La formulation générale du problème : les probabilités de certains événements sont connues, mais les probabilités d'autres événements associés à ces événements doivent être calculées. Dans ces tâches, des actions sur les probabilités telles que l'addition et la multiplication de probabilités sont nécessaires.
Par exemple, lors de la chasse, deux coups de feu sont tirés. Événement UNE- frapper un canard du premier coup, événement B- touché dès le deuxième coup. Alors la somme des événements UNE et B- touché du premier ou du deuxième coup ou de deux coups.
Tâches d'un autre type. Plusieurs événements sont donnés, par exemple, la pièce est lancée trois fois. Il est nécessaire de trouver la probabilité que soit les armoiries seront abandonnées les trois fois, soit que les armoiries seront tirées au moins une fois. C'est un problème de multiplication des probabilités.
Ajout des probabilités d'événements incohérents
L'addition de probabilités est utilisée lorsque vous devez calculer la probabilité d'une union ou d'une somme logique d'événements aléatoires.
Somme des événements UNE et B dénoter UNE + B ou UNE ∪ B... La somme de deux événements est un événement qui se produit si et seulement quand au moins un des événements se produit. Cela signifie que UNE + B- un événement qui se produit si et seulement quand un événement s'est produit pendant l'observation UNE ou événement B, ou en même temps UNE et B.
Si des événements UNE et B sont mutuellement incompatibles et que leurs probabilités sont données, alors la probabilité qu'un de ces événements se produise à la suite d'un test est calculée en utilisant l'addition des probabilités.
Le théorème d'addition pour les probabilités. La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :
Par exemple, pendant la chasse, deux coups de feu sont tirés. Événement UNE- frapper un canard du premier coup, événement V- coup du deuxième coup, événement ( UNE+ V) - touché du premier ou du deuxième coup ou de deux coups. Donc si deux événements UNE et V- événements incompatibles, puis UNE+ V- la survenue d'au moins un de ces événements ou de deux événements.
Exemple 1. Dans la boîte il y a 30 boules de la même taille : 10 rouges, 5 bleues et 15 blanches. Calculez la probabilité qu'une balle colorée (pas blanche) soit prise sans regarder.
Solution. Supposons que l'événement UNE- "la balle rouge est prise", et l'événement V- "une balle bleue est prise." Ensuite, l'événement est "une balle colorée (pas blanche) est prise". Trouver la probabilité d'un événement UNE:
et événements V:
Événements UNE et V- mutuellement incompatibles, car si une seule balle est prise, vous ne pouvez pas prendre de balles de couleurs différentes. On utilise donc l'addition de probabilités :
Le théorème de l'addition des probabilités pour plusieurs événements incohérents. Si les événements constituent l'ensemble complet des événements, alors la somme de leurs probabilités est de 1 :
La somme des probabilités d'événements opposés est également égale à 1 :
Les événements opposés forment un ensemble complet d'événements, et la probabilité d'un ensemble complet d'événements est de 1.
Les probabilités d'événements opposés sont généralement indiquées en minuscules p et q... En particulier,
d'où découlent les formules suivantes pour la probabilité d'événements opposés :
Exemple 2. La cible dans le pas de tir est divisée en 3 zones. La probabilité qu'un certain tireur tire sur la cible dans la première zone est de 0,15, dans la deuxième zone - 0,23, dans la troisième zone - 0,17. Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible et la probabilité que le tireur rate la cible.
Solution : Trouvons la probabilité que le tireur atteigne la cible :
Cherchons la probabilité que le tireur manque la cible :
Tâches plus difficiles dans lesquelles vous devez appliquer à la fois l'addition et la multiplication de probabilités - sur la page "Divers problèmes sur l'addition et la multiplication de probabilités".
Addition de probabilités d'événements mutuellement compatibles
Deux événements aléatoires sont dits conjoints si la survenance d'un événement n'exclut pas la survenance d'un second événement dans la même observation. Par exemple, lors du lancement d'un dé, l'événement UNE la chute du chiffre 4 est envisagée, et l'événement V- un nombre pair a abandonné. Le nombre 4 étant un nombre pair, les deux événements sont compatibles. En pratique, il existe des tâches pour calculer les probabilités d'un des événements mutuellement conjoints.
