Функцията на Лаплас е неелементарна функция и често се използва както в теорията на диференциалните уравнения и теорията на вероятностите, така и в статистиката. Функцията Лаплас изисква определен набор от знания и обучение, тъй като ви позволява да решавате различни проблеми в областта на приложното и теоретично приложение.
Функцията на Лаплас често се използва за решаване на диференциални уравнения и често се нарича интеграл на вероятността. Нека видим как тази функция може да се използва в Excel и как работи.
Операторът "NORMSTRASP" съответства на интеграла на вероятността или функцията на Лаплас в Excel, която има синтаксис: "= NORMSTRASP (z). В по-новите версии на програмата операторът също има името "NORM.ST.DIST." и леко модифициран синтаксис „= NORM.ST.DIST (z; кумулативно).
Аргументът "Z" е отговорен за числовата стойност на разпределението. Аргумент "Кумулативен" - връща две стойности - "1" - функция за кумулативно разпределение, "0" - функция за разпределение на тежестта.
С подредена теория. Да преминем към практиката. Помислете за използването на функцията Laplace в Excel.
1. Нека напишем стойността в клетката, вмъкваме функцията в следващата.
2. Нека запишем функцията ръчно “= NORM.ST.DIST (B4; 1).
3. Или ще използваме съветника за вмъкване на функции - отидете в категорията „Статично“ и посочете „Пълен азбучен списък“.
4. В появилия се прозорец с аргументи на функцията посочете първоначалните стойности. За променливата "Z" ще отговаря нашата оригинална клетка, а в "Интеграл" ще вмъкнем "1". Нашата функция ще върне функцията за кумулативно разпределение.
5. Получаваме готово решение на стандартното нормално кумулативно разпределение за дадената функция "NORM.ST.DIST". Но това не е всичко, нашата цел беше да намерим функцията на Лаплас или интеграла на вероятността, така че нека направим още няколко стъпки.
6. Функцията на Лаплас предполага, че от стойността на получената функция трябва да се извади "0,5". Добавяме необходимата операция към функцията. Натиснете "Enter" и вземете окончателното решение. Желаната стойност е правилна и бързо намерена.
Excel може лесно да изчисли тази функция за всяка стойност на клетка, диапазон от клетки или препратки към клетки. Функцията "NORM.ST.DIST" е стандартен оператор за намиране на интеграла на вероятността или, както още се нарича, функцията на Лаплас.
формула на Байес
Събития B 1, B 2, ..., B n са несъвместими и образуват пълна група, т.е. P (B 1) + P (B 2) + ... + P (B n) = 1. И нека събитието A може да се случи само когато се появи едно от събитията B 1, B 2,…, B n. Тогава вероятността за събитие А се намира по формулата за общата вероятност.
Нека събитие А вече се е случило. Тогава вероятностите на хипотези В 1, В 2, ..., В n могат да бъдат преоценени по формулата на Байес:
Формулата на Бернули
Нека се извършат n независими теста, при всяко от които събитие A може да се случи или не. Вероятността за настъпване (не настъпване) на събитие А е същата и е равна на p (q = 1-p).
Вероятността в n независими теста събитие A ще се случи точно по същото време (според фиг. в каква последователност) се намира по формулата на Бернули:
Вероятността при n независими изпитания да се случи събитието:
а). По-малко пъти P n (0) + P n (1) +… + P n (k-1).
б). Повече до пъти P n (k + 1) + P n (k + 2) +… + P n (n).
v). най-малко k пъти P n (k) + P n (k + 1) +… + P n (n).
G). най-много k пъти P n (0) + P n (1) +… + P n (k).
Локални и интегрални теореми на Лаплас.
Използваме тези теореми, когато n е достатъчно голямо.
Локална теорема на Лаплас
Вероятността при n независими теста събитието да се случи точно `k' пъти е приблизително равна на:
Таблицата на функциите за положителни стойности (x) е дадена в проблемната книга на Гмурман в Приложение 1, стр. 324-325.
