ठीक 350 साल पहले फ्रांस में जीवन भर अदालतों में काम करने वाले गणितज्ञ पियरे डी फर्मेट का निधन हो गया था। वह महान प्रमेय के निर्माता के रूप में प्रसिद्ध हुए, जिसके प्रमाण की खोज में 300 से अधिक वर्षों का समय लगा।
"सूत्र aⁿ + bⁿ = cⁿ में n> 2 के लिए कोई गैर-आंशिक समाधान नहीं है" - यह सबसे प्रसिद्ध गणितीय प्रमेयों में से एक का सूत्रीकरण है, जिसे फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय (जिसे अक्सर फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय भी कहा जाता है) के रूप में जाना जाता है। फ्रांसीसी पियरे फर्मेट ने इसे 1637 में तैयार किया; तब से, प्रमेय ने न केवल वैज्ञानिकों के बीच, बल्कि लोकप्रिय संस्कृति में भी व्यापक लोकप्रियता हासिल की है।
लेकिन पहले चीजें पहले। पियरे फ़र्मेट के जीवन के बारे में ज्यादा जानकारी नहीं है। उनका जन्म 17 अगस्त, 1601 को ब्यूमोंट-डी-लोमाग्ने के छोटे से शहर में एक धनी व्यापारी, दूसरे शहर के कौंसल डोमिनिक फ़र्मेट और क्लेयर डी लॉन्ग के परिवार में हुआ था, जो वकीलों के परिवार से आए थे। उनके बच्चे, और परिवार में उनमें से चार थे - दो लड़के और दो लड़कियां, प्यार करने वाले पिता डॉमिनिक ने अच्छी शिक्षा दी। पियरे ने अपने गृहनगर में कॉलेज से स्नातक की उपाधि प्राप्त की, और फिर टूलूज़, बोर्डो और ऑरलियन्स में अध्ययन किया, जहाँ उन्होंने स्नातक की डिग्री प्राप्त की। गणित जीवन भर पियरे फ़र्मेट का सच्चा जुनून बना रहा, लेकिन विभिन्न परिस्थितियों के कारण, उस समय के वैज्ञानिक खुद को अपने प्रिय विज्ञान के लिए पूरी तरह से समर्पित नहीं कर सके, और महान प्रमेय के भविष्य के निर्माता ने एक पेशे के रूप में न्यायशास्त्र को चुना।
1630 में, पियरे फ़र्मेट टूलूज़ में बस गए, जहाँ उन्होंने संसद के सलाहकार का पद संभाला, यानी सर्वोच्च न्यायालय। उसी वर्ष, उन्होंने अपनी मां, लुईस डी लॉन्ग के एक दूर के रिश्तेदार से शादी की। समकालीनों ने उनकी ईमानदारी और सटीकता पर ध्यान दिया, वह "अपने समय के सर्वश्रेष्ठ वकीलों में से एक के रूप में प्रसिद्ध" थे, जिसने उन्हें 1648 में कास्ट्रेस शहर में चैंबर ऑफ एडिक्ट्स का सदस्य बनने और कण डी को अपने नाम में जोड़ने की अनुमति दी - बड़प्पन का संकेत।
एक वकील के रूप में उत्कृष्ट योग्यता के अलावा, पियरे फ़र्मेट को एक बहुभाषाविद और पुरातनता के पारखी के रूप में भी जाना जाता था - कॉलेज में रहते हुए भी उन्होंने कई विदेशी भाषाओं में महारत हासिल की, बाद में फ्रेंच, लैटिन और स्पेनिश में कविता लिखी, और कामों के प्रकाशकों को भी सलाह दी। प्राचीन यूनानियों की।
और फिर भी, पियरे डी फर्मेट व्यापक रूप से एक वैज्ञानिक के रूप में जाने जाते थे। वह गणित में ड्यूटी पर नहीं था, बल्कि सिर्फ इसलिए कि वह उससे प्यार करता था। वह इसके कानूनों और पहेलियों में रुचि रखता था। विश्लेषणात्मक ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण के विकास में उनके योगदान को मान्यता मिली है।
पियरे फ़र्मेट के पहले गणितीय कार्यों में से एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ अपोलोनियस "फ्लैट प्लेसेस" के खोए हुए ग्रंथ को जीवित संदर्भों से पुनर्स्थापित करने का प्रयास था।
फ़र्मेट ज्यामिति की समस्याओं के लिए शाब्दिक बीजगणित को लागू करने वाला पहला व्यक्ति था, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक अतिसूक्ष्म मात्रा की अवधारणा का परिचय देता है, एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए तरीकों का प्रस्ताव करता है और मनमाना घटता के लिए स्पर्शरेखा खींचता है, किसी भी "पैराबोलस" से घिरे क्षेत्रों की गणना करने के लिए एक विधि और किसी भी " हाइपरबोलस", से पता चलता है कि एक असीम आकृति का क्षेत्र अंतिम हो सकता है। वह वक्रों के चापों की लंबाई (सीधे वक्रों की समस्या) की गणना की समस्या से निपटने वाले पहले व्यक्ति थे और इस समस्या को क्षेत्रों की गणना तक कम कर दिया।
कुछ रिपोर्टों के अनुसार, पियरे फ़र्मेट ने क्षेत्रों को निर्धारित करने और स्पर्शरेखा खोजने के तरीकों के बीच एक पारस्परिक प्रतिक्रिया देखी, और "अभिन्न" की अवधारणा से एक कदम दूर था, लेकिन इस दिशा को विकसित नहीं किया। फ़र्मेट की मृत्यु के बाद पहले से ही, "क्षेत्र की समस्याएं" और "स्पर्शरेखा पर समस्याएं" न्यूटन और लाइबनिज़ को जोड़ती हैं, जो अंतर और अभिन्न कलन के संस्थापक होने का अधिकार रखते हैं। न्यूटन ने स्वीकार किया कि फर्मेट का काम उनके लिए बहुत महत्वपूर्ण था और इस दिशा में अनुसंधान को प्रेरित किया।
उस समय, नियमित रूप से प्रकाशित वैज्ञानिक पत्रिकाएँ नहीं थीं, इसलिए वैज्ञानिक विचारों के प्रसार और चर्चा में वैज्ञानिकों के व्यक्तिगत पत्राचार का बहुत महत्व था। फ़र्मेट ने डेसकार्टेस, पिता और पुत्र पास्कल्स, ह्यूजेंस, टोरिसेली, डी बेसी, वालिस - उस समय के महानतम गणितज्ञों के साथ व्यापक पत्राचार किया - या तो सीधे या मारिन मेर्सन के माध्यम से - धर्मशास्त्री और गणितज्ञ, वैज्ञानिक विचारों के एक प्रकार के समन्वयक, जो थे चर्चा के तहत मुद्दों के करीब के मुद्दों में रुचि रखने वाले वैज्ञानिकों के बीच पत्रों और पांडुलिपियों के पुनरुत्पादन में शामिल। वर्तमान में, मेर्सन को मुख्य रूप से फॉर्म 2 एन -1 ("मेर्सन नंबर") की संख्याओं के शोधकर्ता के रूप में जाना जाता है, जो संख्या सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
फ़र्मेट ने कई वैज्ञानिक ग्रंथ पूरे किए, लेकिन उनमें से कोई भी उनके जीवनकाल में प्रकाशित नहीं हुआ। फिर भी, वे गणितज्ञों के बीच पांडुलिपियों में जाने जाते थे। विशेष रूप से, 1636 में फ़र्मेट ने "सपाट और स्थानिक स्थानों के सिद्धांत का परिचय" काम पूरा किया, जहां पहली बार समीकरण के क्रम के आधार पर वक्रों को वर्गीकृत किया गया था।
आज, गणितीय विश्लेषण की शुरुआत का अध्ययन करने वाले स्कूली बच्चे भी जानते हैं कि एक चरम, अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। और यद्यपि "व्युत्पन्न" की अवधारणा तब मौजूद नहीं थी, फ़र्मेट की लेम्मा इस बारे में बोलती है।
1636 में मेर्सन को सौंपे गए काम "हाई एंड लो को खोजने की विधि" की डेसकार्टेस ने आलोचना की थी। फ़र्मेट ने एक विवाद में प्रवेश किया, अपने प्रतिद्वंद्वी को शांति और संयम से जवाब दिया, हालांकि विडंबना के बिना नहीं, अपनी पद्धति का सार अधिक विस्तार से समझाते हुए, जो उन्हें एक व्यक्ति और एक वैज्ञानिक के रूप में दर्शाता है।
पियरे डी फ़र्मेट गणित के क्षेत्र की उत्पत्ति पर खड़ा था जिसे अब संभाव्यता सिद्धांत कहा जाता है। ब्लेज़ पास्कल के साथ फ़र्मेट के पत्राचार में, गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को परिभाषित किया गया था, संभावनाओं के जोड़ और गुणा के प्रमेय तैयार किए गए थे। इन चर्चाओं के परिणाम क्रिश्चियन ह्यूजेन्स ऑन द कैलकुलेशन ऑफ गैंबलिंग (1657) में दिए गए हैं।
हालांकि, फर्मेट की मुख्य योग्यता संख्या सिद्धांत का निर्माण माना जाता है। 18वीं शताब्दी में रहने वाले लियोनहार्ड यूलर तक न तो उनके समकालीन और न ही बाद के गणितज्ञों ने उनके द्वारा उठाई गई समस्याओं के महत्व को समझा।
पियरे फ़र्मेट ने 40 के दशक में पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करना शुरू किया। 18 अक्टूबर, 1640 को, फ्रांसीसी गणितज्ञ बर्नार्ड फ्रेनिकल को लिखे एक पत्र में, पियरे फ़र्मेट ने निम्नलिखित प्रमेय तैयार किया: यदि संख्या a एक अभाज्य संख्या p से विभाज्य नहीं है, तो (और p-1 -1) p से विभाज्य है। फ़र्मेट की छोटी प्रमेय नामक इस अभिकथन को फ़र्मेट द्वारा बिना प्रमाण के छोड़ दिया गया था। यह बाद में स्विस, जर्मन और रूसी गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा सिद्ध और सामान्यीकृत किया गया था। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि वैज्ञानिक को न केवल नए प्रमेय बनाना पसंद था, बल्कि अपने समकालीनों को चिढ़ाना भी पसंद था, उन्हें सबूत खोजने के लिए आमंत्रित करना।
पुरातनता की संपूर्ण विरासत से, संख्या सिद्धांत के प्रश्नों पर दो पुस्तकें हमारे पास आई हैं - यूक्लिड की "तत्व" और डायोफैंटस की "अरिथमेटिक"। दूसरी पुस्तक लंबे समय तक अज्ञात थी, केवल 16 वीं शताब्दी में इसे वेटिकन पुस्तकालय में खोजा गया था, और पूरी तरह से नहीं। यह परिमेय संख्याओं में अनिश्चित समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित था। प्रमेय, शब्द की हमारी समझ में, पुस्तक में शामिल नहीं था।
17 वीं शताब्दी की शुरुआत में फ्रांस में प्रकाशित यह पुस्तक थी, जो फर्मेट की संदर्भ पुस्तक बन गई। यह 1637 में अपने क्षेत्रों में था कि पियरे फ़र्मेट ने उन बहुत प्रसिद्ध नोटों को बनाया जो उनके नाम का महान प्रमेय बन गया: प्राचीन यूनानी गणितज्ञ की समस्या के विपरीत: "एक वर्ग संख्या को दो अन्य वर्ग संख्याओं में विभाजित करें", फ़र्मेट ने लिखा: "पर इसके विपरीत, एक घन को दो घन में विघटित करना असंभव है, दो द्विघातों द्वारा द्विघात नहीं, और सामान्य तौर पर एक वर्ग से अधिक किसी भी शक्ति के लिए नहीं, एक ही प्रतिपादक के साथ दो शक्तियों द्वारा। मैंने वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण की खोज की है यह, लेकिन ये क्षेत्र उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।