Théorème d'addition de probabilité pour les événements conjoints. La probabilité qu'un des événements conjoints se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements, à laquelle est soustraite la probabilité d'occurrence commune des deux événements, c'est-à-dire le produit des probabilités. La formule pour les probabilités d'événements conjoints est la suivante :
Depuis les événements UNE et V compatible, événement UNE+ V se produit si l'un des trois événements possibles se produit : ou UN B... D'après le théorème de l'addition des événements incompatibles, on calcule comme suit :
Événement UNE se produira si l'un des deux événements incohérents se produit : ou UN B... Cependant, la probabilité d'occurrence d'un événement à partir de plusieurs événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de tous ces événements :
Également:
En remplaçant les expressions (6) et (7) dans l'expression (5), nous obtenons la formule de probabilité pour les événements conjoints :
Lors de l'utilisation de la formule (8), il convient de garder à l'esprit que les événements UNE et V Peut être:
- indépendantes les unes des autres ;
- mutuellement dépendants.
Formule de probabilité pour des événements indépendants les uns des autres :
Formule de probabilité pour les événements dépendants les uns des autres :
Si des événements UNE et V sont incohérentes, alors leur coïncidence est un cas impossible et, par conséquent, P(UN B) = 0. La quatrième formule de probabilité pour les événements incohérents est la suivante :
Exemple 3. Dans une course automobile, en conduisant la première voiture, il y a une chance de gagner, en conduisant la deuxième voiture. Trouver:
- la probabilité que les deux voitures gagnent ;
- la probabilité qu'au moins une voiture gagne ;
1) La probabilité que la première voiture gagne ne dépend pas du résultat de la deuxième voiture, donc des événements UNE(la première voiture gagne) et V(la deuxième voiture gagne) - événements indépendants. Trouvons la probabilité que les deux voitures gagnent :
2) Trouvons la probabilité qu'une des deux voitures gagne :
Tâches plus difficiles dans lesquelles vous devez appliquer à la fois l'addition et la multiplication de probabilités - sur la page "Divers problèmes sur l'addition et la multiplication de probabilités".
Résolvez vous-même le problème d'addition de probabilités, puis voyez la solution
Exemple 4. Deux pièces sont lancées. Événement UNE- tomber des armoiries sur la première pièce. Événement B- tomber des armoiries sur la deuxième pièce. Trouver la probabilité d'un événement C = UNE + B .
Multiplication des probabilités
La multiplication de probabilité est utilisée lors du calcul de la probabilité du produit logique des événements.
De plus, les événements aléatoires doivent être indépendants. Deux événements sont dits indépendants l'un de l'autre si l'occurrence d'un événement n'affecte pas la probabilité d'occurrence du second événement.
Le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants. Probabilité d'occurrence simultanée de deux événements indépendants UNE et V est égal au produit des probabilités de ces événements et est calculé par la formule :
Exemple 5. La pièce est lancée trois fois de suite. Trouvez la probabilité que les armoiries soient abandonnées les trois fois.
Solution. La probabilité qu'au premier lancer de la pièce les armoiries apparaissent, la deuxième fois, la troisième fois. Trouvons la probabilité que les armoiries soient tirées les trois fois :
Résolvez vous-même les problèmes de multiplication de probabilités, puis voyez la solution
Exemple 6. Comprend une boîte de neuf balles de tennis neuves. Trois balles sont prises pour le jeu, après le jeu elles sont remises. Lors du choix des balles, les balles jouées et non jouées ne sont pas distinguées. Quelle est la probabilité qu'après trois matchs il n'y ait plus de balles dans la boîte ?
Exemple 7. 32 lettres de l'alphabet russe sont écrites sur les cartes de l'alphabet divisé. Cinq cartes sont tirées au hasard les unes après les autres et placées sur la table dans l'ordre d'apparition. Trouvez la probabilité que les lettres forment le mot "fin".
Exemple 8. D'un jeu complet de cartes (52 feuilles), quatre cartes sont retirées à la fois. Trouvez la probabilité que ces quatre cartes soient de couleurs différentes.
Exemple 9. Même problème que dans l'exemple 8, mais après avoir été retirée, chaque carte est remise dans le paquet.
Tâches plus difficiles dans lesquelles vous devez appliquer à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, ainsi que calculer le produit de plusieurs événements - sur la page "Divers problèmes d'addition et de multiplication de probabilités".
