Un cylindre est une figure spatiale symétrique dont les propriétés sont considérées au lycée dans le cadre de la stéréométrie. Pour le décrire, des caractéristiques linéaires telles que la hauteur et le rayon de la base sont utilisées. Dans cet article, nous examinerons les questions concernant ce qu'est la section axiale d'un cylindre et comment calculer ses paramètres à travers les caractéristiques linéaires de base de la figure.
Figure géométrique
Tout d'abord, définissons la forme qui sera discutée dans l'article. Un cylindre est une surface formée par le déplacement parallèle d'un segment d'une longueur fixe le long d'une certaine courbe. La condition principale de ce mouvement est que le segment du plan de la courbe n'appartienne pas.
La figure ci-dessous montre un cylindre dont la courbe (guide) est une ellipse.
Ici, le segment de longueur h est sa génératrice et sa hauteur.
On peut voir que le cylindre se compose de deux bases identiques (des ellipses dans ce cas), qui se trouvent dans des plans parallèles, et d'une surface latérale. Tous les points des génératrices appartiennent à ces dernières.
Avant de passer à l'examen de la section axiale des cylindres, nous vous dirons quels sont les types de ces figures.
Si la génératrice est perpendiculaire aux bases de la figure, alors on parle de cylindre droit. Sinon, le cylindre sera incliné. Si vous reliez les points centraux des deux bases, la ligne droite résultante est appelée l'axe de la figure. La figure ci-dessous montre la différence entre les cylindres droits et inclinés.
On voit que pour une figure droite, la longueur du segment générateur coïncide avec la valeur de la hauteur h. Pour un cylindre incliné, la hauteur, c'est-à-dire la distance entre les bases, est toujours inférieure à la longueur de la génératrice.
Section axiale d'un cylindre droit
Axial est toute section d'un cylindre qui contient son axe. Cette définition signifie que la section axiale sera toujours parallèle à la ligne génératrice.
Dans un cylindre, l'axe rectiligne passe par le centre du cercle et est perpendiculaire à son plan. Cela signifie que le cercle considéré se coupera dans son diamètre. La figure montre la moitié du cylindre, qui est le résultat de l'intersection de la figure avec un plan passant par l'axe.
Il n'est pas difficile de comprendre que la section axiale d'un cylindre rond droit est un rectangle. Ses côtés sont le diamètre d de la base et la hauteur h de la figure.
Écrivons les formules de l'aire de la section axiale du cylindre et de la longueur h d de sa diagonale :
Le rectangle a deux diagonales, mais elles sont toutes les deux égales. Si le rayon de la base est connu, alors il n'est pas difficile de réécrire ces formules à travers elle, étant donné qu'il fait la moitié du diamètre.
Section axiale d'un cylindre incliné
L'image ci-dessus montre un cylindre incliné en papier. Si vous faites sa section axiale, vous obtiendrez non pas un rectangle, mais un parallélogramme. Ses côtés sont des quantités connues. L'un d'eux, comme dans le cas de la section d'un cylindre droit, est égal au diamètre d de la base, tandis que l'autre est la longueur du segment générateur. On le note b.
Pour une détermination sans ambiguïté des paramètres du parallélogramme, il ne suffit pas de connaître ses longueurs de côté. Un angle entre eux est également nécessaire. Supposons que l'angle aigu entre le rail et la base soit . Ce sera aussi l'angle entre les côtés du parallélogramme. Ensuite, la formule de la section axiale d'un cylindre incliné peut s'écrire comme suit :
Les diagonales de la section axiale d'un cylindre incliné sont un peu plus difficiles à calculer. Un parallélogramme a deux diagonales de longueurs différentes. Présentons, sans dérivation, des expressions qui permettent de calculer les diagonales d'un parallélogramme suivant des côtés connus et un angle aigu entre eux :
l 1 = √ (d 2 + b 2 - 2 * b * d * cos (α));
l 2 = (d 2 + b 2 + 2 * b * d * cos (α))
Ici, l 1 et l 2 sont respectivement les longueurs des petites et des grandes diagonales. Ces formules peuvent être obtenues indépendamment si l'on considère chaque diagonale comme un vecteur, en introduisant un système de coordonnées rectangulaires sur le plan.