Тъй като е четно (), ние използваме същата таблица за отрицателни стойности (x).
Интегрална теорема на Лаплас.
Вероятността при n независими теста събитието да се случи поне `k' пъти е приблизително равна на:
Функция на Лаплас
Таблица с функции за положителни стойности е дадена в проблемната книга на Гмурман в Приложение 2, стр. 326-327. За стойности, по-големи от 5, поставяме Ф (х) = 0,5.
Тъй като функцията на Лаплас е нечетна Ф (-х) = - Ф (х), тогава за отрицателни стойности (х) използваме същата таблица, само че вземаме стойностите на функцията със знак минус.
Законът за разпределението на вероятностите за дискретна случайна променлива
Закон за биномиално разпределение.
Отделен- произволна променлива, чиито възможни стойности са отделни изолирани числа, които това количество приема с определени вероятности. С други думи, възможните стойности на дискретна случайна променлива могат да бъдат номерирани.
Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен.
Дискретните произволни променливи се обозначават с главни букви X, а възможните им стойности са обозначени с малки букви x1, x2, x3 ...
например.
X е броят на точките, пуснати върху заровете; X приема шест възможни стойности: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6 с вероятности p1 = 1/6, p2 = 1/6, p3 = 1/6 .. p6 = 1/6.
Законът за разпределението на дискретна случайна променливасе нарича списък с възможните му стойности и съответните вероятности.
Законът за разпределението може да бъде зададен:
1. под формата на таблица.
2. Аналитично – под формата на формула.
3. графично. В този случай точки M1 (x1, p1), M2 (x2, p2), ... Mn (xn, pn) са построени в правоъгълна координатна система XOP. Тези точки са свързани чрез отсечки. Получената фигура се нарича разпределителен полигон.
За да напишете закона за разпределение на дискретна случайна променлива (x), е необходимо да се изброят всичките й възможни стойности и да се намерят съответните вероятности.
Ако съответните вероятности се намират по формулата на Бернули, тогава такъв закон за разпределение се нарича биномен.
Пример № 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Числени стойности на дискретни случайни променливи.
Математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение.
Характеристика на средната стойност на дискретна случайна променлива е математическото очакване.
Математическо очакванедискретна случайна променлива е сумата от произведенията на всичките й възможни стойности по техните вероятности. Тези. ако е даден законът на разпределението, тогава математическото очакване
Ако броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива е безкраен, тогава
Освен това редът от дясната страна на равенството се сближава абсолютно и сумата от всички вероятности pi е равна на единица.
Свойства на математическите очаквания.
1.M (C) = C, C = пост.
2.M (Cx) = CM (x)
3.M (x1 + x2 + ... + xn) = M (x1) + M (x2) + ... + M (xn)
4. M (x1 * x2 * ... * xn) = M (x1) * M (x2) * ... * M (xn).
5. За закона за биномното разпределение математическото очакване се намира по формулата:
Характеристиката на разсейването на възможните стойности на произволна величина около математическото очакване е дисперсията и стандартното отклонение.
Дисперсиядискретна случайна променлива (x) се нарича математическо очакване на квадрата на отклонението. D (x) = M (x-M (x)) 2.
Удобно е да се изчисли дисперсията по формулата: D (x) = M (x 2) - (M (x)) 2.
Дисперсионни свойства.
1.D (S) = 0, S = константа.
2.D (Cx) = C 2 D (x)
3. D (x1 + x2 + ... + xn) = D (x1) + D (x2) + ... + D (xn)
4. Дисперсия на биномния закон за разпределение
Средно квадратно отклонениепроизволна променлива се нарича корен квадратен от дисперсията.
примери. 191, 193, 194, 209, д/з.
Кумулативна функция на разпределение (IGF, FD) на вероятностите за непрекъсната случайна променлива (NSV). Непрекъснато- количество, което може да вземе всички стойности от определен краен или безкраен интервал. Броят на възможните стойности на NWS е наличен и не може да бъде преномериран.