La probabilité qu'au moins un des événements mutuellement indépendants se produise peut être calculée en soustrayant de 1 le produit des probabilités d'événements opposés, c'est-à-dire en utilisant la formule.
Commençons par les événements indépendants. Les événements sont indépendant si la probabilité d'occurrence n'importe lequel d'entre eux ne dépend pasà partir de l'apparition / non-apparition des événements restants de l'ensemble considéré (dans toutes les combinaisons possibles).
Le théorème de multiplication pour les probabilités d'événements indépendants: probabilité d'occurrence conjointe d'événements indépendants UNE et V est égal au produit des probabilités de ces événements : P (AB) = P (A) × P (B)
Revenons à l'exemple le plus simple de la 1ère leçon, dans laquelle deux pièces sont lancées et les événements suivants :
- à la suite du lancer, les têtes tomberont sur la 1ère pièce ;
- À la suite du lancer, les têtes tomberont sur la 2ème pièce.
Trouvons la probabilité de l'événement А 1 А 2 (un aigle apparaît sur la 1ère pièce et un aigle apparaîtra sur la 2ème pièce - on se souvient comment il est luproduction d'événements !) ... La probabilité d'obtenir face sur une pièce ne dépend en aucun cas du résultat du lancer d'une autre pièce, par conséquent, les événements A1 et A2 sont indépendants. Par le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
P (A 1 A 2) = P (A 1) × P (A 2) = × =
Également:
= × = × = est la probabilité que la 1ère pièce tombe pile et sur les 2e queues;
= × = × = - la probabilité que face apparaisse sur la 1ère pièce et sur les 2e queues;
= × = × = est la probabilité que des queues apparaissent sur la 1ère pièce et sur le 2ème aigle.
Notez que les événements,,, forment groupe complet et la somme de leurs probabilités est égale à un : + + + = = 1
Le théorème de multiplication s'étend de façon évidente à 6 ôévénements plus indépendants, par exemple, si les événements A, B, C sont indépendants, alors la probabilité de leur offensive conjointe est égale à : P (ABC) = P (A) × P (B) × P (C).
Problème 3
Chacune des trois boîtes contient 10 pièces. Dans la première case, il y a 8 pièces standard, dans la seconde - 7, dans la troisième - 9. Une pièce est prise au hasard dans chaque case. Trouvez la probabilité que tous les détails soient standard.
Solution: la probabilité de récupérer une pièce standard ou non standard dans n'importe quelle boîte ne dépend pas des pièces récupérées dans d'autres boîtes, par conséquent, le problème concerne des événements indépendants. Considérez les événements indépendants suivants :
S 1- une pièce standard a été retirée de la 1ère case ;
S 2- une pièce standard a été retirée de la 2ème case ;
S 3- une pièce standard a été retirée de la 3ème case.
Selon la définition classique : P (S 1) = = 0,8; P (S 2) = = 0,7; P (S 3)= = 0,9 ; - les probabilités correspondantes.
Événement qui nous intéresse (une pièce standard sera supprimée de la 1ère caseet à partir de la 2ème normeet à partir du 3e standard) exprimé par le produit S 1 S 2 S 3.
Par le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
R( S 1 S 2 S 3) = P (S 1) × P (S 2) × P (S 3) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504- la probabilité qu'une pièce standard soit retirée de 3 boîtes.
Réponse: la probabilité que toutes les pièces soient standard est de 0,504
Problème 4 (pour une solution indépendante)
Trois urnes contiennent 6 boules blanches et 4 boules noires. Une boule est prise au hasard dans chaque urne. Trouvez la probabilité que : a) les trois boules soient toutes blanches ; b) les trois boules seront de la même couleur.
Sur la base des informations reçues, devinez comment traiter l'élément "être". Un échantillon approximatif de la solution est conçu dans un style académique avec une liste détaillée de tous les événements est donnée à la fin de la leçon.
Événements dépendants... Événement X sont appelés intoxiqué si sa probabilité P (X) dépend d'un ou b ô plus d'événements qui ont déjà eu lieu. Vous n'avez pas besoin de chercher bien loin pour trouver des exemples - il vous suffit de vous rendre au magasin le plus proche :
X- Demain à 19h00 il y aura du pain frais en vente.