Problème de cylindre droit
Montrons comment utiliser les connaissances acquises pour résoudre le problème suivant. Soit un cylindre droit rond. On sait que la section axiale d'un cylindre est un carré. Quelle est l'aire de cette section si la figure entière fait 100 cm 2 ?
Pour calculer la surface requise, vous devez trouver soit le rayon, soit le diamètre de la base du cylindre. Pour ce faire, on utilise la formule de l'aire totale S f de la figure :
La section axiale étant un carré, cela signifie que le rayon r de la base est la moitié de la hauteur h. Dans cet esprit, nous pouvons réécrire l'égalité ci-dessus comme:
S f = 2 * pi * r * (r + 2 * r) = 6 * pi * r 2
On peut maintenant exprimer le rayon r, on a :
Le côté de la section carrée étant égal au diamètre de la base de la figure, la formule suivante sera valable pour calculer son aire S :
S = (2 * r) 2 = 4 * r 2 = 2 * S f / (3 * pi)
Nous voyons que la surface requise est uniquement déterminée par la surface du cylindre. En substituant les données à l'égalité, nous arrivons à la réponse : S = 21,23 cm 2.
L'aire de chaque base du cylindre est r 2, la superficie des deux bases sera de 2π r 2 (fig.).L'aire de la surface latérale du cylindre est égale à l'aire du rectangle dont la base est de 2π r, et la hauteur est égale à la hauteur du cylindre h, c'est-à-dire 2π rh.
La surface totale du cylindre est : 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).
L'aire de la surface latérale du cylindre est prise comme zone de numérisation sa surface latérale.
Par conséquent, l'aire de la surface latérale d'un cylindre circulaire droit est égale à l'aire du rectangle correspondant (Fig.) Et est calculée par la formule
S b.ts. = 2πHR, (1)
Si on additionne les aires de ses deux bases à l'aire de la surface latérale du cylindre, alors on obtient l'aire de la surface totale du cylindre
S plein = 2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
Volume du cylindre droit
Théorème. Le volume d'un cylindre droit est égal au produit de sa surface de base par sa hauteur , c'est à dire.où Q est la surface de base et H est la hauteur du cylindre.
Puisque l'aire de la base du cylindre est Q, il existe des séquences de polygones circonscrits et inscrits d'aires Q m et Q' m tel que
\ (\ lim_ (n \ rightarrow \ infty) \) Q m= \ (\ lim_ (n \ rightarrow \ infty) \) Q ’ m= Q.
Construisons une suite de prismes dont les bases sont les polygones ci-dessus décrits et inscrits, et dont les bords latéraux sont parallèles à la génératrice du cylindre donné et de longueur H. Ces prismes sont décrits et inscrits pour ce cylindre. Leurs volumes sont trouvés par les formules
V m= Q m H et V' m= Q' m H.
D'où,
V = \ (\ lim_ (n \ rightarrow \ infty) \) Q m H = \ (\ lim_ (n \ rightarrow \ infty) \) Q ’ m H = QH.
Conséquence.
Le volume d'un cylindre circulaire droit est calculé par la formule
V = R 2 H
où R est le rayon de la base et H est la hauteur du cylindre.
Puisque la base d'un cylindre circulaire est un cercle de rayon R, alors Q = R 2, et donc
Un cylindre est une forme composée d'une surface cylindrique et de deux cercles parallèles. Le calcul de l'aire d'un cylindre est un problème dans la section géométrique des mathématiques, qui peut être résolu assez simplement. Il existe plusieurs méthodes pour le résoudre, qui, par conséquent, se résument toujours à une formule.
