Tiesinė funkcija yra y = kx + b formos funkcija, apibrėžta visų realiųjų skaičių aibėje. Čia k yra nuolydis (tikrasis skaičius), b yra kirtis (realusis skaičius), x yra nepriklausomas kintamasis.
Ypatingu atveju, jei k = 0, gauname pastovią funkciją y = b, kurios grafikas yra lygiagreti Ox ašiai tiesė, einanti per tašką su koordinatėmis (0; b).
Jei b = 0, tada gauname funkciją y = kx, kuri yra tiesioginė proporcingumas.
Koeficiento b geometrinė reikšmė yra atkarpos, kurią tiesi linija nukerta išilgai Oy ašies, ilgis, skaičiuojant nuo pradžios.
Koeficiento k geometrinė reikšmė – tiesės polinkio kampas teigiamai Ox ašies kryptimi, laikoma prieš laikrodžio rodyklę.
Tiesinės funkcijos savybės:
1) Tiesinės funkcijos apibrėžimo sritis yra visa realioji ašis;
2) Jei k ≠ 0, tai tiesinės funkcijos diapazonas yra visa tikroji ašis. Jei k = 0, tai tiesinės funkcijos diapazoną sudaro skaičius b;
3) Tiesinės funkcijos lygumas ir nelygumas priklauso nuo koeficientų k ir b verčių.
a) b ≠ 0, k = 0, todėl y = b yra lyginis;
b) b = 0, k ≠ 0, todėl y = kx yra nelyginis;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, taigi y = kx + b yra bendroji funkcija;
d) b = 0, k = 0, taigi y = 0 yra ir lyginė, ir nelyginė funkcija.
4) Tiesinė funkcija neturi periodiškumo savybės;
Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, todėl (-b / k; 0) yra susikirtimo su abscisių ašimi taškas.
Oy: y = 0k + b = b, todėl (0; b) yra susikirtimo su y ašimi taškas.
Pastaba Jei b = 0 ir k = 0, tada funkcija y = 0 išnyksta bet kuriai x reikšmei. Jei b ≠ 0 ir k = 0, tai funkcija y = b neišnyksta jokioms kintamojo x reikšmėms.
6) Ženklo pastovumo intervalai priklauso nuo koeficiento k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – teigiama x nuo (-b/k; +∞),
y = kx + b - yra neigiamas x iš (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – teigiama x nuo (-∞; -b/k),
y = kx + b - yra neigiamas x iš (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b yra teigiamas visame domene,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Tiesinės funkcijos monotoniškumo intervalai priklauso nuo koeficiento k.
k > 0, taigi y = kx + b didėja visame domene,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesė. Norint nubrėžti tiesią liniją, pakanka žinoti du taškus. Tiesės padėtis koordinačių plokštumoje priklauso nuo koeficientų k ir b verčių. Žemiau yra lentelė, kurioje aiškiai parodytas šis 1 paveikslas. (1 pav.)
Pavyzdys Apsvarstykite šią tiesinę funkciją: y = 5x - 3.
3) Bendroji funkcija;
4) Neperiodinis;
5) Sankirtos taškai su koordinačių ašimis:
Jautis: 5x - 3 \u003d 0, x \u003d 3/5, todėl (3/5; 0) yra susikirtimo su abscisių ašimi taškas.
Oy: y = -3, todėl (0; -3) - susikirtimo su y ašimi taškas;
6) y = 5x - 3 yra teigiamas x iš (3/5; +∞),
y = 5x - 3 - neigiamas x nuo (-∞; 3/5);
7) y = 5x - 3 padidėjimas visoje apibrėžimo srityje;
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
5. Monomiškas vadinamas skaitinių ir abėcėlinių veiksnių sandauga. Koeficientas vadinamas skaitiniu monomio koeficientu.
6. Norėdami parašyti monomiją standartine forma, jums reikia: 1) Padauginkite skaitinius veiksnius ir iškelkite jų produktą į pirmąją vietą; 2) Padauginkite laipsnius iš tų pačių bazių ir gautą sandaugą dėkite po skaitinio koeficiento.