La probabilité de cet événement dépend de bien d'autres événements : si le pain frais sera livré demain, s'il sera épuisé avant 19h ou pas, etc. Selon diverses circonstances, cet événement peut être à la fois fiable P (X)= 1 et impossible P (X)= 0. Ainsi, l'événement X est un intoxiqué.
Un autre exemple, V- l'étudiant recevra un ticket simple pour l'examen.
Si vous n'y allez pas en premier, alors l'événement V sera dépendante, puisque sa probabilité P (B) dépendra des billets déjà tirés par les autres étudiants.
Les événements A, B, C ... sont appelés dépendant les uns des autres si la probabilité d'occurrence d'au moins l'un d'entre eux change en fonction de l'occurrence ou de la non-occurrence d'autres événements. Les événements sont appelés indépendant si les probabilités d'occurrence de chacune d'elles ne dépendent pas de l'apparition ou de la non-occurrence des autres.
Probabilite conditionnelle(PA (B) -probabilité conditionnelle de l'événement B par rapport à A) est la probabilité de l'événement B, calculée en supposant que l'événement A s'est déjà produit. exemple de probabilité conditionnelle La probabilité conditionnelle de l'événement B, à condition que l'événement A se soit déjà produit, est par définition égale à PA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)> 0).
Multiplication des probabilités d'événements dépendants : la probabilité d'occurrence conjointe de deux événements est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par la probabilité conditionnelle de l'autre, calculée en supposant que le premier événement s'est déjà produit :
P (AB) = P (A) PA (B)
Exemple... Le collecteur a 3 rouleaux coniques et 7 rouleaux elliptiques. Le collectionneur a pris un rouleau puis un autre. Trouvez la probabilité que le premier des rouleaux pris soit conique et le second elliptique.
Solution: La probabilité que le premier rouleau soit conique (événement A), P (A) = 3/10. La probabilité que le deuxième rouleau soit elliptique (événement B), calculée en supposant que le premier rouleau est conique, c'est-à-dire , probabilité conditionnelle PA (B) = 7/9.
D'après la formule de multiplication, la probabilité souhaitée P (AB) = P (A) PA (B) = (3/10) * (7/9) = 7/30. Notez que, en gardant la notation, on peut facilement trouver : P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30
La condition de l'indépendance des événements. Multiplication des probabilités d'événements indépendants. Exemples.
L'événement B ne dépend pas de l'événement A si
P (B / A) = P (B) c'est-à-dire la probabilité de l'événement B ne dépend pas du fait que l'événement A.
Dans ce cas, l'événement A ne dépend pas de l'événement B, c'est-à-dire que la propriété d'indépendance des événements est mutuelle.
La probabilité du produit de deux événements indépendants est égale au produit de leurs probabilités :
P (AB) = P (A) P (B).
Exemple 1: Le dispositif, fonctionnant pendant le temps t, se compose de trois nœuds, dont chacun, indépendamment des autres, peut échouer (échouer) pendant le temps t. La défaillance d'au moins un nœud entraîne la défaillance de l'ensemble de l'appareil. Pour l'instant t, la fiabilité (probabilité de fonctionnement sans panne) du premier nœud est égale à p 1 = 0,8 ; deuxième p 2 = 0,9 troisième p 3 = 0,7. Retrouvez la fiabilité de l'appareil dans son ensemble.
Solution. Désignant :
A - fonctionnement sans problème des appareils,
A 1 - fonctionnement sans défaillance du premier nœud,
A 2 - fonctionnement sans défaillance du deuxième nœud,
A 3 - fonctionnement sans défaillance du troisième nœud,
d'où, par le théorème de multiplication pour les événements indépendants
P (A) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504
Exemple 2... Trouvez la probabilité qu'un nombre apparaisse avec un tirage au sort de deux pièces.
Solution... La probabilité d'apparition du chiffre de la première pièce (événement A) P (A) = 1/2 ; la probabilité d'apparition du chiffre de la deuxième pièce (événement B) - P (B) = 1/2.
Les événements A et B sont indépendants, nous trouvons donc la probabilité souhaitée
selon la formule :
P (AB) = P (A) P (B) = 1/2 * 1/2 = 1/4
Compatibilité et incohérence des événements. L'addition des probabilités de deux événements conjoints. Exemples.