यह इस नोट से है कि दुनिया में सबसे लोकप्रिय और कठिन सिद्ध प्रमेय का अद्भुत भाग्य शुरू होता है। यह आश्चर्य की बात है, यदि केवल इसलिए कि बिना प्रमाण के एक प्रमेय एक परिकल्पना है, लेकिन इस समय तक फ़र्मेट ने पहले ही एक ऐसे व्यक्ति की प्रसिद्धि प्राप्त कर ली थी जो कभी गलती नहीं करता। इसके अलावा, उन्होंने "अनिश्चित या अनंत वंश की विधि" को लागू करते हुए, चौथी शक्तियों के लिए प्रमेय के प्रमाण को छोड़ दिया, जिसकी मदद से लियोनहार्ड यूलर ने 1770 में मामले n = 3 के लिए प्रमेय को साबित कर दिया। आधी सदी बाद, जर्मन गणितज्ञ जोहान डिरिचलेट ने फ्रांसीसी एड्रियन मैरी लेजेंडर के साथ, विशेष मामले n = 5 के लिए महान प्रमेय को साबित किया, और 1839 में गेब्रियल लेम - n = 7 के लिए। 30 के दशक के अंत और 40 के दशक की शुरुआत में 18वीं शताब्दी में, जर्मन गणितज्ञ अर्न्स्ट एडुआर्ड कुमर ने 100 से कम सभी अभाज्य संख्याओं के लिए एक प्रमाण पाया।
गणितज्ञों द्वारा किए गए कई अध्ययनों से बीजगणितीय संख्याओं के अंकगणित में नए सिद्धांतों का निर्माण हुआ। और प्रमेय की लोकप्रियता ने इस तथ्य को जन्म दिया कि न केवल वैज्ञानिकों, बल्कि शौकीनों ने भी इसके प्रमाण की तलाश करने की कोशिश की। वे और अन्य दोनों को "किण्वकवादी" कहा जाने लगा।
1908 में, शौकिया गणितज्ञ पॉल वोल्फस्केल ने 100 वर्षों के भीतर फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करने वाले पहले व्यक्ति के लिए डीएम 100,000 इनाम की घोषणा की। प्रथम विश्व युद्ध के बाद, वसीयत की गई राशि का ह्रास हुआ, हालांकि, इस समय तक पेशेवर गणितज्ञों ने सबूत की तलाश में अपना समय बर्बाद करने से इनकार कर दिया, क्योंकि वे इसे एक निराशाजनक व्यवसाय मानते थे, लेकिन शौकीनों के बीच यह कुछ हद तक एक फैशन बन गया था। 1972 में, पत्रिका क्वांट ने अपने पाठकों को यह भी चेतावनी दी थी कि "फर्मेट के प्रमेय के मसौदा प्रमाण वाले पत्रों पर विचार नहीं किया जाएगा (और लौटाया गया)", और जर्मन वैज्ञानिक एडमंड लैंडौ ने अपने स्नातक छात्रों को भेजे गए "फर्मेटिस्ट्स" के कार्यों में त्रुटियों को खोजने का निर्देश दिया। उसे और उन्हें लेखकों को निम्नलिखित सामग्री के साथ एक पत्र भेजें: "फर्मैट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण के साथ आपके द्वारा भेजी गई पांडुलिपि के लिए धन्यवाद। पहली त्रुटि पृष्ठ पर है ... पंक्ति में ..."
और फिर भी एक पूरा प्रमाण मिल गया! यह 1995 में, अंग्रेजी और अमेरिकी गणितज्ञ एंड्रयू जॉन विल्स द्वारा प्रमेय तैयार किए जाने के साढ़े तीन शताब्दी बाद दिया गया था। विल्स को पहली बार दस साल की उम्र में फ़र्मेट के प्रमेय के अस्तित्व के बारे में पता चला। एक प्रमाण खोजने का पहला प्रयास विफल होने के बाद, उन्होंने "फर्मेटिस्ट" वैज्ञानिकों के कार्यों का अध्ययन करना शुरू कर दिया, गणित का अध्ययन किया और वर्षों बाद प्रमेय पर लौट आए। पूर्ण गोपनीयता में सात साल की कड़ी मेहनत रंग लाई - 1993 में, उन्होंने पहली बार फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के अपने प्रमाण के साथ दुनिया को प्रस्तुत किया। हालांकि, सबूत के लिए एक गंभीर जांच की आवश्यकता थी, जिसके परिणामस्वरूप एक घोर त्रुटि का पता चला, हालांकि विशेषज्ञ इस बात से सहमत थे कि समाधान आम तौर पर सही था। विल्स, जो बचपन से ही फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण की खोज को अपने जीवन का काम मानते थे, ने संख्याओं के सिद्धांत के विशेषज्ञ रिचर्ड टेलर की मदद ली और एक साल बाद उन्होंने एक सही और विस्तारित प्रमाण प्रकाशित किया। समाधान, कुल 130 पृष्ठ, मई 1995 में गणित के इतिहास में प्रकाशित हुआ था। और 1997 में, विल्स को वोल्फस्केल पुरस्कार के रूप में $50,000 मिले। तब से, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को आधिकारिक तौर पर सिद्ध माना गया है।
इस बीच, पियरे फर्मेट ने खुद कोई विरासत नहीं छोड़ी। कई वर्षों तक उन्होंने एकत्रित कार्यों पर काम किया, लेकिन अदालत में कड़ी मेहनत ने जाहिर तौर पर उन्हें अपनी योजना को साकार करने से रोक दिया। 1679 में, फ़र्मेट के कार्यों का पहला संग्रह वैज्ञानिक सैमुअल के सबसे बड़े बेटे द्वारा जारी और प्रकाशित किया गया था।
पियरे फ़र्मेट की मृत्यु 12 जनवरी, 1665 को कास्ट्रेस शहर में अदालत के एक निकास सत्र के दौरान हुई, 10 साल बाद उनकी राख को टूलूज़ में फ़र्मेट परिवार के मकबरे में स्थानांतरित कर दिया गया।
पियरे डी फ़र्माटा
विश्लेषक ईमानदार हो!
वरना रात में बदला लेने वाले को इक्विडोमाइड करें
घातक पीड़ा से अपना गला दबाओ..
लुई फेरॉन, "म्यूडल ज्योमेट्री में अनुभव"
"पियरे, डोमिनिक फ़र्मेट के बेटे, बुर्जुआ और ब्यूमोंट शहर के दूसरे वाणिज्य दूतावास, ने 20 अगस्त, 1601 को बपतिस्मा लिया। गॉडफादर - पियरे फ़र्मेट, व्यापारी और नामित डोमिनिक के भाई, गॉडमदर - जीन काज़नीव, और मैं।" हस्ताक्षर गायब है, लेकिन पिछली प्रविष्टि पर हस्ताक्षर किए गए हैं: "डुमास, विकार।" इस दस्तावेज़ को डेढ़ सदी तक खोजा गया था और वकील टोपियाक के प्रयासों के लिए केवल 1846 में खोजा गया था। इससे पहले, यह माना जाता था कि फ़र्मेट का जन्म और मृत्यु टूलूज़ में हुई थी, जहाँ 34 (!) वर्षों तक उन्होंने नियमित रूप से टूलूज़ संसद के कैसेशन चैंबर के एक अधिकारी के रूप में कार्य किया। मोंटबैन-ऑन-टार्न (फ्रांस में 30 से अधिक ब्यूमोंट हैं) के पास गारोन के बाएं किनारे पर ब्यूमोंट का छोटा शहर और आज तक इसके सभी पांच हजार निवासी एक सावधानीपूर्वक वकील की खोज के महत्व को महसूस करने में असमर्थ हैं। . यहाँ महान फ़र्मेट का जन्म हुआ, अंतिम गणितज्ञ-कीमियागर, जिसने आने वाली शताब्दियों की बेकार की समस्याओं को हल किया, सबसे शांत न्यायिक हुक, चालाक स्फिंक्स, जिसने अपनी पहेलियों से मानव जाति को प्रताड़ित किया, सतर्क और अच्छी तरह से नौकरशाह, ठग, साज़िश करने वाला, घरेलू, ईर्ष्यालु, शानदार संकलक, नए समय के गणित के चार टाइटन्स में से एक।
D'Artagnan के इस समकालीन ने शायद ही टूलूज़ को छोड़ा, जहाँ वह अपनी माँ के चचेरे भाई लुईस डी लाउन से शादी करने के बाद बस गए, जो उसी संसद के पार्षद की बेटी थी। अपने ससुर के लिए धन्यवाद, वह सलाहकार के पद तक पहुंचे और प्रतिष्ठित उपसर्ग "डी" हासिल कर लिया। तीसरी संपत्ति का बेटा, अमीर चर्मकारों की व्यावहारिक संतान, लैटिन और फ्रांसिस्कन धर्मपरायणता से भरा हुआ, उसने वास्तविक जीवन में खुद को भव्य कार्य निर्धारित नहीं किया। उनके पाँच बच्चे थे, जो बाद में न्यायी और याजक बने। फ़र्मेट की दो बेटियाँ भिक्षु बन गईं।
अपने अशांत युग में, वह पूरी तरह से और चुपचाप रहते थे। उन्होंने डेसकार्टेस की तरह दार्शनिक ग्रंथ नहीं लिखे, फ्रांसीसी राजाओं के विश्वासपात्र नहीं थे, वियतनाम की तरह, लड़ाई नहीं की, यात्रा नहीं की, गणितीय मंडलियों का निर्माण नहीं किया और उनमें भाग नहीं लिया, उनके पास छात्र नहीं थे और लगभग प्रकाशित नहीं हुए थे उसका जीवनकाल। प्रांतीय अदालतों के अधिकारियों को प्रचार की किसी भी अभिव्यक्ति से परहेज करते हुए एकांत जीवन जीने का आदेश दिया गया था। शायद फ़र्मेट, खुद को एक सम्मानित व्यक्ति मानते हुए, इत्मीनान से औपचारिक खेलों के अपने जुनून से शर्मिंदा था। अपने पतन के वर्षों में, हमारा नायक लिखता है: "क्योंकि, स्पष्ट रूप से, मैं ज्यामिति को मन के लिए सर्वोच्च व्यायाम मानता हूं, लेकिन साथ ही इतना बेकार है कि मैं एक ऐसे व्यक्ति और एक कुशल शिल्पकार के बीच थोड़ा अंतर करता हूं जो केवल ज्यामिति से संबंधित है। मैं ज्यामिति को दुनिया का सबसे सुंदर पेशा कहता हूं, लेकिन फिर भी केवल एक पेशा, और मैं अक्सर कहता हूं कि यह किसी की ताकत का परीक्षण करने के लिए अच्छा है, लेकिन इसमें अपनी पूरी ताकत लगाने के लिए नहीं ... "। उन्होंने अपनी मृत्यु से पहले ही खुद को धोखा दिया, टूलूज़ में प्रकाशित एक छोटे से ग्रंथ "सीधी रेखाओं के साथ घुमावदार रेखाओं की तुलना" में अपने निष्कर्षों के सबसे शानदार से दूर। इतिहास में किसी स्थान के लिए कोई सचेत दावा नहीं पाकर, फ़ार्म की 64 वर्ष की आयु में एक व्यावसायिक यात्रा के दौरान अप्रत्याशित रूप से मृत्यु हो जाती है।
उनकी आजीवन प्रसिद्धि प्रचुर पत्राचार पर आधारित है, जिसमें उन्होंने असामान्य कार्यों के साथ मित्रों और शत्रुओं को परेशान किया। उनकी मरणोपरांत प्रसिद्धि डायोफैंटस के अंकगणित के हाशिये में मामूली नोटों की बदौलत बढ़ी। आमतौर पर, मानवता को एक और अथक प्रतिभा की विरासत से निपटने के लिए कई दशकों की आवश्यकता होती है। यहां तक कि इस तरह के एक रहस्यमय "देवताओं के चुने हुए" जैसे कि एवरिस्ट गैलोइस अपने समय से अधिकतम 60 वर्ष आगे थे। फ़र्मेट के रहस्यों को समझने में लगभग चार शताब्दियाँ लगीं। आह, आपका सम्मान, मेरे दयालु महाशय पियरे, तुम इतनी गंधक क्यों सूंघते हो?
