Evénements dépendants et indépendants. Produit d'événements. Le concept de probabilité conditionnelle. Théorème de multiplication de probabilité (avec preuve).

Probabilité totale et formules de Bayes (avec preuve). Exemples.

Tests indépendants répétés. Formule de Bernoulli (avec conclusion). Exemples.

Théorème local de Moivre-Laplace, conditions de son applicabilité. Propriétés de la fonction Dx). Exemple.

Formule de Poisson asymptotique et conditions d'applicabilité. Exemple.

Le théorème intégral de Moivre-Laplace et les conditions de son applicabilité. Fonction de Laplace (x) et ses propriétés. Exemple.

Conséquences du théorème intégral de Moivre-Laplace (avec une dérivation). Exemples.

Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète et de ses propriétés (avec sortie). Exemples.

Dispersion d'une variable aléatoire discrète et de ses propriétés (avec sortie). Exemples.

Fonction de distribution d'une variable aléatoire, sa définition, ses propriétés et son graphe.

Variable aléatoire continue (nouveau). La probabilité d'une seule valeur nsv. Espérance mathématique et variance de nsv.

Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue, sa définition, ses propriétés et son graphique.

Variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale, son espérance mathématique et sa variance. Loi de distribution de Poisson.

L'espérance mathématique et la variance du nombre et de la fréquence des occurrences d'un événement dans n tests indépendants répétés (avec inférence).

Détermination de la loi de distribution normale. La signification théorique et probabiliste de ses paramètres. Courbe normale et dépendance de sa position et de sa forme aux paramètres.

Fonction de distribution d'une variable aléatoire normalement distribuée et son expression en fonction de la fonction de Laplace.

Formules pour déterminer la probabilité : a) d'atteindre une variable aléatoire normalement distribuée dans un intervalle donné ; b) son écart par rapport à l'espérance mathématique. La règle des trois sigma.

Le concept de variable aléatoire à deux dimensions (/7 dimensions). Exemples. Son tableau de distribution. Distributions unidimensionnelles de ses constituants. Distributions conditionnelles et leur constatation selon le tableau de distribution.

Covariance et coefficient de corrélation des variables aléatoires. La relation entre la corrélation et l'indépendance des variables aléatoires.

Le concept d'une loi de distribution normale à deux dimensions. Attentes et écarts mathématiques conditionnels.

Inégalité de Markov (lemme de Chebyshev) (avec une conclusion). Un exemple.

L'inégalité de Chebyshev (avec une conclusion) et ses cas particuliers pour une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale et pour la fréquence d'un événement.

Le théorème de Chebyshev (avec preuve), sa signification et son corollaire. Exemple.

La loi des grands nombres. Le théorème de Bernoulli (avec preuve) et sa signification. Exemple.

Inégalité de Chebyshev pour la moyenne arithmétique des variables aléatoires (avec sortie).

Théorème central limite. Le concept du théorème de Lyapunov et sa signification. Exemple.

Série variationnelle, ses variétés. Moyenne arithmétique et variance de la série. Une façon simplifiée de les calculer.

Le concept d'évaluation des paramètres de la population générale. Propriétés d'évaluation : impartialité, cohérence, efficacité.

Estimation de la part générale sur la base de l'échantillon aléatoire réel. Impartialité et cohérence de la part de l'échantillon.

Estimation de la moyenne générale sur la base de l'échantillon aléatoire réel. Non biais et cohérence de la moyenne de l'échantillon.

Estimation de la variance générale à partir d'un échantillon aléatoire lui-même. Biais et cohérence de la variance de l'échantillon (pas d'inférence). Écart d'échantillon corrigé.

Le concept de classement par intervalles. Probabilité de confiance et intervalle de confiance. Erreur d'échantillonnage marginale. Erreurs de représentativité des échantillons (aléatoires et systématiques).

Formule de confiance pour estimer la moyenne générale. L'erreur quadratique moyenne de l'échantillonnage répété et non répété et la construction de l'intervalle de confiance pour la moyenne générale.

Détermination du volume requis d'échantillons répétés et non répétés lors de l'évaluation de la moyenne générale et de la proportion.

Hypothèse statistique et test statistique. Erreurs du 1er et du 2e genre. Niveau de signification et puissance du test. Le principe de la confiance pratique.

Construction d'une loi de distribution théorique à partir de données expérimentales. Le concept de critères de consentement.

Critère d'adéquation X2-Pearson et schéma de son application.

