Forme en L quadratique depuis n variables est une somme dont chaque terme est soit le carré d'une de ces variables, soit le produit de deux variables différentes.
En supposant que sous forme quadratique L La réduction de termes similaires a déjà été faite, introduisons la notation suivante pour les coefficients de cette forme : le coefficient pour est noté , et le coefficient dans le produit pour est noté . Puisque , le coefficient de ce produit pourrait également être noté , c'est-à-dire La notation que nous avons introduite suppose la validité de l'égalité. Le terme peut maintenant s'écrire sous la forme
et toute la forme quadratique L– sous la forme de la somme de tous les termes possibles, où je Et j prennent déjà des valeurs indépendamment les unes des autres
de 1 à n:
(6.13)
Les coefficients peuvent être utilisés pour construire une matrice carrée d'ordre n ; on l'appelle matrice de forme quadratique L, et son rang est rang cette forme quadratique. Si en particulier , c'est-à-dire la matrice est non dégénérée, alors c'est une forme quadratique L appelé non dégénéré. Puisque , alors les éléments de la matrice A, symétriques par rapport à la diagonale principale, sont égaux entre eux, c'est-à-dire matrice A – symétrique. Inversement, pour toute matrice symétrique A n d’ordre on peut spécifier une forme quadratique bien définie (6.13) de n variables qui ont des éléments de la matrice A avec leurs coefficients.
La forme quadratique (6.13) peut être représentée sous forme matricielle en utilisant la multiplication matricielle introduite dans la section 3.2. Notons X une colonne composée de variables
X est une matrice comportant n lignes et une colonne. En transposant cette matrice, on obtient la matrice 
, composé d'une seule ligne. La forme quadratique (6.13) avec matrice peut maintenant s’écrire sous la forme du produit suivant :
En effet:
et l'équivalence des formules (6.13) et (6.14) est établie.
Écrivez-le sous forme matricielle.
○ Trouvons une matrice de forme quadratique. Ses éléments diagonaux sont égaux aux coefficients des variables au carré, c'est-à-dire 4, 1, –3 et autres éléments – aux moitiés des coefficients correspondants de la forme quadratique. C'est pourquoi
. ●
Voyons comment la forme quadratique change sous une transformation linéaire non dégénérée de variables.
Notez que si les matrices A et B sont telles que leur produit est défini, alors l'égalité est vraie :
(6.15)
En effet, si le produit AB est défini, alors le produit sera également défini : le nombre de colonnes de la matrice est égal au nombre de lignes de la matrice. Elément matriciel debout dans son jeème ligne et j La ème colonne, dans la matrice AB est située en jème ligne et jeème colonne. Il est donc égal à la somme des produits des éléments correspondants j-ième ligne de la matrice A et jeème colonne de la matrice B, soit égal à la somme des produits des éléments correspondants de la ligne jème colonne de la matrice et jeème ligne de la matrice. Cela prouve l’égalité (6.15).
Laissez les variables de la matrice-colonne 
Et 
sont liés par la relation linéaire X = CY, où C = ( c ij) 
il existe une matrice non singulière n-ième ordre. Alors la forme quadratique
ou 
, Où .
La matrice sera symétrique, car compte tenu de l'égalité (6.15), qui est évidemment valable pour un nombre quelconque de facteurs, et de l'égalité , qui équivaut à la symétrie de la matrice A, on a :
Ainsi, avec une transformation linéaire non dégénérée X=CY, la matrice de forme quadratique prend la forme
Commentaire. Le rang d'une forme quadratique ne change pas lors de l'exécution d'une transformation linéaire non dégénérée.
Exemple. Étant donné une forme quadratique
Trouver la forme quadratique obtenue à partir de la transformation linéaire donnée
, .
○ Matrice d'une forme quadratique donnée 
, et la matrice de transformation linéaire 
. Par conséquent, d’après (6.16), la matrice de la forme quadratique souhaitée
et la forme quadratique a la forme . ●
Avec quelques transformations linéaires bien choisies, la forme de la forme quadratique peut être considérablement simplifiée.
Forme quadratique 
appelé canonique(ou a vue canonique), si tous ses coefficients à je≠ j:
,
et sa matrice est diagonale.
Le théorème suivant est vrai.
Théorème 6.1. Toute forme quadratique peut être réduite à une forme canonique en utilisant une transformation linéaire non dégénérée de variables.
Exemple. Réduire la forme quadratique à la forme canonique
○ Dans un premier temps, on sélectionne le carré complet de la variable dont le coefficient du carré est différent de zéro :
.