गणित में फ़र्मेट की रुचि किसी तरह अप्रत्याशित रूप से और काफी परिपक्व उम्र में दिखाई दी। 1629 में, पप्पस के काम का एक लैटिन अनुवाद, जिसमें शंकु वर्गों के गुणों पर अपोलोनियस के परिणामों का एक संक्षिप्त सारांश शामिल था, उसके हाथों में आ गया। फ़र्मेट, एक बहुभाषाविद, कानून और प्राचीन भाषाशास्त्र का विशेषज्ञ, अचानक प्रसिद्ध वैज्ञानिक के तर्क के पाठ्यक्रम को पूरी तरह से बहाल करने के लिए निकल पड़ता है। उसी सफलता के साथ, एक आधुनिक वकील बीजगणितीय टोपोलॉजी पर एक मोनोग्राफ में सभी सबूतों को स्वतंत्र रूप से पुन: पेश करने का प्रयास कर सकता है। हालांकि, अकल्पनीय उद्यम को सफलता के साथ ताज पहनाया जाता है। इसके अलावा, पूर्वजों के ज्यामितीय निर्माणों में तल्लीन होकर, वह एक अद्भुत खोज करता है: आंकड़ों के क्षेत्रों की मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए, सरल चित्र की आवश्यकता नहीं होती है। कुछ सरल बीजीय समीकरणों को बनाना और हल करना हमेशा संभव होता है, जिनकी जड़ें चरम सीमा निर्धारित करती हैं। वह एक एल्गोरिथम के साथ आया जो डिफरेंशियल कैलकुलस का आधार बनेगा। पत्रों के टुकड़ों में, अधूरी पांडुलिपियों में, लैटिन में बोझिल मौखिक पदनामों के माध्यम से, कुछ दर्दनाक रूप से परिचित स्पष्ट रूप से उभरता है:
.वह जल्दी से आगे बढ़ गया। उन्होंने मैक्सिमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थितियां पाईं, विभक्ति बिंदुओं को निर्धारित करना सीखा, दूसरे और तीसरे क्रम के सभी ज्ञात वक्रों पर स्पर्शरेखाएँ खींचीं। कुछ और साल, और वह पैराबोलस और मनमानी क्रम के हाइपरबोला के लिए चतुर्भुज खोजने के लिए एक नई पूरी तरह से बीजगणितीय विधि ढूंढता है (यानी, फॉर्म के कार्यों के अभिन्न अंग वाई पी = सीएक्स क्यूऔर वाई पी एक्स क्यू \u003d सी), क्रांति के निकायों के क्षेत्रों, मात्राओं, जड़ता के क्षणों की गणना करता है। यह एक वास्तविक सफलता थी। यह महसूस करते हुए, फ़र्मेट उस समय के गणितीय अधिकारियों के साथ संचार की तलाश करना शुरू कर देता है। वह आत्मविश्वासी है और मान्यता के लिए तरसता है।
1636 में उन्होंने परम पूज्य मारिन मेर्सन को पहला पत्र लिखा: "पवित्र पिता! आपने मुझे यह आशा देकर कि हम लिखित में बात कर पाएंगे, आपने मुझे जो सम्मान दिया है, उसके लिए मैं आपका बहुत आभारी हूं; ... पिछले पांच या छह वर्षों में गणित पर सभी नए ग्रंथों और पुस्तकों के बारे में सुनकर मुझे बहुत खुशी होगी। ... मुझे संख्यात्मक और ज्यामितीय दोनों तरह की विभिन्न समस्याओं के लिए कई विश्लेषणात्मक विधियाँ भी मिलीं, जिनके लिए विएटा का विश्लेषण अपर्याप्त है। जब भी तुम चाहो, यह सब मैं तुम्हारे साथ साझा करूंगा, और इसके अलावा, बिना किसी अहंकार के, जिससे मैं दुनिया के किसी भी अन्य व्यक्ति की तुलना में स्वतंत्र और अधिक दूर हूं।
फादर मेर्सन कौन हैं? यह एक फ्रांसिस्कन भिक्षु, मामूली प्रतिभा का वैज्ञानिक और एक अद्भुत आयोजक है, जिसने 30 वर्षों तक पेरिस के गणितीय सर्कल का नेतृत्व किया, जो फ्रांसीसी विज्ञान का सच्चा केंद्र बन गया। इसके बाद, लुई XIV के फरमान से मेर्सन सर्कल को पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज में बदल दिया जाएगा। मेर्सन ने अथक रूप से एक विशाल पत्राचार किया, और रॉयल स्क्वायर पर ऑर्डर ऑफ द मिनिम्स के मठ में उनका सेल एक तरह का "गैलीलियो से हॉब्स तक यूरोप के सभी वैज्ञानिकों के लिए डाकघर" था। फिर पत्राचार ने वैज्ञानिक पत्रिकाओं को बदल दिया, जो बहुत बाद में दिखाई दीं। मेर्सन में साप्ताहिक बैठकें हुईं। सर्कल का मूल उस समय के सबसे शानदार प्राकृतिक वैज्ञानिकों से बना था: रॉबर्टविले, पास्कल द फादर, डेसर्ग्यूज, मिडोर्ज, हार्डी और निश्चित रूप से, प्रसिद्ध और सार्वभौमिक रूप से मान्यता प्राप्त डेसकार्टेस। रेने डु पेरोन डेसकार्टेस (कार्टेसियस), बड़प्पन का एक मंत्र, दो पारिवारिक सम्पदा, कार्टेशियनवाद के संस्थापक, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के "पिता", नए गणित के संस्थापकों में से एक, साथ ही जेसुइट कॉलेज में मेर्सन के दोस्त और कॉमरेड। यह अद्भुत आदमी Fermat का दुःस्वप्न होगा।
Mersenne ने Fermat के परिणामों को इतना दिलचस्प पाया कि प्रांतीय को अपने कुलीन क्लब में लाया। खेत तुरंत सर्कल के कई सदस्यों के साथ एक पत्राचार करता है और सचमुच मेर्सन के पत्रों के साथ सो जाता है। इसके अलावा, वह पंडितों के दरबार में पूर्ण पांडुलिपियां भेजता है: "सपाट और ठोस स्थानों का परिचय", और एक साल बाद - "मैक्सिमा और मिनिमा खोजने की विधि" और "बी। कैवेलियरी के सवालों के जवाब"। फ़र्मेट ने जो बताया वह बिल्कुल नया था, लेकिन सनसनी नहीं हुई। समकालीन नहीं झुके। उन्हें बहुत कुछ समझ नहीं आया, लेकिन उन्हें इस बात के स्पष्ट संकेत मिले कि फ़र्मेट ने जोहान्स केपलर के ग्रंथ से "द न्यू स्टीरियोमेट्री ऑफ़ वाइन बैरल्स" के साथ मैक्सिमाइज़ेशन एल्गोरिथम का विचार उधार लिया था। दरअसल, केप्लर के तर्क में ऐसे वाक्यांश हैं जैसे "आंकड़े का आयतन सबसे बड़ा होता है, यदि सबसे बड़े मूल्य के स्थान के दोनों ओर, कमी पहली बार में असंवेदनशील हो।" लेकिन एक चरम के पास एक समारोह के एक छोटे से वेतन वृद्धि का विचार हवा में बिल्कुल नहीं था। उस समय के सर्वश्रेष्ठ विश्लेषणात्मक दिमाग छोटी मात्रा में हेरफेर के लिए तैयार नहीं थे। तथ्य यह है कि उस समय बीजगणित को एक प्रकार का अंकगणित माना जाता था, अर्थात्, दूसरी कक्षा का गणित, आधार अभ्यास की जरूरतों के लिए विकसित एक आदिम तात्कालिक उपकरण ("केवल व्यापारी अच्छी तरह से गिनती करते हैं")। प्राचीन गणित से संबंधित प्रमाणों के विशुद्ध रूप से ज्यामितीय तरीकों का पालन करने के लिए निर्धारित परंपरा। फ़र्मेट यह समझने वाले पहले व्यक्ति थे कि अतिसूक्ष्म मात्राओं को जोड़ा और घटाया जा सकता है, लेकिन उन्हें खंडों के रूप में प्रस्तुत करना मुश्किल है।
जीन डी'अलेम्बर्ट को अपने प्रसिद्ध विश्वकोश में स्वीकार करने में लगभग एक सदी लग गई: फ़र्मेट नए कैलकुलस के आविष्कारक थे। यह उसके साथ है कि हम स्पर्शरेखा खोजने के लिए अंतर के पहले आवेदन को पूरा करते हैं।" 18वीं शताब्दी के अंत में, जोसेफ लुई कॉम्टे डी लैग्रेंज ने और भी स्पष्ट रूप से कहा: "लेकिन जियोमीटर - फ़र्मेट के समकालीन - इस नए प्रकार के कलन को नहीं समझते थे। उन्होंने केवल विशेष मामले देखे। और यह आविष्कार, जो डेसकार्टेस की ज्यामिति से कुछ समय पहले प्रकट हुआ, चालीस वर्षों तक निष्फल रहा। लैग्रेंज 1674 का जिक्र कर रहा है, जब आइजैक बैरो के "व्याख्यान" प्रकाशित हुए थे, जिसमें फर्मेट की विधि को विस्तार से शामिल किया गया था।
अन्य बातों के अलावा, यह जल्दी से स्पष्ट हो गया कि फर्मेट ने मीटर द्वारा प्रस्तावित समस्याओं को विनम्रतापूर्वक हल करने की तुलना में नई समस्याओं को तैयार करने के लिए अधिक इच्छुक था। युगल के युग में, पंडितों के बीच कार्यों के आदान-प्रदान को आमतौर पर आदेश की श्रृंखला से संबंधित मुद्दों को स्पष्ट करने के रूप में स्वीकार किया जाता था। हालांकि, फार्म स्पष्ट रूप से उपाय नहीं जानता है। उनका प्रत्येक पत्र एक चुनौती है जिसमें दर्जनों जटिल अनसुलझी समस्याएं हैं, और सबसे अप्रत्याशित विषयों पर हैं। यहां उनकी शैली का एक उदाहरण दिया गया है (फ्रेनिकल डी बेस्सी को संबोधित): "आइटम, वह सबसे छोटा वर्ग क्या है, जिसे 109 से कम करने और एक में जोड़ने पर, एक वर्ग देगा? यदि आप मुझे सामान्य समाधान नहीं भेजते हैं, तो मुझे इन दो नंबरों के लिए भागफल भेजें, जिसे मैंने छोटा चुना ताकि आपको बहुत मुश्किल न हो। आपका उत्तर मिलने के बाद, मैं आपको कुछ अन्य बातों का सुझाव दूंगा। बिना किसी विशेष आरक्षण के यह स्पष्ट है कि मेरे प्रस्ताव में पूर्णांकों को खोजना आवश्यक है, क्योंकि भिन्नात्मक संख्याओं के मामले में सबसे तुच्छ अंकगणित लक्ष्य तक पहुंच सकता है। फ़र्मेट ने अक्सर खुद को दोहराया, एक ही प्रश्न को कई बार तैयार किया, और खुले तौर पर झांसा दिया, यह दावा करते हुए कि उनके पास प्रस्तावित समस्या का असामान्य रूप से सुरुचिपूर्ण समाधान है। कोई प्रत्यक्ष त्रुटि नहीं थी। उनमें से कुछ को समकालीनों ने देखा, और कुछ कपटी बयानों ने सदियों से पाठकों को गुमराह किया।