например.
Разстоянието, което снарядът изминава при изстрел е NSV.
IGF се нарича функция F (x), която определя, за всяка стойност на x, вероятността NSV X да приеме стойността X<х, т.е. F(x)=Р(X Често вместо IGF казват FR. Геометрично, равенството F (x) = P (X IF свойства. 1. Стойността IF принадлежи на интервала, т.е. F (x). 2. IF е ненамаляваща функция, т.е. x2> x1 ,. Следствие 1. Вероятността NSV X да приеме стойността, включена в интервала (a; c) е равна на нарастването на интегралната функция на този интервал, т.е. П (а Следствие 2. Вероятността NSV X да приеме една определена стойност, например x1 = 0, е равна на 0, т.е. P (x = x1) = 0. 3. Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат на (a; c), тогава F (x) = 0 за x<а, и F(x)=1 при х>v. Следствие 3. Валидни са следните гранични отношения. Функция на диференциално разпределение (DFD) на вероятностите на непрекъсната случайна променлива (DCV) (плътност на вероятностите). DF f (x)разпределението на вероятностите на NSV наричаме първото производно на IGF: Често вместо FDR се казва плътност на вероятността (PV). От дефиницията следва, че като се знае IF F (x), може да се намери DF f (x). Но се извършва и обратната трансформация: знаейки DF f (x), може да се намери IF F (x). Вероятността NSV X да приеме стойност, принадлежаща на (a; c), се намира: А). Ако е дадено IF - следствие 1. Б). Ако е даден DF DF свойства. 1. DF - не е отрицателен, т.е. ... 2. неправилният интеграл от DF в рамките на () е равен на 1, т.е. ... Следствие 1. Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат на (a; c), тогава. Примери. No 263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/з. Числени характеристики на NSV. 1. Математическото очакване (MO) на NSV X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос OX, се определя по формулата: Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат към (a; c), тогава MO се определя по формулата: Всички свойства на МО, посочени за дискретни количества, също се запазват за непрекъснати количества. 2. Дисперсията на NSV X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос OX, се определя по формулата: Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат към (a; c), тогава дисперсията се определя по формулата: Всички дисперсионни свойства, посочени за дискретни количества, се запазват за непрекъснати количества. 3. Средноквадратичното отклонение на NSV X се определя по същия начин, както при дискретните стойности: Примери. No 276, 279, X, д/з. Оперативно смятане (OI). OI е метод, който ви позволява да намалите операциите на диференциране и интегриране на функции до по-прости действия: умножение и деление по аргумент на така наречените образи на тези функции. Използването на OI улеснява решаването на много проблеми. По-специално, проблемите за интегриране на LDE с постоянни коефициенти и системи от такива уравнения, свеждането им до линейни алгебрични. Оригинали и изображения. Лаплас трансформира. f (t) -оригинал; F (p) -изображение. Преходът f (t) F (p) се нарича Преобразуване на Лаплас. Преобразуването на Лаплас на функция f (t) се нарича F (p), което зависи от комплексна променлива и се дефинира от формулата: Този интеграл се нарича интеграл на Лаплас. За сближаването на този неправилен интеграл е достатъчно да приемем, че в интервала f (t) той е накъсо непрекъснат и за някои константи M> 0 и удовлетворява неравенството Извиква се функция f (t) с такива свойства оригинален, а преходът от оригинала към неговия образ се нарича Преобразуване на Лаплас. Свойства на преобразуване на Лаплас. Директното определяне на изображения по формула (2) обикновено е трудно и може да бъде значително улеснено чрез използване на свойствата на преобразуването на Лаплас. Нека F (p) и G (p) са образите съответно на оригиналите f (t) и g (t). Тогава са валидни следните свойства-отношения: 1.C * f (t) C * F (p), C = const - свойството на хомогенност. 2.f (t) + g (t) F (p) + G (p) -свойство на адитивност. 