Sélectionnons maintenant le carré de la variable dont le coefficient carré est différent de zéro :
Donc, une transformation linéaire non dégénérée
réduit cette forme quadratique à la forme canonique
.●
La forme canonique d'une forme quadratique n'est pas définie de manière unique, puisque la même forme quadratique peut être réduite à une forme canonique de plusieurs manières. Cependant, les formes canoniques obtenues par diverses méthodes possèdent un certain nombre de propriétés communes. Formulons l'une de ces propriétés sous forme de théorème.
Théorème 6.2.(loi d'inertie des formes quadratiques).
Le nombre de termes à coefficients positifs (négatifs) de la forme quadratique ne dépend pas de la méthode de réduction de la forme à cette forme.
Par exemple, la forme quadratique
que dans l'exemple discuté à la page 131 nous avons amené sous la forme
cela a été possible en appliquant une transformation linéaire non dégénérée
rappeler
.
Comme vous pouvez le constater, le nombre de coefficients positifs et négatifs (respectivement deux et un) a été conservé.
A noter que le rang d'une forme quadratique est égal au nombre de coefficients non nuls de la forme canonique.
Forme quadratique 
est dit positif (négatif) défini si, pour toutes les valeurs des variables dont au moins une est non nulle,
(
).
Le concept de forme quadratique. Matrice de forme quadratique. Forme canonique de forme quadratique. Méthode Lagrange. Vue normale d'une forme quadratique. Rang, index et signature de forme quadratique. Forme quadratique définie positive. Quadriques.
Notion de forme quadratique : une fonction sur un espace vectoriel défini par un polynôme homogène du deuxième degré dans les coordonnées du vecteur.
Forme quadratique de n inconnu 
s'appelle une somme dont chaque terme est soit le carré d'une de ces inconnues, soit le produit de deux inconnues différentes.
Matrice quadratique : La matrice est appelée matrice de forme quadratique dans une base donnée. Si la caractéristique du champ n'est pas égale à 2, on peut supposer que la matrice de forme quadratique est symétrique, c'est-à-dire.
Écrivez une matrice de forme quadratique :
Ainsi,
Sous forme matricielle vectorielle, la forme quadratique est :
A, où 
Forme canonique de forme quadratique : Une forme quadratique est dite canonique si tout 
c'est à dire.
Toute forme quadratique peut être réduite à une forme canonique à l'aide de transformations linéaires. En pratique, les méthodes suivantes sont généralement utilisées.
méthode Lagrange : sélection séquentielle de carrés complets. Par exemple, si
Ensuite, une procédure similaire est effectuée avec la forme quadratique 
etc. Si sous forme quadratique tout est mais 
puis, après transformation préalable, il s'agit de la procédure envisagée. Ainsi, si, par exemple, nous supposons 
Forme normale de forme quadratique : Une forme quadratique normale est une forme quadratique canonique dans laquelle tous les coefficients sont égaux à +1 ou -1.
Rang, index et signature de forme quadratique : Rang de forme quadratique UN est appelé le rang de la matrice UN. Le rang d'une forme quadratique ne change pas sous des transformations non dégénérées d'inconnues.
Le nombre de coefficients négatifs est appelé indice de forme négative.
Le nombre de termes positifs sous forme canonique est appelé indice d'inertie positif de la forme quadratique, le nombre de termes négatifs est appelé indice négatif. La différence entre les indices positifs et négatifs est appelée la signature de la forme quadratique
Forme quadratique définie positive : Forme quadratique réelle 
est appelé défini positif (défini négatif) si, pour toute valeur réelle des variables qui ne sont pas simultanément nulles,
. (36)
Dans ce cas, la matrice est aussi appelée définie positive (définie négative).
La classe des formes définies positives (définies négatives) fait partie de la classe des formes non négatives (resp. non positives).
Quadriques : Quadrique - n hypersurface dimensionnelle dans n Espace de dimension +1, défini comme l'ensemble des zéros d'un polynôme du deuxième degré. Si vous entrez les coordonnées ( X 1 , X 2 , xn+1 ) (dans l'espace euclidien ou affine), l'équation générale d'une quadrique est
Cette équation peut être réécrite de manière plus compacte en notation matricielle :
où x = ( X 1 , X 2 , xn+1 ) — vecteur de ligne, X T est un vecteur transposé, Q— matrice de taille ( n+1)×( n+1) (on suppose qu'au moins un de ses éléments est non nul), P. est un vecteur ligne, et R.- constante. Les quadriques sur des nombres réels ou complexes sont le plus souvent considérées. La définition peut être étendue aux quadriques dans l'espace projectif, voir ci-dessous.
Plus généralement, l'ensemble des zéros d'un système d'équations polynomiales est appelé variété algébrique. Ainsi, une quadrique est une variété algébrique (affine ou projective) du deuxième degré et de codimension 1.
Transformations du plan et de l'espace.
