Линейната функция е функция от вида y = kx + b, дадена върху множеството от всички реални числа. Тук k е наклонът (реално число), b е свободният член (реално число), x е независимата променлива.
В частния случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y = b, графиката на която е права линия, успоредна на оста Ox, минаваща през точка с координати (0; b).
Ако b = 0, тогава получаваме функцията y = kx, която е пряко пропорционална.
Геометричното значение на коефициента b е дължината на отсечката, която се отрязва от правата линия по оста Oy, като се брои от началото.
Геометричното значение на коефициента k - ъгълът на наклона на правата към положителната посока на оста Ox, се брои обратно на часовниковата стрелка.
Свойства на линейна функция:
1) Областта на дефиниране на линейна функция е цялата реална ос;
2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция е цялата реална ос. Ако k = 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция се състои от числото b;
3) Четността и нечетността на линейна функция зависят от стойностите на коефициентите k и b.
а) b ≠ 0, k = 0, следователно, y = b е четно;
b) b = 0, k ≠ 0, следователно y = kx е нечетно;
в) b ≠ 0, k ≠ 0, следователно y = kx + b е обща функция;
г) b = 0, k = 0, следователно y = 0 е едновременно четна и нечетна функция.
4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;
Ox: y = kx + b = 0, x = -b / k, следователно (-b / k; 0) е пресечната точка с оста на абсцисата.
Oy: y = 0k + b = b, следователно (0; b) е пресечната точка с оста y.
Забележка: Ако b = 0 и k = 0, тогава функцията y = 0 изчезва за всяка стойност на променливата x. Ако b ≠ 0 и k = 0, тогава функцията y = b не изчезва за никакви стойности на променливата x.
6) Интервалите на постоянство на знака зависят от коефициента k.
а) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.
y = kx + b - положително за x от (-b / k; + ∞),
y = kx + b - отрицателно за x от (-∞; -b / k).
б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - е положително за x от (-∞; -b / k),
y = kx + b - отрицателно за x от (-b / k; + ∞).
в) k = 0, b> 0; y = kx + b е положително за цялата област,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Интервалите на монотонност на линейната функция зависят от коефициента k.
k> 0, следователно y = kx + b нараства в цялата област,
к< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Графиката на линейна функция е права линия. За да построите права линия, достатъчно е да знаете две точки. Положението на правата линия в координатната равнина зависи от стойностите на коефициентите k и b. По-долу е дадена таблица, която ясно илюстрира това на Фигура 1. (Фигура 1)
Пример: Помислете за следната линейна функция: y = 5x - 3.
3) Обща функция;
4) Непериодични;
5) Точки на пресичане с координатните оси:
Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, следователно (3/5; 0) е пресечната точка с оста на абсцисата.
Oy: y = -3, следователно (0; -3) е пресечната точка с оста y;
6) y = 5x - 3 - положително за x от (3/5; + ∞),
y = 5x - 3 - отрицателно за x от (-∞; 3/5);
7) y = 5x - 3 се увеличава в цялата област на дефиниция;
сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
5. Мономиаленсе нарича произведение на числови и азбучни фактори. Коефициентсе нарича числов фактор на монома.
6. За да напишете моном в стандартна форма, трябва: 1) Умножете числените фактори и поставете техния продукт на първо място; 2) Умножете градуси със същите основи и поставете получения продукт след числения фактор.
7. Полиномът се наричаалгебрична сума от няколко монома.
8. За да умножите моном по полином,необходимо е да умножим монома по всеки член на полинома и да добавим получените произведения.
9. За да умножите полином по полином,необходимо е всеки член от един полином да се умножи по всеки член на другия полином и получените произведения да се съберат.
10. Можете да начертаете права линия през всякакви две точки и освен това само една.
11. Две прави или имат само една обща точка, или нямат общи точки.
12. За две геометрични фигури се казва, че са равни, ако могат да се припокриват.
13. Точката на отсечка, която го разделя наполовина, тоест на два равни сегмента, се нарича средна точка на отсечката.
14. Лъчът, който излиза от върха на ъгъла и го разделя на два равни ъгъла, се нарича бисектриса на ъгъла.
15. Сплесканият ъгъл е 180 °.
16. Ъгъл се нарича прав ъгъл, ако е 90°.
17. Ъгъл се нарича остър, ако е по-малък от 90 °, тоест по-малък от прав ъгъл.