3. f (t) F (p-) -теорема за преместване. преход на n-то производно на оригинала в образа (теоремата за диференциране на оригинала). Една от най-известните неелементарни функции, която се използва в математиката, в теорията на диференциалните уравнения, в статистиката и в теорията на вероятностите, е функцията на Лаплас. Решаването на проблеми с него изисква значителна подготовка. Нека да разберем как можете да използвате инструментите на Excel, за да изчислите този индикатор. Функцията на Лаплас има широко приложни и теоретични приложения. Например, доста често се използва за решаване на диференциални уравнения. Този термин има друго еквивалентно име - интеграл на вероятността. В някои случаи основата за решението е изграждането на таблица със стойности. В Excel посочената задача се решава с помощта на оператора СТАНДАРТНО РАЗСТ... Името му е съкращение от нормално стандартно разпределение. Тъй като основната му задача е да върне стандартното нормално кумулативно разпределение към избраната клетка. Този оператор принадлежи към статистическата категория на стандартните функции на Excel. В Excel 2007 и в по-ранни версии на програмата този оператор беше извикан НОРМСТРАСП... От съображения за съвместимост той е запазен в съвременните версии на приложенията. Но все пак се препоръчва използването на по-усъвършенстван аналог в тях - СТАНДАРТНО РАЗСТ. Синтаксис на оператора СТАНДАРТНО РАЗСТкакто следва: СТАНДАРТНА ST.DIST (z; кумул.) Оттеглен оператор НОРМСТРАСПнаписано така: NORMSTRASP (z) Както можете да видите, в новата версия на съществуващия аргумент "Z"добавен аргумент "интеграл"... Трябва да се отбележи, че всеки аргумент е задължителен. Аргумент "Z"обозначава числовата стойност, за която е начертано разпределението. Аргумент "интеграл"представлява булева стойност, която може да бъде представена "ВЯРНО" ("един")или "ЛЪЖА" («0»)
... В първия случай функцията за кумулативно разпределение се връща към посочената клетка, а във втория - функцията за разпределение на теглото. За да се извърши необходимото изчисление за променлива, се прилага следната формула: СТАНДАРТНО РАЗСТОЯНИЕ (z; кумулативно (1)) - 0,5 Сега нека разгледаме използването на оператора СТАНДАРТНО РАЗСТза решаване на конкретен проблем. Тази статия е естествено продължение на урока за независими тестовекъдето се срещнахме по формулата на Бернулии разработиха типични примери по темата. Локалните и интегрални теореми на Лаплас (Moivre-Laplace) решават подобен проблем с тази разлика, че са приложими за доста голям брой независими тестове. Няма нужда да се замъгляват думите „местен”, „интеграл”, „теореми” – материалът се усвоява със същата лекота, с която Лаплас потупа къдравата глава на Наполеон. Следователно, без никакви комплекси и предварителни забележки, веднага ще разгледаме демонстрационен пример: Монетата се хвърля 400 пъти. Намерете вероятността главите да кацнат 200 пъти. Според характерните особености трябва да се приложи тук Формула на Бернули - вероятността при независими тестове случайно събитие да се случи точно веднъж; Във връзка с нашата задача: По този начин, вероятността в резултат на 400 хвърляния на монета глави да паднат точно 200 пъти: ... Спрете, какво да правите след това? Микро калкулаторът (поне моят) не се справи с 400-та степен и капитулира пред факториали... Но не исках да броим работата =) Да използваме стандартна функция на Excel, който успя да обработи чудовището:. Обръщам внимание на полученото точенсмисъл и такова решение изглежда перфектно. На пръв поглед. Ето някои убедителни контрааргументи: - първо, софтуерът може да не е под ръка; Ето защо, скъпи читатели, в близко бъдеще очакваме: Ако вероятността за възникване на случайно събитие във всеки тест е постоянна, тогава вероятността събитието да се случи точно веднъж в тестовете е приблизително равна на: В този случай, колкото по-голяма, изчислената вероятност ще се приближи по-добре до точната получена стойност (поне хипотетично)по формулата на Бернули. Препоръчителният минимален брой тестове е приблизително 50-100, в противен случай резултатът може да е далеч от истината. Освен това местната теорема на Лаплас работи толкова по-добре, колкото по-близо е вероятността до 0,5 и обратно - дава значителна грешка при стойности, близки до нула или едно. Поради