7. Polinomas vadinamas algebrinė kelių vienanalių suma.
8. Padauginti vienanarį iš daugianario, reikia padauginti vienanarį iš kiekvieno daugianario nario ir pridėti gautus sandaugus.
9. Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, reikia padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario ir pridėti gautus sandaugus.
10. Galima nubrėžti tiesią liniją per bet kuriuos du taškus ir tik vieną.
11. Dvi linijos turi tik vieną bendrą tašką arba neturi bendrų taškų.
12. Dvi geometrinės figūros vadinamos lygiomis, jei jas galima uždėti.
13. Atkarpos taškas, dalijantis jį pusiau, tai yra į dvi lygias atkarpas, vadinamas atkarpos vidurio tašku.
14. Spindulys, sklindantis iš kampo viršūnės ir dalijantis jį į du lygius kampus, vadinamas kampo bisektoriumi.
15. Išvystytas kampas yra 180°.
16. Kampas vadinamas stačiu kampu, jei jis yra 90°.
17. Kampas vadinamas smailiu, jei jis yra mažesnis nei 90°, tai yra mažesnis už stačią kampą.
18. Kampas vadinamas buku, jei jis didesnis nei 90°, bet mažesnis nei 180°, t.y. didesnis nei stačiu kampu, bet mažesnis už tiesųjį.
19. Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du yra vienas kito išplėtimas, vadinami gretimais.
20. Gretimų kampų suma yra 180°.
21. Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kraštinių tęsinys.
22. Vertikalūs kampai lygūs.
23. Dvi susikertančios linijos vadinamos statmenomis (arba tarpusavyje
statmenai), jei jie sudaro keturis stačius kampus.
24. Dvi tiesės, statmenos trečiajai, nesikerta.
25. Padalinkite daugianario faktorių reiškia pavaizduoti jį kaip kelių vienanarių ir daugianarių sandaugą.
26. Polinomo faktorinavimo metodai:
a) skliausteliuose bendras veiksnys,
b) sutrumpintų daugybos formulių naudojimas,
c) grupavimas.
27. Norėdami padalyti daugianarį iš skliaustų išimant bendrą koeficientą, jums reikia:
a) rasti šį bendrą veiksnį,
b) išimkite jį iš skliaustų,
c) kiekvieną daugianario narį padalinkite iš šio koeficiento ir sudėkite gautus rezultatus.
Trikampių lygybės ženklai
1) Jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampas tarp jų, tai tokie trikampiai yra lygiaverčiai.
2) Jei vieno trikampio kraštinė ir du jai besiribojantys kampai yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir du kampai, esantys šalia jo, tai tokie trikampiai yra sutampa.
3) Jei vieno trikampio trys kraštinės yra atitinkamai lygios kito trikampio trims kraštinėms, tai tokie trikampiai yra sutampa.
Išsilavinimo minimumas
1. Faktorizavimas sutrumpintomis daugybos formulėmis:
a 2 – b 2 \u003d (a – b) (a + b)
a 3 – b 3 \u003d (a – b) (a 2 + ab + b 2)
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
2. Sutrumpintos daugybos formulės:
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
3. Linijos atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešingos kraštinės vidurio tašku, vadinama mediana trikampis.
4. Statmenas, nubrėžtas iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga kraštinė, vadinamas ūgio trikampis.
5. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs.
6. Lygiašonio trikampio pusė, nubrėžta į pagrindą, yra mediana ir aukštis.
7. Apskritimas vadinama geometrine figūra, susidedančia iš visų plokštumos taškų, esančių tam tikru atstumu nuo tam tikro taško.
8. Tai vadinama atkarpa, jungianti centrą su apskritimo tašku spindulys apskritimai .
9. Linijos atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama akordas.
Akordas, einantis per apskritimo centrą, vadinamas skersmuo
10. Tiesioginis proporcingumas y = kx , kur X yra nepriklausomas kintamasis, į yra ne nulis skaičius ( į yra proporcingumo koeficientas).
11. Tiesioginio proporcingumo grafikas yra tiesi linija, einanti per pradžią.
12. Tiesinė funkcija yra funkcija, kurią galima pateikti pagal formulę y = kx + b , kur X yra nepriklausomas kintamasis, į Ir b - kai kurie skaičiai.