Définition de la transformation plane. Détection de mouvement. propriétés du mouvement. Deux types de mouvements : mouvement de première espèce et mouvement de seconde espèce. Exemples de mouvements. Expression analytique du mouvement. Classification des mouvements plans (en fonction de la présence de points fixes et de lignes invariantes). Groupe de mouvements d'avion.
Définition de la transformation plane : Définition. Une transformation plane qui préserve la distance entre les points est appelée mouvement(ou mouvement) de l'avion. La transformation plane est appelée affine, s'il transforme trois points quelconques situés sur la même ligne en trois points situés également sur la même ligne et en préservant en même temps la relation simple des trois points.
Définition du mouvement : Ce sont des transformations de forme qui préservent les distances entre les points. Si deux figures sont précisément alignées l’une avec l’autre par le mouvement, alors ces figures sont identiques, égales.
Propriétés de mouvement : Tout mouvement préservant l'orientation d'un plan est soit une translation parallèle, soit une rotation ; tout mouvement changeant d'orientation d'un plan est soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissante. Lors du déplacement, les points situés sur une ligne droite se transforment en points situés sur une ligne droite et l'ordre de leurs positions relatives est conservé. Lors du déplacement, les angles entre demi-lignes sont conservés.
Deux types de mouvements : mouvement de première espèce et mouvement de seconde espèce : Les mouvements du premier type sont les mouvements qui préservent l'orientation des bases d'une certaine figure. Ils peuvent être réalisés par des mouvements continus.
Les mouvements du deuxième type sont les mouvements qui changent l'orientation des bases vers l'opposé. Ils ne peuvent être réalisés par des mouvements continus.
Des exemples de mouvements du premier type sont la translation et la rotation autour d'une ligne droite, et les mouvements du deuxième type sont les symétries centrales et miroir.
La composition d’un nombre quelconque de mouvements de première espèce est un mouvement de première espèce.
La composition d'un nombre pair de mouvements de seconde espèce est un mouvement de première espèce, et la composition d'un nombre impair de mouvements de seconde espèce est un mouvement de seconde espèce.
Exemples de mouvements :Transfert parallèle. Soit a le vecteur donné. Le transfert parallèle vers le vecteur a est une cartographie du plan sur lui-même, dans laquelle chaque point M est mappé au point M 1, de sorte que le vecteur MM 1 est égal au vecteur a.
La translation parallèle est un mouvement car c'est une cartographie du plan sur lui-même, préservant les distances. Ce mouvement peut être représenté visuellement comme un déplacement de l'ensemble du plan dans la direction d'un vecteur donné a par sa longueur.
Tourner. Notons le point O sur le plan ( centre de tournage) et définissez l'angle α ( angle de rotation). La rotation du plan autour du point O d'un angle α est la cartographie du plan sur lui-même, dans laquelle chaque point M est mappé au point M 1, tel que OM = OM 1 et l'angle MOM 1 est égal à α. Dans ce cas, le point O reste à sa place, c'est-à-dire qu'il est mappé sur lui-même, et tous les autres points tournent autour du point O dans le même sens - dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (la figure montre une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).
La rotation est un mouvement car elle représente une cartographie du plan sur lui-même, dans laquelle les distances sont préservées.
Expression analytique du mouvement : la connexion analytique entre les coordonnées de la préimage et l'image du point a la forme (1).
Classification des mouvements plans (en fonction de la présence de points fixes et de lignes invariantes) : Définition :
Un point sur un plan est invariant (fixe) si, sous une transformation donnée, il se transforme en lui-même.
Exemple : Avec symétrie centrale, le point du centre de symétrie est invariant. En tournant, le point du centre de rotation est invariant. Avec la symétrie axiale, la ligne invariante est une ligne droite - l'axe de symétrie est une ligne droite de points invariants.
Théorème : Si un mouvement n’a pas un seul point invariant, alors il a au moins une direction invariante.
Exemple : transfert parallèle. En effet, les droites parallèles à cette direction sont invariantes en tant que figure dans son ensemble, bien qu'elle ne soit pas constituée de points invariants.
Théorème : Si un rayon se déplace, le rayon se traduit sur lui-même, alors ce mouvement est soit une transformation identique, soit une symétrie par rapport à la droite contenant le rayon donné.
Ainsi, à partir de la présence de points ou de figures invariants, il est possible de classer les mouvements.
| Nom du mouvement | Points invariants | Lignes invariantes |
| Mouvement du premier genre. | ||
| 1. - tourner | (centre) - 0 | Non |
| 2. Transformation identique | tous les points de l'avion | tout droit |
| 3. Symétrie centrale | point 0 - centre | toutes les lignes passant par le point 0 |
| 4. Transfert parallèle | Non | tout droit |
| Mouvement du deuxième type. | ||
| 5. Symétrie axiale. | ensemble de points | axe de symétrie (ligne droite) toutes les lignes droites |
Groupe de mouvement plan : En géométrie, les groupes d'autocompositions de figures jouent un rôle important. Si est une certaine figure sur un plan (ou dans l'espace), alors nous pouvons considérer l'ensemble de tous ces mouvements du plan (ou de l'espace) au cours desquels la figure se transforme en elle-même.