परिचय
375 साल बीत चुके हैं जब पियरे डी फर्मेट ने पुस्तक के हाशिये पर ग्रेट थ्योरम की रूपरेखा तैयार की, जिसने सभी वैज्ञानिकों को चिंतित कर दिया।
इन वर्षों के दौरान, वैज्ञानिक इस प्रमेय को साबित करने की कोशिश कर रहे हैं।
लेकिन फ़र्मेट की इस अनूठी रचना को पूरी सदी के लिए भूमिगत कर दिया गया है, अवैध है, और गणित के पूरे इतिहास में सबसे घृणित और घृणित कार्य बन गया है। लेकिन समय आ गया है कि गणित की इस "बदसूरत बत्तख का बच्चा" एक सुंदर हंस में बदल जाए! फ़र्मेट की अद्भुत पहेली ने गणितीय ज्ञान के खजाने में, और दुनिया के हर स्कूल में, अपनी बहन, पाइथागोरस प्रमेय के बगल में अपना सही स्थान लेने का अधिकार अर्जित कर लिया है। इस तरह की एक अनूठी, सुरुचिपूर्ण समस्या केवल सुंदर, सुरुचिपूर्ण समाधान नहीं हो सकती है। यदि पाइथागोरस प्रमेय के 400 प्रमाण हैं, तो मान लें कि फ़र्मेट के प्रमेय में पहले केवल 4 सरल प्रमाण हैं।
शायद धीरे-धीरे उनमें से और भी होंगे।
मैं सभी वैज्ञानिकों की इस अनूठी समस्या के बारे में बात करना चाहता हूं।
जीवनी पियरे Fermat
पियरे फ़र्मेट का जन्म फ्रांस के दक्षिण में ब्यूमोंट-डी-लोमाग्ने शहर में हुआ था, जहाँ उनके पिता, डोमिनिक फ़र्मेट, एक "दूसरा कौंसुल" थे, यानी मेयर के सहायक की तरह कुछ।
फ़र्मेट ने अपनी प्रतिभा की सारी शक्ति गणितीय अनुसंधान के लिए निर्देशित की। फिर भी गणित उनका पेशा नहीं बना। खेत न्यायशास्त्र का चुनाव करता है। 1630 के बाद से, फ़र्मेट टूलूज़ चले गए, जहाँ उन्हें संसद (यानी, अदालत) में एक सलाहकार के रूप में एक पद प्राप्त हुआ। 1631 में, फ़र्मेट ने मातृ पक्ष से अपने दूर के रिश्तेदार लुईस डी लॉन्ग से शादी की। पियरे और लुईस के पांच बच्चे थे, जिनमें से सबसे बड़ा, सैमुअल, कवि और विद्वान बन गया।
विज्ञान के लिए फर्मेट की महान सेवा आमतौर पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक असीम मात्रा की शुरूआत में देखी जाती है, जैसे केप्लर ने पूर्वजों की ज्यामिति के संबंध में कुछ समय पहले किया था।
फ़र्मेट से पहले, इतालवी वैज्ञानिक कैवेलियरी ने क्षेत्रों की गणना के लिए व्यवस्थित तरीके विकसित किए। लेकिन पहले से ही 1642 में, फ़र्मेट ने किसी भी "पैराबोलस" और किसी भी "हाइपरबोलस" से घिरे क्षेत्रों की गणना के लिए एक विधि की खोज की। उन्होंने दिखाया कि एक असीम आकृति का क्षेत्रफल परिमित हो सकता है।
फ़र्मेट उन पहले लोगों में से एक थे जिन्होंने स्ट्रेटनिंग कर्व्स की समस्या का समाधान किया, अर्थात्। उनके चापों की लंबाई की गणना। वह कुछ क्षेत्रों की गणना के लिए इस समस्या को कम करने में कामयाब रहे।
सबूतों की कमी के बावजूद (जिनमें से केवल एक ही बचा है), संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में पियरे फ़र्मेट के काम के महत्व को कम करना मुश्किल है। वह अकेले ही समस्याओं और विशेष प्रश्नों की अराजकता से बाहर निकलने में कामयाब रहे, जो पूर्णांक के गुणों का अध्ययन करते समय शोधकर्ता के सामने तुरंत उठते हैं, मुख्य समस्याएं जो संख्याओं के संपूर्ण शास्त्रीय सिद्धांत के लिए केंद्रीय बन गईं। वह संख्या-सैद्धांतिक प्रस्तावों को साबित करने के लिए एक शक्तिशाली सामान्य विधि की खोज का भी मालिक है - तथाकथित अनिश्चित या अनंत वंश की विधि, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। इसलिए, फर्मेट को संख्या सिद्धांत का संस्थापक माना जा सकता है।
अक्टूबर 1640, फ़र्मेट ने निम्नलिखित कथन दिया: यदि संख्या a एक अभाज्य संख्या p से विभाज्य नहीं है, तो ऐसा घातांक k है कि a-1, p से विभाज्य है, और p-1 का भाजक है। इस कथन को फर्मेट का लघु प्रमेय कहते हैं। यह सभी प्राथमिक संख्या सिद्धांत में मौलिक है।
अपने अंकगणित की दूसरी पुस्तक की समस्या में, डायोफैंटस ने दिए गए वर्ग को दो परिमेय वर्गों के योग के रूप में निरूपित करने का कार्य निर्धारित किया। हाशिये में, इस समस्या के खिलाफ, फ़र्मेट ने लिखा: "इसके विपरीत, न तो एक घन को दो घनों में, न ही एक द्विघात को दो द्विघातों में, और सामान्य तौर पर, एक वर्ग से बड़ी किसी भी शक्ति में, दो शक्तियों में विघटित करना असंभव है। उसी प्रतिपादक के साथ। मैंने इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण खोजा, लेकिन ये मार्जिन उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।" यह प्रसिद्ध महान प्रमेय है।
दिए गए गलत प्रमाणों की संख्या के मामले में महान प्रमेय पहले स्थान पर है। महान प्रमेय न केवल बीजीय संख्या सिद्धांत के साथ जुड़ा हुआ है, बल्कि बीजीय ज्यामिति के साथ भी जुड़ा हुआ है, जिसे अब गहन रूप से विकसित किया जा रहा है।
फ़र्मेट ने स्वयं चौथी शक्तियों के लिए महान प्रमेय का प्रमाण छोड़ा।
पिछली शताब्दी में, कुमर ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय पर काम करते हुए, एक निश्चित प्रकार के बीजीय पूर्णांकों के लिए अंकगणित का निर्माण किया। इसने उन्हें प्रमुख घातांक n के एक निश्चित वर्ग के लिए महान प्रमेय को सिद्ध करने की अनुमति दी। वर्तमान में, 5500 से कम के सभी घातांकों के लिए महान प्रमेय की वैधता सत्यापित की गई है।
पियरे फ़र्मेट के अन्य कार्यों में, इसका उल्लेख किया जाना बाकी है:
) ब्लेज़ पास्कल के साथ पत्राचार द्वारा उत्पन्न या उठाए गए संभाव्यता के सिद्धांत में कुछ समस्याओं के समाधान के साथ उनकी व्यस्तताओं के बारे में;
) प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के कुछ खोए हुए कार्यों को बहाल करने के प्रयासों के बारे में और अंत में,
) डेसकार्टेस के साथ अपने विवादों के बारे में सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को निर्धारित करने की विधि और डायोप्ट्रिक्स के मुद्दों पर।
समकालीन लोग फ़र्मेट को एक ईमानदार, सुव्यवस्थित, संतुलित और मिलनसार व्यक्ति के रूप में चित्रित करते हैं, गणित और मानविकी दोनों में, कई प्राचीन और जीवित भाषाओं के पारखी हैं, जिसमें उन्होंने अच्छी कविता लिखी है।
नियमित बहुभुज
मैं जानना चाहता हूं कि कंपास और स्ट्रेटेज का उपयोग करके नियमित एन-गॉन का निर्माण कब किया जा सकता है। एक उचित उत्तर पाने के लिए, आपको समस्या कथन को स्पष्ट करना होगा। अर्थात्, नियमित एन-गॉन के आकार और स्थिति को ठीक करना आवश्यक है (अन्यथा समाधानों की संख्या अनंत होगी, बशर्ते कि कम से कम एक समाधान हो)। तो, हम मान लेंगे कि हमारा n-gon केंद्र O के साथ दिए गए वृत्त g में अंकित है, और इसके एक शीर्ष की स्थिति A0 निश्चित है। शेष शीर्षों में से A1, A2, ..., An-1 की स्थिति निर्धारित करना आवश्यक है। बेशक, बिंदु A1 की स्थिति का पता लगाने के लिए पर्याप्त है - अनुक्रमिक चाप A0A1 को स्थगित करते हुए, हमें अंक A2, A3, A4, आदि मिलेंगे।
इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका n=6 है। यह ज्ञात है कि एक नियमित रूप से अंकित षट्भुज की भुजा दिए गए वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। इसलिए, वांछित "कार्यक्रम" इस तरह दिखता है (परिशिष्ट 1):
एक परकार का प्रयोग करते हुए, बिंदु A0 से त्रिज्या OA0 के साथ एक वृत्त G1 की रचना करें।
वृत्त G और G1 के प्रतिच्छेदन के बिंदु A1 को चिह्नित करें।
हम देखते हैं कि यह प्रोग्राम दो अलग-अलग उत्तरों की ओर ले जाता है, लेकिन संबंधित हेक्सागोन्स A0A1'A2'A3'A4'A5' और A0A1”A2”A3”A4”A5” केवल वर्टेक्स नंबरिंग के क्रम में भिन्न होते हैं। यही स्थिति n=3 और n=4 मामलों में देखी गई है। अधिक दिलचस्प मामले n=5 और n=10 हैं। मैं यहां मामले n=10 का विश्लेषण करूंगा।
यदि हम कोण OA1A0 का द्विभाजक A1B खींचते हैं, तो परिणामी त्रिभुज OA1B, BA1A0 समद्विबाहु होंगे, और त्रिभुज OA1A0 और BA1A0 समान होंगे। हम सीधी रेखा OA0 को वास्तविक अक्ष के रूप में मानेंगे, जिस पर बिंदु O शून्य से मेल खाता है, और बिंदु A0 से एक।
इस समीकरण को हल करके, हम बिंदु बी पाएंगे। वांछित बिंदु ए 1 दिए गए सर्कल जी के चौराहे बिंदु के रूप में पाया जाता है जिसमें सर्कल बिंदु ए0 पर केंद्रित होता है और लंबाई x की त्रिज्या के साथ होता है। ऐसे 2 बिंदु हैं - और हमें दो समाधान मिलते हैं: अंक A1 'और A1'।
दूसरी जड़ ऋणात्मक है और इसी कारण अनुपयुक्त प्रतीत होती है। हालाँकि, आइए इस जड़ को "त्यागने" के लिए जल्दी न करें, लेकिन इसके ज्यामितीय अर्थ को समझने की कोशिश करें।
आइए पिछली आकृति (परिशिष्ट 3) को पुनर्स्थापित करें, यह मानते हुए कि बिंदु B दाईं ओर नहीं है, बल्कि बिंदु O के बाईं ओर है। हमें एक और चित्र मिलेगा (परिशिष्ट 3)। यह वांछित बिंदु A1: A1"' और A1"" के लिए दो और संभावित स्थान देगा।
तो, हम बिंदु A1 के लिए चार अलग-अलग संभावनाओं पर आए हैं। परिणाम दो अलग-अलग दशमलव हैं: उत्तल और तारकीय (परिशिष्ट 2.3)।
ध्यान दें कि कम्पास और सीधा किनारे के "दृष्टिकोण" से, स्टार डेकागन उत्तल से भी बदतर नहीं है।
एक आपत्ति संभव है: एक उत्तल बहुभुज के लिए, गैर-आसन्न पक्ष प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, लेकिन एक तारकीय के लिए वे प्रतिच्छेद करते हैं। लेकिन यह आपत्ति गायब हो जाती है यदि हम एक पक्ष को दो शीर्षों के बीच का खंड नहीं कहते हैं (हमारे पास "बीच" की कोई अवधारणा नहीं है!), लेकिन पूरी सीधी रेखा है। फिर "उत्तल" दशकोण की सही ड्राइंग का एक रूप होगा जो केवल "स्टार" एक (परिशिष्ट 4) से आकार में भिन्न होता है।
पंचकोण के मामले में भी ऐसी ही स्थिति उत्पन्न होती है। यहां भी, 4 समाधान हैं जो दो अलग-अलग पेंटागन (परिशिष्ट 5, ए, बी) की ओर ले जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर दो अलग-अलग नंबरिंग होते हैं।
अब, एक स्वेच्छ नियमित त्रिभुज की रचना की समस्या को स्पष्ट रूप से हल किए बिना, आइए यह स्थापित करने का प्रयास करें कि इसके कितने भिन्न समाधान हैं। चाप A0A1 की लंबाई x से निरूपित करें। बिंदु A1 समस्या का समाधान है (एक कम्पास के दृष्टिकोण से), यदि, बिंदु A0 से लंबाई x के एक चाप को क्रमिक रूप से n बार स्थगित करते हुए, हम प्रारंभिक बिंदु A0 पर वापस आ जाएंगे, और छोटी संख्या को स्थगित कर देंगे। , हम नहीं लौटेंगे।
अंतिम शर्त आवश्यक है, अन्यथा मामले में, उदाहरण के लिए, n=6, हमें "नियमित उत्कीर्ण षट्भुज" को दो बार ट्रैवर्स किए गए त्रिकोण, या तीन बार ट्रैवर्स किए गए व्यास, या यहां तक कि छह बार दोहराया बिंदु A0 को कॉल करना होगा।
अंकगणित की भाषा में, पूरे वृत्त की लंबाई को एक मानते हुए, हमारी स्थिति इस प्रकार तैयार की जा सकती है: संख्या nx एक पूर्णांक है, और संख्या x, 2x, 3x, ..., (n-1)x है। पूर्णांक नहीं हैं। यह उन चार समाधानों से मेल खाता है जो हमने पहले ज्यामितीय तरीके से पाए थे। ध्यान दें कि यदि हम एक संख्या (या, ...) को x के रूप में लेते हैं, तो हमें नए ज्यामितीय समाधान नहीं मिलेंगे: वृत्त पर एक बिंदु की स्थिति संख्या x = स्वयं पर निर्भर नहीं करती है, लेकिन शेष पर, जो n से विभाजित करने पर k देता है। स्पष्ट रूप से, वह अपरिवर्तनीय भिन्न (m .) एक नियमित एन-गॉन का निर्माण एक कंपास और स्ट्रेटएज के साथ तभी किया जा सकता है जब φ(n)=2l किसी पूर्णांक l के लिए। (उदाहरण के लिए, एक नियमित सप्तभुज का निर्माण करना असंभव है, क्योंकि संख्या f(n)=6 दो की घात नहीं है।) मैंने इस स्थिति की आवश्यकता को समझाने की कोशिश की है। यह भी पर्याप्त है एक अलग परिणाम है। फार्म नंबर प्राप्त परिणाम पूरी तरह से उत्पन्न समस्या को समाप्त नहीं करता है। प्रश्न बना रहता है - क्या ऐसी कई संख्याएँ n हैं जिनके लिए f(n)=2l, अर्थात्। क्या कई "लाल" संख्याएं हैं? बेशक, प्रत्येक व्यक्तिगत संख्या के लिए, हम बहुत जल्दी बता सकते हैं कि यह लाल है या काला - यह f (n) की गणना करने के लिए पर्याप्त है। लेकिन यह लाल संख्याओं के पूरे सेट का एक दृश्य विवरण नहीं देगा। यह पता चला है कि इस तरह के विवरण की खोज संख्या सिद्धांत से एक कठिन और अभी भी अनसुलझी समस्या की ओर ले जाती है। हम n को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:=p1m1p2m2…pkmk, जहाँ p1,…,рk भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और आइए (n) की गणना करें। यूलर फलन (1) और (2) के गुणों से हम प्राप्त करते हैं: f(n)=f(p1m1)f(p2m2)…f(pkmk)=p1m1-1p2m2-1(p1-1)(p2-1)…(pk-1)। अंतिम अभिव्यक्ति के दाईं ओर दो की शक्ति होने के लिए, यह आवश्यक है कि प्रत्येक विषम अभाज्य कारक p1 इसे घातांक m1 = 1 के साथ दर्ज करें: इस मामले में, संख्या p1 का ही रूप होना चाहिए p1=2l+1 . दूसरी ओर, व्यंजक 2l+1 केवल तभी सरल हो सकता है जब l दो की घात हो। अत: प्रत्येक विषम गुणनखंड p1=+1. फॉर्म +1 की संख्याएं फर्मेट नंबर कहलाती हैं। पहले पांच फ़र्मेट नंबर (के = 0,1,2,3,4 के लिए) - 3, 5, 17, 257, 65537 - वास्तव में सरल निकले। जैसा कि यूलर ने खोजा, फ़र्मेट 1 की छठी संख्या 641 से विभाज्य है। यूलर के समय से, विभिन्न देशों के गणितज्ञों की रुचि फ़र्मेट संख्याओं में रही है। विशेष रूप से, लगभग सौ साल पहले 1878 में, सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज की एक बैठक में, ई.आई. ज़ोलोटेरेव ने पुजारी आयन परवुशिन द्वारा अकादमी को प्रस्तुत किए गए कार्यों के बारे में बताया। इस काम में, यह स्थापित किया गया था कि संख्या हाल ही में, कंप्यूटर पर कई फ़र्मेट नंबरों की जांच की गई है। उनमें से कोई भी अभाज्य संख्याएँ नहीं मिली हैं, इसलिए यह अभी भी अज्ञात है कि पहले पाँच के अलावा फ़र्मेट अभाज्य संख्याएँ हैं या नहीं। इसलिए, मुझे समस्या का उत्तर शायद अभी तक अंतिम रूप में तैयार करने के लिए मजबूर नहीं किया गया है: एक नियमित n-gon का निर्माण एक कंपास और एक रूलर के साथ किया जा सकता है यदि और केवल यदि n=2kр1р2…рk , जहां р1 जोड़ीदार अलग Fermat संख्याएं हैं। फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय
किसी भी प्राकृतिक संख्या n> 2 के लिए, समीकरण xn+yn=zn का कोई प्राकृतिक समाधान x, y और z नहीं है। n = 3 के लिए Fermat की प्रमेय L. Euler द्वारा सिद्ध की गई थी, n = 5 I. Dirichlet और A. Legendre के लिए, n = 7 के लिए - G. Lame द्वारा। यह किसी भी अभाज्य घातांक n = p> 2 के लिए फ़र्मेट की प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है, अर्थात्, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि समीकरण पूर्णांक अशून्य सहअभाज्य संख्याओं x, y, z में कोई हल नहीं है। पहला मामला जब (xyz, p) = 1 और दूसरा मामला, जब p|z. फ़र्मेट के प्रमेय के दूसरे मामले का प्रमाण अधिक जटिल है और आमतौर पर अनंत वंश की विधि द्वारा किया जाता है। फ़र्मेट के प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: किसी भी प्राकृतिक संख्या n> 2 के लिए, फ़र्मेट वक्र xn + yn = 1 पर कोई परिमेय बिंदु नहीं हैं, केवल तुच्छ वाले (0, ± 1), (±1,0) को छोड़कर। फ़र्मेट वक्र पर परिमेय बिंदुओं का अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति की विधियों द्वारा किया जाता है। ये विधियां साबित करती हैं कि फर्मेट वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या किसी भी मामले में सीमित है, जो जी। फाल्टिंग्स द्वारा सिद्ध किए गए मोर्डेल अनुमान से होती है। Fermat के समीकरण को बीजीय संख्याओं, संपूर्ण कार्यों, मैट्रिक्स आदि में माना जाता है। फॉर्म के समीकरणों के लिए फर्मेट के प्रमेय के सामान्यीकरण हैं फार्म संख्या प्रमेय प्रमाण लाइटवेट फ़र्मेट का प्रमेय प्रमाण: प्राकृतिक संख्याएँ होने दें x, y, n, i जैसे कि n≥z तथा xn+yn=zn। यह देखना आसान है कि x क्यू.ई.डी. फ़र्मेट की छोटी प्रमेय
किसी भी अभाज्य p और पूर्णांक a के लिए, ap-1 - 1 p से विभाज्य है। प्रमाण: दो स्थितियों पर विचार करें: a, p से विभाज्य है; a, p से विभाज्य नहीं है। ) a, p से विभाज्य है; फिर तुलना का उपयोग करना<#"556025.files/image012.jpg"> परिशिष्ट 2
अनुलग्नक 3
परिशिष्ट 4
अनुलग्नक 5
परिशिष्ट 6 ज़गैनोवा ओल्गा और ज़गैनोवा नतालिया का रचनात्मक कार्य। गणितज्ञ और शैतान
अनगिनत फीकी पांडुलिपियों का अध्ययन करने के महीनों के कड़ी मेहनत के बाद, साइमन फ्लैग शैतान को बुलाने में सफल रहे। मध्य युग के पारखी साइमन की पत्नी ने उन्हें अमूल्य सहायता प्रदान की। वह स्वयं, केवल एक गणितज्ञ होने के कारण, लैटिन ग्रंथों का विश्लेषण नहीं कर सकता था, विशेष रूप से दसवीं शताब्दी के दानव विज्ञान के दुर्लभ शब्दों से जटिल। श्रीमती फ्लैग की अद्भुत प्रवृत्ति यहाँ बहुत काम आई। प्रारंभिक झड़पों के बाद, साइमन और शैतान गंभीर बातचीत के लिए मेज पर बैठ गए। नरक से आने वाला आगंतुक उदास था, क्योंकि साइमन ने अपने सबसे आकर्षक प्रस्तावों को तिरस्कारपूर्वक अस्वीकार कर दिया, आसानी से हर मोहक लालच में छिपे घातक खतरे को पहचान लिया। - और क्या होगा अगर अब बदलाव के लिए आप मेरे प्रस्ताव को सुनें? साइमन ने आखिरकार कहा। - वैसे भी, बिना चाल के। शैतान ने झुंझलाहट में अपनी पूंछ के कांटेदार सिरे को घुमाया, जैसे कि यह एक साधारण चाबी की जंजीर हो। जाहिर है वह आहत था। "ठीक है," वह गुस्से में सहमत हो गया। - इससे कोई नुकसान नहीं होगा। आगे बढ़ो, श्री साइमन! "मैं तुमसे सिर्फ एक सवाल पूछूंगा," साइमन शुरू हुआ, और शैतान खुश हो गया। - आपको इसका जवाब चौबीस घंटे के भीतर देना होगा। यदि आप सफल नहीं होते हैं, तो आप मुझे एक लाख डॉलर का भुगतान करते हैं। यह एक मामूली आवश्यकता है - आखिरकार, आप बहुत बड़ी आवश्यकताओं के अभ्यस्त हैं। बाघ की खाल पर कोई अरबों, कोई हेलेंस ऑफ ट्रॉय नहीं। बेशक, अगर मैं जीत जाता हूं, तो आपको जवाबी कार्रवाई करने की जरूरत नहीं है। - सोचना! - शैतान को सूंघा। - आपका रेट क्या है? - अगर मैं हार गया, तो थोड़े समय के लिए मैं आपका गुलाम बन जाऊंगा। लेकिन सभी पीड़ा के बिना, आत्मा की मृत्यु और इसी तरह - यह एक लाख डॉलर के रूप में इस तरह के एक ट्रिफ़ल के लिए बहुत अधिक होगा। मैं अपने रिश्तेदारों या दोस्तों को नुकसान नहीं पहुँचाना चाहता। हालांकि, उन्होंने प्रतिबिंब पर जोड़ा, अपवाद हो सकते हैं। शैतान ने अपनी पूंछ की नोक पर गुस्से में झुंझलाया। अंत में, उसने इतनी जोर से झटका दिया कि वह दर्द में भी मुस्कुराया, और निर्णायक रूप से घोषित किया: यह अफ़सोस की बात है, लेकिन मैं केवल आत्माओं के साथ व्यवहार करता हूँ। मेरे पास काफी गुलाम हैं। अगर आप जानते हैं कि लोग मुझे कितनी मुफ्त और ईमानदार सेवाएं प्रदान करते हैं, तो आप चकित रह जाएंगे। हालाँकि, यहाँ मैं क्या करूँगा। यदि मैं दिए गए समय में आपके प्रश्न का उत्तर नहीं दे सकता, तो आपको एक सौ हज़ार डॉलर की दयनीय राशि नहीं मिलेगी, लेकिन कोई भी - निश्चित रूप से, बहुत अधिक नहीं - राशि। इसके अलावा, मैं आपको जीवन भर स्वास्थ्य और खुशी प्रदान करता हूं। अगर मैं आपके प्रश्न का उत्तर देता हूं - ठीक है, आप परिणाम जानते हैं। मैं आपको बस इतना ही पेश कर सकता हूं। उसने हवा से एक हल्का सिगार निकाला और उसे फुला दिया। एक सतर्क सन्नाटा था। शमौन उसके आगे आगे देखता रहा, और कुछ न देख रहा था। उसके माथे पर पसीने की बड़ी-बड़ी बूँदें फूट पड़ीं। वह भली-भांति जानता था कि शैतान किन परिस्थितियों में खड़ा हो सकता है। उसके चेहरे की मांसपेशियां तनावग्रस्त हो गईं ... नहीं, वह अपनी आत्मा की प्रतिज्ञा करने के लिए तैयार है कि कोई भी - न तो आदमी, न जानवर, न ही शैतान - एक दिन में उसके प्रश्न का उत्तर देगा। - मेरी पत्नी को स्वास्थ्य और खुशी पर पैराग्राफ में शामिल करें - और इससे निपटें! - उसने बोला। - चलो हस्ताक्षर करें। शैतान ने सिर हिलाया। उसने अपने मुँह से सिगरेट निकाली, उसे घृणा की दृष्टि से देखा और अपनी पंजों वाली उंगली से उसे छुआ। सिगरेट का बट तुरंत एक गुलाबी पुदीने की गोली में बदल गया, जिसे शैतान जोर-जोर से और स्पष्ट आनंद के साथ चूसने लगा। "आपके प्रश्न के लिए," उन्होंने जारी रखा, "इसका उत्तर होना चाहिए, अन्यथा हमारा अनुबंध अमान्य है। मध्य युग में, लोग पहेलियों से प्यार करते थे। अक्सर लोग मेरे पास विरोधाभास लेकर आते हैं। उदाहरण के लिए: गाँव में केवल एक ही नाई रहता था, जो हर उस व्यक्ति का मुंडन करता था, जो खुद का मुंडन नहीं करता था। नाई को किसने मुंडाया? उन्होंने पूछा। लेकिन, जैसा कि रसेल ने कहा, शब्द "हर कोई" ऐसे प्रश्न को अर्थहीन बना देता है, और इसका कोई उत्तर नहीं है। "मेरा प्रश्न ईमानदार है और विरोधाभासी नहीं है," साइमन ने उसे आश्वासन दिया। - बढ़िया। मैं इसका जवाब दूंगा। तुम किस पर हंस रहे हो? "मैं ... कुछ नहीं," साइमन ने अपने चेहरे से मुस्कराहट को हिलाते हुए उत्तर दिया। "आपके पास मजबूत नसें हैं," शैतान ने उदास लेकिन अनुमोदन स्वर में कहा, हवा से एक चर्मपत्र निकाल रहा है। "अगर मैं आपके सामने एक राक्षस के रूप में पेश होता जो आपके गोरिल्ला की सुंदरता को एक राक्षस की कृपा के साथ जोड़ता है जो शुक्र पर रहता है, तो आप शायद ही अपने एंप्लॉम्ब को बरकरार रखेंगे, और मुझे यकीन है ..." "कोई ज़रूरत नहीं है इसके लिए," साइमन ने जल्दबाजी में कहा। उसने उसे सौंपे गए अनुबंध को ले लिया, सुनिश्चित किया कि सब कुछ क्रम में है, और कलम को खोल दिया। - ज़रा ठहरिये! शैतान ने उसे रोक दिया। मुझे इसे सेनिटाइज करने दीजिए। उसने ब्लेड को अपने होठों तक उठाया, हल्का फूंका, और स्टील को चेरी लाल तक गर्म किया। - हेयर यू गो! अब चाकू की नोक को स्पर्श करें... उम... स्याही को, और बस... कृपया, नीचे से दूसरी पंक्ति, आखिरी वाली मेरी है। चाकू की लाल-गर्म नोक को देखते हुए साइमन रुक गया। साइन इन करें, - शैतान ने जल्दबाजी की, और शमौन ने अपने कंधों को सीधा करते हुए अपना नाम रखा। एक शानदार उत्कर्ष के साथ अपने हस्ताक्षर करने के बाद, शैतान ने अपने हाथों को रगड़ा, साइमन को स्पष्ट रूप से