тази причина друг критерий за ефективно използване на формулата Така например, ако, тогава прилагането на теоремата на Лаплас за 50 теста е оправдано. Но ако и, тогава приближението (до точна стойност)ще бъде лошо. Защо и специална функция Нека формализираме официалните отношения с нашия пример: Проблем 1 Монетата се хвърля 400 пъти. Намерете вероятността главите да излязат точно: а) 200 пъти; Откъде да започна решение? Първо, нека запишем известните стойности, така че да са пред очите ни: - общия брой независими тестове; а) Нека намерим вероятността в серия от 400 хвърляния глави да изпаднат точно веднъж. Поради големия брой тестове, ние използваме локалната теорема на Лаплас: На първата стъпка изчисляваме необходимата стойност на аргумента: След това намираме съответната стойност на функцията:. Това може да стане по няколко начина. На първо място, разбира се, директните изчисления предполагат сами: Недостатъкът на директното изчисление е, че не всеки микрокалкулатор може да усвои степента, а освен това изчисленията не са много приятни и отнемат време. Защо страда толкова много? Използвайте калкулатор по територия (точка 4)и получавайте стойности незабавно! Освен това има таблица със стойности на функцията, което има в почти всяка книга по теория на вероятностите, по-специално в учебника V.E. Гмурман... Изтеглете, който все още не е изтеглил - като цяло има много полезна информация ;-) И не забравяйте да научите как да използвате електронна таблица (точно сега!)- винаги може да няма подходяща компютърна технология под ръка! На последния етап ще приложим формулата Както можете да видите, полученият резултат е много близък до точната стойност, изчислена по Формула на Бернули. б) Нека намерим вероятността в серия от 400 теста глави да паднат точно веднъж. Използваме локалната теорема на Лаплас. Едно, две, три - и сте готови: Е необходимата вероятност. Отговор: Следващият пример, както мнозина предположиха, е посветен на раждането - и това трябва да решите сами :) Задача 2 Вероятността да имаш момче е 0,52. Намерете вероятността сред 100 новородени да има точно: а) 40 момчета, б) 50 момчета, в) 30 момичета. Закръглете резултатите до 4 знака след десетичната запетая. ... Интересно е, че тук звучи фразата "независими тестове" =) Между другото, истинската статистическа вероятностраждането на момче в много региони на света варира от 0,51 до 0,52. Приблизителна извадка за дизайн на задачата в края на урока. Всички забелязаха, че числата се оказват достатъчно малки и това не трябва да е подвеждащо - в крайна сметка говорим за вероятностите, взети поотделно, местенстойности (оттук и името на теоремата). И има много такива стойности и, образно казано, вероятността „трябва да е достатъчна за всички“. Вярно е, че много събития ще почти невъзможно. Нека обясня горното с помощта на пример с монети: в серия от четиристотин теста орелът може теоретично да падне от 0 до 400 пъти и тези събития се формират пълна група: Повечето от тези стойности обаче са съвсем минимални, така че, например, вероятността главите да паднат 250 пъти вече е десет милиона:. Относно стойности като От друга страна, скромните резултати не бива да се подценяват: ако става въпрос само за, тогава вероятността глави да паднат, да речем, от 220 до 250 пътище бъде доста забележим. Сега нека помислим: как да изчислим тази вероятност? Не броете по теорема за добавяне за вероятностите на непоследователни събитияколичество: Тези стойности са много по-прости обединете се... И комбинацията от нещо, както знаете, се нарича интегриране: Ако вероятността за възникване на случайно събитие във всеки тест е постоянна, тогава вероятността В този случай броят на тестовете, разбира се, също трябва да бъде достатъчно голям и вероятността да не е твърде малка / висока. (условно), в противен случай приближението ще бъде маловажно или лошо. Функцията се извиква Функция на Лаплас, а стойностите му отново са обобщени в стандартна таблица ( намерете и се научете да работите с него !!). Микрокалкулаторът няма да помогне тук, тъй като интегралът е непроменлив. Но Excel има съответна функционалност - използване точка 5 дизайн оформление. На практика най-често се срещат следните стойности: Освен това функцията на Лаплас странно: Проблем 3 Вероятността за уцелване на целта от стрелеца е 0,7. Намерете вероятността при 100 изстрела целта да бъде улучена от 65 до 80 пъти. Избрах най-реалистичния пример, иначе открих няколко проблема, при които стрелецът прави хиляди изстрели =) Решение: в този проблем, за който говорим многократни независими тестове, а броят им е доста голям. Съгласно условието е необходимо да се намери вероятността целта да бъде ударена най-малко 65, но не повече от 80 пъти, което означава, че трябва да използвате интегралната теорема на Лаплас:, където За удобство нека пренапишем първоначалните данни в колона: Следователно теоремата на Лаплас ще даде добро приближение. Нека да изчислим стойностите на аргументите: Използваме горната таблица или изчислителна схема от terver (точка 5). Не забравяйте да използвате нечетната функция!За всеки случай ще напиша подробно: Отговор: Резултатът най-често се закръглява до 4 знака след десетичната запетая. (отново според формата на таблицата). За независимо решение: Проблем 4 Сградата разполага с 2500 лампи, като вероятността всяка от тях да бъде включена вечер е 0,5. Намерете вероятността вечерта да бъдат включени не по-малко от 1250 и не повече от 1275 лампи. Приблизителен пример за завършване в края на урока. Трябва да се отбележи, че разглежданите задачи много често се срещат в "безлична" форма, например: Прави се някакъв експеримент, при който може да се появи случайно събитие с вероятност 0,5. Експериментът се повтаря 2500 пъти при непроменени условия. Определете вероятността в 2500 експеримента събитието да се случи от 1250 до 1275 пъти И подобни формулировки са над покрива. Поради стереотипните задачи те често се опитват да прикрият състоянието - това е "единственият шанс" по някакъв начин да разнообразят и усложнят решението: Проблем 5 В института се обучават 1000 студенти. Трапезарията разполага със 105 места. Всеки ученик отива в кафенето по време на голямото междучасие с вероятност 0,1. Каква е вероятността в един типичен учебен ден: а) трапезарията ще бъде пълна не повече от две трети; Бих искал да насоча вниманието ви към съществената клауза „в НОРМАЛЕН учебен ден” - тя гарантира, че ситуацията е относително непроменена. След ваканцията може да дойдат значително по-малко студенти в института и гладна делегация може да слезе на „Ден на отворените врати“ =) Тоест в „необичаен“ ден вероятностите ще се различават значително. Решение: използваме интегралната теорема на Лаплас, където В тази задача: а) Изчислете колко места са две трети от общия брой: места Намерете вероятността в един типичен учебен ден кафенето да е пълно не повече от две трети. Какво означава? Това означава, че на голямото междучасие ще дойдат от 0 до 70 души. Това, че никой няма да дойде или ще дойдат само няколко студенти – има събития почти невъзможно, обаче, за да се приложи интегралната теорема на Лаплас, тези вероятности все пак трябва да се вземат предвид. По този начин: Нека изчислим съответните аргументи: Като резултат: Напомняне
: за, функцията на Лаплас се приема за равна. Рояк обаче =) б) Събитие „Няма да има достатъчно места за всички“се състои във факта, че от 106 до 1000 души ще дойдат в трапезарията на голямото междучасие (основното е да запечатате добре =)).Ясно е, че високата посещаемост е невероятна, но въпреки това: Изчисляваме аргументите: По този начин вероятността няма да има достатъчно места за всички: Отговор: Сега нека се спрем на едно важен нюансметод: когато извършваме изчисления на единичен сегмент, тогава всичко е "безоблачно" - решете според разглеждания шаблон. Въпреки това, в случай на разглеждане пълна група от събитиятрябва да покаже определена точност... Нека обясня тази точка, като използвам примера на току-що анализирания проблем. В точката "bh" открихме вероятността да няма достатъчно места за всички. Освен това, според същата схема, ще изчислим: След тези събития противоположно, тогава сумата от вероятностите трябва да е равна на едно: Какъв е проблема? - тук всичко