13. Tiesinės funkcijos grafikas- yra tiesi linija.
14 X – funkcijos argumentas (nepriklausomas kintamasis)
adresu – funkcijos reikšmė (priklausomas kintamasis)
15. At b = 0 funkcija įgauna formą y=kx, jo grafikas eina per pradžią.
At k=0 funkcija įgauna formą y=b, jo grafikas yra horizontali linija, einanti per tašką ( 0;b).
Atitiktis tarp tiesinės funkcijos grafikų ir koeficientų k ir b ženklų
1. Vadinamos dvi tiesės plokštumoje lygiagrečiai, jei jie nesusikerta.
Tiesinė funkcija yra y=kx+b formos funkcija, kur x yra nepriklausomas kintamasis, k ir b yra bet kokie skaičiai.
Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija.
1. Norėdami nubraižyti funkcijų grafiką, mums reikia dviejų funkcijos grafikui priklausančių taškų koordinačių. Norėdami juos rasti, turite paimti dvi x reikšmes, pakeisti jas funkcijos lygtimi ir iš jų apskaičiuoti atitinkamas y reikšmes.
Pavyzdžiui, norint nubraižyti funkciją y= x+2, patogu imti x=0 ir x=3, tada šių taškų ordinatės bus lygios y=2 ir y=3. Gauname taškus A(0;2) ir B(3;3). Sujungkime juos ir gaukime funkcijos y= x+2 grafiką:
2.
Formulėje y=kx+b skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu:
jei k>0, tai funkcija y=kx+b didėja
jei k
Koeficientas b parodo funkcijos grafiko poslinkį išilgai OY ašies:
jei b>0, tai funkcijos y=kx+b grafikas gaunamas iš funkcijos y=kx grafiko, perkeliant b vienetus aukštyn išilgai OY ašies
jei b
Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti funkcijų y=2x+3 grafikai; y = ½x+3; y=x+3
Atkreipkite dėmesį, kad visose šiose funkcijose koeficientas k Virš nulio, ir funkcijos yra didėja. Be to, kuo didesnė k reikšmė, tuo didesnis tiesės polinkio kampas į teigiamą OX ašies kryptį.
Visose funkcijose b=3 - ir matome, kad visi grafikai kerta OY ašį taške (0;3)
Dabar apsvarstykite funkcijų y=-2x+3 grafikus; y=- ½ x+3; y=-x+3
Šį kartą visose funkcijose koeficientas k mažiau nei nulis ir funkcijos mažinti. Koeficientas b=3, o grafikai, kaip ir ankstesniu atveju, kerta OY ašį taške (0;3)
Panagrinėkime funkcijų y=2x+3 grafikus; y = 2x; y = 2x-3
Dabar visose funkcijų lygtyse koeficientai k yra lygūs 2. Ir gavome tris lygiagrečias tieses.
Tačiau koeficientai b yra skirtingi, ir šie grafikai kerta OY ašį skirtinguose taškuose:
Funkcijos y=2x+3 (b=3) grafikas kerta OY ašį taške (0;3)
Funkcijos y=2x (b=0) grafikas kerta OY ašį taške (0;0) - pradžios taške.
Funkcijos y=2x-3 (b=-3) grafikas kerta OY ašį taške (0;-3)
Taigi, jei žinome koeficientų k ir b požymius, tai iš karto galime įsivaizduoti, kaip atrodo funkcijos y=kx+b grafikas.
Jeigu k 0
Jeigu k>0 ir b>0, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:
Jeigu k>0 ir b, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:
Jeigu k, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:
Jeigu k=0, tada funkcija y=kx+b virsta funkcija y=b ir jos grafikas atrodo taip:
Funkcijos y=b grafiko visų taškų ordinatės lygios b Jei b = 0, tada funkcijos y=kx (tiesioginis proporcingumas) grafikas eina per pradžią:
3. Atskirai pažymime lygties x=a grafiką.Šios lygties grafikas yra lygiagreti OY ašiai tiesė, kurios visų taškų abscisė x=a.
Pavyzdžiui, lygties x=3 grafikas atrodo taip:
Dėmesio! Lygtis x=a nėra funkcija, nes viena argumento reikšmė atitinka skirtingas funkcijos reikšmes, o tai neatitinka funkcijos apibrėžimo.
4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlyga:
Funkcijos y=k 1 x+b 1 grafikas yra lygiagretus funkcijos y=k 2 x+b 2 grafikui, jei k 1 =k 2
5. Sąlyga, kad dvi tiesios linijos būtų statmenos:
Funkcijos y=k 1 x+b 1 grafikas yra statmenas funkcijos y=k 2 x+b 2 grafikui, jei k 1 *k 2 =-1 arba k 1 =-1/k 2
6. Funkcijos y=kx+b grafiko susikirtimo taškai su koordinačių ašimis.
su OY ašimi. Bet kurio taško, priklausančio OY ašiai, abscisė yra lygi nuliui. Todėl norint rasti susikirtimo tašką su OY ašimi, funkcijos lygtyje vietoj x reikia pakeisti nulį. Gauname y=b. Tai yra, susikirtimo taškas su OY ašimi turi koordinates (0;b).
Su x ašimi: bet kurio taško, priklausančio x ašiai, ordinatė yra lygi nuliui. Todėl norint rasti susikirtimo tašką su OX ašimi, funkcijos lygtyje vietoj y reikia pakeisti nulį. Gauname 0=kx+b. Taigi x=-b/k. Tai reiškia, kad susikirtimo taškas su OX ašimi turi koordinates (-b / k; 0):
Linijinė funkcija vadinama formos funkcija y = kx + b, apibrėžtas visų realiųjų skaičių aibėje. čia k– kampo koeficientas (realusis skaičius), b – nemokamas narys (tikrasis numeris), x yra nepriklausomas kintamasis.
Konkrečiu atveju, jei k = 0, gauname pastovią funkciją y=b, kurio grafikas yra tiesė, lygiagreti Ox ašiai, einanti per tašką su koordinatėmis (0;b).
Jeigu b = 0, tada gauname funkciją y=kx, kuris yra tiesiogiai proporcingai.
b – segmento ilgis, kuris nukerta liniją išilgai Oy ašies, skaičiuojant nuo pradžios.
Koeficiento geometrinė reikšmė k – pasvirimo kampas tiesiai į teigiamą Ox ašies kryptį laikoma prieš laikrodžio rodyklę.
Tiesinės funkcijos savybės:
1) Tiesinės funkcijos sritis yra visa realioji ašis;
2) Jeigu k ≠ 0, tada tiesinės funkcijos diapazonas yra visa tikroji ašis. Jeigu k = 0, tada tiesinės funkcijos diapazoną sudaro skaičius b;
3) Tiesinės funkcijos lygumas ir nelygumas priklauso nuo koeficientų verčių k Ir b.
a) b ≠ 0, k = 0, Vadinasi, y = b yra lyginis;
b) b = 0, k ≠ 0, Vadinasi y = kx yra nelyginis;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, Vadinasi y = kx + b yra bendroji funkcija;
d) b = 0, k = 0, Vadinasi y = 0 yra lyginė ir nelyginė funkcija.
4) Tiesinė funkcija neturi periodiškumo savybės;
5) Sankirtos taškai su koordinačių ašimis:
Jautis: y = kx + b = 0, x = -b/k, Vadinasi (-b/k; 0)- susikirtimo taškas su abscisių ašimi.
Oy: y=0k+b=b, Vadinasi (0;b) yra susikirtimo su y ašimi taškas.
Pastaba.Jei b = 0 Ir k = 0, tada funkcija y=0 išnyksta bet kuriai kintamojo vertei X. Jeigu b ≠ 0 Ir k = 0, tada funkcija y=b neišnyksta jokiai kintamojo vertei X.
6) Ženklo pastovumo intervalai priklauso nuo koeficiento k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b- teigiamas at x iš (-b/k; +∞),
y = kx + b- neigiamas at x iš (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b- teigiamas at x iš (-∞; -b/k),
y = kx + b- neigiamas at x iš (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b teigiamas visoje apibrėžimo srityje,
k = 0, b< 0; y = kx + b yra neigiamas visoje apibrėžimo srityje.
