन बिंदुओं के संपर्क बिंदु एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिभुज को बनाने वाले खण्ड इसकी भुजाएँ कहलाते हैं। पक्षों के जोड़ आकृति के शीर्षों के साथ-साथ इसके कोनों को भी बनाते हैं।
कोणों के आधार पर त्रिभुजों के प्रकार
यह आंकड़ा 3 प्रकार के कोणों का स्वामी हो सकता है: नुकीला, अधिक कोण और सीधा। इसके आधार पर, त्रिभुजों के मध्य में निम्नलिखित किस्में प्रतिष्ठित हैं:
भुजाओं की लंबाई के आधार पर त्रिभुजों के प्रकार
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह आंकड़ा 3 खंडों से प्रकट होता है। उनके आकार के आधार पर, निम्न प्रकार के त्रिभुजों को प्रतिष्ठित किया जाता है:
समकोण त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें
एक समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ, जो अपने स्वयं के संपर्क बिंदु पर एक समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। उन्हें जोड़ने वाला खंड "कर्ण" कहलाता है। किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति में ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको रेखा को समकोण के शीर्ष से कर्ण तक गिराना होगा। इस सब के साथ, इस रेखा को 90 के कोण को विभाजित करना चाहिए? ठीक आधे में। ऐसे खंड को द्विभाजक कहा जाता है।
ऊपर दिया गया चित्र एक समकोण त्रिभुज दिखाता है, जिसकी ऊँचाई की गणना हमें करनी होगी। यह कई मायनों में किया जा सकता है:
यदि आप त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त खींचते हैं और एक त्रिज्या खींचते हैं, तो इसका मान कर्ण के मान का आधा होगा। इसके आधार पर, एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है: