Bu durumda, (5.7)'ye göre dağıtım fonksiyonu şu şekilde olacaktır:
burada: m matematiksel beklentidir, s standart sapmadır.
Normal dağılım, Alman matematikçi Gauss'tan sonra Gauss olarak da adlandırılır. Rastgele bir değişkenin şu parametrelerle normal bir dağılıma sahip olduğu gerçeği: m,, şu şekilde gösterilir: N (m, s), burada: m =a =M ;
Oldukça sık, formüllerde matematiksel beklenti şu şekilde gösterilir: a . Bir rastgele değişken N(0,1) yasasına göre dağıtılırsa, normalleştirilmiş veya standartlaştırılmış normal değer olarak adlandırılır. Bunun için dağıtım işlevi şu şekildedir:
|
|
.Normal eğri veya Gauss eğrisi olarak adlandırılan normal dağılımın yoğunluğunun grafiği Şekil 5.4'te gösterilmiştir.
Pirinç. 5.4. Normal dağılım yoğunluğu
Rastgele bir değişkenin sayısal özelliklerinin yoğunluğuna göre belirlenmesi bir örnek üzerinde ele alınmıştır.
Örnek 6.
Dağılım yoğunluğu tarafından sürekli bir rastgele değişken verilir: 
.
Dağılımın türünü belirleyin, M(X) matematiksel beklentisini ve D(X) varyansını bulun.
Verilen dağılım yoğunluğunu (5.16) ile karşılaştırarak, m =4 ile normal dağılım yasasının verildiği sonucuna varabiliriz. Dolayısıyla matematiksel beklenti M(X)=4, varyans D(X)=9.
Standart sapma s=3.
Forma sahip Laplace işlevi:
|
|
,normal dağılım fonksiyonuyla (5.17) aşağıdaki bağıntıyla ilişkilidir:
F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.
Laplace fonksiyonu tektir.
Ф(-x)=-Ф(x).
Laplace fonksiyonunun Ф(х) değerleri tablolaştırılır ve tablodan x değerine göre alınır (bkz. Ek 1).
Sürekli bir rastgele değişkenin normal dağılımı, olasılık teorisinde ve gerçekliğin tanımlanmasında önemli bir rol oynar; rastgele doğal olaylarda çok yaygındır. Uygulamada, çok sık olarak, birçok rastgele terimin toplamının bir sonucu olarak kesin olarak oluşturulan rastgele değişkenler vardır. Özellikle ölçüm hatalarının analizi, bunların çeşitli hataların toplamı olduğunu göstermektedir. Uygulama, ölçüm hatalarının olasılık dağılımının normal yasaya yakın olduğunu göstermektedir.
Laplace fonksiyonunu kullanarak, belirli bir aralığa düşme olasılığını ve normal bir rastgele değişkenin belirli bir sapmasını hesaplama problemleri çözülebilir.
Kesikli bir rastgele değişkenin aksine, sürekli rastgele değişkenler, tüm değerlerini belirli bir sırayla listelemek ve yazmak imkansız olduğundan, dağıtım yasasının bir tablosu şeklinde belirtilemez. Sürekli bir rastgele değişken tanımlamanın olası bir yolu, bir dağıtım işlevi kullanmaktır.
TANIM. Dağılım fonksiyonu, x noktasının solundaki bir nokta ile gerçek eksende gösterilen bir değeri rastgele bir değişkenin alma olasılığını belirleyen bir fonksiyondur, yani.
Bazen "Dağıtım fonksiyonu" terimi yerine "İntegral fonksiyon" terimi kullanılır.
Dağıtım işlevi özellikleri:
1. Dağılım fonksiyonunun değeri segmente aittir: 0F(x)1
2. F(x) azalmayan bir fonksiyondur, yani. F(x 2)F(x 1) eğer x 2 >x 1 ise
Sonuç 1. Rastgele bir değişkenin (a,b) aralığında yer alan bir değeri alma olasılığı, bu aralıktaki dağılım fonksiyonunun artışına eşittir:
Sulh
Örnek 9. Bir rasgele değişken X, bir dağıtım işlevi tarafından verilmiştir:
Test sonucunda X'in (0; 2): P(0) aralığına ait bir değer alma olasılığını bulun. Çözüm: (0;2) aralığında koşula göre F(x)=x/4+1/4 olduğundan, o zaman F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Yani P(0 Sonuç 2. Sürekli bir rasgele değişken X'in belirli bir değer alma olasılığı sıfıra eşittir. Sonuç 3. Rastgele bir değişkenin olası değerleri (a;b) aralığına aitse: 1) xa için F(x)=0; 2) xb için F(x)=1. Dağılım fonksiyonunun grafiği, y=0, y=1 (birinci özellik) düz çizgilerle sınırlanan şeritte bulunur. Rastgele değişkenin tüm olası değerlerini içeren (a;b) aralığında x arttıkça grafik "yükselir". xa için, grafiğin koordinatları sıfıra eşittir; xb'de grafiğin koordinatları bire eşittir: Örnek 10. Ayrık bir rastgele değişken X, bir dağıtım tablosu tarafından verilmiştir: Dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini oluşturun. TANIM: Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu, f (x) işlevidir - dağılım işlevinin ilk türevi F (x): f (x) \u003d F "(x) Bu tanımdan, dağılım fonksiyonunun dağılım yoğunluğunun ters türevi olduğu sonucu çıkar. Teorem. Sürekli bir rastgele değişken X'in (a; b) aralığına ait bir değer alma olasılığı, a ile b aralığında alınan dağılım yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir: Olasılık yoğunluğu özellikleri: 1. Olasılık yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur: f(x)0. Örnek 11. Bir rasgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verildiğinde Çözüm: İstenen olasılık: Kesikli niceliklerin sayısal özelliklerinin tanımını sürekli niceliklere genişletelim. Sürekli bir rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu f(x) tarafından verilsin. TANIM. Olası değerleri segmente ait olan sürekli bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisine belirli bir integral denir: M(x)=xf(x)dx (9) Olası değerler tüm x eksenine aitse, o zaman: M(x)=xf(x)dx (10) Sürekli rastgele değişken X'in M0 (X) modu, dağıtım yoğunluğunun yerel maksimumuna karşılık gelen olası değeridir. Sürekli bir rastgele değişken X'in medyanı M e (X), eşitlikle belirlenen olası değeridir: P(X e (X))=P(X>M e (X)) TANIM. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılımı, sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir. X'in olası değerleri segmente aitse, o zaman: D(x)=2 f(x)dx (11) Olası değerler tüm x eksenine aitse, o zaman.
Eşit dağılım.
sürekli değer X eşit olarak dağıtılır aralıkta ( a, b) olası tüm değerleri bu aralıktaysa ve olasılık dağılım yoğunluğu sabitse: Rastgele bir değişken için X, aralıkta eşit olarak dağılmış ( a, b) (Şekil 4), herhangi bir aralığa düşme olasılığı ( x 1
, x 2) aralığın içinde yatan ( a, b), eşittir: Yuvarlama hataları, düzgün dağılmış miktarların örnekleridir. Bu nedenle, belirli bir fonksiyonun tüm tablo değerleri aynı basamağa yuvarlanırsa, rastgele bir tablo değeri seçerek, seçilen sayının yuvarlama hatasının aralıkta eşit olarak dağıtılmış rastgele bir değişken olduğunu düşünürüz. üstel dağılım.
Sürekli rastgele değişken X sahip üstel dağılım Olasılık dağılım yoğunluğunun (31) grafiği, Şek. 5. Zaman T Bir bilgisayar sisteminin hatasız çalışması, parametre ile üstel dağılıma sahip rastgele bir değişkendir. λ
, fiziksel anlamı, onarım için sistem arıza süresini saymayan, birim zaman başına ortalama arıza sayısıdır. Normal (Gauss) dağılım.
rastgele değer X sahip normal (Gauss dağılımı, olasılıklarının yoğunluk dağılımı bağımlılık tarafından belirlenirse: nerede m = M(X) , . saat
normal dağılım denir standart. Normal dağılımın (32) yoğunluğunun grafiği, Şek. 6. Normal dağılım, çeşitli rastgele doğa olaylarında en yaygın dağılımdır. Bu nedenle, otomatik bir cihaz tarafından komutların yürütülmesindeki hatalar, uzay aracının uzayda belirli bir noktaya fırlatılmasındaki hatalar, bilgisayar sistemlerinin parametrelerindeki hatalar vb. çoğu durumda normal veya normale yakın bir dağılıma sahiptir. Ayrıca, çok sayıda rasgele terimin toplamından oluşan rasgele değişkenler neredeyse normal yasaya göre dağılır. Gama dağılımı.
rastgele değer X sahip gama dağılımı, olasılıklarının yoğunluk dağılımı aşağıdaki formülle ifade edilirse: nerede Dağıtım işlevi özellikleri: 1) Dağılım fonksiyonu şu eşitsizliği sağlıyor: 0≤F(x)≤1 ; 2) Dağılım fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur, yani. x 2 > x 1, F(x2)≥F(x1) anlamına gelir. 3) Dağılım fonksiyonu, e-argümanda sınırsız bir azalma ile 0'a ve sınırsız artışı ile 1'e eğilimlidir. Dağıtım fonksiyonu grafiği olasılık yoğunluğu(olasılık yoğunluğu) sürekli rastgele değişken X'in f(x), bu değişkenin F(x) dağılım fonksiyonunun türevidir: f(x)=F'(x) Olasılık yoğunluğu özellikleri:
1)
Olasılık yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur: f(x)≥0; 2)
Test sonucunda sürekli bir rastgele değişkenin (a, b) aralığından herhangi bir değer alma olasılığı şuna eşittir: Sürekli bir rastgele değişkenin ana sayısal özellikleri altında matematiksel beklenti, varyans ve standart sapmayı anlayın. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi: Sürekli bir rastgele değişkenin dağılımı D(X)
=
M[
X
–
M(X)]
2
. (Ekle) Standart sapma: σ(х)= √D(X) Sürekli rastgele değişkenlerin tüm dağılım türlerinden en yaygın olarak kullanılanı normal dağılım
, ayarlanmış olan Gauss yasası.
