पाइथागोरस प्रमेय सूत्र की व्युत्पत्ति है। पाइथागोरस प्रमेय: पृष्ठभूमि, साक्ष्य, व्यावहारिक अनुप्रयोग के उदाहरण

एक बात जो आप सौ प्रतिशत सुनिश्चित कर सकते हैं, जब पूछा गया कि कर्ण का वर्ग क्या है, तो कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्गों का योग।" यह प्रमेय प्रत्येक शिक्षित व्यक्ति के मन में दृढ़ता से बसा हुआ है, लेकिन किसी को इसे साबित करने के लिए कहना ही पर्याप्त है, और तब कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं। इसलिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों को याद करें और उन पर विचार करें।

जीवनी का संक्षिप्त अवलोकन

पाइथागोरस प्रमेय लगभग सभी से परिचित है, लेकिन किसी कारण से इसे बनाने वाले की जीवनी इतनी लोकप्रिय नहीं है। हम इसे ठीक कर देंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस - एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक आज से उनकी जीवनी को उन किंवदंतियों से अलग करना बहुत मुश्किल है जो इस महान व्यक्ति की स्मृति में विकसित हुई हैं। लेकिन जैसा कि उनके अनुयायियों के लेखन से पता चलता है, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया नाम की एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उनकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक जन्म लेने वाला लड़का मानव जाति के लिए कई लाभ और अच्छाई लाने वाला था। जो उसने वास्तव में किया था।

एक प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों से मिलने के लिए मिस्र चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियों को सीखा।

संभवतः, यह मिस्र में था कि पाइथागोरस पिरामिडों की महिमा और सुंदरता से प्रेरित थे और उन्होंने अपने महान सिद्धांत का निर्माण किया। यह पाठकों को चौंका सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना है कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को साबित नहीं किया। लेकिन उन्होंने अपना ज्ञान केवल अपने अनुयायियों को दिया, जिन्होंने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाओं को पूरा किया।

जैसा कि हो सकता है, आज इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए एक तकनीक ज्ञात नहीं है, लेकिन कई एक बार में। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

इससे पहले कि आप कोई गणना शुरू करें, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को साबित करना है। पाइथागोरस प्रमेय इस तरह लगता है: "एक त्रिभुज में जिसमें कोणों में से एक 90 o है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।"

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कुल 15 तरीके हैं। यह काफी बड़ी संख्या है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

आइए पहले परिभाषित करें कि हमारे पास क्या है। यह डेटा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होगा, इसलिए आपको सभी उपलब्ध संकेतन को तुरंत याद रखना चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसके पैर a, b और कर्ण c के बराबर हैं। प्रमाण की पहली विधि इस तथ्य पर आधारित है कि एक समकोण त्रिभुज से एक वर्ग खींचा जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको पैर के बराबर एक खंड को पैर की लंबाई a तक खींचना होगा, और इसके विपरीत। तो यह वर्ग के दो बराबर पक्षों को बाहर करना चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिभुज के कर्ण के बराबर एक और वर्ग बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, शीर्ष ac और sv से, आपको c के बराबर दो समानांतर खंड खींचने होंगे। इस प्रकार, हमें वर्ग की तीन भुजाएँ प्राप्त होती हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यह केवल चौथा खंड खींचना बाकी है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल 0.5 av है।

इसलिए, क्षेत्रफल है: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

इसलिए (ए + सी) 2 \u003d 2av + सी 2

और, इसलिए, 2 \u003d के साथ 2 + 2 . में

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विधि दो: समरूप त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समान त्रिभुजों के बारे में ज्यामिति के खंड के एक बयान के आधार पर तैयार किया गया था। यह कहता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर उसके कर्ण के समानुपाती होता है और कर्ण खंड 90 o के कोण के शीर्ष से निकलता है।

प्रारंभिक डेटा वही रहता है, तो चलिए तुरंत प्रमाण के साथ शुरू करते हैं। आइए हम भुजा AB पर लंबवत एक खंड CD खींचते हैं। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिभुजों की टाँगें बराबर हैं:

एसी = √AB * एडी, एसडब्ल्यू = √AB * डीवी।

पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं को चुकता करके प्रमाण रखना होगा।

एसी 2 \u003d एबी * हेल और एसवी 2 \u003d एबी * डीवी

अब हमें परिणामी असमानताओं को जोड़ना होगा।

एसी 2 + एसवी 2 \u003d एबी * (एडी * डीवी), जहां एडी + डीवी \u003d एबी

परिणाम यह निकला:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी * एबी

और इसलिए:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण और इसे हल करने के विभिन्न तरीकों के लिए इस समस्या के लिए एक बहुमुखी दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक और गणना विधि