Deux événements sont appelés découper si l'apparition de l'un d'eux n'affecte pas et n'exclut pas l'apparition de l'autre. Des événements articulaires peuvent être réalisés simultanément, comme par exemple l'apparition d'un numéro sur un os ou
n'affecte en rien l'apparence des nombres sur l'autre os. Les événements sont incohérents si dans un phénomène ou dans un essai ils ne peuvent être réalisés simultanément et que l'apparition de l'un d'eux exclut l'apparition de l'autre (toucher la cible et manquer sont incompatibles).
La probabilité d'occurrence d'au moins un des deux événements conjoints A ou B est égale à la somme des probabilités de ces événements sans la probabilité de leur occurrence conjointe :
P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB).
Exemple... La probabilité d'atteindre la cible pour le premier athlète est de 0,85 et pour le second de 0,8. Athlètes indépendamment les uns des autres
tiré un coup à la fois. Trouver la probabilité qu'au moins un athlète atteigne la cible ?
Solution... Introduisons la notation suivante : événements A - "touché par le premier athlète", B - "touché par le deuxième athlète", C - "touché par au moins un des athlètes". Évidemment, A + B = C, et les événements A et B sont conjoints. D'après la formule, on obtient :
P (C) = P (A) + P (B) - P (AB)
P (C) = P (A) + P (B) -P (A) P (B),
puisque A et B sont des événements indépendants. En substituant ces valeurs P (A) = 0,85, P (B) = 0,8 dans la formule de P (C), nous trouvons la probabilité souhaitée
P(C) = (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 = 0,97
La définition classique de la probabilité.
La probabilité d'un événement est une mesure quantitative introduite pour comparer les événements en fonction de leur degré de probabilité d'occurrence.
Un événement représenté comme un ensemble (somme) de plusieurs événements élémentaires est appelé événement composite.
Un événement qui ne peut pas être décomposé en événements plus simples est appelé élémentaire.
Un événement est dit impossible s'il ne se produit jamais dans les conditions d'une expérience donnée (test).
Les événements plausibles et impossibles ne sont pas aléatoires.
Événements conjoints- plusieurs événements sont dits conjoints si, à la suite de l'expérience, la survenance de l'un d'eux n'exclut pas l'apparition des autres.
Événements incompatibles- plusieurs événements sont dits incohérents dans une expérience donnée si l'apparition de l'un d'eux exclut l'apparition des autres. Deux événements sont appelés opposé, si l'un d'eux se produit si et seulement si l'autre ne se produit pas.
La probabilité de l'événement A est P (A) – appelé le rapport du nombre mévénements élémentaires (résultats) propices à la survenance de l'événement UNE, au nombre m de tous les événements élémentaires dans les conditions d'une expérience probabiliste donnée.
Les propriétés de probabilité suivantes découlent de la définition :
1. La probabilité d'un événement aléatoire est un nombre positif compris entre 0 et 1 :
2. La probabilité d'un certain événement est de 1 : (3)
3. Si un événement est impossible, alors sa probabilité est
4. Si les événements sont incompatibles, alors
5. Si les événements A et B sont conjoints, alors la probabilité de leur somme est égale à la somme des probabilités de ces événements sans la probabilité de leur occurrence conjointe :
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)(6)
6. Si et sont des événements opposés, alors (7)
7. La somme des probabilités d'événements 1, 2, ..., n formant un groupe complet est égal à 1 :
P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n) = 1.(8)
Dans les études économiques, les valeurs et dans une formule peuvent être interprétées différemment. À définition statistique la probabilité d'un événement s'entend comme le nombre d'observations des résultats de l'expérience dans laquelle l'événement s'est produit exactement une fois. Dans ce cas, la relation est appelée fréquence relative (fréquence) de l'événement
Événements UN B sont appelés indépendant si les probabilités de chacun d'eux ne dépendent pas de la survenance ou non d'un autre événement. Les probabilités d'événements indépendants sont appelées inconditionnel.
Événements UN B sont appelés dépendant si la probabilité de chacun d'eux dépend de la survenance ou non d'un autre événement. La probabilité de l'événement B, calculée en supposant qu'un autre événement A a déjà eu lieu, est appelée probabilite conditionnelle.
