Équations du second degré. Discriminant. Solution, exemples.

Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui sont "très égaux...")

Types d'équations quadratiques

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? À quoi cela ressemble-t-il? En terme équation quadratique le mot clé est "carré". Cela signifie que dans l'équation nécessairement il doit y avoir un x au carré. En plus de lui, l'équation peut (ou peut ne pas être !) juste x (à la première puissance) et juste un nombre (Membre gratuit). Et il ne devrait pas y avoir de x à un degré supérieur à deux.

Mathématiquement parlant, une équation quadratique est une équation de la forme :

Ici a, b et c- quelques chiffres. b et c- absolument aucun, mais une- autre chose que zéro. Par exemple:

Ici une =1; b = 3; c = -4

Ici une =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici une =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous voyez l'idée...

Dans ces équations quadratiques à gauche, il y a ensemble complet membres. X au carré avec coefficient une, x à la première puissance avec un coefficient b et terme libre avec.

De telles équations quadratiques sont appelées complet.

Et si b= 0, qu'obtenons-nous ? On a X disparaîtra au premier degré. Cela se produit à partir de la multiplication par zéro.) Il s'avère, par exemple :

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 + 4x = 0

Etc. Et si les deux coefficients, b et c sont égaux à zéro, alors tout est encore plus simple :

2x 2 = 0,

-0,3x 2 = 0

De telles équations, où quelque chose manque, sont appelées équations quadratiques incomplètes. Ce qui est assez logique.) Veuillez noter que le x au carré est présent dans toutes les équations.

Au fait, pourquoi une ne peut pas être zéro ? Et tu remplaces une zéro.) Le X dans le carré disparaîtra de nous ! L'équation devient linéaire. Et cela se décide d'une toute autre manière...

Ce sont tous les principaux types d'équations quadratiques. Complet et incomplet.

Résolution d'équations quadratiques.

Résolution d'équations quadratiques complètes.

Les équations quadratiques sont faciles à résoudre. Selon des formules et des règles claires et simples. À la première étape, il est nécessaire de mettre l'équation donnée sous une forme standard, c'est-à-dire regarder:

Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape.) L'essentiel est de déterminer correctement tous les coefficients, une, b et c.

La formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

Une expression sous le signe racine s'appelle discriminant... Mais à propos de lui - ci-dessous. Comme vous pouvez le voir, pour trouver x, nous utilisons seulement a, b et c. Celles. coefficients de l'équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c dans cette formule et compter. Remplacer avec vos signes ! Par exemple, dans l'équation :

une =1; b = 3; c= -4. On écrit donc :

L'exemple est pratiquement résolu :

C'est la réponse.

Tout est très simple. Et que pensez-vous qu'il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les signes de signification. a, b et c... Plutôt, pas avec leurs signes (où se confondre ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ici, une notation détaillée de la formule avec des nombres spécifiques enregistre. S'il y a des problèmes de calcul, le faire!

Supposons que vous deviez résoudre cet exemple :

Ici une = -6; b = -5; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses la première fois.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire. Et le nombre d'erreurs va fortement diminuer... Nous écrivons donc en détail, avec toutes les parenthèses et tous les signes :

Il semble incroyablement difficile de peindre si soigneusement. Mais il semble seulement être. Essayez-le. Eh bien, ou choisissez. Qu'est-ce qui est mieux, rapide ou correct ? En plus, je vais te faire plaisir. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout peindre avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez les techniques pratiques décrites ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d'inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Mais, souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

L'avez-vous découvert ?) Oui ! Cette équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes.

Ils peuvent également être résolus à l'aide d'une formule générale. Vous avez juste besoin de comprendre correctement à quoi ils sont égaux a, b et c.

L'as-tu compris? Dans le premier exemple a = 1 ; b = -4 ; une c? Il n'est pas du tout là ! Eh bien, oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est tout. Remplacer zéro dans la formule au lieu de c, et nous réussirons. Il en est de même pour le deuxième exemple. Seulement zéro nous avons ici pas Avec, une b !

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus facilement. Sans aucune formule. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire là-bas sur le côté gauche? Vous pouvez mettre le x hors des parenthèses ! Sortons-le.