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन तब तक कुछ नहीं कह सकता, जब तक आप स्वयं अभ्यास करना शुरू नहीं कर देते। कई विधियों में न केवल गणितीय गणनाएँ शामिल हैं, बल्कि मूल त्रिभुज से नए आंकड़ों का निर्माण भी शामिल है।

इस मामले में, विमान के पैर से एक और समकोण त्रिभुज VSD को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक उभयनिष्ठ BC वाले दो त्रिभुज हैं।

यह जानते हुए कि समान आकृतियों के क्षेत्रों का अनुपात उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में होता है, तो:

एस एवीएस * एस 2 - एस एवीडी * 2 में \u003d एस एवीडी * ए 2 - एस वीडी * ए 2

एस एवीएस * (2 से 2 तक) \u003d ए 2 * (एस एवीडी -एस वीवीडी)

2 से 2 \u003d ए 2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

चूंकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त है, आप निम्न तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना है कि इस पद्धति का इस्तेमाल सबसे पहले प्राचीन ग्रीस में एक प्रमेय को साबित करने के लिए किया गया था। यह सबसे सरल है, क्योंकि इसके लिए बिल्कुल किसी गणना की आवश्यकता नहीं है। यदि आप सही ढंग से चित्र बनाते हैं, तो कथन का प्रमाण कि a 2 + b 2 \u003d c 2 स्पष्ट रूप से दिखाई देगा।

इस पद्धति की शर्तें पिछले एक से थोड़ी अलग होंगी। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

हम कर्ण AC को वर्ग की भुजा के रूप में लेते हैं और इसकी तीन भुजाएँ खींचते हैं। इसके अलावा, परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएँ खींचना आवश्यक है। ताकि इसके अंदर आपको चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलें।

पैरों एबी और सीबी के लिए, आपको एक वर्ग भी खींचना होगा और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण रेखा खींचनी होगी। हम पहली पंक्ति को शीर्ष A से खींचते हैं, दूसरी - C से।

अब आपको परिणामी ड्राइंग को ध्यान से देखने की जरूरत है। चूँकि कर्ण AC पर मूल एक के बराबर चार त्रिभुज और टाँगों पर दो त्रिभुज हैं, यह इस प्रमेय की सत्यता को इंगित करता है।

वैसे, पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने की इस पद्धति के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश का जन्म हुआ: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे गारफील्ड द्वारा सबूत

जेम्स गारफील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-शिक्षित भी थे।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक लोक स्कूल में एक साधारण शिक्षक थे, लेकिन जल्द ही उच्च शिक्षण संस्थानों में से एक के निदेशक बन गए। आत्म-विकास की इच्छा और उन्हें पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के एक नए सिद्धांत की पेशकश करने की अनुमति दी। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

पहले आपको कागज के एक टुकड़े पर दो समकोण त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो। इन त्रिभुजों के शीर्षों को एक समलम्बाकार के साथ जोड़ने के लिए जोड़ने की आवश्यकता है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

एस=ए+बी/2 * (ए+बी)

यदि हम परिणामी समलम्ब को तीन त्रिभुजों वाली एक आकृति के रूप में मानते हैं, तो इसका क्षेत्रफल निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2/2

अब हमें दो मूल भावों की बराबरी करने की आवश्यकता है

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

पाइथागोरस प्रमेय और इसे कैसे सिद्ध किया जाए, इस बारे में पाठ्यपुस्तक के एक से अधिक खंड लिखे जा सकते हैं। लेकिन क्या इसका कोई मतलब है जब इस ज्ञान को व्यवहार में नहीं लाया जा सकता है?

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूल पाठ्यक्रम केवल ज्यामितीय समस्याओं में इस प्रमेय के उपयोग के लिए प्रदान करता है। स्नातक जल्द ही स्कूल की दीवारों को बिना यह जाने छोड़ देंगे कि वे अपने ज्ञान और कौशल को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, हर कोई अपने दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकता है। और न केवल पेशेवर गतिविधियों में, बल्कि सामान्य घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान का कनेक्शन