Dépendance fonctionnelle, statistique et de corrélation. Différences entre eux. Les principales tâches de la théorie de la corrélation.

Régression par paire linéaire. Le système d'équations normales pour déterminer les paramètres des droites de régression. Exemple de covariance. Formules de calcul des coefficients de régression.

Manière simplifiée :

Évaluation de l'étanchéité de la communication. Coefficient de corrélation (échantillon), ses propriétés et évaluation de la fiabilité.

1. Le concept d'évaluation des paramètres de la population générale. Propriétés d'évaluation : impartialité, cohérence, efficacité.

Formulons le problème d'estimation des paramètres sous une forme générale ... Soit la distribution de l'entité X - la population générale - donnée par la fonction verte (pour le SV X discret) ou la densité verte
(pour le SV X continu), qui contient le paramètre inconnu ... Par exemple, il s'agit du paramètre dans la distribution de Poisson ou des paramètres a et
pour la loi de distribution normale, etc.

Pour calculer le paramètre il n'est pas possible d'étudier tous les éléments de la population générale. Par conséquent, à propos du paramètre essayez de juger par un échantillon composé de valeurs (options)
... Ces valeurs peuvent être considérées comme des valeurs particulières (réalisations) de n variables aléatoires indépendantes
dont chacun a la même loi de distribution que le SV X lui-même.

Définition ... Évaluation paramètre appeler n'importe quelle fonction des résultats des observations sur le SV X (en d'autres termes - statistiques), à l'aide de laquelle ils jugent la valeur du paramètre :

.

Dans la mesure où
sont des variables aléatoires, alors l'estimation (contrairement au paramètre estimé - non aléatoire, déterministe) est une variable aléatoire dépendant de la loi de distribution de RV X et du nombre n.

La qualité de l'évaluation ne doit pas être jugée par ses valeurs individuelles, mais uniquement par la répartition de ses valeurs dans un vaste réseau de tests, c'est-à-dire par la distribution de l'échantillon de l'estimation.

Si les valeurs d'évaluation se concentrer autour de la vraie valeur du paramètre , c'est à dire. la majeure partie de la masse de la distribution d'échantillon de l'estimation est concentrée dans un petit voisinage du paramètre en cours d'estimation , alors avec une probabilité élevée, nous pouvons supposer que l'estimation diffère du paramètre que d'une petite quantité. Par conséquent, pour rendre la valeur était proche de , il faut, évidemment, exiger que la diffusion de la variable aléatoire relativement , exprimée, par exemple, par l'espérance du carré de l'écart de l'estimation par rapport au paramètre estimé
, était aussi petit que possible. C'est la condition principale que doit remplir la « meilleure » estimation.

Propriétés d'évaluation.

Définition ... Classe paramètre appelé impartial si son espérance est égale au paramètre estimé, c'est-à-dire
.

sinon l'estimation s'appelle déplacé.

Si cette égalité n'est pas satisfaite, alors l'estimation obtenus à partir de différents échantillons vont, en moyenne, ou surestimer la valeur (si
, ou le sous-estimer (si
). L'exigence d'impartialité garantit l'absence d'erreurs d'estimation systématiques.

Si pour un échantillon fini n
, c'est à dire. estimation du biais
, mais
, alors une telle estimation appelé asymptotiquement impartial.

Définition ... Classe paramètre appelé riche s'il satisfait à la loi des grands nombres, c'est-à-dire converge en vert vers le paramètre estimé :

, ou .

En cas d'utilisation d'estimations cohérentes, une augmentation de la taille de l'échantillon est justifiée, car cela rend improbable des erreurs significatives dans l'estimation. Par conséquent, seules des évaluations cohérentes ont une signification pratique. Si l'estimation est cohérente, alors il est pratiquement certain que pour un n suffisamment grand
.

Si le score paramètre est sans biais et sa variance
comme n → ∞, alors l'estimation est aussi riche. Cela découle directement de l'inégalité de Chebyshev :

.

Définition ... Estimation impartiale le paramètre est appelé efficace s'il a la plus petite variance parmi toutes les estimations sans biais possibles du paramètre calculé à partir d'échantillons de même taille n.

Parce que pour une estimation impartiale
il y a sa variance , alors eff est propriété décisive déterminer la qualité de l'évaluation.

L'efficacité de l'évaluation est déterminée par la relation : .

où et - le rapport de la variance de l'effectif et des estimations données. Plus e est proche de 1, plus le score est efficace. Si е → 1 comme n → ∞, alors une telle estimation est dite asymptotiquement efficace.

