Mēs noskaidrojām, ka trigonometrisko funkciju uzvedība un funkcijas y = grēks x jo īpaši, visā skaitļu rindā (vai visām argumenta vērtībām X) pilnībā nosaka tā uzvedība intervālā 0 < X < π / 2 .
Tāpēc, pirmkārt, mēs attēlosim funkciju y = grēks x tieši šajā intervālā.
Izveidosim šādu mūsu funkcijas vērtību tabulu;
Atzīmējot atbilstošos punktus koordinātu plaknē un savienojot tos ar gludu līniju, iegūstam attēlā redzamo līkni
Iegūto līkni var izveidot arī ģeometriski, nesastādot funkciju vērtību tabulu y = grēks x .
1. Apļa ar rādiusu 1 pirmo ceturtdaļu sadaliet 8 vienādās daļās Apļa dalīšanas punktu ordinātas ir atbilstošo leņķu sinusi.
2.Apļa pirmā ceturtdaļa atbilst leņķiem no 0 līdz π / 2 . Tāpēc uz ass XŅemsim segmentu un sadalīsim to 8 vienādās daļās.
3. Zīmēsim taisnas līnijas paralēli asīm X, un no dalīšanas punktiem veidojam perpendikulu, līdz tie krustojas ar horizontālām līnijām.
4. Savienojiet krustojuma punktus ar gludu līniju.
Tagad apskatīsim intervālu π /
2
<
X <
π
.
Katra argumenta vērtība X no šī intervāla var attēlot kā
x = π / 2 + φ
Kur 0 < φ < π / 2 . Pēc samazināšanas formulām
grēks ( π / 2 + φ ) = cos φ = grēks ( π / 2 - φ ).
Asu punkti X ar abscisēm π / 2 + φ Un π / 2 - φ simetriski viens otram ap ass punktu X ar abscisu π / 2 , un sinusi šajos punktos ir vienādi. Tas ļauj iegūt funkcijas grafiku y = grēks x intervālā [ π / 2 , π ], vienkārši simetriski attēlojot šīs funkcijas grafiku intervālā attiecībā pret taisni X = π / 2 .
Tagad izmanto īpašumu nepāra paritātes funkcija y = grēks x,
grēks (- X) = - grēks X,
šo funkciju ir viegli attēlot intervālā [- π , 0].
Funkcija y = sin x ir periodiska ar periodu 2π ;. Tāpēc, lai izveidotu visu šīs funkcijas grafiku, pietiek periodiski turpināt attēlā parādīto līkni pa kreisi un pa labi ar punktu 2π .
Iegūto līkni sauc sinusoidāls . Tas attēlo funkcijas grafiku y = grēks x.
Attēlā labi parādītas visas funkcijas īpašības y = grēks x , ko esam iepriekš pierādījuši. Atcerēsimies šīs īpašības.
1) Funkcija y = grēks x definēts visām vērtībām X , tāpēc tā domēns ir visu reālo skaitļu kopa.
2) Funkcija y = grēks x ierobežots. Visas vērtības, ko tas pieņem, ir no -1 līdz 1, ieskaitot šos divus skaitļus. Līdz ar to šīs funkcijas variācijas diapazonu nosaka nevienādība -1 < plkst < 1. Kad X = π / 2 + 2k π funkcija ņem lielākās vērtības, kas vienādas ar 1, un x = - π / 2 + 2k π - mazākās vērtības ir vienādas ar - 1.
3) Funkcija y = grēks x ir nepāra (sinusoīds ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi).
4) Funkcija y = grēks x periodisks ar 2. periodu π .
5) 2n intervālos π < x < π + 2n π (n ir jebkurš vesels skaitlis) tas ir pozitīvs un intervālos π + 2k π < X < 2π + 2k π (k ir jebkurš vesels skaitlis) tas ir negatīvs. Pie x = k π funkcija iet uz nulli. Tāpēc šīs argumenta x vērtības (0; ± π ; ±2 π ; ...) sauc par funkcijas nullēm y = grēks x
6) ar intervālu - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkciju y = grēks x palielinās monotoni un ar intervāliem π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π tas monotoni samazinās.
Īpaša uzmanība jāpievērš funkcijas darbībai y = grēks x punkta tuvumā X = 0 .
Piemēram, grēks 0,012 ≈ 0,012; grēks (-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = grēks π 2 / 180 = grēks π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Tajā pašā laikā jāatzīmē, ka jebkurai x vērtībai
| grēks x| < | x | . (1)
Patiešām, lai attēlā parādītā apļa rādiuss būtu vienāds ar 1,
a /
AOB = X.
Tad grēks x= AC. Bet AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Šī loka garums acīmredzami ir vienāds ar X, jo apļa rādiuss ir 1. Tātad pie 0< X < π / 2
grēks x< х.
Tādējādi funkcijas dīvainības dēļ y = grēks x ir viegli parādīt, ka tad, kad - π / 2 < X < 0
| grēks x| < | x | .
Visbeidzot, kad x = 0
| grēks x | = | x |.
Tādējādi par | X | < π / 2 ir pierādīta nevienlīdzība (1). Faktiski šī nevienlīdzība attiecas arī uz | x | > π / 2 sakarā ar to, ka | grēks X | < 1, a π / 2 > 1
Vingrinājumi
1.Pēc funkcijas grafika y = grēks x noteikt: a) grēks 2; b) grēks 4; c) grēks (-3).
2.Pēc funkcijas grafika y = grēks x
noteikt, kurš skaitlis no intervāla
[ - π /
2 ,
π /
2
] ir sinuss, kas vienāds ar: a) 0,6; b) -0,8.
3. Saskaņā ar funkcijas grafiku y = grēks x
noteikt, kuriem skaitļiem ir sinuss,
vienāds ar 1/2.
4. Atrodiet aptuveni (neizmantojot tabulas): a) sin 1°; b) grēks 0,03;
c) grēks (-0,015); d) grēks (-2°30").
Kā attēlot funkcijas y=sin x grafiku? Vispirms apskatīsim intervāla sinusa grafiku.
Mēs piezīmjdatorā ņemam vienu segmentu 2 šūnu garumā. Uz Oy ass atzīmējam vienu.
Ērtības labad mēs noapaļojam skaitli π/2 līdz 1,5 (un nevis līdz 1,6, kā to nosaka noapaļošanas noteikumi). Šajā gadījumā segments ar garumu π/2 atbilst 3 šūnām.
Uz Vērša ass mēs atzīmējam nevis atsevišķus segmentus, bet segmentus ar garumu π/2 (ik pēc 3 šūnām). Attiecīgi segments ar garumu π atbilst 6 šūnām, un segments ar garumu π/6 atbilst 1 šūnai.
Ar šo vienības segmenta izvēli grafiks, kas attēlots uz piezīmju grāmatiņas lapas lodziņā, pēc iespējas vairāk atbilst funkcijas y=sin x grafikam.
Izveidosim intervāla sinusa vērtību tabulu:
Iegūtos punktus atzīmējam koordinātu plaknē:
Tā kā y=sin x ir nepāra funkcija, sinusa grafiks ir simetrisks attiecībā pret sākuma punktu - punktu O(0;0). Ņemot vērā šo faktu, turpināsim diagrammas zīmēšanu pa kreisi, pēc tam punktus -π:
Funkcija y=sin x ir periodiska ar periodu T=2π. Tāpēc funkcijas grafiks, kas uzņemts intervālā [-π;π], tiek atkārtots bezgalīgi daudz reižu pa labi un pa kreisi.
Funkcijay = grēksx
Funkcijas grafiks ir sinusoīds.
Sinusoidālā viļņa pilnu neatkārtojamo daļu sauc par sinusoidālo vilni.
Pusi sinusoidālo vilni sauc par pussinuso vilni (vai loku).
Funkciju īpašībasy =
grēksx:
3) Šī ir nepāra funkcija. 4) Šī ir nepārtraukta funkcija.
6) Uz nogriežņa [-π/2; π/2] funkcija palielinās intervālā [π/2; 3π/2] – samazinās. 7) Intervālos funkcijai ir pozitīvas vērtības. 8) Palielinošās funkcijas intervāli: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Funkcijas minimālie punkti: -π/2 + 2πn. |
Lai attēlotu funkciju grafikā y= grēks x Ir ērti izmantot šādus svarus:
Uz papīra lapas ar kvadrātu kā segmenta vienību ņemam divu kvadrātu garumu.
Uz ass x Izmērīsim garumu π. Tajā pašā laikā ērtības labad mēs piedāvājam 3.14 3 formā, tas ir, bez daļskaitļa. Tad uz papīra lapas šūnā π būs 6 šūnas (trīs reizes 2 šūnas). Un katra šūna saņems savu dabisko nosaukumu (no pirmās līdz sestajai): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Tās ir nozīmes x.
Uz y ass atzīmējam 1, kas ietver divas šūnas.
Izmantojot mūsu vērtības, izveidosim funkciju vērtību tabulu x:
√3 | √3 |
Tālāk mēs izveidosim grafiku. Rezultāts ir pusvilnis, kura augstākais punkts ir (π/2; 1). Šis ir funkcijas grafiks y= grēks x segmentā. Konstruētajam grafam pievienosim simetrisku pusviļņu (simetrisku attiecībā pret izcelsmi, tas ir, uz segmentu -π). Šī pusviļņa virsotne atrodas zem x ass ar koordinātām (-1; -1). Rezultāts būs vilnis. Šis ir funkcijas grafiks y= grēks x uz segmenta [-π; π].
Jūs varat turpināt vilni, konstruējot to segmentā [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] utt. Visos šajos segmentos funkcijas grafiks izskatīsies tāpat kā segmentā [-π; π]. Jūs iegūsit nepārtrauktu viļņotu līniju ar identiskiem viļņiem.
Funkcijay = cosx.
Funkcijas grafiks ir sinusa vilnis (dažreiz saukts par kosinusa vilni).
Funkciju īpašībasy = cosx:
1) Funkcijas definīcijas apgabals ir reālu skaitļu kopa. 2) Funkciju vērtību diapazons ir segments [–1; 1] 3) Šī ir vienmērīga funkcija. 4) Šī ir nepārtraukta funkcija. 5) Grafika krustošanās punktu koordinātas: 6) Uz segmenta funkcija samazinās, uz segmenta [π; 2π] – palielinās. 7) Uz intervāliem [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funkcijai ir pozitīvas vērtības. 8) Palielinoši intervāli: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Funkcijas minimālie punkti: π + 2πn. 10) Funkcija ir ierobežota no augšas un apakšas. Funkcijas mazākā vērtība ir –1, 11) Šī ir periodiska funkcija ar periodu 2π (T = 2π) |
Funkcijay = mf(x).
Ņemsim iepriekšējo funkciju y= cos x. Kā jūs jau zināt, tā grafiks ir sinusoidāls vilnis. Ja šīs funkcijas kosinusu reizinām ar noteiktu skaitli m, tad vilnis paplašināsies no ass x(vai saruks, atkarībā no m vērtības).
Šis jaunais vilnis būs funkcijas y = mf(x) grafiks, kur m ir jebkurš reāls skaitlis.
Tādējādi funkcija y = mf(x) ir pazīstamā funkcija y = f(x), kas reizināta ar m.
Jam< 1, то синусоида сжимается к оси x pēc koeficientam. Jam > 1, tad sinusoīds tiek izstiepts no assx pēc koeficientam.
Veicot stiepšanu vai saspiešanu, vispirms varat uzzīmēt tikai vienu sinusoidālā viļņa pusviļņu un pēc tam pabeigt visu grafiku.
Funkcijay = f(kx).
Ja funkcija y =mf(x) noved pie sinusoīda stiepšanās no ass x vai saspiešana pret asi x, tad funkcija y = f(kx) noved pie stiepšanās no ass y vai saspiešana pret asi y.
Turklāt k ir jebkurš reāls skaitlis.
0< k< 1 синусоида растягивается от оси y pēc koeficientak. Jak > 1, tad sinusoīds tiek saspiests pret asiy pēc koeficientak.
Sastādot šīs funkcijas grafiku, vispirms varat izveidot vienu sinusoidālā viļņa pusviļņu un pēc tam izmantot to, lai pabeigtu visu grafiku.
Funkcijay = tgx.
Funkciju grafiks y= tg x ir tangenss.
Pietiek konstruēt daļu grafa intervālā no 0 līdz π/2, un tad to var simetriski turpināt intervālā no 0 līdz 3π/2.
Funkciju īpašībasy = tgx:
Funkcijay = ctgx
Funkciju grafiks y=ctg x ir arī tangentoīds (to dažreiz sauc par kotangentoīdu).
Funkciju īpašībasy = ctgx:
Šajā nodarbībā detalizēti aplūkosim funkciju y = sin x, tās pamatīpašības un grafiku. Nodarbības sākumā dosim trigonometriskās funkcijas y = sin t definīciju uz koordinātu apļa un aplūkosim funkcijas grafiku uz apļa un taisnes. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim vairākas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.
Tēma: Trigonometriskās funkcijas
Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās pamatīpašības un grafiks
Apsverot funkciju, ir svarīgi katru argumenta vērtību saistīt ar vienu funkcijas vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.
Definēsim korespondences likumu priekš .
Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienības apļa. Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).
Katra argumenta vērtība ir saistīta ar vienu funkcijas vērtību.
Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.
Attēlā redzams, ka 
jo ir vienības apļa punkta ordināta.
Apsveriet funkcijas grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Gar asi mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi - atbilstošās funkcijas vērtības.
Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)
Mēs esam ieguvuši funkcijas grafiku apgabalā. Bet, zinot sinusa periodu, varam attēlot funkcijas grafiku visā definīcijas jomā (3. att.).
Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.
Apsveriet funkcijas īpašības:
1) Definīcijas darbības joma:
2) Vērtību diapazons: 
3) nepāra funkcija:
4) Mazākais pozitīvais periods:
5) Grafika un abscisu asi krustošanās punktu koordinātas: 
6) Grafika un ordinātu asi krustošanās punkta koordinātas:
7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:
8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:
9) Intervālu palielināšana:
10) Samazinoši intervāli:
11) Minimālais punktu skaits: 
12) Minimālās funkcijas:
13) Maksimālais punktu skaits: 
14) Maksimālās funkcijas:
Mēs apskatījām funkcijas īpašības un tās grafiku. Rekvizīti tiks izmantoti atkārtoti, risinot problēmas.
Atsauces
1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes izpēte.-M.: Izglītība, 1997.g.
5. Matemātikas uzdevumu krājums augstskolu reflektantiem (M.I. Skanavi redakcija - M.: Augstskola, 1992).
6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais simulators.-K.: A.S.K., 1997.g.
7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Problēmas par algebru un analīzes principiem (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11. klašu skolēniem - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Problēmu krājums par algebru un analīzes principiem: mācību grāmata. pabalsts 10-11 klasēm. ar dziļumu pētīta Matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.
Mājas darbs
Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red.
A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Papildu tīmekļa resursi
3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().