ऐसा लगता है कि कागज पर तारों और त्रिकोणों को कैसे जोड़ा जा सकता है। वास्तव में, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश पुंज की गति पर विचार करें। हम जानते हैं कि प्रकाश दोनों दिशाओं में समान गति से गमन करता है। हम प्रक्षेपवक्र AB कहते हैं जिसके साथ प्रकाश किरण चलती है मैं. और प्रकाश को बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में जितना समय लगता है, उसका आधा समय कॉल करते हैं टी. और बीम की गति - सी. परिणाम यह निकला: सी * टी = एल

यदि आप इसी बीम को दूसरे विमान से देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष लाइनर से जो गति v से चलता है, तो पिंडों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस मामले में, स्थिर तत्व भी विपरीत दिशा में गति v के साथ आगे बढ़ेंगे।

मान लें कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर जा रहा है। फिर बिंदु A और B, जिसके बीच किरण दौड़ती है, बाईं ओर चली जाएगी। इसके अलावा, जब बीम बिंदु A से बिंदु B तक जाता है, तो बिंदु A के पास जाने का समय होता है और, तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु C पर पहुंच जाएगा। बिंदु A द्वारा स्थानांतरित की गई आधी दूरी को खोजने के लिए, आपको गुणा करने की आवश्यकता है बीम के यात्रा समय के आधे से लाइनर की गति (टी ")।

और यह पता लगाने के लिए कि इस समय के दौरान प्रकाश की किरण कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है, आपको नए बीच के आधे पथ को नामित करने और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

यदि हम कल्पना करें कि प्रकाश C और B के बिंदु, साथ ही अंतरिक्ष लाइनर, एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो बिंदु A से लाइनर तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप उस दूरी का पता लगा सकते हैं जो प्रकाश की एक किरण यात्रा कर सकती है।

यह उदाहरण, निश्चित रूप से, सबसे सफल नहीं है, क्योंकि केवल कुछ ही भाग्यशाली हो सकते हैं जो इसे व्यवहार में आजमा सकते हैं। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेंज

स्मार्टफोन के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना नहीं की जा सकती है। लेकिन अगर वे मोबाइल संचार के माध्यम से ग्राहकों को नहीं जोड़ पाते तो उनका कितना उपयोग होता?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे उस ऊंचाई पर निर्भर करती है जिस पर मोबाइल ऑपरेटर का एंटीना स्थित है। यह गणना करने के लिए कि मोबाइल टावर से फोन कितनी दूर सिग्नल प्राप्त कर सकता है, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टावर की अनुमानित ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि वह 200 किलोमीटर के दायरे में एक संकेत प्रसारित कर सके।

एबी (टॉवर की ऊंचाई) = x;

ईसा पूर्व (सिग्नल ट्रांसमिशन की त्रिज्या) = 200 किमी;

OS (ग्लोब की त्रिज्या) = 6380 किमी;

OB=OA+ABOB=r+x

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं कि टावर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से, पाइथागोरस प्रमेय रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है, जैसे कि एक कोठरी की ऊंचाई निर्धारित करना, उदाहरण के लिए। पहली नज़र में, ऐसी जटिल गणनाओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप केवल टेप माप के साथ माप ले सकते हैं। लेकिन कई लोग आश्चर्यचकित हैं कि असेंबली प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों उत्पन्न होती हैं यदि सभी माप सही से अधिक लिए गए थे।

तथ्य यह है कि अलमारी एक क्षैतिज स्थिति में इकट्ठी होती है और उसके बाद ही उठती है और दीवार के खिलाफ स्थापित होती है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट के फुटपाथ को कमरे की ऊंचाई और तिरछे दोनों के साथ स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए।

मान लीजिए कि 800 मिमी की गहराई वाली एक अलमारी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता कहेगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन ठीक 126 मिमी ही क्यों? आइए एक उदाहरण देखें।

कैबिनेट के आदर्श आयामों के साथ, आइए पाइथागोरस प्रमेय के संचालन की जाँच करें:

एसी \u003d एबी 2 + बीसी 2

एसी \u003d 2474 2 +800 2 \u003d 2600 मिमी - सब कुछ अभिसरण करता है।

बता दें कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं, बल्कि 2505 मिमी है। फिर:

एसी \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाने पर इसके शरीर को नुकसान हो सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सत्य से कहीं अधिक है। अब आप अपने दैनिक जीवन में प्राप्त जानकारी का उपयोग कर सकते हैं और पूरी तरह से सुनिश्चित हो सकते हैं कि सभी गणना न केवल उपयोगी होगी, बल्कि सही भी होगी।