Et qu'en est-il ? Et le fait que le produit soit égal à zéro si et seulement si l'un des facteurs est égal à zéro ! Ne me croyez pas ? Eh bien, alors pensez à deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça ...
Par conséquent, nous pouvons écrire en toute confiance : x 1 = 0, x 2 = 4.

Tout. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus facile que d'utiliser la formule générale. À propos, je noterai quel X sera le premier et lequel sera le deuxième - c'est absolument indifférent. Il est commode d'écrire dans l'ordre, x 1- ce qui est moins, et x 2- de plus.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On a:

Il reste à extraire la racine de 9, et c'est tout. Il s'avérera :

Aussi deux racines . x 1 = -3, x 2 = 3.

C'est ainsi que toutes les équations quadratiques incomplètes sont résolues. Soit en plaçant le x entre parenthèses, soit en déplaçant simplement le nombre vers la droite puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine du x, ce qui est quelque peu incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à mettre entre parenthèses...

Discriminant. Formule discriminante.

mot magique discriminant ! Un rare lycéen n'a pas entendu ce mot ! L'expression « décider par le discriminant » est rassurante et rassurante. Parce qu'il n'y a pas besoin d'attendre les sales coups du discriminant ! C'est simple et sans problème à utiliser.) Je rappelle la formule la plus générale pour résoudre quelconqueéquations du second degré:

L'expression sous le signe racine est appelée le discriminant. Habituellement, le discriminant est désigné par la lettre ré... Formule discriminante :

D = b 2 - 4ac

Et qu'y a-t-il de si remarquable dans cette expression ? Pourquoi méritait-il un nom spécial ? Quoi le sens du discriminant ? Après tout -b, ou 2a dans cette formule ils ne nomment pas spécifiquement... Des lettres et des lettres.

Voici la chose. Lors de la résolution d'une équation quadratique à l'aide de cette formule, il est possible seulement trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que vous pouvez en extraire la racine. La bonne racine est extraite, ou la mauvaise - une autre question. Il est important ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est zéro. Ensuite, vous avez une solution. Puisque l'addition-soustraction de zéro au numérateur ne change rien. À proprement parler, ce n'est pas une racine, mais deux identiques... Mais, dans une version simplifiée, il est d'usage de parler de une solution.

3. Le discriminant est négatif. Aucune racine carrée n'est tirée d'un nombre négatif. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Honnêtement, avec une solution simple d'équations quadratiques, le concept de discriminant n'est pas particulièrement requis. Nous substituons les valeurs des coefficients dans la formule, mais nous comptons. Tout se passe tout seul, et il y a deux racines, et une, et pas une. Cependant, lors de la résolution de tâches plus complexes, sans connaissance sens et formules discriminantes pas assez. Surtout - dans les équations avec paramètres. De telles équations sont la voltige à l'examen d'État et à l'examen d'État unifié !)

Alors, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont vous vous souvenez. Ou avoir appris, ce qui est bien aussi.) Vous savez identifier correctement a, b et c... Tu sais comment avec attention les remplacer dans la formule racine et avec attention lire le résultat. Vous avez l'idée que le mot clé ici est avec attention?

Pour l'instant, prenez note des meilleures pratiques qui réduiront considérablement les erreurs. Ceux-là mêmes qui sont dus à l'inattention. ... Pour qui alors ça fait mal et insulte ...

Première réception ... Ne soyez pas paresseux pour l'amener à la forme standard avant de résoudre l'équation quadratique. Qu'est-ce que ça veut dire?
Disons qu'après quelques transformations, vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous allez presque certainement mélanger les chances. a, b et c. Construisez l'exemple correctement. Tout d'abord, le X est au carré, puis sans le carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore, ne vous précipitez pas ! Le moins devant le x dans le carré peut vous rendre vraiment triste. C'est facile de l'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Vous devez multiplier toute l'équation par -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et compléter l'exemple. Fais le toi-même. Vous devriez avoir les racines 2 et -1.

Réception en second. Vérifiez les racines! Par le théorème de Vieta. Ne vous inquiétez pas, je vais tout vous expliquer ! Vérification dernière chose l'équation. Celles. celui par lequel nous avons écrit la formule pour les racines. Si (comme dans cet exemple) le coefficient a = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Vous devriez obtenir un membre gratuit, c'est-à-dire dans notre cas, -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec mon signe ... Si cela n'a pas fonctionné, c'est que c'est déjà foutu quelque part. Recherchez l'erreur.