Dolayısıyla, hangi dağılım yasalarına tabi olursa olsun, çok sayıda bağımsız niceliğin bir toplamına sahipsek, o zaman belirli genel koşullar altında bu, yaklaşık olarak normal yasaya uyacaktır. Sürekli rastgele değişken normal yasaya göre dağıtılmış olarak adlandırılır, olasılık yoğunluğu ise: ifadenin değiştirilmesi verilen aralıktan bir değer alacaktır: P(a<
X<
b)
=____________________ Üç sigma kuralı
:
rastgele bir değişkenin normal dağılım değerlerinin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmaları, pratik olarak üçe katlanmış standart sapmasını aşmaz. (NSV)
sürekli olası değerleri sürekli olarak belirli bir aralığı kaplayan rastgele bir değişkendir. Tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının bir listesi ile ayrık bir değişken verilebiliyorsa, olası değerleri tamamen belirli bir aralığı kaplayan sürekli bir rastgele değişken ( a, b) olası tüm değerlerin bir listesini belirtmek imkansızdır. İzin vermek X gerçek bir sayıdır. Rastgele değişkenin olayının olasılığı X değerinden daha küçük bir değer alır X, yani olay olasılığı X <X, ile gösterilir F(x). Eğer bir X değişir, sonra elbette değişir ve F(x), yani F(x) bir fonksiyonudur X. dağıtım işlevi işlevi çağır F(x), rastgele değişkenin olma olasılığını belirleyen X test sonucunda daha küçük bir değer alacaktır X, yani F(x) = R(X < X). Geometrik olarak, bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: F(x) rastgele değişkenin noktanın solundaki bir nokta ile gerçek eksende gösterilen değeri alma olasılığıdır. X. Dağıtım fonksiyonu özellikleri. on Dağıtım fonksiyonunun değerleri aralığa aittir: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2 0 . F(x) azalmayan bir fonksiyondur, yani. F(x 2) ≥ F(x 1) eğer x 2 > x 1 . Sonuç 1. Rastgele bir değişkenin aralıkta yer alan bir değeri alma olasılığı ( a, b), bu aralıktaki dağılım fonksiyonunun artışına eşittir: R(a < X <b) = F(b) − F(a). Misal. rastgele değer X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen F(x) = rastgele değer X 0, 2). Sonuç 1'e göre, elimizde: R(0 < X <2) = F(2) − F(0). (0, 2) aralığında, koşula göre, F(x) = + , sonra F(2) − F(0) = (+ ) − (+ ) = . Böylece, R(0 < X <2) = . Sonuç 2. Sürekli bir rastgele değişken olma olasılığı X sıfıra eşit bir kesin değer alacaktır. otuz. Rastgele değişkenin olası değerleri aralığa aitse ( a, b), o zamanlar 1). F(x) = 0 için X ≤ a; 2). F(x) = 1 için X ≥ b. Sonuç. Mümkünse değerler NSV tüm sayısal eksende bulunur AH(−∞, +∞), o zaman aşağıdaki limit ilişkileri geçerlidir: Göz önünde bulundurulan özellikler, sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiğinin genel bir görünümünü sunmamızı sağlar: dağıtım işlevi NSV X sık sık aramak integral fonksiyonu. Ayrık bir rastgele değişken ayrıca bir dağıtım işlevine sahiptir: Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği kademeli bir forma sahiptir. Misal. DSV X dağıtım kanunu tarafından verilen X 1 4 8 R 0,3 0,1 0,6. Dağıtım fonksiyonunu bulun ve bir grafik oluşturun. Eğer bir X≤ 1, o zaman F(x) = 0. 1 ise< x≤ 4, o zaman F(x) = R 1 =0,3. 4 ise< x≤ 8, o zaman F(x) = R 1 + R 2 = 0,3 + 0,1 = 0,4. Eğer bir X> 8, o zaman F(x) = 1 (veya F(x) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1). Böylece, verilen dağılım fonksiyonu DSV X: İstenen dağıtım fonksiyonunun grafiği: NSV olasılık dağılım yoğunluğu ile belirtilebilir. Olasılık dağılım yoğunluğu NSV X işlevi çağır f(x) dağılım fonksiyonunun ilk türevidir F(x): f(x) = . Dağılım fonksiyonu, dağılım yoğunluğunun ters türevidir. Dağılım yoğunluğu aynı zamanda olasılık yoğunluğu olarak da adlandırılır. diferansiyel fonksiyon. Dağılım yoğunluğunun grafiği denir dağıtım eğrisi. Teorem 1. olasılık NSV X aralığına ait bir değer alacaktır ( a, b), aralığında alınan dağılım yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir. aönceki b: R(a < X < b) = . ○ R(a < X <b) = F(b) −F(a) == . ● Geometrik anlam: olma olasılığı NSV aralığına ait bir değer alacaktır ( a, b), eksen tarafından sınırlanan eğrisel yamuğun alanına eşittir AH, dağılım eğrisi f(x) ve doğrudan X =a ve X=b. Misal. Verilen bir olasılık yoğunluğu NSV X f(x) = Test sonucunda çıkma olasılığını bulunuz. X(0.5; 1) aralığına ait bir değer alacaktır. R(0,5 < X < 1) = 2= = 1 – 0,25 = 0,75. Dağılım Yoğunluğu Özellikleri: on Dağılım yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur: f(x) ≥ 0. 20 . −∞ ila +∞ aralığında dağılım yoğunluğunun uygun olmayan integrali bire eşittir: Özellikle, rastgele değişkenin tüm olası değerleri aralığa aitse ( a, b), o zamanlar İzin vermek f(x) dağılım yoğunluğu, F(X) dağıtım fonksiyonudur, o zaman F(X) = . ○ F(x) = R(X < X) = R(−∞ < X < X) = = , yani F(X) = . ● Misal (*). Belirli bir dağıtım yoğunluğu için dağıtım fonksiyonunu bulun: f(x) = Bulunan işlevi çizin. olduğu biliniyor F(X) = . Eğer bir, X ≤ a, o zamanlar F(X) = = == 0; Eğer bir a < x ≤ b, o zamanlar F(X) = =+ = = . Eğer bir X > b, o zamanlar F(X) = =+ + = = 1. F(x) = İstenilen fonksiyonun grafiği: NSV'nin sayısal özellikleri Matematiksel beklenti NSV X, olası değerleri aralığa ait olan [ a, b], belirli integral olarak adlandırılır M(X) = . Tüm olası değerler tüm eksene aitse AH, o zamanlar M(X) = . Uygunsuz integralin mutlak yakınsadığı varsayılır. Dağılım NSV X sapmasının karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır. Mümkünse değerler X segmente ait [ a, b], o zamanlar D(X) = ; Mümkünse değerler X tüm gerçek eksene (−∞; +∞) aitse, o zaman D(X) = . Varyansı hesaplamak için daha uygun formüller elde etmek kolaydır: D(X) = − [M(X)] 2 , D(X) = − [M(X)] 2 . Standart sapma NSV Х eşitlik ile tanımlanır (X) = . Yorum. Matematiksel beklenti ve varyansın özellikleri DSV için kaydedildi NSV X. Misal. Bulmak M(X) ve D(X) rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen F(x) = Dağıtım yoğunluğunu bulun f(x) = = Bulalım M(X): M(X) = = = = . Bulalım D(X): D(X) = − [M(X)] 2 = − = − = . Misal (**). Bulmak M(X), D(X) ve ( X) rastgele değişken X, Eğer f(x) = Bulalım M(X): M(X) = = =∙= . Bulalım D(X): D(X) =− [M(X)] 2 =− = ∙−=. Bulalım ( X): (X) = = = . NSV'nin teorik anları. Başlangıç teorik momenti k NSV X eşitlik ile tanımlanır ν k = . Merkezi teorik sipariş momenti k NSW Х eşitlik ile tanımlanır µk = . Özellikle, eğer tüm olası değerler X aralığına aittir ( a, b), o zamanlar ν k = , µk = . Açıkça: k = 1: ν
1 = M(X), μ
1 = 0; k = 2: μ
2 = D(X). arasındaki bağlantı ν k ve µk beğenmek DSV: μ
2 = ν
2 − ν
1 2 ; μ
3 = ν
3 − 3ν
2 ν
1 + 2ν
1 3 ; μ
4 = ν
4 − 4ν
3 ν
1 + 6 ν
2 ν
1 2 − 3ν
1 4 . NSV dağıtım yasaları dağıtım yoğunlukları NSV olarak da adlandırılır dağıtım yasaları. Düzgün dağılım yasası. Olasılık dağılımı denir üniforma, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ait olduğu aralıkta ise, dağılım yoğunluğu sabit kalır. Düzgün dağılımın olasılık yoğunluğu: f(x) = Programı: Örnekten (*) tek biçimli dağılımın dağılım fonksiyonunun şu şekilde olduğu anlaşılmaktadır: F(x) = Programı: Örnekten (**), düzgün dağılımın sayısal özellikleri aşağıdaki gibidir: M(X) = , D(X) = , (X) = . Misal. Belirli bir rotadaki otobüsler kesinlikle programa göre çalışır. Hareket aralığı 5 dakika. Durağa gelen bir yolcunun bir sonraki otobüsü 3 dakikadan az bekleme olasılığını bulunuz. rastgele değer X- Yaklaşan yolcu tarafından otobüsün bekleme süresi. Olası değerleri (0; 5) aralığına aittir. Gibi X düzgün dağılmış bir nicelik ise, olasılık yoğunluğu: f(x) = = = aralığında (0; 5). Yolcunun bir sonraki otobüsü 3 dakikadan az bekleyebilmesi için, bir sonraki otobüsün varışından 2 ila 5 dakika önce otobüs durağına gelmesi gerekir: Buradan, R(2 < X < 5) == = = 0,6. Normal dağılım yasası. normal olasılık dağılımı denir NSV X f(x) = . Normal dağılım iki parametre ile tanımlanır: a ve σ
. Sayısal özellikler: M(X) == = = = = + = a, çünkü ilk integral sıfıra eşittir (integral tek, ikinci integral Poisson integralidir, bu da . Böylece, M(X) = a, yani normal dağılımın matematiksel beklentisi parametreye eşittir a. Verilen M(X) = a, alırız D(X) = = = Böylece, D(X) = . Buradan, (X) = = = , onlar. normal dağılımın standart sapması parametreye eşittir. Genel keyfi parametrelerle normal dağılım denir a ve (> 0). normalleştirilmiş parametrelerle normal dağılım denir a= 0 ve = 1. Örneğin, eğer X– parametrelerle normal değer a ve daha sonra sen= - normalleştirilmiş normal değer ve M(sen) = 0, (sen) = 1. Normalleştirilmiş dağılımın yoğunluğu: φ
(x) = . İşlev F(x) genel normal dağılım: F(x) = , ve normalleştirilmiş dağılım fonksiyonu: F 0 (x) = . Normal dağılım yoğunluk grafiği denir normal eğri (Gauss eğrisi): Bir parametreyi değiştirme a eksen boyunca eğrinin kaymasına yol açar AH: eğer doğru a artar ve eğer sola a azalır. Parametredeki bir değişiklik şu sonuçlara yol açar: bir artışla, normal eğrinin maksimum ordinatı azalır ve eğrinin kendisi düzleşir; azalırken, normal eğri daha "zirve" hale gelir ve eksenin pozitif yönünde uzar OY: Eğer bir a= 0, a = 1, sonra normal eğri φ
(x) = isminde normalleştirilmiş. Normal bir rastgele değişkenin belirli bir aralığına düşme olasılığı. Rastgele değişken olsun X normal yasaya göre dağıtılır. O zaman olasılık X R(α
< X < β
) = = = Laplace işlevini kullanma Φ
(X) = , sonunda anladık R(α
< X < β
) = Φ
() − Φ
(). Misal. rastgele değer X normal yasaya göre dağıtılır. Bu miktarın matematiksel beklentisi ve standart sapması sırasıyla 30 ve 10'dur. X koşula göre, α
=10, β
=50, a=30, =1. R(10< X< 50) = Φ
() − Φ
() = 2Φ
(2). Tabloya göre: Φ
(2) = 0,4772. Buradan R(10< X< 50) = 2∙0,4772 = 0,9544. Normalde dağılmış bir rasgele değişkenin sapmasının olasılığını hesaplamak genellikle gereklidir. X mutlak değerde belirtilenden daha az δ
> 0, yani eşitsizliğin gerçekleşme olasılığının bulunması gerekir | X − a| < δ
: R(| X − a| < δ
) = R(bir - δ< X< a+ δ
) = Φ
() − Φ
() = = Φ
() − Φ
() = 2Φ
(). Özellikle, ne zaman a = 0: R(| X | < δ
) = 2Φ
(). Misal. rastgele değer X normal olarak dağılmıştır. Matematiksel beklenti ve standart sapma sırasıyla 20 ve 10'dur Mutlak değerdeki sapmanın 3'ten küçük olma olasılığını bulun. koşula göre, δ
= 3, a= 20, =10. Sonra R(| X − 20| < 3) = 2 Φ
() = 2Φ
(0,3). Tabloya göre: Φ
(0,3) = 0,1179. Buradan, R(| X − 20| < 3) = 0,2358. Üç sigma kuralı. olduğu biliniyor R(| X − a| < δ
) = 2Φ
(). İzin vermek δ
= t, o zamanlar R(| X − a| < t) = 2Φ
(t). Eğer bir t= 3 ve bu nedenle, t= 3, o zaman R(| X − a| < 3) = 2Φ
(3) = 2∙ 0,49865 = 0,9973, onlar. neredeyse kesin bir olay aldı. Üç sigma kuralının özü: bir rastgele değişken normal olarak dağılmışsa, matematiksel beklentiden sapmasının mutlak değeri standart sapmanın üç katını geçmez. Uygulamada, üç sigma kuralı şu şekilde uygulanır: eğer çalışılan rastgele değişkenin dağılımı bilinmiyorsa, ancak yukarıdaki kuralda belirtilen koşul karşılanıyorsa, o zaman çalışılan değişkenin normal dağıldığını varsaymak için sebep vardır; aksi halde normal dağılmaz. Lyapunov'un merkezi limit teoremi. Eğer rastgele değişken X her birinin toplam toplam üzerindeki etkisi ihmal edilebilir olan çok sayıda karşılıklı olarak bağımsız rastgele değişkenin toplamıdır, o zaman X normale yakın bir dağılıma sahiptir. Misal.□ Bir miktar fiziksel nicelik ölçülsün. Birçok bağımsız rastgele faktör (sıcaklık, cihaz dalgalanmaları, nem vb.) ölçüm sonucunu etkilediğinden, herhangi bir ölçüm, ölçülen miktarın yalnızca yaklaşık bir değerini verir. Bu faktörlerin her biri ihmal edilebilir bir “kısmi hata” üretir. Ancak, bu faktörlerin sayısı çok fazla olduğundan, bunların kümülatif etkisi zaten farkedilir bir “toplam hata” yaratır. Toplam hatayı birbirinden bağımsız çok sayıda kısmi hatanın toplamı olarak düşünürsek, toplam hatanın normale yakın bir dağılıma sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Deneyim, bu sonucun geçerliliğini doğrulamaktadır. ■ Çok sayıda bağımsız terimin toplamının normale yakın bir dağılıma sahip olduğu koşulları yazalım. İzin vermek X 1 , X 2 , …, x p- her biri sonlu bir matematiksel beklentiye ve varyansa sahip olan bir dizi bağımsız rastgele değişken: M(x k) = bir k , D(x k) = . Notasyonu tanıtalım: Sn = , Bir = , ben = . Normalleştirilmiş toplamın dağılım fonksiyonunu şu şekilde gösterelim: F p(x) = P(< x). dizi diyorlar X 1 , X 2 , …, x p merkezi limit teoremi varsa uygulanabilir X normalleştirilmiş toplamın dağılım fonksiyonu P→ ∞ normal dağılım fonksiyonuna eğilimlidir: Üstel dağılım yasası. gösterge(üstel) olasılık dağılımı denir NSV X yoğunluğu ile tanımlanan f(x) = nerede λ
sabit pozitif bir değerdir. Üstel dağılım bir parametre tarafından belirlenir λ
. Fonksiyon Grafiği f(x): Dağıtım fonksiyonunu bulalım: Eğer, X≤ 0, o zaman F(X) = = == 0; Eğer X≥ 0, o zaman F(X) == += λ∙
= 1 − e -λx. Böylece dağıtım işlevi şöyle görünür: F(x) = İstenilen fonksiyonun grafiği: Sayısal özellikler: M(X) == λ
= = . Böyle, M(X) = . D(X) =− [M(X)] 2 = λ
− = = . Böyle, D(X) = . (X) = = , yani ( X) = . Anladım M(X) = (X) = . Misal. NSV X f(x) = 5e −5X de X ≥ 0; f(x) = 0 için X < 0. Bulmak M(X), D(X), (X). koşula göre, λ
= 5. Bu nedenle, M(X) = (X) = = = 0,2; D(X) = = = 0,04. Üstel olarak dağılmış bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı. Rastgele değişken olsun Xüstel bir yasaya göre dağıtılır. O zaman olasılık X aralığından bir değer alacaktır), eşittir R(a < X < b) = F(b) − F(a) = (1 − e -λ b) − (1 − e -λ bir) = e -λ bir − e -λ b. Misal. NSV Xüstel yasaya göre dağıtılır f(x) = 2e −2X de X ≥ 0; f(x) = 0 için X < 0. Test sonucunda çıkma olasılığını bulunuz. X aralığından bir değer alacaktır). koşula göre, λ
= 2. O zaman R(0,3 < X < 1) = e - 2∙0,3 − e - 2∙1 = 0,54881− 0,13534 ≈ 0,41. Üstel dağılım, uygulamalarda, özellikle güvenilirlik teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Arayacağız eleman"basit" veya "karmaşık" olmasına bakılmaksızın bazı cihazlar. Öğenin şu anda çalışmaya başlamasına izin verin t 0 = 0 ve saatten sonra t başarısızlık oluşur. ile belirtmek T sürekli rastgele değişken - öğenin çalışma süresinin süresi. Eleman kusursuz çalıştıysa (arızadan önce), süre daha kısadır. t, bu nedenle, bir süre için t reddetme meydana gelecektir. Yani dağıtım fonksiyonu F(t) = R(T < t) zaman süresi boyunca arıza olasılığını belirler t. Bu nedenle, aynı süre boyunca hatasız çalışma olasılığı t, yani ters olayın olma olasılığı T > t, eşittir R(t) = R(T > t) = 1− F(t). Güvenilirlik fonksiyonu R(t) bir elemanın bir süre boyunca hatasız çalışma olasılığını belirleyen bir fonksiyon olarak adlandırılır. t: R(t) = R(T > t). Çoğu zaman, bir elemanın çalışma süresinin süresi, dağılım fonksiyonu olan üstel bir dağılıma sahiptir. F(t) = 1 − e -λ t. Bu nedenle, elemanın çalışma süresinin üstel dağılımı durumunda güvenilirlik fonksiyonu şu şekildedir: R(t) = 1− F(t) = 1− (1 − e -λ t) = e -λ t. Üstel güvenilirlik yasası eşitlik tarafından tanımlanan güvenilirlik fonksiyonu olarak adlandırılır. R(t) = e -λ t, nerede λ
- başarısızlık oranı. Misal. Elemanın çalışma süresi üstel yasaya göre dağıtılır f(t) = 0,02e −0,02 t de t ≥0 (t- zaman). Elemanın 100 saat boyunca kusursuz çalışma olasılığını bulun. Konvansiyonel olarak, sabit başarısızlık oranı λ
= 0.02. Sonra R(100) = e - 0,02∙100 = e - 2 = 0,13534. Üstel güvenilirlik yasasının önemli bir özelliği vardır: bir zaman aralığı boyunca bir elemanın hatasız çalışma olasılığı t dikkate alınan aralığın başlangıcından önceki önceki çalışmanın zamanına bağlı değildir, ancak yalnızca zamanın süresine bağlıdır. t(belirli bir başarısızlık oranı için λ
). Başka bir deyişle, üstel bir güvenilirlik yasası durumunda, bir elemanın "geçmişte" hatasız çalışması, "yakın gelecekte" hatasız çalışma olasılığını etkilemez. Sadece üstel dağılım bu özelliğe sahiptir. Bu nedenle, pratikte incelenen rastgele değişken bu özelliğe sahipse, üstel yasaya göre dağıtılır. Büyük Sayılar Yasası Chebyshev eşitsizliği. Rastgele bir değişkenin sapması olasılığı X pozitif bir sayıdan daha az mutlak değerde matematiksel beklentisinden ε
, en az 1 – : R(|X – M(X)| < ε
) ≥ 1 – . Chebyshev'in eşitsizliği, genellikle kaba ve bazen önemsiz (ilgisiz) bir tahmin verdiği için sınırlı pratik değere sahiptir. Chebyshev'in eşitsizliğinin teorik önemi çok büyüktür. Chebyshev eşitsizliği için geçerlidir DSV ve NSV. Misal. Cihaz, bağımsız olarak çalışan 10 elemandan oluşur. Her elemanın zamanında arızalanma olasılığı T 0,05'e eşittir. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak, başarısız olan öğelerin sayısı ile zaman içindeki ortalama başarısızlık sayısı arasındaki farkın mutlak değerinin olasılığını tahmin edin. T ikiden az olacaktır. İzin vermek X zaman içinde başarısız olan öğelerin sayısıdır T. Ortalama başarısızlık sayısı matematiksel beklentidir, yani. M(X). M(X) = vb = 10∙0,05 = 0,5; D(X) = npq =10∙0,05∙0,95 = 0,475. Chebyshev eşitsizliğini kullanıyoruz: R(|X – M(X)| < ε
) ≥ 1 – . koşula göre, ε
= 2. O zaman R(|X – 0,5| < 2) ≥ 1 – = 0,88, R(|X – 0,5| < 2) ≥ 0,88. Chebyshev teoremi. Eğer bir X 1 , X 2 , …, x p ikili bağımsız rastgele değişkenlerdir ve varyansları eşit olarak sınırlıdır (sabit bir sayıyı aşmayın) İle), o zaman pozitif sayı ne kadar küçük olursa olsun ε
, eşitsizlik olasılığı |− | < ε
Rastgele değişkenlerin sayısı yeterince büyükse veya başka bir deyişle, birliğe keyfi olarak yakın olacaktır. − | < ε
) = 1. Bu nedenle, Chebyshev teoremi, sınırlı varyanslara sahip yeterince büyük sayıda bağımsız rastgele değişken göz önüne alındığında, rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasının matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasından sapması durumunda bir olayın neredeyse güvenilir olarak kabul edilebileceğini belirtir. keyfi olarak mutlak değerde küçük. Eğer bir M(X 1) = M(X 2) = …= M(x p) = a, o zaman, teoremin koşulları altında eşitlik − a| < ε
) = 1. Chebyshev teoreminin özü şu şekildedir: bireysel bağımsız rastgele değişkenler matematiksel beklentilerinden uzak değerler alabilmesine rağmen, yeterince büyük sayıda rastgele değişkenin aritmetik ortalaması belirli bir sabit sayıya (veya sayı a belirli bir durumda). Başka bir deyişle, bireysel rastgele değişkenler önemli bir yayılıma sahip olabilir ve aritmetik ortalamaları küçük dağılır. Bu nedenle, rastgele değişkenlerin her birinin hangi olası değeri alacağını güvenle tahmin edemezsiniz, ancak aritmetik ortalamalarının hangi değeri alacağını tahmin edebilirsiniz. Uygulama için, Chebyshev teoremi paha biçilmez bir öneme sahiptir: örneğin tahıl, pamuk ve diğer ürünler vb. gibi bazı fiziksel miktar, kalitenin ölçülmesi. Misal. X 1 , X 2 , …, x p dağıtım kanunu tarafından verilen x p −yok 0 yok R 1 − Chebyshev'in teoremi belirli bir diziye uygulanabilir mi? Chebyshev teoreminin bir rastgele değişkenler dizisine uygulanabilmesi için bu değişkenlerin: 1. ikili bağımsız olması; 2). sonlu matematiksel beklentileri vardı; 3). tekdüze sınırlı varyanslara sahiptir. 1). Rastgele değişkenler bağımsız olduğundan, ikili olarak daha da bağımsızdırlar. 2). M(x p) = −yok∙+ 0∙(1 − ) +
Bernoulli teoremi. eğer her birinde P bağımsız test olasılığı R bir olayın meydana gelmesi ANCAK sabit ise, göreceli frekansın olasılıktan sapma olasılığı R deneme sayısı yeterince büyükse mutlak değerde keyfi olarak küçük olacaktır. Başka bir deyişle, eğer ε