Comment trouver l'aire d'un cylindre - règles de calcul
- Pour connaître l'aire du cylindre, il faut additionner deux aires de la base avec l'aire de la surface latérale : S = Sside. + 2Sn. Dans une version plus détaillée, cette formule ressemble à ceci : S = 2 π rh + 2 π r2 = 2 π r (h + r).
- La surface latérale d'un corps géométrique donné peut être calculée si sa hauteur et le rayon du cercle situé à la base sont connus. Dans ce cas, vous pouvez exprimer le rayon à partir de la circonférence, s'il est indiqué. La hauteur peut être trouvée si la valeur du générateur est spécifiée dans la condition. Dans ce cas, la génératrice sera égale à la hauteur. La formule pour la surface latérale d'un corps donné ressemble à ceci : S = 2 rh.
- L'aire de la base est calculée à l'aide de la formule pour trouver l'aire d'un cercle : S osn = π r 2. Dans certaines tâches, le rayon peut ne pas être donné, mais la circonférence est spécifiée. Avec cette formule, le rayon s'exprime assez facilement. = 2π r, r = / 2π. Il faut également se rappeler que le rayon est la moitié du diamètre.
- Lors de l'exécution de tous ces calculs, le nombre π n'est généralement pas traduit en 3,14159 ... Il suffit de l'ajouter à côté de la valeur numérique obtenue à la suite des calculs.
- Ensuite, il vous suffit de multiplier la surface de base trouvée par 2 et d'ajouter la surface latérale calculée de la figure au nombre obtenu.
- Si le problème indique que le cylindre a une section axiale et qu'il s'agit d'un rectangle, alors la solution sera légèrement différente. Dans ce cas, la largeur du rectangle sera le diamètre du cercle à la base du corps. La longueur de la figure sera égale à la génératrice ou à la hauteur du cylindre. Il est nécessaire de calculer les valeurs requises et de les substituer dans la formule déjà connue. Dans ce cas, la largeur du rectangle doit être divisée par deux pour trouver l'aire de la base. Pour trouver la surface latérale, la longueur est multipliée par deux rayons et par le nombre .
- Vous pouvez calculer l'aire d'un corps géométrique donné grâce à son volume. Pour ce faire, vous devez dériver la valeur manquante de la formule V = r 2 h.
- Il n'y a rien de difficile à calculer l'aire d'un cylindre. Il suffit de connaître les formules et de pouvoir en déduire les valeurs nécessaires aux calculs.
Un cylindre (dérivé de la langue grecque, des mots "rouleau", "rouleau") est un corps géométrique, qui est délimité extérieurement par une surface dite cylindrique, et deux plans. Ces plans coupent la surface de la figure et sont parallèles les uns aux autres.
Une surface cylindrique est une surface obtenue par une ligne droite dans l'espace. Ces déplacements sont tels que le point sélectionné de cette droite se déplace le long d'une courbe de type plat. Une telle ligne droite est appelée génératrice et une ligne courbe est appelée guide.
Le cylindre se compose d'une paire de bases et d'une surface cylindrique latérale. Il existe plusieurs types de cylindres :
1. Cylindre circulaire droit. Pour un tel cylindre, la base et le guide sont perpendiculaires à la ligne génératrice, et il y a
2. Cylindre incliné. Son angle entre la génératrice et la base n'est pas juste.
3. Cylindre de forme différente. Hyperbolique, elliptique, parabolique et autres.
L'aire du cylindre, ainsi que la surface totale de tout cylindre, se trouve en additionnant les aires des bases de cette figure et l'aire de la surface latérale.
La formule de calcul de l'aire totale d'un cylindre pour un cylindre droit circulaire :
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h + R).
L'aire de la surface latérale se trouve un peu plus difficile que l'aire du cylindre dans son ensemble ; elle se calcule en multipliant la longueur de la génératrice par le périmètre de la section formée par le plan, qui est perpendiculaire à la ligne génératrice.