जब आपने पहली बार वर्गमूलों के बारे में सीखना शुरू किया और अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए (मूल के चिह्न के तहत अज्ञात वाले समीकरण), तो आपको संभवतः इसके व्यावहारिक उपयोग का पहला विचार मिला। पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग पर समस्याओं को हल करने के लिए संख्याओं का वर्गमूल निकालने की क्षमता भी आवश्यक है। यह प्रमेय किसी भी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से संबंधित है।

एक समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई (वे दो भुजाएँ जो समकोण पर अभिसरण करती हैं) को अक्षरों द्वारा निरूपित करें और कर्ण की लंबाई (समकोण के विपरीत स्थित त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा) को निरूपित किया जाएगा पत्र द्वारा। तब संगत लंबाइयाँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

यह समीकरण आपको उस स्थिति में समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है जब उसकी अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। इसके अलावा, यह आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या माना गया त्रिभुज समकोण है, बशर्ते कि तीनों पक्षों की लंबाई पहले से ज्ञात हो।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं का समाधान

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग के लिए निम्नलिखित समस्याओं को हल करेंगे।

तो दिया गया:

पैरों में से एक की लंबाई 48 है, कर्ण 80 है।
पैर की लंबाई 84 है, कर्ण 91 है।

आइए समाधान पर आते हैं:

क) उपरोक्त समीकरण में आँकड़ों को प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

48 2 + बी 2 = 80 2

2304 + बी 2 = 6400

बी 2 = 4096

बी= 64 या बी = -64

चूँकि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई को ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, दूसरा विकल्प स्वतः ही खारिज कर दिया जाता है।

पहली तस्वीर का जवाब: बी = 64.

b) दूसरे त्रिभुज के पैर की लंबाई इसी तरह पाई जाती है:

84 2 + बी 2 = 91 2

7056 + बी 2 = 8281

बी 2 = 1225

बी= 35 या बी = -35

पिछले मामले की तरह, नकारात्मक समाधान को त्याग दिया जाता है।

दूसरी तस्वीर का जवाब: बी = 35

हम दे रहे हैं:

त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 45 और 55 है, और बड़ी भुजाएँ 75 हैं।
त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई क्रमशः 28 और 45 है, और बड़ी भुजाएँ 53 हैं।

हम समस्या का समाधान करते हैं:

ए) यह जांचना आवश्यक है कि किसी दिए गए त्रिभुज की छोटी भुजाओं की लंबाई के वर्गों का योग बड़े वाले की लंबाई के वर्ग के बराबर है या नहीं:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

इसलिए, पहला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

बी) एक ही ऑपरेशन किया जाता है:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

इसलिए, दूसरा त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

सबसे पहले, निर्देशांक (-2, -3) और (5, -2) वाले बिंदुओं से बने सबसे बड़े खंड की लंबाई पाएं। ऐसा करने के लिए, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं:

इसी तरह, हम निर्देशांक (-2, -3) और (2, 1) वाले बिंदुओं के बीच संलग्न खंड की लंबाई पाते हैं:

अंत में, हम निर्देशांक (2, 1) और (5, -2) वाले बिंदुओं के बीच खंड की लंबाई निर्धारित करते हैं:

चूंकि समानता है:

तो संगत त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

इस प्रकार, हम समस्या का उत्तर तैयार कर सकते हैं: चूँकि सबसे छोटी लंबाई वाली भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी लंबाई वाली भुजा के वर्ग के बराबर होता है, अंक एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष होते हैं।

आधार (कड़ाई से क्षैतिज रूप से स्थित), जंब (कड़ाई से लंबवत स्थित) और केबल (तिरछे फैला हुआ) क्रमशः एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग केबल की लंबाई खोजने के लिए किया जा सकता है:

इस प्रकार, केबल की लंबाई लगभग 3.6 मीटर होगी।

दिया गया है: बिंदु R से बिंदु P (त्रिभुज का पैर) की दूरी 24 है, बिंदु R से बिंदु Q (कर्ण) - 26 तक।

इसलिए, हम वाइटा को समस्या का समाधान करने में मदद करते हैं। चूँकि आकृति में दिखाए गए त्रिभुज की भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाने वाली हैं, आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

अतः तालाब की चौड़ाई 10 मीटर है।

सर्गेई वेलेरिविच

ज्यामितीय आंकड़ों के क्षेत्र को मापना।

§ 58. पाइथागोरस प्रमेय 1 .