keyfi olarak küçük bir pozitif sayıdır, o zaman teoremin koşulları altında eşitliğimiz var − R| < ε
) = 1. Bernoulli teoremi şunu belirtir: P→ ∞ bağıl frekans olasılıkla ile R. Kısaca Bernoulli teoremi şu şekilde yazılabilir: Yorum. Rastgele değişkenlerin sırası X 1 , X 2 , … yakınsar olasılıkla rastgele bir değişkene X, herhangi bir keyfi olarak küçük pozitif sayı için ε
eşitsizlik olasılığı | X n – X| < ε
de P→ ∞ birlik eğilimindedir. Bernoulli'nin teoremi, yeterince büyük sayıda denemenin göreli sıklığının neden kararlılık özelliğine sahip olduğunu açıklar ve istatistiksel olasılığın tanımını doğrular. Markov zincirleri Markov zinciri her birinde yalnızca birinin olduğu bir dizi deneme olarak adlandırılır. k uyumsuz olaylar ANCAK 1 , ANCAK 2 ,…,bir k tam grup ve koşullu olasılık p ij(S) içinde S-th deneme bir olay gerçekleşecek bir j (j = 1, 2,…, k), şartıyla ( S– 1)-th test meydana gelen olaylar bir ben (ben = 1, 2,…, k), önceki testlerin sonuçlarına bağlı değildir. Misal.□ Deneme dizisi bir Markov zinciri oluşturuyorsa ve grubun tamamı 4 uyumsuz olaydan oluşuyorsa ANCAK 1 , ANCAK 2 , ANCAK 3 , ANCAK 4 ve 6. denemede bir olayın ortaya çıktığı biliniyor ANCAK 2 , olayın 7. denemede gerçekleşmesinin koşullu olasılığı ANCAK 4, 1., 2.,…, 5. denemelerde hangi olayların ortaya çıktığına bağlı değildir. ■ Daha önce düşünülen bağımsız denemeler, Markov zincirinin özel bir durumudur. Gerçekten de, denemeler bağımsız ise, herhangi bir denemede belirli bir olayın meydana gelmesi, daha önce gerçekleştirilen testlerin sonuçlarına bağlı değildir. Markov zinciri kavramının, bağımsız denemeler kavramının bir genellemesi olduğu sonucu çıkar. Rastgele değişkenler için bir Markov zincirinin tanımını yazalım. Rastgele değişkenlerin sırası X t, t= 0, 1, 2, …, denir Markov zinciri devletlerle ANCAK = { 1, 2, …, N), Eğer , t = 0, 1, 2, …, ve herhangi biri için ( P, ., Olasılık dağılımı X t keyfi bir zamanda t toplam olasılık formülü kullanılarak bulunabilir
Aşağıdaki sınır ilişkileri geçerlidir:
Resim 1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Çözüm: Dağılım fonksiyonu analitik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:
Şekil 2
(8)
2. Bir sürekli rasgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğunun -∞ ile +∞ arasındaki belirli integrali 1: f(x)dx=1'e eşittir.
3. Bir sürekli rasgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğunun -∞'den x'e belirli integrali, bu değişkenin dağılım fonksiyonuna eşittir: f(x)dx=F(x)
Test sonucunda X'in (0,5; 1) aralığına ait bir değer alma olasılığını bulun.
veya
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)
(30)
Pirinç. 4. Düzgün dağılım yoğunluğunun grafiği
(31)
Pirinç. 5. Üstel dağılımın yoğunluk grafiği
(32)
Pirinç. 6. Normal dağılımın yoğunluk grafiği
(33)
Euler gama fonksiyonudur.11. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının yoğunluğu ve özellikleri. Sürekli bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri.
3)
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun -sonsuz ile + sonsuz aralığındaki belirli integrali bire eşittir:
4)
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun eksi sonsuzdan x'e kadar değişen belirli integrali, bu değişkenin dağılım fonksiyonuna eşittir: 
12. Normal dağılım yasası. Normal dağılmış bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı.Üç sigma kuralı.
(arttır, ekle), burada M matematiksel beklentidir, σ kare varyanstır, σ bu değerin standart sapmasıdır.Bu Gauss eğrisidir:
ifadeye normal olarak dağılmış bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu için 
, testin bir sonucu olarak normal dağılmış bir rastgele değişken olma olasılığını elde ederiz.