Cet ensemble est un groupe. Par exemple, pour un triangle équilatéral, l'ensemble des mouvements plans qui transforment le triangle en lui-même est constitué de 6 éléments : des rotations par angles autour d'un point et des symétries autour de trois droites.
Ils sont représentés sur la Fig. 1 lignes rouges. Les éléments du groupe des auto-alignements d'un triangle régulier peuvent être spécifiés différemment. Pour expliquer cela, numérotons les sommets d'un triangle régulier avec les nombres 1, 2, 3. Tout auto-alignement du triangle transforme les points 1, 2, 3 en les mêmes points, mais pris dans un ordre différent, c'est-à-dire peut être inscrit conditionnellement sous la forme de l'une de ces parenthèses :
etc.
où les nombres 1, 2, 3 indiquent les numéros des sommets dans lesquels vont les sommets 1, 2, 3 à la suite du mouvement considéré.
Espaces projectifs et leurs modèles.
Le concept d'espace projectif et le modèle d'espace projectif. Faits de base de la géométrie projective. Un ensemble de droites centrées au point O est un modèle du plan projectif. Points projectifs. Le plan étendu est un modèle du plan projectif. L'espace affine ou euclidien tridimensionnel étendu est un modèle d'espace projectif. Images de figures plates et spatiales en conception parallèle.
Le concept d'espace projectif et le modèle d'espace projectif :
L'espace projectif sur un champ est un espace constitué de lignes (sous-espaces unidimensionnels) d'un espace linéaire sur un champ donné. Les espaces directs sont appelés points espace projectif. Cette définition peut être généralisée à un organisme arbitraire
S'il a une dimension , alors la dimension de l'espace projectif est appelée nombre , et l'espace projectif lui-même est noté et appelé associé à (pour l'indiquer, la notation est adoptée).
La transition d'un espace vectoriel de dimension à l'espace projectif correspondant est appelée projectivisation espace.
Les points peuvent être décrits à l'aide de coordonnées homogènes.
Faits de base de la géométrie projective : La géométrie projective est une branche de la géométrie qui étudie les plans et les espaces projectifs. La principale caractéristique de la géométrie projective est le principe de dualité, qui ajoute une symétrie élégante à de nombreuses conceptions. La géométrie projective peut être étudiée aussi bien d'un point de vue purement géométrique que d'un point de vue analytique (utilisant des coordonnées homogènes) et salgébrique, en considérant le plan projectif comme une structure sur un corps. Souvent, et historiquement, le véritable plan projectif est considéré comme le plan euclidien avec l'ajout de « ligne à l'infini ».
Alors que les propriétés des figures dont traite la géométrie euclidienne sont métrique(valeurs spécifiques des angles, segments, surfaces), et l'équivalence des figures équivaut à leur congruence(c'est-à-dire lorsque les figures peuvent être traduites les unes dans les autres par le mouvement tout en préservant les propriétés métriques), il existe des propriétés plus « profondes » des figures géométriques qui sont préservées par des transformations d'un type plus général que le mouvement. La géométrie projective traite de l'étude des propriétés des figures invariantes sous la classe transformations projectives, ainsi que ces transformations elles-mêmes.
La géométrie projective complète la géométrie euclidienne en fournissant des solutions belles et simples à de nombreux problèmes compliqués par la présence de lignes parallèles. La théorie projective des sections coniques est particulièrement simple et élégante.
Il existe trois approches principales de la géométrie projective : l'axiomatisation indépendante, la complémentation de la géométrie euclidienne et la structure sur un champ.
Axiomatisation
L'espace projectif peut être défini à l'aide d'un ensemble différent d'axiomes.
Coxeter fournit les éléments suivants :
1. Il y a une ligne droite et un point n’y figure pas.
2. Chaque ligne comporte au moins trois points.
3. Par deux points, vous pouvez tracer exactement une ligne droite.
4. Si UN, B, C, Et D- divers points et UN B Et CD se croisent, alors A.C. Et BD couper.
5. Si abc est un plan, alors il y a au moins un point qui n'est pas dans le plan abc.
6. Deux plans différents coupent au moins deux points.
7. Les trois points diagonaux d’un quadrilatère complet ne sont pas colinéaires.
8. Si trois points sont sur une ligne X X
Le plan projectif (sans la troisième dimension) est défini par des axiomes légèrement différents :
1. Par deux points, vous pouvez tracer exactement une ligne droite.
2. Deux lignes quelconques se croisent.
3. Il y a quatre points, dont trois ne sont pas colinéaires.
4. Les trois points diagonaux d’un quadrilatère complet ne sont pas colinéaires.
5. Si trois points sont sur une ligne X sont invariants par rapport à la projectivité de φ, alors tous les points sur X invariant par rapport à φ.
6. Théorème de Desargues : Si deux triangles sont en perspective par un point, alors ils sont en perspective par une ligne.
En présence d'une troisième dimension, le théorème de Desargues peut être prouvé sans introduire de point et de ligne idéaux.
Plan étendu - modèle de plan projectif : Dans l'espace affine A3 on prend un fibré de droites S(O) de centre au point O et d'un plan Π qui ne passe pas par le centre du fibré : O 6∈ Π. Un faisceau de lignes dans un espace affine est un modèle du plan projectif. Définissons une cartographie de l'ensemble des points du plan Π sur l'ensemble des droites du connecteur S (Putain, prie si tu as cette question, pardonne-moi)
Espace affine ou euclidien tridimensionnel étendu - un modèle d'espace projectif :
Afin de rendre la cartographie surjective, nous répétons le processus d'extension formelle du plan affine Π au plan projectif, Π, en complétant le plan Π avec un ensemble de points impropres (M∞) tel que : ((M∞)) = PO(O). Puisque sur la carte l'image inverse de chaque plan du paquet de plans S(O) est une droite sur le plan d, il est évident que l'ensemble de tous les points impropres du plan étendu : Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), représente une droite impropre d∞ du plan étendu, qui est l'image inverse du plan singulier Π0 : (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Admettons qu'ici et désormais nous entendrons la dernière égalité P0(O) = Π0 au sens d'égalité d'ensembles de points, mais dotée d'une structure différente. En complétant le plan affine par une droite impropre, nous nous sommes assurés que l'application (I.21) devenait bijective sur l'ensemble de tous les points du plan étendu :
Images de figures plates et spatiales lors d'une conception parallèle :
En stéréométrie, les figures spatiales sont étudiées, mais dans le dessin elles sont représentées comme des figures plates. Comment représenter une figure spatiale sur un plan ? Généralement en géométrie, une conception parallèle est utilisée à cet effet. Soit p un avion, je- une droite qui le coupe (Fig. 1). Par un point arbitraire UN, n'appartenant pas à la ligne je, trace une ligne parallèle à la droite je. Le point d'intersection de cette droite avec le plan p est appelé la projection parallèle du point UN au plan p dans la direction de la droite je. Notons-le UN". Si le point UN appartient à la ligne je, puis par projection parallèle UN le point d'intersection de la droite est considéré comme étant sur le plan p je avec avion p.
Ainsi, chaque point UN l'espace où sa projection est comparée UN" sur le plan p. Cette correspondance est appelée projection parallèle sur le plan p dans la direction de la droite l.
Groupe de transformations projectives. Application à la résolution de problèmes.
Le concept de transformation projective d'un plan. Exemples de transformations projectives du plan. Propriétés des transformations projectives. Homologie, propriétés de l'homologie. Groupe de transformations projectives.
La notion de transformation projective d'un plan : Le concept de transformation projective généralise le concept de projection centrale. Si l'on effectue une projection centrale du plan α sur un plan α 1, alors la projection de α 1 sur α 2, α 2 sur α 3, ... et, enfin, un plan α n toujours sur α 1, alors la composition de toutes ces projections est la transformation projective du plan α ; Des projections parallèles peuvent également être incluses dans une telle chaîne.
Exemples de transformations planes projectives : Une transformation projective d'un plan terminé est son mappage biunivoque sur lui-même, dans lequel la colinéarité des points est préservée, ou, en d'autres termes, l'image de toute ligne est une ligne droite. Toute transformation projective est une composition d'une chaîne de projections centrales et parallèles. Une transformation affine est un cas particulier de transformation projective, dans laquelle la ligne à l'infini se transforme en elle-même.
Propriétés des transformations projectives :
Lors d'une transformation projective, trois points ne se trouvant pas sur une droite sont transformés en trois points ne se trouvant pas sur une droite.
Lors d'une transformation projective, le cadre devient un cadre.
Lors d'une transformation projective, une ligne se transforme en ligne droite et un crayon se transforme en crayon.
Homologie, propriétés de l'homologie :
Une transformation projective d'un plan qui possède une ligne de points invariants, et donc un crayon de lignes invariantes, est appelée homologie.
1. Une droite passant par des points d’homologie correspondants non coïncidants est une droite invariante ;
2. Les droites passant par des points d'homologie correspondants non coïncidants appartiennent au même crayon dont le centre est un point invariant.
3. Le point, son image et le centre d'homologie se trouvent sur la même droite.
Groupe de transformations projectives : considérons l'application projective du plan projectif P 2 sur lui-même, c'est-à-dire la transformation projective de ce plan (P 2 ' = P 2).
Comme précédemment, la composition f des transformations projectives f 1 et f 2 du plan projectif P 2 est le résultat de l'exécution séquentielle des transformations f 1 et f 2 : f = f 2 °f 1 .
Théorème 1 : l'ensemble H de toutes les transformations projectives du plan projectif P 2 est un groupe par rapport à la composition des transformations projectives.
Introduction…………………………………………………………….......................... ........ ................3
1 Informations théoriques sur les formes quadratiques……………………………4
1.1 Définition de la forme quadratique……………………………………….…4
1.2 Réduire une forme quadratique à une forme canonique………………...6
1.3 Loi d'inertie…………………………………………………………….….11
1.4 Formes définies positives……………………………………...18
2 Application pratique des formes quadratiques …………………………22
2.1 Résolution des problèmes typiques………………………………………………………………22
2.2 Tâches pour une solution indépendante……...………………….………...26
2.3 Tâches de test…………………………………………………………………...27
Conclusion………….……………………………...…………………………29
Liste de la littérature utilisée……………………………………………………...30
INTRODUCTION
Initialement, la théorie des formes quadratiques était utilisée pour étudier les courbes et les surfaces définies par des équations du second ordre contenant deux ou trois variables. Plus tard, cette théorie trouva d’autres applications. En particulier, lors de la modélisation mathématique de processus économiques, les fonctions objectives peuvent contenir des termes quadratiques. De nombreuses applications des formes quadratiques ont nécessité la construction d'une théorie générale lorsque le nombre de variables est égal à n'importe quel nombre de variables.
, et les coefficients de la forme quadratique ne sont pas toujours des nombres réels.La théorie des formes quadratiques a été développée pour la première fois par le mathématicien français Lagrange, qui possédait de nombreuses idées dans cette théorie. En particulier, il a introduit le concept important de forme réduite, à l'aide duquel il a prouvé la finitude du nombre de classes de ; formes quadratiques binaires d'un discriminant donné. Ensuite, cette théorie a été considérablement élargie par Gauss, qui a introduit de nombreux nouveaux concepts, sur la base desquels il a pu obtenir des preuves de théorèmes difficiles et profonds de la théorie des nombres qui échappaient à ses prédécesseurs dans ce domaine.
Le but du travail est d'étudier les types de formes quadratiques et les moyens de réduire les formes quadratiques à la forme canonique.
Ce travail définit les tâches suivantes : sélectionner la littérature nécessaire, considérer les définitions, résoudre un certain nombre de problèmes et préparer des tests.
1 INFORMATIONS THÉORIQUES SUR LES FORMES QUADRATIQUES
1.1 DÉFINITION DE LA FORME QUADRATIQUE
Forme quadratique
d'inconnues est une somme dont chaque terme est soit le carré d'une de ces inconnues, soit le produit de deux inconnues différentes. La forme quadratique se présente sous deux formes : réelle et complexe, selon que ses coefficients sont des nombres réels ou complexes.Désignant le coefficient à
à travers et lors de la production
, à travers 
, la forme quadratique peut être représentée comme : . A partir des coefficients
il est possible de construire une matrice carrée d'ordre ; on l'appelle matrice de forme quadratique, et son rang est appelé rang de forme quadratique. Si, en particulier, , où , c'est-à-dire que la matrice est non dégénérée, alors la forme quadratique est dite non dégénérée. Pour toute matrice d'ordre symétrique, on peut en spécifier une sous une forme quadratique entièrement définie :
(1.1) - inconnues, ayant des éléments matriciels avec leurs coefficients. Désignons maintenant par
une colonne composée d'inconnues : . est une matrice avec des lignes et une colonne. En transposant cette matrice, on obtient la matrice :
, composé d'une seule ligne. Forme quadratique (1.1) avec matrice
peut maintenant être écrit sous forme de produit :.1.2 RÉDUCTION À LA FORME QUADRATIQUE
À LA VUE CANONIQUE
Supposons que la forme quadratique
des inconnues a déjà été réduite par une transformation linéaire non dégénérée à la forme canonique, où se trouvent les nouvelles inconnues. Certains coefficients peuvent être nuls. Montrons que le nombre de coefficients non nuls est nécessairement égal au rang de la forme. La matrice de cette forme quadratique a une forme diagonale
,
et l'exigence que cette matrice ait un rang
, équivaut à l'hypothèse que sa diagonale principale contient exactement des éléments non nuls.Théorème. Toute forme quadratique peut être réduite à sa forme canonique par une transformation linéaire non dégénérée. Si une forme quadratique réelle est considérée, alors tous les coefficients de la transformation linéaire spécifiée peuvent être considérés comme réels.
Preuve. Ce théorème est vrai pour le cas des formes quadratiques à une inconnue, puisque toute forme de ce type a la forme
, ce qui est canonique. Introduisons une preuve par récurrence, c'est-à-dire prouvons le théorème pour les formes quadratiques à inconnues, en considérant qu'il a déjà été prouvé pour les formes avec un plus petit nombre d'inconnues.Soit la forme quadratique (1.1) de
Objet de la prestation. Calculateur en ligne utilisé pour trouver Matrices de Hesse et déterminer le type de fonction (convexe ou concave) (voir exemple). La solution est rédigée au format Word. Pour une fonction d'une variable f(x), des intervalles de convexité et de concavité sont déterminés.Règles de saisie des fonctions:
Une fonction f(x) deux fois continuellement différentiable est convexe (concave) si et seulement si Matrice de Hesse la fonction f(x) par rapport à x est semi-définie positive (négative) pour tout x (voir points d'extrema locaux d'une fonction de plusieurs variables).
Points critiques du fonctionnement :
- si le Hessien est défini positif, alors x 0 est le point minimum local de la fonction f(x),
- si le Hessien est défini négatif, alors x 0 est le point maximum local de la fonction f(x),
- si le Hessian n'est pas défini par un signe (prend à la fois des valeurs positives et négatives) et est non dégénéré (det G(f) ≠ 0), alors x 0 est le point selle de la fonction f(x).
Critères de définition d'une matrice (théorème de Sylvester)
Certitude positive:- tous les éléments diagonaux de la matrice doivent être positifs ;
- tous les principaux qualificatifs doivent être positifs.
Semi-définition positive :
- tous les éléments diagonaux sont non négatifs ;
- tous les principaux déterminants sont non négatifs.
Une matrice carrée symétrique d'ordre n, dont les éléments sont les dérivées partielles de la fonction objectif du second ordre, appelée matrice de Hesse et est désigné :
Pour qu'une matrice symétrique soit définie positive, il faut et suffisant que tous ses mineurs diagonaux soient positifs, c'est-à-dire 
pour la matrice A = (a ij) sont positifs.
Certitude négative.
Pour qu’une matrice symétrique soit définie négative, il faut et suffisant que les inégalités suivantes aient lieu :
(-1) kDk > 0, k=1,..,n.
En d’autres termes, pour que la forme quadratique soit négatif défini, il faut et il suffit que les signes des mineurs angulaires d'une matrice de forme quadratique alternent, en commençant par le signe moins. Par exemple, pour deux variables, D 1< 0, D 2 > 0.
Si le Hessien est semi-défini, cela peut aussi être un point d'inflexion. Des recherches supplémentaires sont nécessaires, qui peuvent être effectuées en utilisant l'une des options suivantes :
- Ordre décroissant. Un changement de variables est effectué. Par exemple, pour une fonction de deux variables, c'est y=x, nous obtenons ainsi une fonction d'une variable x. Ensuite, nous examinons le comportement de la fonction sur les lignes y=x et y=-x. Si dans le premier cas la fonction au point étudié aura un minimum, et dans l'autre cas un maximum (ou vice versa), alors le point étudié est un point selle.
- Trouver les valeurs propres du Hessien. Si toutes les valeurs sont positives, la fonction au point étudié a un minimum, si toutes les valeurs sont négatives, il y a un maximum.
- Etude de la fonction f(x) au voisinage du point ε. Les variables x sont remplacées par x 0 +ε. Ensuite, il faut prouver que la fonction f(x 0 + ε) d'une variable ε est soit supérieure à zéro (alors x 0 est le point minimum), soit inférieure à zéro (alors x 0 est le point maximum).
Note. Trouver toile de jute inversée il suffit de trouver la matrice inverse.
Exemple n°1. Lesquelles des fonctions suivantes sont convexes ou concaves : f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Solution. 1. Trouvons les dérivées partielles. 
2. Résolvons le système d'équations.
-4x1 +4x2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
On a:
a) À partir de la première équation, nous exprimons x 1 et le substituons dans la deuxième équation :
x2 = x2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Où x 2 = 4
Nous substituons ces valeurs x 2 dans l'expression pour x 1. On obtient : x 1 = 9 / 2
Le nombre de points critiques est de 1.
