Нека функцията е дефинирана параметрично:
(1)
където е някаква променлива, наречена параметър. И нека функциите и имат производни при някаква стойност на променливата. Освен това функцията има и обратна функция в някои околности на точката. Тогава функция (1) има производна в точката, която в параметрична форма се определя от формулите:
(2)

Тук и са производни на функции и по отношение на променлива (параметър). Те често се пишат по следния начин:
;
.

Тогава системата (2) може да се запише по следния начин:

Доказателство

По условие функцията има обратна функция. Нека го означим като
.
Тогава оригиналната функция може да бъде представена като сложна функция:
.
Нека намерим нейната производна, използвайки правилата за диференциране на комплексни и обратни функции:
.

Правилото е доказано.

Доказателство по втория начин

Нека намерим производната по втория начин, въз основа на дефиницията на производната на функцията в точката:
.
Нека въведем обозначението:
.
Тогава предишната формула приема формата:
.

Ще използваме факта, че функцията има обратна функция в близост до точката.
Нека въведем обозначението:
; ;
; .
Разделете числителя и знаменателя на дроба на:
.
При , . Тогава
.

Правилото е доказано.

Деривати от по-висок порядък

За намиране на производни от по-висок порядък е необходимо да се извърши диференциране няколко пъти. Да предположим, че трябва да намерим производната от втори ред на параметрично дефинирана функция от следната форма:
(1)

Използвайки формула (2), намираме първата производна, която също се определя параметрично:
(2)

Нека означим първата производна с променлива:
.
След това, за да намерите втората производна на функция по отношение на променлива, трябва да намерите първата производна на функция по отношение на променлива. Зависимостта на променлива от променлива също се дефинира параметрично:
(3)
Сравнявайки (3) с формули (1) и (2), намираме:

Сега нека изразим резултата като функции и. За да направите това, заместваме и прилагаме формулата за производната на фракцията:
.
Тогава
.

От това получаваме втората производна на функцията по отношение на променливата:

Освен това е параметричен. Имайте предвид, че първият ред може да бъде написан и така:
.

Продължавайки процеса, можете да получите производните на функцията на променливата от трети и по-високи порядки.

Имайте предвид, че е възможно да се пропусне нотацията за производната. Може да се напише така:
;
.

Пример 1

Намерете производната на функция, дефинирана параметрично:

Решение

Намерете производни по отношение на.
От таблицата на производните намираме:
;
.
Ние прилагаме:

.
Тук .

.
Тук .

Желаната производна:
.

Отговор

Пример 2

Намерете производната на функцията, изразена чрез параметър:

Решение

Нека разширим скобите с помощта на формули за степенни функции и корени:
.

Намерете производната:

.

Намерете производната. За да направим това, въвеждаме променлива и прилагаме формулата за производната на сложна функция.

.

Намерете желаната производна:
.

Отговор

Пример 3

Намерете производните на втория и третия ред на функцията, дадена параметрично в пример 1:

Решение

В пример 1 открихме производната от първи ред:

Нека представим нотацията. Тогава функцията е производна по отношение на. Посочва се параметрично:

За да намерим втората производна по отношение, трябва да намерим първата производна по отношение на.

Разграничете по.
.
Намерихме производната по отношение на пример 1:
.
Производната от втори ред по отношение на е равна на производната от първи ред по отношение на:
.

И така, ние открихме производната от втори ред в параметрична форма:

Сега намираме производната от трети ред. Нека представим нотацията. След това трябва да намерим производната от първи ред на функцията, която се задава параметрично:

Намерете производната по отношение на. За да направите това, пренапишете в еквивалентен вид:
.
От
.

Производната от трети ред по отношение на е равна на производната от първи ред по отношение на:
.

Коментирайте

Можете да пропуснете променливите и, които са получени от и съответно. Тогава можете да го напишете така:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Отговор

При параметрично представяне производната от втори ред има следната форма:

Производна от трети порядък.