देखने के साथ देखा और प्रसन्नता से कहा: - अच्छा, अपना प्रश्न रखो! जैसे ही मैं इसका उत्तर दूंगा, हम चले जाएंगे। मुझे आज किसी अन्य ग्राहक के पास जाना है, और मेरा समय समाप्त हो रहा है। "अच्छा," साइमन ने कहा और एक गहरी साँस ली। - मेरा प्रश्न है: फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सत्य है या नहीं? शैतान ने उसकी लार निगल ली। पहली बार उनका आत्मविश्वास डगमगाया। - बढ़िया - किसका? क्या? उसने खोखले स्वर में पूछा। - फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय। यह एक गणितीय प्रस्ताव है जिसे सत्रहवीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञ फर्मेट ने कथित रूप से सिद्ध किया था। हालाँकि, उसका प्रमाण नहीं लिखा गया था, और आज तक कोई नहीं जानता कि प्रमेय सत्य है या नहीं। जब शमौन ने शैतान का चेहरा देखा, तो उसके होंठ काँप गए। - अच्छा, आगे बढ़ो और व्यस्त हो जाओ! - गणित! - पूंछ वाला भयभीत होकर बोला। "क्या आपको लगता है कि मेरे पास ऐसी चीजों का अध्ययन करने का समय था?" मैंने ट्रिवियम और क्वाड्रिवियम पास किया मैं प्रबंधन कर सकता हूं, मेरे प्रिय श्री साइमन, मैंने और अधिक कठिन चीजें कीं, - शैतान ने कहा, - एक बार मैं एक दूर के तारे के लिए उड़ान भरी और ठीक 16 के लिए एक लीटर न्यूट्रोनियम वापस लाया ... मुझे पता है," साइमन ने बाधित किया। - आप ऐसी चालों में माहिर हैं। - क्या तरकीबें हैं! - गुस्से में शैतान को बुदबुदाया। - भारी तकनीकी दिक्कतें थीं। लेकिन अतीत को मत छेड़ो। मैं पुस्तकालय जा रहा हूँ, और कल इस समय... "नहीं," साइमन ने उसे कठोर रूप से बाधित किया। - हमने आधे घंटे पहले हस्ताक्षर किए थे। तेईस घंटे बाद ही वापस आएं। मैं आपको जल्दी नहीं करूंगा," उसने विडंबना से जोड़ा और शैतान ने अपनी घड़ी की ओर उत्सुकता से देखा। "एक गिलास शराब लो और जाने से पहले, मेरी पत्नी से मिलो।" "मैं काम पर कभी नहीं पीता, और मेरे पास आपकी पत्नी से मिलने का समय नहीं है ... कम से कम अभी तो नहीं।" वह गायब हो गया। उसी समय, साइमन की पत्नी ने प्रवेश किया। - मैं फिर से दरवाजे पर सुन रहा था! साइमन ने धीरे से उसे फटकार लगाई। "बेशक," उसने दबी आवाज़ में कहा। "और मैं जानना चाहता हूं, प्रिय, क्या यह प्रश्न वास्तव में कठिन है। क्योंकि अगर ऐसा नहीं है... साइमन, मुझे डर लग रहा है! "आराम करो, यह एक कठिन प्रश्न है," साइमन ने निर्लिप्तता से उत्तर दिया। हर कोई इसे तुरंत नहीं समझता है। आप देखिए," उन्होंने एक व्याख्याता के स्वर में जारी रखा, "हर कोई आसानी से दो पूर्णांक ढूंढ सकता है, जिसका योग भी एक वर्ग देता है। उदाहरण के लिए, 32 + 42 = 52, जो सिर्फ 9 + 16 = 25 है। ठीक है? - हां! उसने अपने पति की टाई को सीधा किया। - लेकिन किसी को अभी तक दो घन नहीं मिले हैं, जो एक साथ जोड़े जाने पर, एक घन, या उच्च शक्तियाँ भी देते हैं जो एक समान परिणाम की ओर ले जाते हैं - जाहिर है, वे बस मौजूद नहीं हैं। और फिर भी, - वह विजयी रूप से समाप्त हुआ, - यह अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है कि ऐसी संख्याएँ मौजूद नहीं हैं! अब मुझे समझ आई? - निश्चित रूप से। - साइमन की पत्नी हमेशा सबसे जटिल गणितीय प्रावधानों को समझती थी। और अगर कुछ समझ से परे हो गया, तो उसके पति ने धैर्यपूर्वक उसे कई बार सब कुछ समझाया। इसलिए श्रीमती फ्लैग के पास अन्य चीजों के लिए बहुत कम समय था। "मैं कुछ कॉफ़ी बनाती हूँ," उसने कहा, और चली गई। चार घंटे बाद, जब वे ब्रह्म की तीसरी सिम्फनी को सुनने बैठे, तो शैतान फिर से प्रकट हो गया। - मैंने पहले ही बीजगणित, त्रिकोणमिति और ग्रहमिति की मूल बातें सीख ली हैं! उन्होंने विजयी घोषणा की। - तेजी से काम करो! साइमन ने उसकी तारीफ की। - मुझे यकीन है कि गोलाकार, विश्लेषणात्मक, प्रक्षेपी, वर्णनात्मक और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति आपके लिए कोई कठिनाई नहीं पेश करेंगे। शैतान जीत गया। - अनगिनत हैं? उसने धीमी आवाज में पूछा। - ओह, बस इतना ही नहीं। साइमन ऐसा लग रहा था जैसे उसने खुशखबरी दी हो। "आप गैर-यूक्लिडियंस को पसंद करेंगे," उन्होंने मुसकराते हुए कहा। - इसके लिए आपको ड्रॉइंग को समझने की जरूरत नहीं पड़ेगी। रेखाचित्र कुछ नहीं कहते। और चूंकि यूक्लिड के साथ आपके अच्छे संबंध नहीं हैं... शैतान कराह उठा, एक पुरानी फिल्म की तरह फीका पड़ गया, और गायब हो गया। साइमन की पत्नी हँस पड़ी। "माई डियर," उसने गाया, "मुझे लगता है कि आप ऊपरी हाथ रखने जा रहे हैं!" - श! अंतिम भाग! आश्चर्यजनक! छह घंटे बाद, कुछ भड़क गया, कमरा धुएं से भर गया, और शैतान फिर से वहीं था। उसकी आंखों के नीचे बैग थे। साइमन फ्लैग ने अपने चेहरे से मुस्कराहट को मजबूर कर दिया। "मैंने इन सभी ज्यामितियों को पार किया," शैतान ने उदास संतोष के साथ कहा। - अब यह आसान हो जाएगा। मुझे लगता है कि मैं आपकी छोटी पहेली से निपटने के लिए तैयार हूं। साइमन ने सिर हिलाया। - तुम बहुत जल्दी में हो। जाहिर है, आपने इनफिनिटिमल एनालिसिस, डिफरेंशियल इक्वेशन और परिमित अंतरों के कैलकुलस जैसी मूलभूत विधियों पर ध्यान नहीं दिया है। फिर और भी है... - क्या यह सब वाकई जरूरी है? शैतान ने आह भरी। वह उठ बैठा और अपनी सूजी हुई पलकों को मुट्ठियों से रगड़ने लगा। बेचारा जम्हाई लेने के अलावा कुछ नहीं कर सका। "मैं नहीं कह सकता, शायद," साइमन ने उदासीन स्वर में उत्तर दिया। - लेकिन इस "छोटी पहेली" पर काम कर रहे लोगों ने गणित की सभी शाखाओं को आजमाया है, और समस्या अभी तक हल नहीं हुई है। मैं सुझाव दूंगा... लेकिन शैतान साइमन की सलाह सुनने के मूड में नहीं था। इस बार वह बिना कुर्सी से उठे भी गायब हो गया। और उसने इसे बल्कि अनाड़ी रूप से किया। मुझे लगता है कि वह थक गया है," श्रीमती फ्लैग ने कहा। - बेचारा शैतान! हालाँकि, उसके स्वर में सहानुभूति का पता लगाना मुश्किल था। "मैं भी थक गया हूँ," साइमन ने कहा। - चलो सोने जाते हैं। मुझे नहीं लगता कि वह कल तक दिखाई देंगे। "शायद," पत्नी मान गई। "लेकिन सिर्फ मामले में, मैं एक काले रंग की लेस वाली शर्ट पहनूंगा।" अगली सुबह आई। अब पति-पत्नी बाख द्वारा अधिक उपयुक्त संगीत लगने लगे। इसलिए उन्होंने वांडा लैंडोव्स्का के साथ एक रिकॉर्ड बनाया। "दस मिनट और और अगर वह एक निर्णय के साथ वापस नहीं आता है, तो हम जीत जाते हैं," साइमन ने कहा। - मैं उसे श्रेय देता हूं। वह सम्मान के साथ एक दिन में पाठ्यक्रम पूरा कर सकता था, और पीएच.डी. प्राप्त कर सकता था। हालाँकि... वहाँ एक फुफकार था। गंधक की महक बिखेरते हुए लाल रंग के मशरूम के आकार का बादल उठ खड़ा हुआ। शैतान पति-पत्नी के सामने गलीचे पर खड़ा हो गया और जोर-जोर से सांस ली, भाप के कश बाहर फेंके। उसके कंधे झुक गए। आंखें खून से भर गईं। पंजे का पंजा, अभी भी लिखित चादरों के शीफ को पकड़कर, कांपता हुआ दिखाई दे रहा था। वह शायद अपनी नसों पर हो रहा था। उसने चुपचाप कागजों का ढेर फर्श पर फेंक दिया और खुरों से उन्हें रौंदने लगा। अंत में, ऊर्जा के सभी आवेश को समाप्त करने के बाद, शैतान शांत हो गया, और एक कड़वी मुस्कान ने उसके मुंह को मोड़ दिया। आप जीत गए, साइमन, शैतान फुसफुसाए, गणितज्ञ को हल्के सम्मान से देख रहा था। “यहां तक कि मैं इतने कम समय में इतने कठिन कार्य को पार करने के लिए पर्याप्त गणित नहीं सीख सकता था। जितना मैंने इसमें तल्लीन किया, चीजें उतनी ही खराब होती गईं। गैर-अद्वितीय गुणनखंड, आदर्श संख्याएँ - हे बाल!.. आप जानते हैं, - उन्होंने गुप्त रूप से सूचित किया, - यहाँ तक कि अन्य ग्रहों के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ - और वे आपसे बहुत दूर चले गए - समाधान प्राप्त नहीं किया है। एह, शनि पर एक ठग - वह स्टिल्ट्स पर एक मशरूम जैसा दिखता है - उसके दिमाग में आंशिक अंतर समीकरण हल करता है। लेकिन यहाँ वह भी मुड़ा, - शैतान ने आह भरी। स्वस्थ रहो। शैतान बहुत धीरे-धीरे गायब हो गया। जाहिर है, वह काफी थक गया है। पियरे फ़र्मेट का जन्म फ्रांस के दक्षिण में ब्यूमोंट-डी-लोमाग्ने शहर में हुआ था, जहाँ उनके पिता, डोमिनिक फ़र्मेट, एक "दूसरा कौंसुल" थे, यानी मेयर के सहायक की तरह कुछ। 