M1 (9 / 2 ;4)
3. Trouvons les dérivées partielles du second ordre.
4. Calculons la valeur de ces dérivées partielles du second ordre aux points critiques M(x 0 ;y 0).
On calcule les valeurs pour le point M 1 (9 / 2 ;4) 
Nous construisons la matrice hessienne :
D 1 = un 11< 0, D 2 = 8 > 0
Puisque les mineurs diagonaux ont des signes différents, on ne peut rien dire sur la convexité ou la concavité de la fonction.
Un polynôme homogène de degré 2 à plusieurs variables est appelé forme quadratique.
La forme quadratique des variables se compose de termes de deux types : les carrés de variables et leurs produits par paires avec certains coefficients. La forme quadratique s’écrit généralement sous la forme du diagramme carré suivant :
Les paires de termes similaires s'écrivent avec des coefficients égaux, de sorte que chacun d'eux constitue la moitié du coefficient du produit correspondant des variables. Ainsi, chaque forme quadratique est naturellement associée à sa matrice de coefficients, qui est symétrique.
Il est pratique de représenter la forme quadratique dans la notation matricielle suivante. Notons X une colonne de variables passant par X - une ligne, c'est-à-dire une matrice transposée par X. Alors
Les formes quadratiques se retrouvent dans de nombreuses branches des mathématiques et de leurs applications.
En théorie des nombres et en cristallographie, les formes quadratiques sont considérées en supposant que les variables ne prennent que des valeurs entières. En géométrie analytique, la forme quadratique fait partie de l'équation d'une courbe (ou surface) d'ordre. En mécanique et en physique, la forme quadratique semble exprimer l'énergie cinétique d'un système à travers les composantes des vitesses généralisées, etc. Mais, en outre, l'étude des formes quadratiques est également nécessaire en analyse lors de l'étude des fonctions de nombreuses variables, en questions pour lequel il est important de savoir comment cette fonction au voisinage d'un point donné s'écarte de la fonction linéaire qui s'en rapproche. Un exemple de problème de ce type est l’étude d’une fonction pour son maximum et son minimum.
Considérons, par exemple, le problème de l'étude du maximum et du minimum pour une fonction de deux variables qui a des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre. Une condition nécessaire pour qu'un point donne un maximum ou un minimum d'une fonction est que les dérivées partielles de l'ordre en ce point soient égales à zéro. Supposons que cette condition soit remplie. Donnons aux variables x et y de petits incréments et k et considérons l'incrément correspondant de la fonction D'après la formule de Taylor, cet incrément, jusqu'aux petits ordres supérieurs, est égal à la forme quadratique où sont les valeurs des dérivées secondes. calculé au point Si cette forme quadratique est positive pour toutes les valeurs de et k (sauf ), alors la fonction a un minimum au point si elle est négative, alors elle a un maximum ; Enfin, si une forme prend à la fois des valeurs positives et négatives, alors il n’y aura ni maximum ni minimum. Les fonctions d'un plus grand nombre de variables sont également étudiées de la même manière.
L'étude des formes quadratiques consiste principalement à étudier le problème de l'équivalence des formes par rapport à l'un ou l'autre ensemble de transformations linéaires de variables. Deux formes quadratiques sont dites équivalentes si l’une d’elles peut être convertie en l’autre par l’une des transformations d’un ensemble donné. Étroitement lié au problème de l'équivalence est le problème de la réduction de la forme, c'est-à-dire le transformer en une forme peut-être la plus simple.
Dans diverses questions liées aux formes quadratiques, divers ensembles de transformations admissibles de variables sont également pris en compte.
Dans les questions d'analyse, toutes les transformations non spéciales de variables sont utilisées ; pour les besoins de la géométrie analytique, les transformations orthogonales sont du plus grand intérêt, c'est-à-dire celles qui correspondent au passage d'un système de coordonnées cartésiennes variables à un autre. Enfin, en théorie des nombres et en cristallographie, on considère les transformations linéaires à coefficients entiers et avec un déterminant égal à l'unité.
Nous considérerons deux de ces problèmes : la question de la réduction d'une forme quadratique à sa forme la plus simple par d'éventuelles transformations non singulières et la même question pour les transformations orthogonales. Tout d'abord, découvrons comment une matrice de forme quadratique se transforme lors d'une transformation linéaire de variables.
Soit , où A est une matrice symétrique de coefficients de forme, X est une colonne de variables.
Faisons une transformation linéaire des variables, en l'écrivant en abrégé . Ici C désigne la matrice des coefficients de cette transformation, X est une colonne de nouvelles variables. Alors et donc, la matrice de la forme quadratique transformée est
La matrice s'avère automatiquement symétrique, ce qui est facile à vérifier. Ainsi, le problème de réduire une forme quadratique à la forme la plus simple équivaut au problème de réduire une matrice symétrique à la forme la plus simple en la multipliant à gauche et à droite par des matrices mutuellement transposées.