Не се напрягайте, в този параграф всичко също е доста просто. Можете да напишете обща формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма, функцията се дава от две уравнения:. Често уравненията се записват не под къдрави скоби, а последователно:,.

Променливата се нарича параметър и може да приема стойности от "минус безкрайност" до "плюс безкрайност". Помислете например за стойност и я заместете в двете уравнения: ... Или по човешки: "ако х е равно на четири, то y е равно на едно." В координатната равнина може да се маркира точка и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра "te". Що се отнася до „нормалната“ функция, за американските индианци на параметризирана функция също се спазват всички права: можете да начертаете графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако има нужда да начертаете графика на параметрично определена функция, изтеглете моята геометрична програма на страницата Математически формули и таблици.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи изрично. Нека изразим параметъра от първото уравнение: - и го заместете във второто уравнение: ... Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-"тежките" случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото за намиране на производната на параметрична функция има формула:

Намерете производната на "играта по отношение на променливата te":

Всички правила за диференциация и таблицата на производните, разбира се, са валидни и за буквата, следователно няма новост в процеса на намиране на производни... Просто мислено заменете всички "x" в таблицата с буквата "te".

Намерете производната на "x по отношение на променливата te":

Сега остава само да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, както и самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до обозначенията, във формулата, вместо да се пише, тя може просто да бъде написана без индекс, тъй като това е „обичайната“ производна „по x“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Характеристика на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно да опростите резултата колкото е възможно повече... И така, в разглеждания пример, когато го намерих, разширих скобите под корена (въпреки че не можах да направя това). Шансовете са големи, когато се заменят във формулата, много неща ще бъдат намалени добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на параметрично дефинирана функция

Това е пример за решение "направи си сам".

Статията Най-простите често срещани проблеми с производна разгледахме примери, в които се изискваше да се намери втората производна на функция. За параметрично зададена функция можете да намерите и втората производна и тя се намира по следната формула:. Съвсем очевидно е, че за да се намери втората производна, първо трябва да се намери първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, зададена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Заместители намерени производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула:

Забелязах, че в задачата за намиране на производната на параметрична функция доста често за опростяване се налага да се използва тригонометрични формули ... Запомнете ги или ги дръжте под ръка и не пропускайте възможността да опростите всеки междинен резултат и отговори. За какво? Сега трябва да вземем производната на и това е очевидно по-добре от намирането на производната на.

Нека намерим втората производна.
Използваме формулата:.

Нека да разгледаме нашата формула. Знаменателят вече е намерен в предишната стъпка. Остава да намерим числителя - производната на първата производна по отношение на променливата "te":

Остава да използваме формулата:

За да консолидирам материала, предлагам още няколко примера за независимо решение.

Пример 9

Пример 10

Намерете и за функция, дефинирана параметрично

Пожелавам ти успех!

Надявам се този урок да е бил полезен и сега лесно можете да намерите производни от функции, които са посочени имплицитно, и от параметрични функции.

Решения и отговори:

Пример 3: Решение:






По този начин:

Логаритмично диференциране

Производни на елементарни функции

Основни правила за диференциация

Диференциална функция

Основна линейна част от приращение на функцията Ад хв дефиницията на диференцируемостта на функцията

д f = f(х)- е(х 0)= А(х - х 0)+ о(х - х 0), x®x 0

се нарича диференциал на функцията е(х) в точката х 0 и се обозначава

df(х 0)= f ¢(х 0) Г х = Ад х.

Диференциалът зависи от точката х 0 и от увеличението D х.На Д хв същото време те го разглеждат като независима променлива, така че във всяка точка диференциалът е линейна функция на инкремента D х.

Ако разглеждаме като функция е(х)= х, тогава получаваме dx =д x, dy = Adx... Това е в съответствие с нотацията на Лайбниц

Геометрична интерпретация на диференциала като приращения на ординатата на допирателната.

Ориз. 4.3

1) f = const , f ¢ = 0, df = 0D х = 0.