18. Ъгъл се нарича тъп, ако е повече от 90 °, но по-малко от 180 °, тоест повече от прав ъгъл, но по-малко от разгърнат ъгъл.
19. Два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две са разширения един на друг, се наричат съседни.
20. Сумата от съседни ъгли е 180°.
21. Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са разширения на страните на другия.
22. Вертикалните ъгли са равни.
23. Две пресичащи се прави се наричат перпендикулярни (или взаимно
перпендикулярно), ако образуват четири прави ъгъла.
24. Две прави, перпендикулярни на третата, не се пресичат.
25 фактор полином- означава да го представим като произведение на няколко монома и полинома.
26. Методи за разлагане на полином:
а) премахване на общия множител от скобите,
б) използване на формули за съкратено умножение,
в) методът на групиране.
27. За да разложите полином чрез разлагане на общия множител извън скобите, трябва:
а) намерете този общ фактор,
б) поставете го извън скобите,
в) разделете всеки член на полинома на този фактор и съберете получените резултати.
Тестове за равенство за триъгълници
1) Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.
2) Ако една страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и два съседни ъгъла на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са равни.
3) Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.
Образователен минимум
1. Разлагане на множители чрез съкратени формули за умножение:
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
2. Формули за съкратено умножение:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
3. Сегментът, свързващ върха на триъгълника със средата на противоположната страна, се нарича Медианатриъгълник.
4. Нарича се перпендикулярът, изтеглен от върха на триъгълника към правата линия, съдържаща противоположната страна височинатриъгълник.
5. В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.
6. В равнобедрен триъгълник ъглополовящата, изтеглена към основата, е медиана и височина.
7. Обиколкасе нарича геометрична фигура, състояща се от всички точки от равнината, разположени на определено разстояние от дадена точка.
8. Сегментът, свързващ центъра с която и да е точка от окръжността, се нарича радиускръгове .
9. Нарича се отсечка, свързваща две точки от окръжност акорд.
Хордата, преминаваща през центъра на окръжността, се нарича диаметър
10. Пряка пропорционалност y = kx , където х - независима променлива, Да се - ненулево число ( Да се - коефициент на пропорционалност).
11. Графика на пряка пропорционалностТова е права линия през началото.
12. Линейна функциясе нарича функция, която може да бъде определена с формулата y = kx + b , където х - независима променлива, Да се и б - някои цифри.
13. Линейна функционална графикаТова е права линия.
14 х - аргумент на функцията (независима променлива)
в - стойност на функцията (зависима променлива)
15. В b = 0функцията приема формата y = kx, неговата графика минава през началото.
В k = 0функцията приема формата y = b, неговата графика е хоризонтална линия, минаваща през точката ( 0; б).
Съответствие между графиките на линейната функция и знаците на коефициентите k и b
1. Наричат се две прави линии в равнината успоредно,ако не се припокриват.
Линейната функция е функция от вида y = kx + b, където x е независима променлива, k и b са произволни числа.
Графиката на линейна функция е права линия.
1. За да начертаете функционална графика,имаме нужда от координатите на две точки, принадлежащи на графиката на функцията. За да ги намерите, трябва да вземете две стойности на x, да ги замените в уравнението на функцията и от тях да изчислите съответните стойности на y.
Например, за да начертаете функцията y = x + 2, е удобно да вземете x = 0 и x = 3, тогава ординатите на тези точки ще бъдат равни на y = 2 и y = 3. Получаваме точки A (0; 2) и B (3; 3). Свързваме ги и получаваме графиката на функцията y = x + 2:
2.
Във формулата y = kx + b числото k се нарича коефициент на пропорционалност:
ако k> 0, тогава функцията y = kx + b нараства
ако k
Коефициентът b показва изместването на графиката на функцията по оста OY:
ако b> 0, тогава графиката на функцията y = kx + b се получава от графиката на функцията y = kx чрез изместване на b единици нагоре по оста OY
ако б
Фигурата по-долу показва графиките на функциите y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3
Забележете, че във всички тези функции коефициентът k Над нулата,и функциите са повишаване на.Освен това, колкото по-голяма е стойността на k, толкова по-голям е ъгълът на наклон на правата линия спрямо положителната посока на оста OX.