Un cylindre donné pour un cylindre droit et circulaire se reconnaît au déroulement de cet objet.
Un motif plat est un rectangle qui a une hauteur h et une longueur P qui est égale au périmètre de la base.
Il s'ensuit que l'aire latérale du cylindre est égale à l'aire du balayage et peut être calculée à l'aide de cette formule :
Si nous prenons un cylindre droit et circulaire, alors pour lui :
P = 2p R et Sb = 2p Rh.
Si le cylindre est incliné, alors la surface latérale doit être égale au produit de la longueur de sa ligne génératrice et du périmètre de la section, qui est perpendiculaire à cette ligne génératrice.
Malheureusement, il n'existe pas de formule simple pour exprimer la surface latérale d'un cylindre incliné en fonction de sa hauteur et des paramètres de sa base.
Pour calculer le cylindre, vous devez connaître quelques faits. Si une section avec son plan coupe les bases, alors une telle section est toujours un rectangle. Mais ces rectangles seront différents, selon la position de la section. L'un des côtés de la section axiale de la figure, qui est perpendiculaire aux bases, est égal à la hauteur, et l'autre au diamètre de la base du cylindre. Et l'aire d'une telle section, respectivement, est égale au produit d'un côté du rectangle par l'autre, perpendiculaire au premier, ou au produit de la hauteur de cette figure par le diamètre de sa base.
Si la section est perpendiculaire aux bases de la figure, mais ne passe pas par l'axe de rotation, alors l'aire de cette section sera égale au produit de la hauteur de ce cylindre et d'une certaine corde. Pour obtenir une corde, vous devez construire un cercle à la base du cylindre, tracer un rayon et tracer la distance à laquelle se trouve la section. Et à partir de ce point, vous devez tracer des perpendiculaires au rayon à partir de l'intersection avec le cercle. Les points d'intersection sont reliés au centre. Et la base du triangle est celle recherchée, qui est recherchée, sonne comme ceci : « La somme des carrés de deux jambes est égale au carré de l'hypoténuse » :
C2 = A2 + B2.
Si la section ne touche pas la base du cylindre et que le cylindre lui-même est circulaire et droit, l'aire de cette section correspond à l'aire d'un cercle.
L'aire du cercle est :
S env. = 2п R2.
Pour trouver R, vous devez diviser sa longueur C par 2n :
R\u003d C\2п, où n est le nombre pi, une constante mathématique calculée pour fonctionner avec les données du cercle et égale à 3,14.
De nombreuses tâches sont associées à un cylindre. Ils doivent trouver le rayon et la hauteur du corps ou le type de sa section. De plus, vous devez parfois calculer l'aire d'un cylindre et son volume.
Quel corps est un cylindre ?
Au cours du programme scolaire, une circulaire, c'est-à-dire le cylindre qui se trouve à la base, est étudiée. Mais ils mettent aussi en évidence l'aspect elliptique de cette figure. D'après le nom, il est clair que sa base sera une ellipse ou un ovale.
Le cylindre a deux bases. Ils sont égaux les uns aux autres et sont reliés par des segments de ligne qui correspondent aux points de base correspondants. On les appelle génératrices du cylindre. Tous les générateurs sont parallèles les uns aux autres et égaux. Ce sont eux qui constituent la surface latérale du corps.
En général, un cylindre est un corps incliné. Si les générateurs forment un angle droit avec les bases, ils parlent déjà d'une figure droite.
Fait intéressant, un cylindre circulaire est un corps de révolution. Il est obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés.
Les principaux éléments du cylindre
Les principaux éléments du cylindre sont les suivants.
- Hauteur. C'est la distance la plus courte entre les bases du cylindre. Si elle est droite, alors la hauteur coïncide avec la génératrice.
- Rayon. Le même que celui que l'on peut dessiner à la base.
- Axe. C'est une droite qui contient les centres des deux bases. L'axe est toujours parallèle à tous les générateurs. Dans un cylindre droit, il est perpendiculaire aux bases.
- Coupe axiale. Il se forme lorsque le plan qui contient l'axe coupe le cylindre.
- Plan tangent. Il passe par l'une des génératrices et est perpendiculaire à la section axiale qui est tracée par cette génératrice.
Comment le cylindre est-il relié à un prisme inscrit dedans ou décrit autour de lui ?
Parfois, il y a des problèmes dans lesquels il est nécessaire de calculer l'aire d'un cylindre, et certains éléments du prisme qui lui sont associés sont connus. Comment ces chiffres se rapportent-ils?
Si un prisme est inscrit dans un cylindre, alors ses bases sont des polygones égaux. De plus, ils sont inscrits dans les bases de cylindre correspondantes. Les bords latéraux du prisme coïncident avec les génératrices.
Le prisme décrit a des polygones réguliers à la base. Ils sont décrits autour des cercles du cylindre, qui sont ses bases. Les plans qui contiennent les faces du prisme touchent le cylindre le long de la génératrice.
À propos de l'aire de la surface latérale et de la base d'un cylindre circulaire droit
Si vous déroulez la surface latérale, vous obtenez un rectangle. Ses côtés coïncideront avec la génératrice et la circonférence de la base. Par conséquent, la surface latérale du cylindre sera égale au produit de ces deux valeurs. Si vous écrivez la formule, vous obtenez ce qui suit :
côté S = l * n,
où n est la génératrice, l est la circonférence.
De plus, le dernier paramètre est calculé par la formule :
l = 2 * r,
ici r est le rayon du cercle, est le nombre "pi" égal à 3,14.
La base étant un cercle, son aire est calculée à l'aide de l'expression suivante :
S principal = π * r 2.
À propos de l'aire de toute la surface d'un cylindre circulaire droit
Puisqu'il est formé de deux bases et d'une surface latérale, vous devez additionner ces trois valeurs. C'est-à-dire que la surface totale du cylindre sera calculée par la formule:
S étage = 2 * r * n + 2 * r 2.
Souvent, il est écrit sous une forme différente :
S étage = 2 * r (n + r).
A propos des aires d'un cylindre circulaire incliné
Quant aux fondations, toutes les formules sont les mêmes, car ce sont encore des cercles. Mais la surface latérale ne donne plus de rectangle.
Pour calculer l'aire de la surface latérale d'un cylindre incliné, vous devrez multiplier les valeurs de la génératrice et le périmètre de la section, qui sera perpendiculaire à la génératrice sélectionnée.
La formule ressemble à ceci :
côté S = x * P,
où x est la longueur de la génératrice du cylindre, P est le périmètre de la section.
Soit dit en passant, il est préférable de choisir une section de manière à ce qu'elle forme une ellipse. Ensuite, les calculs de son périmètre seront simplifiés. La longueur de l'ellipse est calculée à l'aide d'une formule qui donne une réponse approximative. Mais c'est souvent suffisant pour les tâches du cours scolaire :
l = * (a + b),
où "a" et "b" sont les demi-axes de l'ellipse, c'est-à-dire la distance du centre à ses points les plus proches et les plus éloignés.
L'aire de toute la surface doit être calculée à l'aide de l'expression suivante :
S étage = 2 * r 2 + x * R.
A quoi sont égales certaines sections d'un cylindre circulaire droit ?
Lorsque la section passe par l'axe, alors son aire est déterminée comme le produit de la génératrice et du diamètre de la base. Cela est dû au fait qu'il ressemble à un rectangle dont les côtés coïncident avec les éléments désignés.
Pour trouver la section transversale d'un cylindre parallèle à l'axe, vous aurez également besoin d'une formule pour un rectangle. Dans cette situation, un côté coïncidera toujours avec la hauteur, tandis que l'autre est égal à la corde de la base. Cette dernière coïncide avec la ligne de coupe à la base.