2) f = u + v, f ¢ = u ¢ + v ¢, df = du + dv.

3) f = uv, f ¢ = u ¢ v + v ¢ u, df = u dv + v du.

Последица. (вж(х))¢ = cf ¢(х), (° С 1 е 1 (х)+… + C n f n(х))¢ = c 1 f ¢ 1 (х)+… + C n f ¢ n(х)

4) f = u / v, v(х 0) ¹0 и тогава производната съществува f ¢ =(u ¢ v-v¢ u)/v 2 .

За краткост ще означим u = u(х), u 0 = u(х 0), тогава

Преминаване до предела при D x® 0 получаваме необходимото равенство.

5) Производна на сложна функция.

Теорема. Ако има f ¢(х 0), g ¢(х 0)и х 0 = g(т 0), след това в някакъв квартал на т.н 0 комплексната функция f(ж(т)), то е диференцируемо в точката t 0 и

Доказателство.

е(х)- е(х 0)= f ¢(х 0)(х-х 0)+ а ( х)(х-х 0), хÎ У(х 0).

е(ж(т))- е(ж(т 0))= f ¢(х 0)(ж(т)- ж(т 0))+ а ( ж(т))(ж(т)- ж(т 0)).

Разделяме двете страни на това равенство на ( t - t 0) и преминете до лимита при t®t 0 .

6) Изчисляване на производната на обратната функция.

Теорема. Нека f е непрекъснато и строго монотонно[а, б]... Нека в точката x 0 Î( а, б)има f ¢(х 0) № 0 , тогава обратната функция x = f -1 (г)има в точката y 0 производна, равна на

Доказателство... Ние броим естрого монотонно нарастващ, тогава е -1 (г) е непрекъснат, монотонно нарастващ на [ е(а), е(б)]. Слагаме г 0 = f(х 0), y = f(х), x - x 0 = D х,

y - y 0 = D г... По силата на непрекъснатостта на обратната функция D г®0 Þ D х®0, имаме

Преминавайки до предела, получаваме изискваното равенство.

7) Производната на четна функция е нечетна, производната на нечетна функция е четна.

Наистина, ако x® - x 0 , тогава - x® x 0 , Ето защо

За четна функция за нечетна функция

1) f = const, f ¢(х)=0.

2) е(х)= x, f ¢(х)=1.

3) е(х)= e x, f ¢(х)= e x ,

4) е(х)= a x,(а х)¢ = a xвътрешен а.

5) вътрешен а.

6) е(х) = ln х,

Последица. (производната на четна функция е нечетна)

7) (хм )¢= м х m -1 , х>0, хм = дм вътрешен х .

8) (грях х)¢= cos х,

9) (кос х)¢=- грях х,(кос х)¢= (грях ( х +п / 2)) ¢= защото ( х + p / 2) = - sin х.

10) (tg х)¢= 1 / cos 2 х.

11) (ctg х)¢= -1 / грях 2 х.

16) ш х,гл х.

f (x),, откъдето следва, че f ¢(х)= f(х) (вн е(х))¢ .

Една и съща формула може да се получи по различен начин е(х)= двътрешен е(х) , f ¢ = eвътрешен е(х) (вн е(х))¢.

Пример. Изчислете производната на функция f = x x.

= x x = x x = x x = x x(вн х + 1).

Локус на точки в равнина

ще се нарича графика на функцията, дадени параметрично... Те също така говорят за параметричната дефиниция на функция.

Забележка 1.Ако x, yнепрекъснато включен [а, б] и х(т) строго монотонен на сегмента (например нараства строго монотонно), след това на [ а, б], a = x(а) , b = x(б) дефинирана функция е(х)= y(т(х))където t(х) – функция, обратна на x (t). Графиката на тази функция е същата като графиката на функцията

Ако обхватът дадена параметрично функция може да бъде разделена на краен брой сегменти , k = 1,2,..., н,на всеки от които функцията х(т) е строго монотонна, тогава параметрично дефинираната функция се разлага на краен брой обикновени функции f k(х)= y(т -1 (х)) с обхвати [ х(а к), х(б к)] за възходящи участъци х(т) и с обхвати [ х(б к), х(а к)] за сегменти с намаляваща функция х(т). Получените по този начин функции се наричат ​​еднозначни разклонения на параметрично зададена функция.