изглежда логично. Въпросът е, че функцията на Лаплас е непрекъснато, но не сме взели предвид интервалот 105 до 106. Това е мястото, където изчезна парче от 0,0338. Така по същата стандартна формулатрябва да изчисли: Е, или още по-просто: Възниква въпросът: ами ако намерим ПЪРВИ? Тогава ще има друга версия на решението: Но как може това да бъде?! - различни отговори се получават по два начина! Това е просто: интегралната теорема на Лаплас е метод приблизителноизчисления и следователно и двете са приемливи. За по-точни изчисления трябва да използвате по формулата на Бернулии например функцията на Excel БИНОМДИСТ... Като резултат неговото приложениеполучаваме: И изказвам благодарността си на един от посетителите на сайта, който обърна внимание на тази тънкост - тя изпадна от полезрението ми, тъй като изучаването на пълна група събития рядко се среща на практика. Желаещите могат да се запознаят 2.1. Функция на Лаплас (интеграл на вероятността)изглежда като: Графиката на функцията на Лаплас е показана на фиг.5. Функция Ф(х) е таблично (виж таблица 1 от приложението). За да приложите тази таблица, трябва да знаете свойства на функцията на Лаплас: 1) Функция Ф ( х) странно: Ф(-х)= -Ф(х). 2) Функция Ф(х) монотонно нараства. 3) Ф(0)=0. 4) Ф(+¥
)=0,5; Ф(-¥
) = - 0,5. На практика можем да приемем, че за x³5 функцията Ф(х) = 0,5; за x £ -5 функцията Ф(х)=-0,5. 2.2.
Има и други форми на функцията на Лаплас: За разлика от тези форми, функцията Ф(х) се нарича стандартна или нормализирана функция на Лаплас. Свързва се с други форми на взаимоотношения: ПРИМЕР 2.Непрекъсната произволна променлива хима нормално разпределение с параметри: м=3, с= 4. Намерете вероятността, че в резултат на теста, произволна променлива х: а) ще приеме стойността, затворена в интервала (2; 6); б) ще приеме стойност по-малка от 2; в) ще приеме стойност, по-голяма от 10; г) се отклонява от математическото очакване със сума не по-голяма от 2. Илюстрирайте графично решението на задачата. Решение.а) Вероятността нормална случайна променлива хпопада в посочения интервал ( а, б), където а= 2 и б= 6 е равно на: Стойности на функцията на Лаплас F (x)определена съгласно таблицата, дадена в приложението, като се има предвид, че Ф(–х)= –Ф(х). б) Вероятността нормална случайна променлива хприема стойност, по-малка от 2, е равна на: в) Вероятността нормална случайна променлива хприема стойност, по-голяма от 10, е равна на: г) Вероятността нормална случайна променлива х д= 2, е равно на: Геометрично изчислените вероятности са числено равни на щрихованите области под нормалната крива (виж фиг. 6). Ориз. 6. Нормална крива за произволна променлива х~н(3;4) Решение.Математическото очакване на случайни грешки е нула м хсе отклонява от математическото очакване със сума, по-малка от д= 15 е равно на: ПРИМЕР 4... Машината произвежда топки. Топката се счита за добра, ако има отклонение хдиаметърът на топката от проектния размер в абсолютна стойност е по-малък от 0,7 mm. Ако приемем, че случайната променлива хразпределени нормално със стандартно отклонение от 0,4 мм, намерете средния брой добри топки сред 100 произведени. Решение.Случайна стойност х- отклонение на диаметъра на топката от проектния размер. Математическото очакване на отклонението е нула, т.е. М(х)=м= 0. Тогава вероятността нормалната случайна променлива хсе отклонява от математическото очакване със сума, по-малка от д= 0,7, е равно на: От това следва, че приблизително 92 топки от 100 ще бъдат използвани. ПРИМЕР 5.Докажете правилото „3 с». Решение.Вероятността нормална случайна променлива хсе отклонява от математическото очакване със сума, по-малка от d = 3с, е равно на: ПРИМЕР 6.Случайна стойност хнормално разпределени с математическо очакване м= 10. Вероятност за удар хв интервала (10, 20) е 0,3. Каква е вероятността за удар хв интервала (0, 10)? Решение.Нормална крива, симетрична около права линия х=м= 10; следователно областите, ограничени отгоре от нормалната крива и отдолу от интервалите (0, 10) и (10, 20), са равни една на друга. Тъй като площите са числено равни на вероятностите за попадане хв съответния интервал, тогава.