7) Tiesinės funkcijos monotoniškumo intervalai priklauso nuo koeficiento k.
k > 0, Vadinasi y = kx + b didėja visoje apibrėžimo srityje,
k< 0 , Vadinasi y = kx + b mažėja visoje apibrėžimo srityje.
8) Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesė. Norint nubrėžti tiesią liniją, pakanka žinoti du taškus. Tiesios linijos padėtis koordinačių plokštumoje priklauso nuo koeficientų verčių k Ir b. Žemiau yra lentelė, kuri tai aiškiai iliustruoja.
Kvadratinės funkcijos savybių ir grafikų užduotys, kaip rodo praktika, sukelia rimtų sunkumų. Tai gana keista, nes kvadratinė funkcija perduodama 8 klasėje, o tada visas pirmas 9 klasės ketvirtis „išspaudžiamas“ parabolės savybėmis ir statomi jos grafikai įvairiems parametrams.
Taip yra dėl to, kad versdami mokinius konstruoti paraboles, jie praktiškai neskiria laiko grafikų „skaitymui“, tai yra nepraktikuoja suvokti iš paveikslėlio gaunamos informacijos. Matyt, daroma prielaida, kad sukonstravęs dvi dešimtis grafų, protingas mokinys pats atras ir suformuluos ryšį tarp koeficientų formulėje ir grafiko išvaizdos. Praktiškai tai neveikia. Tokiam apibendrinimui reikalinga rimta matematinių mini tyrimų patirtis, kurios, žinoma, dauguma devintokų neturi. Tuo tarpu BIA jie siūlo koeficientų požymius nustatyti tiksliai pagal grafiką.
Nereikalausime iš moksleivių neįmanomo ir tiesiog pasiūlysime vieną iš tokių problemų sprendimo algoritmų.
Taigi, formos funkcija y=ax2+bx+c vadinamas kvadratiniu, jo grafikas yra parabolė. Kaip rodo pavadinimas, pagrindinis komponentas yra kirvis 2. T.y bet neturėtų būti lygus nuliui, likę koeficientai ( b Ir iš) gali būti lygus nuliui.
Pažiūrėkime, kaip jos koeficientų ženklai įtakoja parabolės išvaizdą.
Paprasčiausia koeficiento priklausomybė bet. Dauguma moksleivių užtikrintai atsako: „jei bet> 0, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jei bet < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой bet > 0.
y = 0,5x2 – 3x + 1
Tokiu atveju bet = 0,5
O dabar už bet < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Tokiu atveju bet = - 0,5
Koeficiento įtaka iš taip pat pakankamai lengva sekti. Įsivaizduokite, kad norime rasti funkcijos reikšmę taške X= 0. Pakeiskite nulį formulėje:
y = a 0 2 + b 0 + c = c. Pasirodo, kad y = c. T.y iš yra parabolės ir y ašies susikirtimo taško ordinatės. Paprastai šį tašką lengva rasti grafike. Ir nustatykite, ar jis yra aukščiau nulio, ar žemiau. T.y iš> 0 arba iš < 0.
iš > 0:
y=x2+4x+3
iš < 0
y = x 2 + 4x - 3
Atitinkamai, jei iš= 0, tada parabolė būtinai pereis per pradžią:
y=x2+4x
Su parametru sunkiau b. Taškas, kuriuo jį rasime, priklauso ne tik nuo b bet ir iš bet. Tai yra parabolės viršus. Jo abscisė (ašies koordinatė X) randama pagal formulę x in \u003d - b / (2a). Šiuo būdu, b = - 2ax in. Tai yra, elgiamės taip: grafike randame parabolės viršūnę, nustatome jos abscisės ženklą, tai yra, žiūrime į dešinę nuo nulio ( x in> 0) arba į kairę ( x in < 0) она лежит.
Tačiau tai dar ne viskas. Taip pat turime atkreipti dėmesį į koeficiento ženklą bet. Tai yra, norėdami pamatyti, kur nukreiptos parabolės šakos. Ir tik po to, pagal formulę b = - 2ax in nustatyti ženklą b.
Apsvarstykite pavyzdį:
Šakos nukreiptos į viršų bet> 0, parabolė kerta ašį adresužemiau nulio reiškia iš < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Taigi b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: bet > 0, b < 0, iš < 0.