Във всички функции b = 3 - и виждаме, че всички графики пресичат оста OY в точката (0; 3)
Сега разгледайте графиките на функциите y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3
Този път при всички функции коефициентът k по-малко от нула,и функции намаляват.Коефициент b = 3, а графиките, както в предишния случай, пресичат оста OY в точката (0; 3)
Разгледайте графиките на функциите y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3
Сега във всички уравнения на функциите коефициентите k са равни на 2. И получихме три успоредни прави линии.
Но коефициентите b са различни и тези графики пресичат оста OY в различни точки:
Графиката на функцията y = 2x + 3 (b = 3) пресича оста OY в точката (0; 3)
Графиката на функцията y = 2x (b = 0) пресича оста OY в точката (0; 0) - начало.
Графиката на функцията y = 2x-3 (b = -3) пресича оста OY в точка (0; -3)
Така че, ако знаем знаците на коефициентите k и b, тогава веднага можем да си представим как изглежда графиката на функцията y = kx + b.
Ако k 0
Ако k> 0 и b> 0, тогава графиката на функцията y = kx + b има вида:
Ако k> 0 и b, тогава графиката на функцията y = kx + b има вида:
Ако k, тогава графиката на функцията y = kx + b има вида:
Ако k = 0, тогава функцията y = kx + b се превръща във функция y = b и нейната графика изглежда така:
Ординатите на всички точки от графиката на функцията y = b са равни на b If b = 0, тогава графиката на функцията y = kx (пряка пропорционалност) минава през началото:
3. Отделно отбелязваме графиката на уравнението x = a.Графиката на това уравнение е права линия, успоредна на оста OY, всички точки на която имат абсциса x = a.
Например графиката на уравнението x = 3 изглежда така:
Внимание!Уравнението x = a не е функция, тъй като една стойност на аргумента съответства на различни стойности на функцията, което не съответства на дефиницията на функцията.
4. Условието за успоредност на две прави:
Графиката на функцията y = k 1 x + b 1 е успоредна на графиката на функцията y = k 2 x + b 2, ако k 1 = k 2
5. Условието за перпендикулярност на две прави:
Графиката на функцията y = k 1 x + b 1 е перпендикулярна на графиката на функцията y = k 2 x + b 2, ако k 1 * k 2 = -1 или k 1 = -1 / k 2
6. Пресечни точки на графиката на функцията y = kx + b с координатните оси.
С оста OY. Абсцисата на всяка точка, принадлежаща на оста OY, е нула. Следователно, за да намерите пресечната точка с оста OY, трябва да замените нула в уравнението на функцията вместо x. Получаваме y = b. Тоест пресечната точка с оста OY има координати (0; b).
С ос OX: Ординатата на всяка точка, принадлежаща на оста OX, е нула. Следователно, за да намерите пресечната точка с оста OX, трябва да замените нула в уравнението на функцията вместо y. Получаваме 0 = kx + b. Следователно x = -b / k. Тоест точката на пресичане с оста OX има координати (-b / k; 0):
Линейна функциясе нарича функция на формата y = kx + bдадено върху множеството на всички реални числа. Тук к- наклон (реално число), б – свободен термин (реално число), хЕ независимата променлива.
В конкретен случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y = b, графиката на която е права линия, успоредна на оста Ox, минаваща през точка с координати (0; б).
Ако b = 0, тогава получаваме функцията y = kx, кое е пряка пропорционалност.
б – дължина на сегмента, която се отрязва от линията по оста Oy, като се брои от началото.
Геометричното значение на коефициента к – ъгъл на наклонправа линия в положителната посока на оста Ox, се брои обратно на часовниковата стрелка.
Свойства на линейна функция:
1) Областта на линейна функция е цялата реална ос;
2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция е цялата реална ос. Ако k = 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция се състои от числото б;
3) Четността и нечетността на линейна функция зависят от стойностите на коефициентите ки б.
а) b ≠ 0, k = 0,следователно, y = b - четно;
б) b = 0, k ≠ 0,следователно y = kx - нечетно;
° С) b ≠ 0, k ≠ 0,следователно y = kx + b е обща функция;
д) b = 0, k = 0,следователно y = 0 - както четна, така и нечетна функция.
4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;
5) Пресечни точки с координатни оси:
вол: y = kx + b = 0, x = -b / k, следователно (-b / k; 0)- пресечната точка с оста на абсцисата.
ой: y = 0k + b = b, следователно (0; б)- пресечната точка с оста на ординатата.