Si cela fonctionne, vous devez plier les racines. Le dernier et dernier contrôle. Vous devriez obtenir un coefficient b Avec opposé familier. Dans notre cas, -1 + 2 = +1. Et le coefficient b qui est avant le x est -1. Alors, tout est correct !
C'est dommage que ce ne soit si simple que pour les exemples où le x au carré est pur, avec un coefficient a = 1. Mais au moins dans de telles équations, vérifiez ! Il y aura moins d'erreurs.

Troisième réception ... Si vous avez des coefficients fractionnaires dans votre équation, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par le dénominateur commun comme décrit dans la leçon Comment résoudre des équations ? Transformations identiques. Lorsque vous travaillez avec des fractions, pour une raison quelconque, des erreurs ont tendance à apparaître ...

Au fait, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. Je vous en prie! C'est ici.

Afin de ne pas se tromper dans les moins, nous multiplions l'équation par -1. On a:

C'est tout! C'est un plaisir de décider!

Donc, pour résumer le sujet.

Conseils pratiques :

1. Avant de résoudre, nous apportons l'équation quadratique à la forme standard, construisons-la à droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant le x dans le carré, nous l'éliminons en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, nous éliminons les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur approprié.

4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par le théorème de Vieta. Fais le!

Maintenant, vous pouvez décider.)

Résoudre des équations :

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Réponses (dans le désarroi) :

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - n'importe quel nombre

x 1 = -3
x 2 = 3

pas de solution

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Est-ce que tout s'emboîte ? Amende! Les équations quadratiques ne sont pas votre casse-tête. Les trois premiers ont fonctionné, mais pas les autres ? Alors le problème n'est pas avec les équations quadratiques. Le problème réside dans les transformations identiques des équations. Faites un tour sur le lien, c'est utile.

Vous ne vous entraînez pas tout à fait ? Ou ça ne marche pas du tout ? Ensuite, la section 555 vous aidera. Là, tous ces exemples sont triés en morceaux. Montré le principal erreurs dans la solution. Bien sûr, il parle également de l'utilisation de transformations identiques dans la solution de diverses équations. Aide beaucoup !

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et connaître votre niveau. Tests de validation instantanés. Apprendre - avec intérêt !)

vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Avec ce programme de mathématiques, vous pouvez résoudre une équation quadratique.

Le programme donne non seulement une réponse au problème, mais affiche également le processus de solution de deux manières :
- en utilisant le discriminant
- en utilisant le théorème de Vieta (si possible).

De plus, la réponse est affichée précise, pas approximative.
Par exemple, pour l'équation \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), la réponse s'affiche sous cette forme :

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ et pas comme ça : \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0.05 \)

Ce programme peut être utile aux élèves de terminale des écoles secondaires en préparation aux tests et aux examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen, aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être est-ce trop cher pour vous d'engager un tuteur ou d'acheter de nouveaux manuels ? Ou voulez-vous simplement faire vos devoirs de mathématiques ou d'algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec une solution détaillée.

De cette façon, vous pouvez mener votre propre enseignement et/ou l'enseignement de vos plus jeunes frères et sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.

Si vous ne connaissez pas les règles de saisie d'un polynôme carré, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme carré

N'importe quelle lettre latine peut être utilisée comme variable.
Par exemple : \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.
De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous la forme d'un nombre décimal, mais également sous la forme d'une fraction ordinaire.

Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire du tout peut être séparée par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir des fractions décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x ^ 2

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un entier peut être utilisé comme numérateur, dénominateur et partie entière d'une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
La partie entière est séparée de la fraction par une esperluette : &
Entrée : 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Résultat : \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Lors de la saisie d'une expression les parenthèses peuvent être utilisées... Dans ce cas, lors de la résolution d'une équation quadratique, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2 (a-1) (a + 1) - (5a-10 & 1/2)

=0

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Un peu de théorie.

Équation quadratique et ses racines. Équations quadratiques incomplètes

Chacune des équations
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
a la forme
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
où x est une variable, a, b et c sont des nombres.
Dans la première équation a = -1, b = 6 et c = 1,4, dans la seconde a = 8, b = -7 et c = 0, dans la troisième a = 1, b = 0 et c = 4/9. De telles équations sont appelées équations du second degré.

Définition.
Équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres, et \ (a \ neq 0 \).

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique. Le nombre a est appelé le premier coefficient, le nombre b - le deuxième coefficient et le nombre c - le terme libre.

Dans chacune des équations de la forme ax 2 + bx + c = 0, où \ (a \ neq 0 \), la plus grande puissance de la variable x est le carré. D'où le nom : équation quadratique.

Notez qu'une équation quadratique est aussi appelée équation du second degré, puisque son côté gauche est un polynôme du second degré.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient en x 2 est 1 est appelée équation quadratique réduite... Par exemple, les équations quadratiques réduites sont les équations
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Si dans l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0 au moins un des coefficients b ou c est égal à zéro, alors une telle équation est appelée équation quadratique incomplète... Ainsi, les équations -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 sont des équations quadratiques incomplètes. Dans le premier b = 0, dans le second c = 0, dans le troisième b = 0 et c = 0.

Les équations quadratiques incomplètes sont de trois types :
1) ax 2 + c = 0, où \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, où \ (b \ neq 0 \);
3) axe 2 = 0.

Considérons la solution des équations de chacun de ces types.

Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 pour \ (c \ neq 0 \), transférez son terme libre au membre de droite et divisez les deux membres de l'équation par a :
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Puisque \ (c \ neq 0 \), alors \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Si \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), alors l'équation a deux racines.

Si \ (- \ frac (c) (a) Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + bx = 0 avec \ (b \ neq 0 \) factoriser son côté gauche et obtenir l'équation
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)

Cela signifie qu'une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + bx = 0 pour \ (b \ neq 0 \) a toujours deux racines.

Une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 = 0 est équivalente à l'équation x 2 = 0 et a donc une unique racine 0.

La formule pour les racines d'une équation quadratique

Considérons maintenant comment sont résolues les équations quadratiques dans lesquelles les coefficients des inconnues et du terme libre sont non nuls.

Résolvons l'équation quadratique sous sa forme générale et nous obtenons ainsi la formule des racines. Ensuite, cette formule peut être appliquée pour résoudre n'importe quelle équation quadratique.

Résoudre l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0

En divisant ses deux parties par a, on obtient l'équation quadratique réduite équivalente
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

On transforme cette équation en sélectionnant le carré du binôme :
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ gauche (\ frac (b) (2a) \ droite) ^ 2- \ gauche (\ frac (b) (2a) \ droite) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Flèche droite \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ gauche (\ frac (b) (2a) \ droite) ^ 2 = \ gauche (\ frac (b) (2a) \ droite) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Rightarrow \) \ (\ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Rightarrow \ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Rightarrow \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Rightarrow x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Rightarrow \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

L'expression radicale s'appelle le discriminant de l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0 (le latin "discriminant" est un discriminateur). Il est désigné par la lettre D, c'est-à-dire
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Maintenant, en utilisant la notation du discriminant, nous réécrivons la formule pour les racines de l'équation quadratique :
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), où \ (D = b ^ 2-4ac \)

Il est évident que:
1) Si D> 0, alors l'équation quadratique a deux racines.
2) Si D = 0, alors l'équation quadratique a une racine \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Si D Ainsi, selon la valeur du discriminant, l'équation quadratique peut avoir deux racines (pour D > 0), une racine (pour D = 0) ou ne pas avoir de racines (pour D Lors de la résolution d'une équation quadratique avec cette formule, il est conseillé de procéder de la manière suivante :
1) calculer le discriminant et le comparer à zéro ;
2) si le discriminant est positif ou égal à zéro, alors utilisez la formule de racine, si le discriminant est négatif, alors notez qu'il n'y a pas de racines.

Le théorème de Vieta

L'équation quadratique donnée ax 2 -7x + 10 = 0 a les racines 2 et 5. La somme des racines est 7, et le produit est 10. On voit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient pris avec le contraire signe, et le produit des racines est égal au terme libre. Toute équation quadratique donnée avec des racines possède cette propriété.

La somme des racines de l'équation quadratique donnée est égale au deuxième coefficient, pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Celles. Le théorème de Vieta stipule que les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0 ont la propriété :
\ (\ left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)

Description bibliographique : Gasanov A.R., Kuramshin A.A., Elkov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. Méthodes de résolution d'équations quadratiques // Jeune scientifique. - 2016. - N°6.1. - S. 17-20..02.2019).



Notre projet est dédié aux moyens de résoudre des équations quadratiques. Objectif du projet : apprendre à résoudre des équations quadratiques d'une manière qui n'est pas incluse dans le programme scolaire. Tâche : trouvez toutes les façons possibles de résoudre des équations quadratiques et apprenez à les utiliser vous-même et présentez ces méthodes à vos camarades de classe.

Que sont les « équations quadratiques » ?

Équation quadratique- une équation de la forme hache2 + bx + c = 0, où une, b, c- quelques chiffres ( un 0), X- l'inconnu.

Les nombres a, b, c sont appelés les coefficients de l'équation quadratique.

• a est appelé le premier coefficient ;
• b est appelé le deuxième coefficient ;
• c - membre gratuit.

Qui a été le premier à « inventer » des équations quadratiques ?

Certaines techniques algébriques pour résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4000 ans dans l'ancienne Babylone. D'anciennes tablettes d'argile babyloniennes, datées entre 1800 et 1600 av. J.-C., sont les premières preuves de l'étude des équations quadratiques. Les méthodes de résolution de certains types d'équations quadratiques sont présentées sur les mêmes tablettes.

La nécessité de résoudre les équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche de zones de terres et de terrassements à caractère militaire, ainsi qu'au développement de l'astronomie et mathématiques elles-mêmes.

La règle pour résoudre ces équations, énoncée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens en sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne posent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans instructions sur la manière dont elles ont été trouvées. Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept d'un nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

Mathématiciens babyloniens du IVe siècle av. utilisé la méthode du complément du carré pour résoudre des équations à racines positives. Vers 300 av. Euclide a proposé une méthode de résolution géométrique plus générale. Le premier mathématicien à trouver des solutions à une équation avec des racines négatives sous la forme d'une formule algébrique était un scientifique indien Brahmagupta(Inde, VIIe siècle après JC).

Brahmagupta a exposé la règle générale de résolution des équations du second degré, réduite à une seule forme canonique :

ax2 + bx = c, a> 0

Dans cette équation, les coefficients peuvent être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

En Inde, la concurrence publique pour des problèmes difficiles était courante. L'un des anciens livres indiens dit à propos de telles compétitions : "Comme le soleil éclipse les étoiles avec son éclat, ainsi l'homme érudit éclipsera la gloire dans les assemblées populaires, proposant et résolvant des problèmes algébriques." Les tâches étaient souvent revêtues d'une forme poétique.

Dans un traité algébrique Al-Khwarizmi la classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations qu'il exprime ainsi :

1) "Les carrés sont égaux aux racines", c'est-à-dire ax2 = bx.

2) "Les carrés sont égaux au nombre", c'est-à-dire ax2 = c.

3) "Les racines sont égales au nombre", c'est-à-dire ax2 = c.

4) "Les carrés et les nombres sont égaux aux racines", c'est-à-dire ax2 + c = bx.

5) "Les carrés et les racines sont égaux au nombre", c'est-à-dire ax2 + bx = c.

6) "Les racines et les nombres sont égaux à des carrés", c'est-à-dire bx + c == ax2.

Pour Al-Khwarizmi, qui a évité l'utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustractions. Dans ce cas, les équations qui n'ont pas de solutions positives ne sont certainement pas prises en compte. L'auteur expose les moyens de résoudre ces équations, en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-muqabal. Sa décision, bien sûr, ne coïncide pas complètement avec la nôtre. Sans parler du fait qu'elle est purement rhétorique, il convient de noter, par exemple, que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type, Al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens jusqu'au 17ème siècle, ne prend pas en compte le zéro solution, probablement parce que dans des tâches pratiques spécifiques, cela n'a pas d'importance. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, Al-Khwarizmi, à l'aide d'exemples numériques particuliers, énonce les règles de résolution, puis leurs preuves géométriques.

Les formes de résolution d'équations quadratiques sur le modèle d'Al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le "Livre de l'Abacus", écrit en 1202. mathématicien italien Léonard Fibonacci... L'auteur a développé indépendamment quelques nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs.

Ce livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreuses tâches de ce livre ont été transférées à presque tous les manuels européens des XIV-XVII siècles. La règle générale pour résoudre les équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x2 + bх = c avec toutes les combinaisons possibles de signes et de coefficients b, c a été formulée en Europe en 1544. M. Shtifel.

Vieta a une dérivation générale de la formule pour résoudre une équation quadratique, mais Viet n'a reconnu que les racines positives. mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli parmi les premiers au XVIe siècle. prendre en compte, en plus des racines positives et négatives. Seulement au 17ème siècle. grâce aux travaux Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

Considérons plusieurs façons de résoudre des équations quadratiques.

Méthodes standard pour résoudre les équations quadratiques du programme scolaire :

1. Factorisation du côté gauche de l'équation.
2. Méthode de sélection des carrés complets.
3. Résoudre des équations du second degré à l'aide de la formule.
4. Solution graphique d'une équation quadratique.
5. Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

Arrêtons-nous plus en détail sur la solution des équations quadratiques réduites et non réduites par le théorème de Vieta.

Rappelons que pour résoudre les équations quadratiques données, il suffit de trouver deux nombres tels que le produit soit égal au terme libre, et la somme soit au deuxième coefficient de signe opposé.

Exemple.X 2 -5x + 6 = 0

Vous devez trouver les nombres dont le produit est 6 et la somme 5. Ces nombres seront 3 et 2.

Réponse : x 1 = 2, x 2 =3.

Mais vous pouvez utiliser cette méthode pour les équations dont le premier coefficient n'est pas égal à un.

Exemple.3x 2 + 2x-5 = 0

On prend le premier coefficient et on le multiplie par le terme libre : x 2 + 2x-15 = 0

Les racines de cette équation seront les nombres dont le produit est - 15 et la somme est - 2. Ces nombres sont 5 et 3. Pour trouver les racines de l'équation d'origine, les racines résultantes sont divisées par le premier coefficient .

Réponse : x 1 = -5 / 3, x 2 =1

6. Résolution d'équations par la méthode du "transfert".

Considérons l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, où a ≠ 0.

En multipliant les deux membres par a, nous obtenons l'équation a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Soit ax = y, d'où x = y / a ; alors nous arrivons à l'équation y 2 + par + ac = 0, qui est équivalente à celle donnée. On trouve ses racines en 1 et en 2 en utilisant le théorème de Vieta.

Enfin, on obtient x 1 = y 1 / a et x 2 = y 2 / a.

Avec cette méthode, le coefficient a est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était "jeté", c'est pourquoi on l'appelle la méthode "lancer". Cette méthode est utilisée lorsque vous pouvez facilement trouver les racines de l'équation en utilisant le théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Exemple.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Jetons le coefficient 2 au terme libre et en faisant la substitution, nous obtenons l'équation y 2 - 11y + 30 = 0.

D'après le théorème inverse de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 ; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Réponse : x 1 = 2,5 ; X 2 = 3.

7. Propriétés des coefficients de l'équation quadratique.

Soit une équation quadratique ax 2 + bx + c = 0, et 0.

1. Si a + b + c = 0 (c'est-à-dire que la somme des coefficients de l'équation est égale à zéro), alors x 1 = 1.

2. Si a - b + c = 0, ou b = a + c, alors x 1 = - 1.

Exemple.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Puisque a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), alors x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Réponse : x 1 = 1 ; X 2 = -208/345 .

Exemple.132x 2 + 247x + 115 = 0

Parce que a-b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), alors x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Réponse : x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Il existe d'autres propriétés des coefficients d'une équation quadratique. mais leur utilisation est plus compliquée.

8. Résoudre des équations quadratiques à l'aide d'un nomogramme.

Fig 1. Nomogramme

Il s'agit d'une méthode ancienne et actuellement oubliée de résolution des équations du second degré, placée à la p.83 de la collection : Bradis V.M. Tables mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.

Tableau XXII. Nomogramme pour résoudre l'équation z 2 + pz + q = 0... Ce nomogramme permet, sans résoudre l'équation quadratique, par ses coefficients de déterminer les racines de l'équation.

L'échelle curviligne du nomogramme est construite selon les formules (Fig. 1) :

En supposant OC = p, ED = q, OE = a(tout en cm), de la Fig. 1 similitude des triangles SAN et CDF on obtient la proportion

d'où, après substitutions et simplifications, l'équation suit z 2 + pz + q = 0, et la lettre z désigne la marque de n'importe quel point de l'échelle courbe.

Riz. 2 Résoudre des équations du second degré à l'aide d'un nomogramme

Exemples.

1) Pour l'équation z 2 - 9z + 8 = 0 le nomogramme donne les racines z 1 = 8,0 et z 2 = 1,0

Réponse : 8,0 ; 1.0.

2) Résoudre l'équation à l'aide du nomogramme

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divisez les coefficients de cette équation par 2, nous obtenons l'équation z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Le nomogramme donne les racines z 1 = 4 et z 2 = 0,5.

Réponse : 4 ; 0,5.

9. Méthode géométrique pour résoudre les équations quadratiques.

Exemple.X 2 + 10x = 39.

Dans l'original, ce problème est formulé comme suit : « Les racines carrées et dix sont égales à 39 ».

Considérons un carré de côté x, des rectangles sont construits sur ses côtés de sorte que l'autre côté de chacun d'eux soit 2,5, par conséquent, l'aire de chacun est 2,5x. Le chiffre résultant est ensuite complété par un nouveau carré ABCD, complétant quatre carrés égaux dans les coins, le côté de chacun d'eux est de 2,5 et l'aire est de 6,25

Riz. 3 Manière graphique de résoudre l'équation x 2 + 10x = 39

L'aire S du carré ABCD peut être représentée comme la somme des aires : le carré initial x 2, quatre rectangles (4 2,5x = 10x) et quatre carrés attachés (6,25 ∙ 4 = 25), c'est-à-dire S = x 2 + 10x = 25. En remplaçant x 2 + 10x par 39, on obtient S = 39 + 25 = 64, d'où il suit que le côté du carré est ABCD, c'est-à-dire segment AB = 8. Pour le côté x désiré du carré d'origine, on obtient

10. Résolution d'équations à l'aide du théorème de Bezout.

Le théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme P (x) par le binôme x - est égal à P (α) (c'est-à-dire la valeur de P (x) à x = α).

Si le nombre α est une racine du polynôme P (x), alors ce polynôme est divisible par x -α sans reste.

Exemple.x²-4x + 3 = 0

P (x) = x²-4x + 3, : ± 1, ± 3, = 1, 1-4 + 3 = 0. Diviser P (x) par (x-1) :( x²-4x + 3) / (x-1) = x-3

x²-4x + 3 = (x-1) (x-3), (x-1) (x-3) = 0

x-1 = 0 ; x = 1, ou x-3 = 0, x = 3 ; Réponse : x1 = 2, x2 =3.

Conclusion: La capacité à résoudre rapidement et rationnellement des équations quadratiques est simplement nécessaire pour résoudre des équations plus complexes, par exemple, des équations rationnelles fractionnaires, des équations de degrés supérieurs, des équations biquadratiques et au lycée, des équations trigonométriques, exponentielles et logarithmiques. Après avoir étudié toutes les manières trouvées de résoudre les équations du second degré, nous pouvons conseiller aux camarades de classe, en plus des méthodes standards, de résoudre par la méthode de transfert (6) et de résoudre les équations par la propriété des coefficients (7), car elles sont plus accessibles pour compréhension.

Littérature:

1. Bradis V.M. Tables mathématiques à quatre chiffres. - M., Éducation, 1990.
2. Algèbre 8e année : manuel pour 8e année. enseignement général. institutions Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorov S. B. ed. S.A. Telyakovsky 15e éd., Rév. - M. : Éducation, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 % B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5
4. Vitrier G.I. Histoire des mathématiques à l'école. Un guide pour les enseignants. / Éd. V.N. Plus jeune. - M. : Éducation, 1964.

Tutoriel vidéo 2 : Résolution d'équations du second degré

Conférence: Équations du second degré

L'équation

L'équation- c'est une sorte d'égalité, dans les expressions de laquelle il y a une variable.

Résous l'équation- signifie trouver un tel nombre au lieu d'une variable qui le mettra dans l'égalité correcte.

Une équation peut avoir une solution, plusieurs solutions ou aucune solution du tout.

Pour résoudre une équation, il faut la simplifier autant que possible sous la forme :

Linéaire: a * x = b;

Carré: a * x 2 + b * x + c = 0.

C'est-à-dire que toute équation doit être convertie en une forme standard avant d'être résolue.

Toute équation peut être résolue de deux manières : analytique et graphique.

Sur le graphique, la solution de l'équation est considérée comme les points auxquels le graphique coupe l'axe OX.

Équations du second degré

Une équation peut être dite carrée si, simplifiée, elle prend la forme :

a * x 2 + b * x + c = 0.

Où a, b, c sont les coefficients de l'équation qui diffèrent de zéro. UNE "X"- racine de l'équation. On pense qu'une équation quadratique a deux racines ou peut ne pas avoir de solution du tout. Les racines résultantes peuvent être les mêmes.

"une" est le coefficient devant la racine carrée.

"b"- se tient devant l'inconnu au premier degré.

"Avec" est le terme libre de l'équation.

Si, par exemple, on a une équation de la forme :

2x 2 -5x + 3 = 0

Dans celui-ci, "2" est le coefficient du terme le plus élevé de l'équation, "-5" est le deuxième coefficient et "3" est le terme libre.

Résoudre une équation quadratique

Il existe de nombreuses façons de résoudre une équation quadratique. Cependant, dans le cours de mathématiques à l'école, la solution est étudiée selon le théorème de Vieta, ainsi qu'en utilisant le discriminant.

Solution discriminante :

Lors de la résolution à l'aide de cette méthode, il est nécessaire de calculer le discriminant par la formule :

Si lors des calculs vous obtenez que le discriminant est inférieur à zéro, cela signifie que cette équation n'a pas de solutions.

Si le discriminant est nul, alors l'équation a deux solutions identiques. Dans ce cas, le polynôme peut être réduit par la formule de multiplication abrégée au carré de la somme ou de la différence. Ensuite, résolvez-le sous la forme d'une équation linéaire. Ou utilisez la formule :

Si le discriminant est supérieur à zéro, alors vous devez utiliser la méthode suivante :

Le théorème de Vieta

Si l'équation est réduite, c'est-à-dire que le coefficient du terme principal est égal à un, vous pouvez utiliser Le théorème de Vieta.

Donc, supposons que l'équation est :

Les racines de l'équation se trouvent comme suit :

Équation quadratique incomplète

Il existe plusieurs options pour obtenir une équation quadratique incomplète, dont la forme dépend de la disponibilité des coefficients.

1. Si les deuxième et troisième coefficients sont nuls (b = 0, c = 0), alors l'équation quadratique sera :

Cette équation aura une solution unique. L'égalité ne sera vraie que s'il y a zéro comme solution à l'équation.

Équations du second degré. Informations générales.

V quadratique doit être présent x dans le carré (c'est pourquoi on l'appelle

"Carré"). En plus de lui, l'équation peut être ou non seulement x (au premier degré) et

juste un nombre (Membre gratuit). Et il ne devrait pas y avoir de x à un degré supérieur à deux.

Équation algébrique générale.

où X- variable libre, une, b, c- des coefficients, et une≠0 .

par exemple:

Expression sont appelés trinôme carré.

Les éléments de l'équation quadratique ont leurs propres noms :

Appelé le premier ou le plus élevé coefficient,

Appelé le second ou coefficient à,

· Appelé un membre gratuit.

Équation quadratique complète.

Ces équations quadratiques ont un ensemble complet de termes sur la gauche. X au carré avec

coefficient une, x à la première puissance avec un coefficient b et gratuit membreAvec. V toutes les chances

doit être différent de zéro.

Incomplet est appelée une équation quadratique dans laquelle au moins un des coefficients, à l'exception

le plus élevé (soit le deuxième coefficient, soit le terme libre) est égal à zéro.

Faisons comme si b= 0, - x disparaît au premier degré. Il s'avère par exemple :

2x 2 -6x = 0,

Etc. Et si les deux coefficients, b et c sont égaux à zéro, alors tout est encore plus simple, Par example:

2x 2 = 0,

Notez que le x au carré est présent dans toutes les équations.

Pourquoi une ne peut pas être zéro ? Ensuite, le x au carré disparaît et l'équation devient linéaire .

Et cela se décide d'une toute autre manière...