"

Pour que les estimations statistiques donnent une bonne approximation des paramètres estimés, elles doivent être sans biais, efficaces et cohérentes.

Impartial est l'estimation statistique du paramètre , dont l'espérance mathématique est égale au paramètre estimé pour toute taille d'échantillon.

Déplacé appelé une estimation statistique
paramètre , dont l'espérance mathématique n'est pas égale au paramètre estimé.

Efficace appelé une estimation statistique
paramètre , qui pour une taille d'échantillon donnée a la plus petite variance.

Riche appelé une estimation statistique
paramètre qui à
tend en probabilité vers le paramètre estimé.

c'est-à-dire pour tout

.

Pour des échantillons de tailles différentes, différentes valeurs de la moyenne arithmétique et de la variance statistique sont obtenues. Par conséquent, la moyenne arithmétique et la variance statistique sont des variables aléatoires pour lesquelles il existe une espérance et une variance mathématiques.

Calculons l'espérance mathématique de la moyenne arithmétique et de la variance. Notons par espérance mathématique d'une variable aléatoire

Ici, les éléments suivants sont considérés comme des variables aléatoires : - S.V., dont les valeurs sont égales aux premières valeurs obtenues pour différents échantillons de volume de la population générale,
–SV dont les valeurs sont égales aux secondes valeurs obtenues pour différents échantillons de volume de la population générale, ...,
- S.V., dont les valeurs sont égales -m valeurs obtenues pour différents échantillons de volume de la population générale. Toutes ces variables aléatoires sont distribuées selon la même loi et ont la même espérance mathématique.

De la formule (1), il s'ensuit que la moyenne arithmétique est une estimation non biaisée de l'espérance mathématique, puisque l'espérance mathématique de la moyenne arithmétique est égale à l'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Cette évaluation est également cohérente. L'efficacité de cette estimation dépend du type de distribution de la variable aléatoire
... Si, par exemple,
distribué normalement, l'estimation de l'espérance mathématique à l'aide de la moyenne arithmétique sera efficace.

Trouvons maintenant une estimation statistique de la variance.

L'expression de la variance statistique peut être transformée comme suit

(2)

Trouvons maintenant l'espérance mathématique de la variance statistique

. (3)

Étant donné que
(4)

on obtient de (3) -

On peut voir à partir de la formule (6) que l'espérance mathématique de la variance statistique diffère d'un facteur de la variance, c'est-à-dire est une estimation biaisée de la variance de la population. C'est parce qu'au lieu de la vraie valeur
, qui est inconnue, la moyenne statistique est utilisée pour estimer la variance .

Par conséquent, nous introduisons la variance statistique corrigée

(7)

Alors l'espérance mathématique de la variance statistique corrigée est

celles. la variance statistique corrigée est une estimation non biaisée de la variance de la population. L'estimation obtenue est également cohérente.

) problèmes de statistiques mathématiques.

Supposons qu'il existe une famille paramétrique de distributions de probabilité (pour simplifier, nous considérerons la distribution des variables aléatoires et le cas d'un paramètre). Voici un paramètre numérique dont la valeur est inconnue. Il est nécessaire de l'estimer à l'aide de l'échantillon disponible de valeurs générées par cette distribution.

Il existe deux grands types d'évaluations : estimations ponctuelles et intervalles de confiance.

Estimation ponctuelle

L'estimation ponctuelle est un type d'estimation statistique dans laquelle la valeur d'un paramètre inconnu est approximée par un nombre distinct. C'est-à-dire que vous devez spécifier une fonction de l'échantillon (statistiques)

,

dont la valeur sera considérée comme une approximation de la valeur vraie inconnue.

Les méthodes générales de construction d'estimations ponctuelles de paramètres comprennent : la méthode du maximum de vraisemblance, la méthode des moments, la méthode des quantiles.

Vous trouverez ci-dessous certaines des propriétés que les estimations ponctuelles peuvent avoir ou non.

Cohérence

L'une des exigences les plus évidentes pour une estimation ponctuelle est qu'une approximation raisonnablement bonne de la vraie valeur d'un paramètre peut être attendue pour des tailles d'échantillon suffisamment grandes. Cela signifie que l'estimation doit converger vers la valeur réelle à. Cette propriété de l'évaluation est appelée cohérence... Puisqu'il s'agit de variables aléatoires pour lesquelles il existe différents types de convergence, alors cette propriété peut être précisément formulée de différentes manières :

Quand juste le terme est utilisé cohérence, alors nous entendons généralement une consistance faible, c'est-à-dire convergence en probabilité.