20 अगस्त, 1601 को उनके बपतिस्मा का मीट्रिक रिकॉर्ड पढ़ता है: "पियरे, डोमिनिक फ़र्मेट के बेटे, बुर्जुआ और ब्यूमोंट शहर के दूसरे कौंसल।" कॉलेज में, पियरे ने भाषाओं का अच्छा ज्ञान हासिल किया: लैटिन, ग्रीक, स्पेनिश, इतालवी। फ़र्मेट पुरातनता के एक अच्छे पारखी के रूप में प्रसिद्ध थे, ग्रीक क्लासिक्स के संस्करणों में उन्हें कठिन स्थानों के बारे में सलाह दी गई थी। लेकिन फ़र्मेट ने अपनी प्रतिभा की सारी शक्ति गणितीय शोध में लगा दी। फिर भी गणित उनका पेशा नहीं बना। खेत न्यायशास्त्र का चुनाव करता है। ऑरलियन्स में उन्हें स्नातक की उपाधि प्रदान की गई। 1630 के बाद से, फ़र्मेट टूलूज़ चले गए, जहाँ उन्हें संसद (यानी, अदालत) में एक सलाहकार के रूप में एक पद प्राप्त हुआ। 1631 में, फ़र्मेट ने मातृ पक्ष से अपने दूर के रिश्तेदार लुईस डी लॉन्ग से शादी की। पियरे और लुईस के पांच बच्चे थे, जिनमें से सबसे बड़ा, सैमुअल, कवि और विद्वान बन गया। उनके लिए हम 1679 में प्रकाशित पियरे फ़र्मेट की पहली एकत्रित रचनाएँ देते हैं। उनके जीवनकाल में उनकी कोई रचना प्रकाशित नहीं हुई। हालाँकि, उन्होंने कई ग्रंथों को पूरी तरह से समाप्त रूप दिया, और वे पांडुलिपि में उनके अधिकांश समकालीन विद्वानों के लिए जाने गए। फ़र्मेट के पहले गणितीय कार्यों में से एक अपोलोनियस "ऑन फ्लैट प्लेसेस" की दो खोई हुई पुस्तकों की बहाली थी। विज्ञान के लिए फर्मेट की महान सेवा आमतौर पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक असीम मात्रा की शुरूआत में देखी जाती है, जैसे केप्लर ने पूर्वजों की ज्यामिति के संबंध में कुछ समय पहले किया था। उन्होंने 1629 में सबसे बड़ी और सबसे छोटी मात्रा पर अपने कार्यों में यह महत्वपूर्ण कदम उठाया, जो काम करता है कि फर्मेट द्वारा अध्ययन की श्रृंखला को खोल दिया, जो न केवल सामान्य रूप से उच्च विश्लेषण के विकास के इतिहास में सबसे बड़ा लिंक है। , लेकिन विशेष रूप से इनफिनिटिमल्स का विश्लेषण भी। . फ़र्मेट से पहले, इतालवी वैज्ञानिक कैवेलियरी ने क्षेत्रों की गणना के लिए व्यवस्थित तरीके विकसित किए। लेकिन पहले से ही 1642 में, फ़र्मेट ने किसी भी "पैराबोलस" और किसी भी "हाइपरबोलस" से घिरे क्षेत्रों की गणना के लिए एक विधि की खोज की। उन्होंने दिखाया कि एक असीम आकृति का क्षेत्रफल परिमित हो सकता है। फ़र्मेट उन पहले लोगों में से एक थे जिन्होंने स्ट्रेटनिंग कर्व्स की समस्या से निपटने के लिए, यानी उनके आर्क्स की लंबाई की गणना की। वह कुछ क्षेत्रों की गणना के लिए इस समस्या को कम करने में कामयाब रहे। एक ओर "क्षेत्रों" को निर्धारित करने के तरीकों की और सफलता, और दूसरी ओर "स्पर्शरेखा और एक्स्ट्रेमा के तरीके", इन विधियों के अंतर्संबंध को स्थापित करने में शामिल थे। 18 अक्टूबर, 1640 को, फ़र्मेट ने निम्नलिखित कथन दिया: यदि संख्या a एक अभाज्य संख्या p से विभाज्य नहीं है, तो ऐसा घातांक k है कि a-1, p से विभाज्य है, और k, p-1 का भाजक है। . इस कथन को फर्मेट का लघु प्रमेय कहते हैं। यह सभी प्राथमिक संख्या सिद्धांत में मौलिक है। अपने अंकगणित की दूसरी पुस्तक की समस्या में, डायोफैंटस ने दिए गए वर्ग को दो परिमेय वर्गों के योग के रूप में निरूपित करने का कार्य निर्धारित किया। हाशिये में, इस समस्या के खिलाफ, फ़र्मेट ने लिखा: "इसके विपरीत, न तो एक घन को दो घनों में, न ही एक द्विघात को दो द्विघातों में, और सामान्य तौर पर, एक वर्ग से बड़ी किसी भी शक्ति में, दो शक्तियों में विघटित करना असंभव है। उसी प्रतिपादक के साथ। मैंने इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण खोजा, लेकिन ये मार्जिन उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।" यह प्रसिद्ध महान प्रमेय है। दिए गए गलत प्रमाणों की संख्या के मामले में महान प्रमेय पहले स्थान पर है। फ़र्मेट ने स्वयं चौथी शक्तियों के लिए महान प्रमेय का प्रमाण छोड़ा। पिछली शताब्दी में, कुमर ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय पर काम करते हुए, एक निश्चित प्रकार के बीजीय पूर्णांकों के लिए अंकगणित का निर्माण किया। इसने उन्हें प्रमुख घातांक n के एक निश्चित वर्ग के लिए महान प्रमेय को सिद्ध करने की अनुमति दी। वर्तमान में, 5500 से कम के सभी घातांकों के लिए महान प्रमेय की वैधता सत्यापित की गई है। फ़र्मेट सबसे पहले निर्देशांक के विचार के साथ आए और विश्लेषणात्मक ज्यामिति का निर्माण किया। उन्होंने संभाव्यता सिद्धांत की समस्याओं से भी निपटा। फार्म मीडिया में प्रकाश के प्रसार के नियम की खोज से संबंधित है। मैक्सिमा और मिनिमा की अपनी पद्धति को लागू करते हुए, उन्होंने प्रकाश का मार्ग पाया और विशेष रूप से प्रकाश के अपवर्तन के नियम की स्थापना की। फ़र्मेट पियरे (1601-1665), फ्रांसीसी गणितज्ञ। 17 अगस्त, 1601 को ब्यूमोंट-डी-लोमाग्ने में पैदा हुए, एक नगर पार्षद के परिवार में जो व्यापार में लगे हुए थे। उन्होंने स्थानीय विश्वविद्यालय में टूलूज़ में अध्ययन किया। कानून की डिग्री प्राप्त करने के बाद, 1631 में फ़र्मेट ने टूलूज़ संसद (न्यायिक निकाय) के कैसेशन चैंबर में सिविल सेवा में प्रवेश किया। प्रारंभ में, उन्हें याचिकाएं प्राप्त करने के लिए अधिकृत किया गया था, और 1648 से उन्हें सलाहकार के पद पर पदोन्नत किया गया था। उन्होंने मातृ पक्ष के एक दूर के रिश्तेदार से शादी की - लुईस डी लॉन्ग (1631)। परिवार में पैदा हुए पांच बच्चों में से सबसे बड़े बेटे सैमुअल को जाना जाता है, जिन्होंने 1679 में अपने पिता के पहले एकत्रित कार्यों को प्रकाशित किया था। Fermat के वैज्ञानिक हितों ने कई क्षेत्रों को कवर किया। कई भाषाओं का अध्ययन करने के बाद, वह कविता के शौकीन थे, प्राचीन लेखकों पर टिप्पणी करते थे और ऑप्टिकल घटनाओं का अध्ययन करते थे। अपने पूरे जीवन में, उन्होंने बी पास्कल, आर। डेसकार्टेस सहित कई विचारकों के साथ व्यापक पत्राचार किया। गणित हमेशा फ़र्मेट के लिए केवल एक शौक रहा है, और फिर भी उन्होंने इसके कई क्षेत्रों की नींव रखी - विश्लेषणात्मक ज्यामिति, इनफिनिटिमल कैलकुलस, डिफरेंशियल इक्वेशन और प्रायिकता सिद्धांत। उनकी कुछ खोजें अपने समय से बहुत आगे थीं। संख्या सिद्धांत में दो प्रसिद्ध प्रमेयों के लेखक के रूप में जाना जाता है, उनके नाम पर: फ़र्मेट की छोटी प्रमेय और फ़र्मेट की महान प्रमेय। किताबों में से एक के हाशिये में आखिरी के बारे में, उन्होंने लिखा: "मुझे इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण मिला है, लेकिन ये मार्जिन उसके लिए बहुत छोटा है।" विडंबना यह है कि यह महान प्रमेय था कि असफल प्रमाण प्रयासों की संख्या में लंबे समय तक चैंपियन बना रहा। केवल 1994 में अमेरिकी गणितज्ञ ई। विल्स ने इसका सामान्य प्रमाण तैयार करने का प्रबंधन किया।
167722161 = 5225+1 से विभाज्य।