Si deux événements A et B sont indépendants, alors les égalités sont vraies :
P (B) = P (B / A), P (A) = P (A / B) ou P (B / A) - P (B) = 0(9)
La probabilité du produit de deux événements dépendants A, B est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par la probabilité conditionnelle de l'autre :
P (AB) = P (B) P (A / B) ou P (AB) = P (A) P (B / A) (10)
La probabilité de l'événement B, à condition que l'événement A se produise :
La probabilité du produit de deux indépendantévénements A, B est égal au produit de leurs probabilités :
P (AB) = P (A) P (B)(12)
Si plusieurs événements sont deux à deux indépendants, alors leur indépendance dans l'agrégat ne découle pas d'ici.
Événements 1, А 2, ..., n (n> 2) sont dits indépendants dans l'agrégat si la probabilité de chacun d'eux ne dépend pas du fait qu'aucun des autres événements ne se soit produit ou non.
La probabilité d'occurrence conjointe de plusieurs événements, indépendants dans l'ensemble, est égale au produit des probabilités de ces événements :
(А 1 ∙ А 2 ∙ А 3 ∙… ∙ А n) = Р (А 1) Р (А 2) Р (А 3) ... ∙ Р (А n). (13)
Dans les tâches USE en mathématiques, il existe également des problèmes de probabilité plus complexes (que nous avons envisagés dans la partie 1), où vous devez appliquer la règle de l'addition, la multiplication des probabilités et faire la distinction entre les événements conjoints et incompatibles.
Donc la théorie.
Événements communs et incompatibles
Les événements sont dits incohérents si l'occurrence de l'un d'eux exclut l'occurrence des autres. C'est-à-dire qu'un seul événement spécifique peut se produire, ou un autre.
Par exemple, en lançant un dé, des événements tels qu'un nombre pair de points et un nombre impair de points peuvent être distingués. Ces événements sont incohérents.
Les événements sont appelés événements conjoints si la survenance de l'un d'eux n'exclut pas la survenance de l'autre.
Par exemple, en lançant un dé, des événements tels qu'un nombre impair de points et un multiple de trois points peuvent être distingués. Lorsque trois rouleaux, les deux événements se produisent.
Somme des événements
La somme (ou combinaison) de plusieurs événements est un événement consistant en la survenance d'au moins un de ces événements.
Où somme de deux événements incompatibles est la somme des probabilités de ces événements :
Par exemple, la probabilité d'obtenir 5 ou 6 points sur un dé avec un seul lancer sera, car les deux événements (lancer 5, lancer 6) sont incohérents et la probabilité qu'un ou le deuxième événement se produise est calculée comme suit :
La probabilité la somme de deux événements communs est égal à la somme des probabilités de ces événements sans tenir compte de leur occurrence conjointe :
Par exemple, dans un centre commercial, deux distributeurs automatiques identiques vendent du café. La probabilité que la machine manque de café à la fin de la journée est de 0,3. La probabilité de manquer de café dans les deux machines est de 0,12. Cherchons la probabilité qu'à la fin de la journée le café soit épuisé dans au moins une des machines (c'est-à-dire soit dans l'une, soit dans l'autre, soit dans les deux à la fois).
La probabilité du premier événement « épuisement du café dans la première machine » ainsi que la probabilité du deuxième événement « épuisement du café dans la deuxième machine » est égale à 0,3 par condition. Les événements sont collaboratifs.
La probabilité de réalisation conjointe des deux premiers événements par condition est de 0,12.
Cela signifie que la probabilité qu'à la fin de la journée au moins une des machines soit à court de café
Événements dépendants et indépendants
Deux événements aléatoires A et B sont dits indépendants si l'occurrence de l'un d'eux ne modifie pas la probabilité d'occurrence de l'autre. Sinon, les événements A et B sont dits dépendants.
Par exemple, si deux dés sont lancés simultanément, les retombées sur l'un d'eux, disons 1, et sur le second 5, sont des événements indépendants.
Produit de probabilités
Le produit (ou l'intersection) de plusieurs événements est un événement consistant en l'apparition conjointe de tous ces événements.
Si deux arrivent événements indépendants A et B avec des probabilités, respectivement, P (A) et P (B), alors la probabilité d'occurrence des événements A et B est simultanément égale au produit des probabilités :
Par exemple, nous nous intéressons aux retombées de six sur les dés deux fois de suite. Les deux événements sont indépendants et la probabilité de réalisation de chacun d'eux séparément l'est. La probabilité que ces deux événements se produisent sera calculée à l'aide de la formule ci-dessus :.
Voir une sélection de tâches pour travailler le sujet.