La condition de cohérence est pratiquement obligatoire pour toutes les évaluations utilisées en pratique. Des estimations invalides sont rarement utilisées.

Impartialité et impartialité asymptotique

L'estimation du paramètre est appelée impartial si son espérance mathématique est égale à la vraie valeur du paramètre estimé :

.

Une condition plus faible est impartialité asymptotique, ce qui signifie que l'espérance mathématique de l'estimation converge vers la vraie valeur du paramètre avec une augmentation de la taille de l'échantillon :

.

L'impartialité est la propriété de classement recommandée. Cependant, son importance ne doit pas être surestimée. Le plus souvent, des estimations de paramètres non biaisées existent et ensuite ils essaient de ne les considérer qu'eux. Cependant, il peut y avoir des problèmes statistiques dans lesquels il n'existe pas d'estimations non biaisées. L'exemple le plus connu est le suivant : considérez la distribution de Poisson avec un paramètre et posez le problème d'estimation des paramètres. On peut montrer qu'il n'y a pas d'estimation non biaisée pour ce problème.

Comparaison des cotes et de l'efficacité

Pour comparer différentes estimations du même paramètre entre elles, la méthode suivante est utilisée : certaines fonction de risque, qui mesure l'écart de l'estimation par rapport à la vraie valeur du paramètre, et celui pour lequel cette fonction prend une valeur plus petite est considéré comme le meilleur.

Le plus souvent, l'espérance mathématique du carré de l'écart de l'estimation par rapport à la vraie valeur est considérée comme une fonction de risque

Pour les estimations sans biais, il s'agit simplement de la variance.

Il existe une borne inférieure pour cette fonction de risque, appelée Inégalité de Cramer-Rao.

Les estimations (sans biais) pour lesquelles cette borne inférieure est atteinte (c'est-à-dire ayant la plus petite variance possible) sont appelées efficace... Cependant, l'existence d'une estimation efficace est une exigence assez forte pour le problème, ce qui n'est pas toujours le cas.

L'état le plus faible est efficacité asymptotique, ce qui signifie que le rapport de la variance de l'estimation sans biais à la borne inférieure de Cramer-Rao tend vers l'unité à.

Notez que sous des hypothèses suffisamment larges sur la distribution à l'étude, la méthode du maximum de vraisemblance donne une estimation asymptotiquement efficace du paramètre, et s'il existe une estimation efficace, alors elle donne une estimation efficace.

Des statistiques suffisantes

Les statistiques s'appellent suffisant pour le paramètre si la distribution conditionnelle de l'échantillon, à condition que, ne dépende pas du paramètre pour tous.

L'importance du concept de statistiques suffisantes s'explique par les éléments suivants : approbation... Si est une statistique suffisante et une estimation de paramètre non biaisée, alors l'espérance mathématique conditionnelle est également une estimation de paramètre non biaisée et sa variance est inférieure ou égale à la variance de l'estimation d'origine.

Rappelons que l'espérance mathématique conditionnelle est une variable aléatoire qui est fonction de. Ainsi, dans la classe des estimations sans biais, il suffit de ne considérer que celles qui sont des fonctions de statistiques suffisantes (à condition qu'elles existent pour le problème donné).

L'estimation effective (non biaisée) du paramètre est toujours une statistique suffisante.

On peut dire que des statistiques suffisantes contiennent toutes les informations sur le paramètre estimé qui sont contenues dans l'échantillon.

Définition

L'estimation du paramètre est appelée évaluation efficace en classe si pour toute autre estimation l'inégalité est vraie pour tout.

Fondation Wikimédia. 2010.

• Olaf I Tryggvason
• Du sang et du chocolat

Voyez ce qu'est « l'évaluation efficace » dans d'autres dictionnaires :

évaluation efficace- - [L.G. Sumenko. Le dictionnaire anglais russe des technologies de l'information. M.: GP TsNIIS, 2003.] Thèmes technologies de l'information en général EN estimateur efficace ... Guide du traducteur technique

évaluation efficace- efektyvusis įvertis statusas T sritis automatika atitikmenys : angl. estimation efficace; estimateur efficace vok. effiziente Schätzung, f rus. estimation effective, f pran. estimation effective, f ... Automatikos terminų žodynas

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