Забележка: Ако b = 0и k = 0, след това функцията y = 0изчезва за всяка стойност на променливата х... Ако b ≠ 0и k = 0, след това функцията y = bне изчезва за нито една стойност на променливата х.
6) Интервалите с постоянен знак зависят от коефициента k.
а) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.
y = kx + b- е положителен при хот (-b / k; + ∞),
y = kx + b- е отрицателен при хот (-∞; -b / k).
б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b- е положителен при хот (-∞; -b / k),
y = kx + b- е отрицателен при хот (-b / k; + ∞).
° С) k = 0, b> 0; y = kx + bе положителен в цялата област на дефиниция,
k = 0, b< 0; y = kx + b е отрицателен в целия домейн.
7) Интервалите на монотонност на линейната функция зависят от коефициента к.
k> 0, следователно y = kx + bнараства в цялата област на дефиниция,
к< 0 , следователно y = kx + bнамалява в цялата област на дефиниция.
8) Графиката на линейна функция е права линия. За да построите права линия, достатъчно е да знаете две точки. Положението на правата линия в координатната равнина зависи от стойностите на коефициентите ки б... По-долу е дадена таблица, която ясно илюстрира това.
Както показва практиката, задачите за свойствата и графиките на квадратична функция предизвикват сериозни затруднения. Това е доста странно, защото квадратичната функция се предава в 8-ми клас, а след това цялата първа четвърт на 9-ти клас се "изтласкват" свойствата на параболата и нейните графики се начертават за различни параметри.
Това се дължи на факта, че принуждавайки учениците да изграждат параболи, те практически не отделят време за "четене" на графики, тоест не практикуват разбиране на информацията, получена от картината. Очевидно се предполага, че след като е изградил дузина графики, умен ученик сам ще открие и формулира връзката между коефициентите във формулата и външния вид на графиката. На практика това не работи. За подобно обобщение е необходим сериозен опит от математически мини-изследвания, какъвто, разбира се, повечето деветокласници нямат. Междувременно GIA предлага знаците на коефициентите да се определят точно според графика.
Няма да изискваме невъзможното от учениците и просто ще предложим един от алгоритмите за решаване на подобни проблеми.
И така, функция на формата y = ax 2 + bx + cсе нарича квадратична, нейната графика е парабола. Както подсказва името, основният термин е брадва 2... Това е ане трябва да е нула, други коефициенти ( би С) може да бъде равно на нула.
Нека видим как знаците на нейните коефициенти влияят на появата на парабола.
Най-простата връзка за коефициента а... Повечето ученици отговарят уверено: „ако а> 0, тогава клоните на параболата са насочени нагоре и ако а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
В такъв случай а = 0,5
А сега за а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В такъв случай а = - 0,5
Влияние на коефициента Ссъщо е достатъчно лесно да се проследи. Нека си представим, че искаме да намерим стойността на функцията в точката х= 0. Заместете нула във формулата:
г = а 0 2 + б 0 + ° С = ° С... Оказва се, че y = c... Това е Се ордината на пресечната точка на параболата с оста y. Обикновено тази точка е лесно да се намери на диаграма. И определете дали е над нулата или под. Това е С> 0 или С < 0.
С > 0:
y = x 2 + 4x + 3
С < 0
y = x 2 + 4x - 3
Съответно, ако С= 0, тогава параболата задължително ще премине през началото:
y = x 2 + 4x
По-трудно с параметъра б... Точката, в която ще го намерим, зависи не само от бно и от а... Това е върхът на параболата. Неговата абциса (координата по оста х) се намира по формулата x in = - b / (2a)... По този начин, b = - 2х в... Тоест, ние действаме по следния начин: на графиката намираме върха на параболата, определяме знака на нейната абциса, тоест гледаме вдясно от нула ( х в> 0) или наляво ( х в < 0) она лежит.
Това обаче не е всичко. Трябва да обърнем внимание и на знака на коефициента а... Тоест да се види накъде са насочени клоните на параболата. И едва след това, по формулата b = - 2х видентифицира знака б.
Нека разгледаме пример:
Клоните са насочени нагоре, което означава а> 0, параболата пресича оста впод нулата означава С < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в> 0. Следователно b = - 2х в = -++ = -. б < 0. Окончательно имеем: а > 0, б < 0, С < 0.