Lorsque la section est perpendiculaire à l'axe, elle ressemble à un cercle. De plus, son aire est la même qu'à la base de la figure.
Une intersection à un certain angle par rapport à l'axe est également possible. Ensuite, dans la section, un ovale ou une partie de celui-ci est obtenu.
Exemples de tâches
Tâche numéro 1. Soit un cylindre droit dont la surface de base est de 12,56 cm 2. Il est nécessaire de calculer la surface totale du cylindre si sa hauteur est de 3 cm.
Solution. Il est nécessaire d'utiliser la formule de l'aire totale d'un cylindre droit circulaire. Mais il manque des données, à savoir le rayon de base. Mais l'aire du cercle est connue. Il est facile d'en calculer le rayon.
Il s'avère être égal à la racine carrée du quotient, qui est obtenu en divisant l'aire de la base par pi. Après avoir divisé 12,56 par 3,14, vous obtenez 4. La racine carrée de 4 est 2. Par conséquent, le rayon aura exactement cette valeur.
Réponse : S sol = 50,24 cm 2.
Tâche numéro 2. Un cylindre de 5 cm de rayon est intercepté par un plan parallèle à l'axe. La distance de la section à l'axe est de 3 cm. La hauteur du cylindre est de 4 cm. Il est nécessaire de trouver la zone de section.
Solution. Forme en coupe - rectangulaire. Un côté coïncide avec la hauteur du cylindre et l'autre est égal à la corde. Si la première valeur est connue, alors la seconde doit être trouvée.
Pour cela, une construction supplémentaire doit être réalisée. Dessinez deux segments à la base. Les deux commenceront au centre du cercle. La première se terminera au centre de la corde et égalera la distance connue à l'axe. La seconde est à la fin de l'accord.
Vous obtiendrez un triangle rectangle. L'hypoténuse et l'une des jambes y sont connues. L'hypoténuse correspond au rayon. La deuxième jambe est égale à la moitié de l'accord. La jambe inconnue, multipliée par 2, donnera la longueur de corde désirée. Calculons sa valeur.
Pour trouver la jambe inconnue, vous devez mettre au carré l'hypoténuse et la jambe connue, soustraire la seconde de la première et extraire la racine carrée. Les carrés sont 25 et 9. Leur différence est 16. Après avoir extrait la racine carrée, il reste 4. C'est la jambe désirée.
La corde sera 4 * 2 = 8 (cm). Vous pouvez maintenant calculer la section transversale : 8 * 4 = 32 (cm 2).
Réponse : la section S est égale à 32 cm 2.
Tâche numéro 3. Il est nécessaire de calculer l'aire de la section axiale du cylindre. On sait qu'un cube d'une arête de 10 cm y est inscrit.
Solution. La section axiale du cylindre coïncide avec le rectangle qui passe par les quatre sommets du cube et contient les diagonales de ses bases. Le côté du cube est la génératrice du cylindre et la diagonale de la base coïncide avec le diamètre. Le produit de ces deux valeurs donnera la zone que vous devez connaître dans le problème.
Pour trouver le diamètre, vous devez utiliser la connaissance qu'à la base du cube se trouve un carré et que sa diagonale forme un triangle rectangle équilatéral. Son hypoténuse est la diagonale du chiffre requis.
Pour le calculer, vous avez besoin de la formule du théorème de Pythagore. Vous devez mettre le côté du cube au carré, le multiplier par 2 et extraire la racine carrée. Dix au deuxième degré font cent. Multiplié par 2 - deux cents. La racine carrée de 200 est 10√2.
La section est à nouveau un rectangle de côtés 10 et 10√2. Son aire peut être facilement calculée en multipliant ces valeurs.
Réponse. Section S = 100√2 cm 2.