Оператор NORM.ST.DIST
Решението на проблема
Локални и интегрални теореми на Лаплас
... Нека си припомним значението на тези букви:
– биномен коефициент;
- вероятността за възникване на събитие във всеки тест;
- общия брой на тестовете;
- броят на хвърлянията, при които трябва да паднат глави;
- и второ, решението ще изглежда извън кутията (със значителна вероятност ще трябва да преразгледате);Локална теорема на Лаплас
, където .
е изпълнението на неравенството ()
.
ще говорим в урока за нормално разпределение на вероятностите, но засега се нуждаем от официална изчислителна страна на въпроса. По-специално, важен факт е паритеттази функция: 
.
б) 225 пъти.
- вероятността за получаване на глави при всяко хвърляне;
- вероятността за получаване на опашки.
, където 
.
Закръгляването се извършва като правило до 4 знака след десетичната запетая.
:
- вероятността при 400 хвърляния на монета глави да паднат точно 200 пъти.
тактично мълчи =)Интегрална теорема на Лаплас
че в изпитанията събитието ще дойде не по-малко и не повече пъти (от до часове включително), е приблизително равно на:
- пренапишете го в бележника си.
Като начало можем да предположим, че или, казано по-строго: 
, и това свойство се използва активно в задачи, които вече са ни чакали:
- общи изстрели;
- минималния брой попадения;
- максималният брой попадения;
- вероятността за уцелване на целта с всеки изстрел;
- вероятността за пропускане при всеки удар.
Обръщам вниманието ви на факта, че работата не трябва да бъде напълно извлечена от корена (тъй като авторите на проблеми обичат да "настройват" числата)- без сянка на съмнение извлечете корена и закръглете резултата; Свикнал съм да оставям 4 знака след десетичната запетая. Но получените стойности обикновено се закръгляват до 2 знака след десетичната запетая - от тази традиция идва таблици със стойности на функциитекъдето аргументите са представени точно такива, каквито са.
Като писмен коментар ви съветвам да поставите следната фраза: намираме стойностите на функцията според съответната таблица:
- вероятността при 100 изстрела целта да бъде улучена от 65 до 80 пъти.
Факт е, че таблица със стойности на функциятасъдържа само положително "x" и ние работим (поне според "легендата")с маса!
б) няма да има достатъчно места за всички.
- всички студенти в института;
- вероятността ученикът да отиде в кафенето по време на голямо междучасие;
- вероятността за обратното събитие.
- вероятността в типичен учебен ден кафенето да е пълно не повече от две трети.
.
- вероятността да има достатъчно места.
и 
1 5
ПРИМЕР 3.Диаметърът на вала се измерва без систематични (един знак) грешки. Случайните грешки при измерване са обект на нормалния закон за разпределение със стандартно отклонение от 10 mm. Намерете вероятността измерването да бъде направено с грешка, която не надвишава 15 mm по абсолютна стойност.