Фигурата показва графика на параметрично определена функция

С избраната параметризация, домейнът е разделена на пет секции на строга монотонност на функцията sin (2 т), точно: тÎ тÎ ,тÎ ,тÎ , и съответно графиката се разделя на пет еднозначни клона, съответстващи на тези секции.

Ориз. 4.4

Ориз. 4.5

Можете да изберете друга параметризация на същия локус на точките

В този случай ще има само четири такива клона. Те ще съответстват на зони със строга монотонност. тÎ ,тÎ , тÎ ,тÎ функции грях (2 т).

Ориз. 4.6

Четирите раздела на монотонност на греха (2 т) на дълъг сегмент.

Ориз. 4.7

Изображението на двете графики в една фигура ви позволява приблизително да представите графиката на параметрично определена функция, като използвате монотонните области на двете функции.

Например, разгледайте първия клон, съответстващ на сегмента тÎ . В края на този раздел функцията х =грях (2 т) приема стойности -1 и 1 така че този клон ще бъде дефиниран на [-1,1]. След това трябва да разгледате монотонните области на втората функция y =защото ( т), на нея две петна монотонност . Това ни позволява да кажем, че първият клон има две части на монотонност. След като намерите крайните точки на графиката, можете да ги свържете с прави линии, за да посочите естеството на монотонността на графиката. Правейки това с всеки клон, получаваме области на монотонност от еднозначни клони на графиката (на фигурата те са маркирани в червено)

Ориз. 4.8

Първият недвусмислен клон е 1 (х)= y(т(х)) съответстващи на сайта ще бъде определен за хÎ [-1,1] . Първият недвусмислен клон тÎ , хÎ [-1,1].

Всички останали три клона също ще имат домейн на дефиниция [-1,1] .

Ориз. 4.9

Втори клон тÎ хÎ [-1,1].

Ориз. 4.10

Трети клон тÎ хÎ [-1,1]

Ориз. 4.11

Четвърти клон тÎ хÎ [-1,1]

Ориз. 4.12

Коментирайте 2. Една и съща функция може да има различни параметрични задания. Разликите могат да се отнасят и до двете самите функции х(т), y(т) , и области на дефиниция тези функции.

Пример за различни параметрични присвоения на една и съща функция

и тÎ [-1, 1] .

Забележка 3.Ако x, y са непрекъснати , х(т) -строго монотонен на сегмента и има производни y ¢(т 0),x ¢(т 0) ¹0, значи съществува f ¢(х 0)= .

Наистина ли, .

Последното твърдение се отнася и за еднозначни разклонения на параметрично зададена функция.

4.2 Производни и диференциали от по-висок порядък

Старши деривати и диференциали. Диференциране на функции, зададени параметрично. Формулата на Лайбниц.

Досега се разглеждаха уравненията на правите в равнината, които директно свързват текущите координати на точките от тези прави. Въпреки това, често се използва друг начин за дефиниране на линията, при който текущите координати се разглеждат като функции на трета променлива.

Нека са дадени две функции на променливата

считани за същите стойности на t. Тогава всяка от тези стойности на t съответства на определена стойност и определена стойност на y и следователно на определена точка. Когато променливата t преминава през всички стойности от областта на функциите (73), точката описва някаква права C в равнината. Уравненията (73) се наричат ​​параметрични уравнения на тази линия, а променливата се нарича параметър.

Да предположим, че функцията има обратна функция Замествайки тази функция във второто от уравненията (73), получаваме уравнението

изразяваща y като функция

Нека се съгласим да кажем, че тази функция се задава параметрично от уравнения (73). Преходът от тези уравнения към уравнение (74) се нарича изключване на параметри. При разглеждане на функции, дефинирани параметрично, изключването на параметър не само не е необходимо, но и не винаги е практически възможно.

В много случаи е много по-удобно, като се имат предвид различни стойности на параметъра, след това да се изчислят съответните стойности на аргумента и функцията y с помощта на формули (73).

Нека разгледаме някои примери.

Пример 1. Нека е произволна точка на окръжност с център в началото и радиус R. Декартовите координати x и y на тази точка се изразяват чрез нейния полярен радиус и полярен ъгъл, които тук означаваме с t, както следва ( виж гл. I, § 3, стр. 3):

Уравненията (75) се наричат ​​параметрични уравнения на окръжността. Параметърът в тях е полярният ъгъл, който варира от 0 до.

Ако уравнения (75) се квадратират и добавят член по член, тогава по силата на тъждеството параметърът ще бъде изключен и ще се получи уравнението на окръжността в декартовата координатна система, което определя две елементарни функции:

Всяка от тези функции се определя параметрично от уравнения (75), но диапазоните на изменение на параметрите за тези функции са различни. За първия; графиката на тази функция е горният полукръг. За втората функция нейната графика е долният полукръг.

Пример 2. Разгледайте едновременно елипсата

и окръжност с център в началото и радиуса а (фиг. 138).

На всяка точка M от елипсата свързваме точка N от окръжност, която има същата абциса като точка M и се намира с нея от едната страна на оста Ox. Положението на точката N, а следователно и на точката M, се определя напълно от полярния ъгъл t на точката.В този случай за общата им абциса получаваме следния израз: x = a. Намираме ординатата в точка M от уравнението на елипсата:

Знакът е избран, защото ординатата в точка M и ординатата в точка N трябва да имат еднакви знаци.

По този начин се получават следните параметрични уравнения за елипсата:

Тук параметърът t варира от 0 до.

Пример 3. Да разгледаме окръжност с център в точка а) и радиус а, която очевидно докосва оста на абсцисата в началото (фиг. 139). Да предположим, че този кръг се търкаля, без да се плъзга по оста на абсцисата. Тогава точката M на окръжността, която в началния момент съвпада с началото, описва права, наречена циклоида.

Нека изведем параметричните уравнения на циклоидата, като вземем за параметър t ъгъла на MCW на въртене на окръжността при преместване на неподвижната му точка от позиция O в позиция M. Тогава за координатите и y на точка M получаваме следните изрази:

Поради факта, че кръгът се търкаля по оста без плъзгане, дължината на сегмента OB е равна на дължината на дъгата на BM. Тъй като дължината на дъгата BM е равна на произведението на радиуса a и централния ъгъл t, тогава. Така . Но следователно,

Тези уравнения са параметричните уравнения на циклоидата. Когато параметърът t се промени от 0 на, кръгът ще направи един пълен оборот. Точка M ще опише една дъга на циклоидата.

Елиминирането на параметъра t води тук до тромави изрази и е практически непрактично.

Параметричното определяне на линиите се използва особено често в механиката, където времето играе ролята на параметър.

Пример 4. Нека определим траекторията на снаряд, изстрелян от оръдие с начална скорост под ъгъл а спрямо хоризонта. Пренебрегваме въздушното съпротивление и размера на снаряда, считайки го за материална точка.

Нека изберем координатна система. За начало на координатите ще вземем изходната точка на снаряда от дулото. Насочваме оста Ox хоризонтално, а оста Oy вертикално, като ги поставяме в една и съща равнина с дулото на пистолета. Ако нямаше гравитация, снарядът щеше да се движи по права линия, образуваща ъгъл a с оста Ox и до момента t щеше да покрие пътя. Координатите на снаряда в момента t биха били съответно равни на:. Поради гравитацията снарядът трябва към този момент да се спусне вертикално със стойността. Следователно в действителност в момент t координатите на снаряда се определят по формулите:

Тези уравнения са константи. Когато t се промени, координатите в точката на траекторията на снаряда също ще се променят. Уравненията са параметрични уравнения на траекторията на снаряда, в които параметърът е времето

Изразяване от първото уравнение и заместването му в

второто уравнение, получаваме уравнението на траекторията на снаряда във формата Това е уравнението на парабола.

Производна на неявна функция.
Производна на параметрично зададена функция

В тази статия ще разгледаме още две типични задачи, които често се срещат в тестове по висша математика. За успешно усвояване на материала е необходимо да можете да намирате производни поне на средно ниво. Можете да научите как да намерите производни от нулата в два основни урока и Производна на сложна функция... Ако всичко е наред с уменията за диференциране, тогава да тръгваме.

Производна на неявна функция

Или, накратко, производната на имплицитна функция. Какво е имплицитна функция? Нека първо си припомним самото определение на функция на една променлива:

Единична променлива функцияТова е правило, според което една и само една стойност на функцията съответства на всяка стойност на независимата променлива.

Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция .

Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека организираме разбор с конкретни примери.

Помислете за функцията

Виждаме, че отляво имаме самотна "игра", а отдясно - само "x"... Тоест функцията изричноизразено чрез независима променлива.

Помислете за друга функция:

Тук променливите също са "смесени". И невъзможно по никакъв начинизразявайте "игра" само чрез "x". Какви са тези методи? Прехвърляне на членове от една част в друга със смяна на знака, изваждането му извън скоби, хвърляне на множители според правилото за пропорция и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите „играта“ в изричен вид:. Можете да въртите и усуквате уравнението с часове, но не можете.

Нека ви представя: - пример имплицитна функция.

В хода на математическия анализ беше доказано, че имплицитната функция съществува(но не винаги), има графика (точно като "нормална" функция). Неявната функция има същото съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се зачитат.

И в този урок ще научим как да намерим производната на неявна функция. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране, таблицата на производните на елементарните функции остават в сила. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме точно сега.

Да, и ще ви кажа добрата новина - описаните по-долу задачи се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три писти.

Пример 1

1) На първия етап поставяме финалните щрихи върху двете части:

2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила на урока Как да намеря производната? Примери за решения):

3) Директна диференциация.
Как да разграничим и напълно разбираемо. Какво да правя там, където има "игри" под ударите?

- просто възмутително, производната на функция е равна на нейната производна: .

Как да разграничим
Тук имаме сложна функция... Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "игрек". Но факт е, че има само една буква "игрек" - САМАТА Е ФУНКЦИЯ(виж дефиницията в началото на урока). Така синусът е външна функция, вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране на сложна функция :

Ние диференцираме продукта според обичайното правило :

Имайте предвид, че - също е сложна функция, всяка "игра със звънци" е сложна функция:

Дизайнът на самото решение трябва да изглежда така:


Ако има скоби, отворете ги:

4) От лявата страна събираме термините, в които има "игра" с просто число. От дясната страна - прехвърлете всичко останало:

5) Отляво изваждаме производната от скобите:

6) И според правилото за пропорция пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:

Намерена производна. Готов.

Интересно е да се отбележи, че можете имплицитно да пренапишете всяка функция. Например функцията може да се пренапише така: ... И го разграничете според току-що разгледания алгоритъм. Всъщност фразите "неявна функция" и "неявна функция" се различават в един семантичен нюанс. Изразът "имплицитно дефинирана функция" е по-общ и правилен, - тази функция е зададена имплицитно, но тук можете да изразите "играта" и да представите функцията в изричен вид. Изразът "неявна функция" се разбира като "класическа" имплицитна функция, когато "играта" не може да бъде изразена.

Второ решение

Внимание!Вторият метод може да бъде намерен само ако знаете как да намерите уверено частични производни... Начинаещи в смятането и манекените, моля не четете и пропускайте този параграф, иначе главата ще е пълна бъркотия.

Нека намерим производната на неявната функция по втория начин.

Прехвърляме всички условия в лявата страна:

И помислете за функция от две променливи:

Тогава нашата производна може да бъде намерена по формулата
Нека намерим частните производни:

По този начин:

Второто решение ви позволява да проверите. Но е нежелателно да ги формулирате с чиста версия на задачата, тъй като частните производни се овладяват по-късно, а ученикът, изучаващ темата „Производна на функция от една променлива“, изглежда не познава частните производни.

Нека разгледаме още няколко примера.

Пример 2

Намерете производната на неявна функция

Поставяме финалните щрихи и на двете части:

Използваме правилата за линейност:

Намерете производни:

Разгъване на всички скоби:

Прехвърляме всички термини с в лявата страна, останалите - в дясната страна:

Краен отговор:

Пример 3

Намерете производната на неявна функция

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока.

Не е необичайно дробите да се появяват след диференциране. В такива случаи трябва да се отървете от фракциите. Нека разгледаме още два примера.

Пример 4

Намерете производната на неявна функция

Ограждаме двете части със щрихи и използваме правилото за линейност:

Диференцирайте, като използвате правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциация на частното :

Разширяване на скобите:

Сега трябва да се отървем от дроба. Това може да стане по-късно, но е по-рационално да го направите веднага. Знаменателят на дробта е. Умножете на . В подробности ще изглежда така:

Понякога след диференциране се появяват 2-3 фракции. Ако имахме още една дроб, например, тогава операцията би трябвало да се повтори - умножете всеки член на всяка частна

Отляво поставяме от скоби:

Краен отговор:

Пример 5

Намерете производната на неявна функция

Това е пример за решение "направи си сам". Единственото нещо в него, преди да се отървете от фракцията, първо ще трябва да се отървете от триетажната структура на самата фракция. Пълно решение и отговор в края на урока.

Производна на параметрично зададена функция

Не се напрягайте, в този параграф всичко също е доста просто. Можете да напишете обща формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма, функцията се дава от две уравнения:. Често уравненията се записват не под къдрави скоби, а последователно:,.

Променливата се нарича параметъри може да приема стойности от "минус безкрайност" до "плюс безкрайност". Помислете например за стойност и я заместете в двете уравнения: ... Или по човешки: "ако х е равно на четири, то y е равно на едно." В координатната равнина може да се маркира точка и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра "te". Що се отнася до "обикновената" функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция също се спазват всички права: можете да начертаете графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако има нужда да начертаете графика на параметрично зададена функция, можете да използвате моята програма.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи изрично. Нека изразим параметъра от първото уравнение: - и го заместете във второто уравнение: ... Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-"тежките" случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото за намиране на производната на параметрична функция има формула:

Намерете производната на "играта по отношение на променливата te":

Всички правила за диференциация и таблицата на производните, разбира се, са валидни и за буквата, следователно няма новост в процеса на намиране на производни... Просто мислено заменете всички "x" в таблицата с буквата "te".

Намерете производната на "x по отношение на променливата te":

Сега остава само да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, както и самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до обозначенията, във формулата, вместо да се пише, тя може просто да бъде написана без индекс, тъй като това е „обичайната“ производна „по x“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Характеристика на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно да опростите резултата колкото е възможно повече... И така, в разглеждания пример, когато го намерих, разширих скобите под корена (въпреки че не можах да направя това). Шансовете са големи, когато се заменят във формулата, много неща ще бъдат намалени добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на параметрично дефинирана функция

Това е пример за решение "направи си сам".

Статията Най-простите често срещани проблеми с производнаразгледахме примери, в които се изискваше да се намери втората производна на функция. За параметрично зададена функция можете да намерите и втората производна и тя се намира по следната формула:. Съвсем очевидно е, че за да се намери втората производна, първо трябва да се намери първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, зададена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Заместваме намерените производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула: