Често в интернет можете да намерите подигравки как познанията по математика - интеграли, диференциали, тригонометрични функции и други раздели на предмета - не помагат за улесняване на живота на човек. Такива шеги са напразни, защото как помага способността за правилно изчисляване на периметъра на квадрат, правоъгълник и други? геометрични фигури v строителни дейности. Разход на материали: плочки, тапети, подови настилки - не може да се определи без разбиране на елементарни математически формули и геометрични фигури.
Правоъгълник и тригонометрични функции
Горното уравнение може да бъде записано по следния начин. Две последователни цели числа имат формата. Сборът от техните квадрати е 145. Разширете и групирайте подобни членове в горното уравнение и запишете в стандартна форма. Разделете всички членове в горното уравнение на.
Две последователни числа. Площта е равна на дължината умножена по ширината. Хипотенузата е с 3 см по-дълга от дългия крак. Следователно дължината на хипотенузата е равна. Сега използваме питагоровата теорема. Препишете уравнението в стандартен вид. Ако приемем, че дължината е по-дълга от ширината, две измервания.
Квадратни имоти
Всички изчисления в математиката се основават на свойствата на даден обект. За да отговоря на въпроса: „Какво е равна на периметъраквадрат?" - препоръчва се да се припомнят отличителните характеристики на тази фигура.
- Равенство на всички страни.
- Наличието на четири ъгъла от 90 градуса.
- Страничен паралелизъм.
- ротационна симетрия. Когато фигура се завърти, външният й вид остава непроменен.
- Възможност за описване и вписване на кръг.
- Диагоналите се разполовяват, когато се пресичат.
- Площта на фигурата характеризира мястото, изпълнено с квадрат в двуизмерно пространство.
- Периметърът на фигура не е нищо повече от сбора от дължините на страните й.
- От предишното свойство следва, че мерните единици на периметъра ще бъдат единици за дължина: m, cm, dm и други.
За да преброите первази за завършване на ремонт в квадратна стая, трябва да знаете дължината на стаята. За да направите това, трябва да изчислите периметъра му.
Площни променливи Квадрат има четири равни страни. Двете страни се срещат в единия ъгъл и са перпендикулярни една на друга. Квадратни числа Получавате квадратни числа, ако се умножите цели числа. Разделете квадрата наполовина. Има много възможности да намалите наполовина площта на квадрат. Ето пет. Към 1 и 2: общ начин- разделяне на квадрата по диагонал или медиана. Така че можете да сгънете квадратен лист хартия. K 3: всяка линия, минаваща през центъра на квадрата, го разрязва на два равни трапеца.
До 4: Можете също да използвате други линии, като например полукръгове вместо прави линии. K 5: Фигурата в средата е съставена от четири равни триъгълника, общо 8. Значението на тази фигура се крие във факта, че външният квадрат има рационална, вътрешна ирационална дължина. Квадратни плочки. Лесно е да разделите квадрат на равни квадрати. Трудно е да се намерят различни квадрати, които могат да направят това.
Периметър
В превод от гръцки, думата означава „меря наоколо“. Терминът е приложим за всички затворени фигури: квадрат, кръг, правоъгълник, триъгълник, трапец и други. Познанията за определяне на периметъра на елементарни фигури са необходими за решаване на сложни геометрични задачи с обекти с неправилна форма. Например, за да изчислите первази в стая с G-тип оформление или, както го наричат, „ботуш“, ще трябва да определите периметъра на квадрат и правоъгълник. В крайна сметка формата на стаята се състои от тези елементарни фигури.
Най-големият и най-малкият правоъгълник. Квадратът е специален правоъгълник. Можете да видите това в следните екстремни решения на проблеми. Ще намерите най-голямата площ вътре в куб на моята страница с куб. Матрица от квадрати. оптични илюзииВиждате: квадратите отляво са различни отстрани, а отдясно - по площите си.
Може да искате да поставите стикер с дълга бележка върху подканата, така че учениците да изпитват по-голямо предизвикателство. Мнозина ще приемат предизвикателството, защото знаят, че могат да се включат, ако предизвикателството изглежда твърде голямо. Със или без стикер, първото нещо, което трябва да направите, за да издигнете търсенето на решение над отгатването и проверката, е да изчислите площта на правоъгълника. Няма веднага да стане ясно за всички, че това ще бъде сборът от площите на площите. Всъщност, тъй като площта и периметърът са погрешно разбрани от някои ученици, може да не е очевидно за някои, че площта на всеки квадрат може да се изчисли от дължината на неговата страна.
Общоприетото обозначение на такова количество е буквата P. Всяка фигура, като се вземат предвид нейните свойства, има своя собствена формула за определяне на периметъра.
Свойства на правоъгълник
- Равенство на противоположните страни.
- Равенство на диагоналите.
- Способност за описване на кръг.
- Височините на правоъгълника са равни на неговите страни.
- Сборът от ъглите е 360 градуса и всички ъгли са прави.
- Паралелизъм на противоположните страни.
- Перпендикулярност на съседни страни.
- Сумата от квадратите на диагоналите на правоъгълник е равна на сумата от квадратите на страните му.
- Пресичайки се, диагоналите се разделят наполовина.
- Невъзможността да се впише кръг във фигура.
Периметър на квадрат
В зависимост от установените (известни) параметри на квадрата има различни формули за определяне на неговия периметър. Проста задача е да се изчисли периметърът, като се има предвид дължината на неговата страна (c). В този случай P=s+s+s+s или 4*s. Например, дължината на страната на квадрата е 7 см, тогава периметърът на фигурата ще бъде 28 см (4 * 7).
Тази фаза може да бъде възможност за прецизно изучаване на тези понятия. Следователно числата, които измерват дължината и ширината на мистериозния правоъгълник, трябва да се умножат по равни. И има поне още едно ограничение. Двете страни на правоъгълника трябва да са най-малко 18 см, тъй като това е дължината на страната на най-големия правоъгълник.
Например, ако започнем с извличане на 11, се получава най-високият прост фактор на първо място. Един от начините да разберете това е първо да решите всички двойки фактори, които биха могли да работят, и след това да опитате да създадете подходящ правоъгълник. Има ли друг набор от квадрати, който създава правоъгълник. Тъй като всички квадрати са правоъгълници, това е най-простият случай.
В първия случай всичко е ясно, но как да намерим периметъра на квадрат, като знаем неговата площ? И тук всичко е много ясно. Тъй като площта на фигура се определя чрез умножаване на едната страна по другата и тъй като всички страни на квадрата са равни, е необходимо да се вземе коренът на известна стойност. Пример: има квадрат с площ 25 dm 2. Коренът от 25 е 5 - тази стойност характеризира дължината на страната на квадрата. Сега, замествайки намерената стойност - 5 dm 2 - в оригиналната формула на периметъра, можем да решим проблема. Отговорът ще бъде стойност от 20 dm. Тоест, 4, умножено по 5, получаваме желаната стойност.
Как да намерите периметъра: всички формули на едно място
Може би малко тривиално, но започва следващият най-прост случай, който. Но това предполага безкраен брой решения, защото всеки правоъгълник може да бъде съставен от единични квадрати. Можем ли да продължим да изграждаме правоъгълници от квадрати, но да използваме квадрати с различни размери?
Сега 3-квадрат вляво или вдясно от текущия модел. Но нека бъдем последователни и продължаваме да поставяме в посока обратна на часовниковата стрелка, която е зададена в разположенията по-горе. Всяка стъпка е правоъгълник, направен от квадрати - всички различни с изключение на единичните квадрати - и те създават визуален модел, който се върти навън. Когато има визуален модел, ще се покаже цифрово изображение. Числата на Фибоначи Има още една визуална улика.
Квадрат и кръг
От свойствата на разглежданата фигура излиза, че кръгът може да бъде вписан в квадрат и също така описан около фигурата.
Първият вариант е да се намери периметъра по радиуса на описаната окръжност. Вписан квадрат е този, чиито върхове са върху окръжност. Радиусът на окръжността е 1/2 от дължината на диагонала. Оказва се, че диаметърът е равен на диагонала. Сега трябва да разгледаме правоъгълен триъгълник, който е получен в резултат на разделянето на диагонала на квадрата. Решението на задачата се свежда до намиране на страните на този триъгълник. BC е известна величина, диаметърът на описаната окръжност. Да кажем, че е 3 см. Питагоровата теорема в случай на равни страни на триъгълника ще изглежда така: 2c 2 \u003d 3 2. Във формулата обозначението c е дължината на страната на триъгълника и квадрата; 3 е известната стойност на хипотенузата. Следователно, c=√9/2. Като се знае страната на квадрата, периметърът му не е проблем за изчисляване.
Характеристика на вписаната окръжност е разделянето на страните на квадрата наполовина. Следователно радиусът е равен на половината от дължината на страната на квадрата. Тогава страна c=2*радиус. Периметърът на квадрата в този случай е равен на 4*2*радиус или 8 радиуса на кръг.
Периметър на правоъгълник
Най-елементарната формула за определяне на периметъра на правоъгълник чрез известните стойности на неговите страни изглежда така: P = 2 (a + b), където a и b са дължините на страните на фигурата .
Диагоналът на правоъгълник, подобно на квадрат, разделя фигурата наполовина, образувайки правоъгълен триъгълник. Задачата обаче се усложнява от факта, че страните на този триъгълник са неравни. В случай на известна стойност на една от страните и диагонала, втората може да бъде намерена, като следвате теоремата на Питагор: d 2 \u003d a 2 + b 2, където a и b са страните на фигурата и d е диагоналът.
Ако никоя страна не е известна, тогава знанието за тригонометрията влиза в игра: синуси, косинуси и други функции.
Намирането на периметъра от описаната окръжност и известния диаметър се свежда до факта, че диаметърът равна на дължинатадиагонали на фигурите. Освен това решението на проблема се определя от наличието на известни количества. Ако са дадени ъгли, то чрез тригонометрични функции. Ако е дадена страна, отговорът ще бъде намерен чрез Питагоровата теорема.
Правоъгълник и тригонометрични функции
За по-голяма яснота е даден пример за решаване на проблема. Даден е: правоъгълник ABCD; дължина по диагонал ( д) 20 см; инжекция е- 30°. Намерете периметъра на фигурата.
От тригонометрията трябва да запомните следното: синусът на ъгъла в правоъгълен триъгълникравно на отношението на противоположния катет към хипотенузата. Синусът от 30 ° (има таблици, по които можете да определите стойностите на тригонометричните функции за правилните ъгли) е 1/2. Оказва се 1/2 \u003d по отношение на д. Неизвестната стойност в ще бъде равна на д/2=20/2=10 см.
За да изчислите периметъра, намерете втората страна на фигурата. Възможно е чрез теоремата на Питагор, тъй като дължините на хипотенузата и един от катетите са известни, или отново чрез съотношението на страните за косинуса на ъгъла.
Косинус на ъгъл еизразено като отношение на съседния катет към хипотенузата и е равно на √3/2.
√3/2=н/д, n=(d*√3)/2 или 10*√3. След като извлечем корена от 3, получаваме дължината на страната на триъгълника: 10 * 1,73 = 17,3 cm.
Периметърът е 2(17.3+10)=2*27.3=54.6 cm.
Периметър и съотношение на страните
V училищна програмаима задачи по геометрия, когато дължините на страните на правоъгълник се изразяват чрез тяхното съотношение една към друга. Разглеждането на решението на такъв проблем е представено по-долу.
Известно е, че сборът от дължините на всички страни на правоъгълника, тоест периметърът му, е 84 см. Съотношението на дължината (d) към ширината (w) е 3:2. Намерете страните на фигурата.
Решение: нека дължината е 3x, а ширината 2x, според съотношението от условието на задачата. Формулата за периметъра на правоъгълник с получените данни за дължините на страните ще бъде, както следва: 3x + 3x + 2x + 2x \u003d 84. Освен това, 10x = 84, x = 8,4 см. Заместване на x в израза за дължината и ширината на правоъгълника, можете да намерите желаните стойности. Дължината ще бъде: 3*8.4=25.2см; ширина: 2*8.4=16.8см.
Статията е посветена на решаването на най-често срещаните задачи в училищната програма. И това не са всички начини за намиране на периметъра на квадрат и правоъгълник.
За да изчислите площта и периметъра на квадрат, трябва да разберете концепциите за тези количества. Квадратът е правоъгълник само с четири еднакви страни, които имат ъгъл от 90° между тях. Периметърът е сборът от дължините на всички страни. Площта е произведение на дължината на правоъгълна фигура и нейната ширина.
Площта на квадрат и как да я намерим
Както бе споменато по-горе, квадратът е правоъгълник с 4 равни страни, така че отговорът на въпроса: "как да намерим площта на квадрат" е формулата: S = a * a или S = a 2 където a е страната на квадрата. Въз основа на тази формула страната на квадрат се намира лесно, ако площта е известна. За да направите това, трябва да извлечете квадрата от посочената стойност.
Например, S = 121, следователно, a = √121 = 11. Ако дадената стойност не е в таблицата с квадрати, тогава можете да използвате калкулатора: S = 94, a = √94 = 9,7.
Как да намерим периметъра на квадрат
Периметърът на квадрат се намира по лесна формула: P = 4a, където a е страната на квадрата.
пример:
- страна на квадрата = 5, следователно P = 4*5 = 20
- страна на квадрата = 3, следователно P = 4 * 3 = 12
Но има такива задачи, при които зоната очевидно е посочена, но трябва да намерите периметъра. При решаването са необходими формулите, които са представени по-рано.
Например: как да намерим периметъра на квадрат, ако е известно, че площта е 144?
Стъпки за решение:
- Откриваме дължината на едната страна: a \u003d √144 \u003d 12
- Намерете периметъра: P = 4 * 12 \u003d 48.
Намиране на периметъра на вписан квадрат
Има няколко други начина за намиране на периметъра на квадрат. Помислете за един от тях: намиране на периметъра през радиуса на описаната окръжност. Тук идва новият термин "вписан квадрат" - това е квадрат, чиито върхове лежат върху окръжност.
Алгоритъм за решение:
- тъй като разглеждаме квадрат, формулата може да бъде изразена по следния начин: a 2 + a 2 = (2r) 2 ;
- тогава уравнението трябва да бъде опростено: 2a 2 = 4(r) 2;
- разделете уравнението на 2: (a 2) = 2(r) 2;
- извлечете корена: a = √(2r).
В резултат получаваме последната формула: a (страна на квадрата) = √(2r). 
- Намерената страна на квадрата се умножава по 4, след което се прилага стандартната формула за намиране на периметъра: P = 4√(2r).
задача:
Като се има предвид квадрат, който е вписан в окръжност, радиусът му е 5. Следователно диагоналът на квадрата е 10. Прилагаме теоремата на Питагор: 2(a 2 ) = 10 2 , т.е. 2a 2 = 100. Разделете резултата на две и в резултат: a 2
\u003d 50. Тъй като това не е таблична стойност, използваме калкулатор: a \u003d √50 \u003d 7.07. Умножете по 4: P = 4 * 7,07 \u003d 28,2. Проблема решен! 
Помислете за друг въпрос
Често при проблемите има друго условие: как да се намери площта на квадрат, ако периметърът е известен?
Вече разгледахме всички необходими формули, следователно, за да решим проблеми от този тип, е необходимо умело да ги приложим и да ги свържем заедно. Да преминем направо към добър пример: Площта на квадрат е 25 см 2
намерете периметъра му. 
Стъпки за решение:
- Намерете страната на квадрата: a = √25 = 5.
- Намираме самия периметър: P \u003d 4 * a \u003d 4 * 5 = 20.
Обобщавайки, важно е да припомним, че такива лесни формули са приложими не само в учебни дейности, но също Ежедневието. Децата се научават да намират периметъра и площта на фигурата начално училище. В средните класове се появява нов предмет - геометрия, където питагоровата теорема е в самото начало на обучението. Тези основи на математиката също се проверяват в края на училищата за OGE и Единния държавен изпит, така че е важно да знаете тези формули и да ги прилагате правилно.