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1 पाइथागोरस एक यूनानी वैज्ञानिक हैं जो लगभग 2500 वर्ष पहले (564-473 ईसा पूर्व) रहते थे।
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मान लीजिए एक समकोण त्रिभुज दिया गया है जिसकी भुजाएँ ए, बीतथा साथ(देव 267)।

आइए इसके किनारों पर वर्ग बनाएं। इन वर्गों के क्षेत्रफल क्रमशः हैं ए 2 , बी 2 और साथ 2. आइए साबित करें कि साथ 2 = ए 2 +बी 2 .

आइए दो वर्ग MKOR और M"K"O"R" (चित्र 268, 269) बनाएं, उनमें से प्रत्येक के पक्ष के लिए एक समकोण त्रिभुज ABC के पैरों के योग के बराबर एक खंड लें।

इन वर्गों में चित्र 268 और 269 में दिखाए गए निर्माणों को पूरा करने के बाद, हम देखेंगे कि एमकेओआर वर्ग क्षेत्रों के साथ दो वर्गों में बांटा गया है ए 2 और बी 2 और चार समान समकोण त्रिभुज, जिनमें से प्रत्येक समकोण त्रिभुज ABC के बराबर है। वर्ग M"K"O"R" एक चतुर्भुज (यह चित्र 269 में छायांकित है) और चार समकोण त्रिभुजों में विभाजित है, जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज ABC के बराबर है। छायांकित चतुर्भुज एक वर्ग है, क्योंकि इसकी भुजाएँ बराबर हैं (प्रत्येक त्रिभुज ABC के कर्ण के बराबर है, अर्थात। साथ) और कोण समकोण हैं / 1 + / 2 = 90°, जहां से / 3 = 90°)।

इस प्रकार, पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग (चित्र 268 में ये वर्ग छायांकित हैं) चार समान त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बिना MKOR वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और का क्षेत्रफल कर्ण पर बना वर्ग (चित्र 269 में यह वर्ग भी छायांकित है) वर्ग M "K" O "R" के क्षेत्रफल के बराबर है, MKOR के वर्ग के बराबर, के क्षेत्रों के योग के बिना एक ही त्रिभुज के चार। इसलिए, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।

हमें सूत्र मिलता है साथ 2 = ए 2 +बी 2, जहां साथ- कर्ण, एतथा बी- एक समकोण त्रिभुज के पैर।

पाइथागोरस प्रमेय को संक्षेप में निम्नानुसार किया जा सकता है:

एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

सूत्र से साथ 2 = ए 2 +बी 2 आप निम्न सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

ए 2 = साथ 2 - बी 2 ;
बी 2 = साथ 2 - ए 2 .

इन सूत्रों का उपयोग एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं को देखते हुए उसकी अज्ञात भुजा ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए:

ए) यदि पैर दिए गए हैं ए= 4 सेमी, बी\u003d 3 सेमी, फिर आप कर्ण पा सकते हैं ( साथ):
साथ 2 = ए 2 +बी 2, अर्थात् साथ 2 = 4 2 + 3 2; 2 = 25 के साथ, जहां से साथ= √25 = 5 (सेमी);

बी) यदि कर्ण दिया जाता है साथ= 17 सेमी और पैर ए= 8 सेमी, तो आप दूसरा पैर पा सकते हैं ( बी):

बी 2 = साथ 2 - ए 2, अर्थात् बी 2 = 17 2 - 8 2 ; बी 2 = 225, कहाँ से बी= 225 = 15 (सेमी)।

परिणाम: यदि दो समकोण त्रिभुजों में ABC और A 1 B 1 C 1 कर्ण है साथतथा साथ 1 बराबर हैं, और पैर बीत्रिभुज ABC टाँग से बड़ा है बी 1 त्रिभुज ए 1 बी 1 सी 1,
फिर पैर एत्रिभुज ABC टाँग से छोटा है ए 1 त्रिकोण ए 1 बी 1 सी 1। (इस परिणाम को दर्शाते हुए एक चित्र बनाएं।)

वास्तव में, पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं:

ए 2 = साथ 2 - बी 2 ,
ए 1 2 = साथ 1 2 - बी 1 2

लिखित फ़ार्मुलों में, minuends बराबर होते हैं, और पहले सूत्र में subtrahend दूसरे सूत्र में subtrahend से बड़ा होता है, इसलिए, पहला अंतर दूसरे से कम होता है,
अर्थात। ए 2 < ए 12. कहां ए< ए 1 .

व्यायाम।

1. आरेखण 270 का प्रयोग करते हुए समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय सिद्ध कीजिए।

2. एक समकोण त्रिभुज का एक पैर 12 सेमी, दूसरा 5 सेमी है। इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई की गणना करें।

3. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 10 सेमी, एक पैर 8 सेमी है। इस त्रिभुज के दूसरे पैर की लंबाई की गणना करें।

4. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 37 सेमी है, इसका एक पैर 35 सेमी है। इस त्रिभुज के दूसरे पैर की लंबाई की गणना करें।

5. दिए गए क्षेत्रफल के दोगुने क्षेत्रफल वाले वर्ग की रचना कीजिए।

6. एक वर्ग की रचना कीजिए, जो दिए गए क्षेत्रफल का दोगुना है। निर्देश।इस वर्ग में विकर्ण खींचिए। इन विकर्णों के आधे भाग पर बने वर्ग वांछित होंगे।

7. एक समकोण त्रिभुज के पैर क्रमशः 12 सेमी और 15 सेमी हैं। इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 0.1 सेमी की सटीकता के साथ परिकलित करें।

8. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 20 सेमी है, उसका एक पैर 15 सेमी है। दूसरे पैर की लंबाई को निकटतम 0.1 सेमी तक परिकलित करें।

9. यदि सीढ़ी का निचला सिरा भवन से 2.5 मीटर की दूरी पर हो, तो सीढ़ी कितनी लंबी होनी चाहिए ताकि इसे 6 मीटर की ऊंचाई पर स्थित एक खिड़की से जोड़ा जा सके? (धिक्कार है। 271.)

प्राकृतिक वैज्ञानिक विश्लेषण, व्यावहारिक दृष्टिकोण और सूत्रों और संख्याओं की शुष्क भाषा को छोड़कर, रचनात्मकता की क्षमता को आमतौर पर मानविकी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। गणित को मानविकी विषय के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। लेकिन "सभी विज्ञानों की रानी" में रचनात्मकता के बिना आप दूर नहीं जाएंगे - लोग इस बारे में लंबे समय से जानते हैं। पाइथागोरस के समय से, उदाहरण के लिए।

दुर्भाग्य से, स्कूल की पाठ्यपुस्तकें आमतौर पर यह नहीं समझाती हैं कि गणित में न केवल प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और सूत्रों को रटना महत्वपूर्ण है। इसके मूल सिद्धांतों को समझना और महसूस करना महत्वपूर्ण है। और साथ ही, अपने दिमाग को क्लिच और प्राथमिक सत्य से मुक्त करने का प्रयास करें - केवल ऐसी स्थितियों में ही सभी महान खोजें पैदा होती हैं।

ऐसी खोजों में वह शामिल है जिसे आज हम पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जानते हैं। इसकी मदद से हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि गणित न केवल मजेदार हो सकता है, बल्कि मजेदार भी होना चाहिए। और यह कि यह साहसिक कार्य न केवल मोटे चश्मे वाले नर्ड के लिए उपयुक्त है, बल्कि उन सभी के लिए उपयुक्त है जो दिमाग से मजबूत और आत्मा में मजबूत हैं।

मुद्दे के इतिहास से

कड़ाई से बोलते हुए, हालांकि प्रमेय को "पाइथागोरस प्रमेय" कहा जाता है, पाइथागोरस ने स्वयं इसकी खोज नहीं की थी। समकोण त्रिभुज और इसके विशेष गुणों का अध्ययन इससे बहुत पहले किया जा चुका है। इस मुद्दे पर दो ध्रुवीय दृष्टिकोण हैं। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का पूर्ण प्रमाण खोजने वाला पहला व्यक्ति था। दूसरे के अनुसार, सबूत पाइथागोरस के लेखकत्व से संबंधित नहीं है।

आज आप यह नहीं देख सकते कि कौन सही है और कौन गलत। यह केवल ज्ञात है कि पाइथागोरस का प्रमाण, यदि वह कभी अस्तित्व में था, नहीं बच पाया है। हालांकि, ऐसे सुझाव हैं कि यूक्लिड के तत्वों का प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस से संबंधित हो सकता है, और यूक्लिड ने केवल इसे दर्ज किया है।

आज यह भी ज्ञात है कि मिस्र के स्रोतों में फिरौन अमेनेमेट I के समय से, राजा हम्मुराबी के शासनकाल से बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर, प्राचीन भारतीय ग्रंथ सुलवा सूत्र और प्राचीन चीनी काम झोउ में एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याएं पाई जाती हैं। -बी सुआन जिन.

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से गणितज्ञों के दिमाग पर कब्जा कर लिया है। लगभग 367 विभिन्न साक्ष्य जो आज मौजूद हैं, पुष्टि के रूप में कार्य करते हैं। इस संबंध में कोई अन्य प्रमेय इसका मुकाबला नहीं कर सकता है। उल्लेखनीय साक्ष्य लेखकों में लियोनार्डो दा विंची और संयुक्त राज्य अमेरिका के 20 वें राष्ट्रपति, जेम्स गारफील्ड शामिल हैं। यह सब गणित के लिए इस प्रमेय के अत्यधिक महत्व की बात करता है: ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे प्राप्त होते हैं या, एक तरह से या किसी अन्य, इससे जुड़े होते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें ज्यादातर बीजीय प्रमाण देती हैं। लेकिन प्रमेय का सार ज्यामिति में है, तो आइए सबसे पहले प्रसिद्ध प्रमेय के उन प्रमाणों पर विचार करें जो इस विज्ञान पर आधारित हैं।

सबूत 1

एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के सरलतम प्रमाण के लिए, आपको आदर्श स्थितियाँ निर्धारित करने की आवश्यकता है: त्रिभुज को न केवल समकोण, बल्कि समद्विबाहु भी होने दें। यह मानने का कारण है कि यह एक ऐसा त्रिभुज था जिसे मूल रूप से प्राचीन गणितज्ञों द्वारा माना जाता था।

कथन "एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना वर्ग उसके पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है"निम्नलिखित चित्र के साथ सचित्र किया जा सकता है:

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को देखें: कर्ण AC पर, आप मूल ABC के बराबर चार त्रिभुजों से मिलकर बना एक वर्ग बना सकते हैं। और पैरों पर AB और BC एक वर्ग पर बने हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो समान त्रिभुज हैं।

वैसे, इस चित्र ने पाइथागोरस प्रमेय को समर्पित कई उपाख्यानों और कार्टूनों का आधार बनाया। शायद सबसे प्रसिद्ध is "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं":

सबूत 2

यह विधि बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है और इसे गणितज्ञ भास्करी के प्राचीन भारतीय प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।

भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनाइए ए, बी और सी(चित्र .1)। फिर दोनों पैरों की लंबाई के योग के बराबर भुजाओं वाले दो वर्ग बनाएं - (ए+बी). प्रत्येक वर्ग में, आकृति 2 और 3 की तरह रचनाएँ बनाएँ।

पहले वर्ग में, समान त्रिभुजों में से चार का निर्माण करें जैसा कि चित्र 1 में है। परिणामस्वरूप, दो वर्ग प्राप्त होते हैं: एक भुजा a के साथ, दूसरा भुजा वाला बी.

दूसरे वर्ग में, चार समरूप त्रिभुजों का निर्माण एक वर्ग बनाता है जिसकी भुजा कर्ण के बराबर होती है सी.

चित्र 2 में निर्मित वर्गों के क्षेत्रफलों का योग उस वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है जिसे हमने चित्र 3 में भुजा c से बनाया है। इसे अंजीर में वर्गों के क्षेत्रों की गणना करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। 2 सूत्र के अनुसार। और चित्र 3 में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल वर्ग में अंकित चार समान समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को एक भुजा वाले बड़े वर्ग के क्षेत्रफल से घटाकर (ए+बी).

यह सब नीचे रखकर, हमारे पास है: ए 2 + बी 2 \u003d (ए + बी) 2 - 2ab. कोष्ठक का विस्तार करें, सभी आवश्यक बीजगणितीय गणना करें और प्राप्त करें ए 2 + बी 2 = ए 2 + बी 2. इसी समय, Fig.3 में खुदा हुआ क्षेत्र। वर्ग की गणना पारंपरिक सूत्र का उपयोग करके भी की जा सकती है एस=सी2. वे। a2+b2=c2आपने पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

सबूत 3

उसी प्राचीन भारतीय प्रमाण का वर्णन 12वीं शताब्दी में "ज्ञान का मुकुट" ("सिद्धांत शिरोमणि") ग्रंथ में किया गया है, और मुख्य तर्क के रूप में लेखक गणितीय प्रतिभा और छात्रों के अवलोकन की शक्तियों को संबोधित अपील का उपयोग करता है और अनुयायी: "देखो!"।

लेकिन हम इस प्रमाण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे:

वर्ग के अंदर, चार समकोण त्रिभुज बनाएं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। बड़े वर्ग की भुजा, जो कर्ण भी है, निरूपित की जाती है साथ. आइए त्रिभुज के पैरों को कॉल करें एतथा बी. चित्र के अनुसार, भीतरी वर्ग की भुजा है (ए-बी).

वर्ग क्षेत्र सूत्र का प्रयोग करें एस=सी2बाहरी वर्ग के क्षेत्र की गणना करने के लिए। और साथ ही आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल और सभी चार समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल को जोड़कर समान मान की गणना करें: (ए-बी) 2 2+4*1\2*a*b.

आप यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे एक ही परिणाम देते हैं, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए दोनों विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। और यह आपको यह लिखने का अधिकार देता है कि सी 2 =(ए-बी) 2 +4*1\2*ए*बी. समाधान के परिणामस्वरूप, आपको पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र प्राप्त होगा c2=a2+b2. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सबूत 4

इस जिज्ञासु प्राचीन चीनी साक्ष्य को "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता था - सभी निर्माणों के परिणामस्वरूप कुर्सी जैसी आकृति के कारण:

यह उस चित्र का उपयोग करता है जिसे हम दूसरे प्रमाण में चित्र 3 में देख चुके हैं। और साइड c वाला भीतरी वर्ग उसी तरह बनाया गया है जैसे ऊपर दिए गए प्राचीन भारतीय प्रमाण में।

यदि आप मानसिक रूप से चित्र 1 में चित्र से दो हरे समकोण त्रिभुजों को काटते हैं, तो उन्हें वर्ग के विपरीत पक्षों में स्थानांतरित करें और कर्ण को बकाइन त्रिभुजों के कर्ण से जोड़ दें, आपको "दुल्हन का" नामक एक आकृति मिलेगी कुर्सी" (चित्र 2)। स्पष्टता के लिए, आप पेपर वर्गों और त्रिकोणों के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं। आप देखेंगे कि "दुल्हन की कुर्सी" दो वर्गों द्वारा बनाई गई है: एक तरफ छोटे वाले बीऔर एक पक्ष के साथ बड़ा ए.

इन निर्माणों ने प्राचीन चीनी गणितज्ञों और उनका अनुसरण करने वाले हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचने की अनुमति दी कि c2=a2+b2.

सबूत 5

यह ज्यामिति पर आधारित पाइथागोरस प्रमेय का हल खोजने का एक और तरीका है। इसे गारफील्ड विधि कहते हैं।

एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए एबीसी. हमें यह साबित करना होगा कि बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2.

ऐसा करने के लिए, लेग जारी रखें एसीऔर एक खंड बनाएँ सीडी, जो पैर के बराबर है अब. निचला लंबवत विज्ञापनअनुभाग ईडी. सेगमेंट ईडीतथा एसीबराबर हैं। बिंदुओ को जोडो इतथा वी, साथ ही साथ इतथा साथऔर नीचे दी गई तस्वीर की तरह एक चित्र प्राप्त करें:

टॉवर को साबित करने के लिए, हम फिर से उस विधि का सहारा लेते हैं जिसका हमने पहले ही परीक्षण कर लिया है: हम परिणामी आकृति का क्षेत्रफल दो तरह से पाते हैं और भावों को एक दूसरे से बराबरी करते हैं।

बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तरइसे बनाने वाले तीन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर किया जा सकता है। और उनमें से एक ईआरयू, न केवल आयताकार है, बल्कि समद्विबाहु भी है। चलो यह भी न भूलें एबी = सीडी, एसी = ईडीतथा ईसा पूर्व = सीई- यह हमें रिकॉर्डिंग को सरल बनाने और इसे अधिभारित करने की अनुमति नहीं देगा। इसलिए, एस एबीईडी \u003d 2 * 1/2 (एबी * एसी) + 1/2बीसी 2.

साथ ही, यह स्पष्ट है कि एक बिस्तरएक समलम्ब है। इसलिए, हम सूत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करते हैं: सबेड=(डीई+एबी)*1/2एडी. हमारी गणना के लिए, खंड का प्रतिनिधित्व करना अधिक सुविधाजनक और स्पष्ट है विज्ञापनखंडों के योग के रूप में एसीतथा सीडी.

आइए उनके बीच एक समान चिन्ह लगाकर किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के दोनों तरीके लिखें: एबी*एसी+1/2बीसी 2 =(डीई+एबी)*1/2(एसी+सीडी). हम पहले से ज्ञात और ऊपर वर्णित खंडों की समानता का उपयोग अंकन के दाहिने हाथ को सरल बनाने के लिए करते हैं: एबी*एसी+1/2बीसी 2 = 1/2(एबी+एसी) 2. और अब हम कोष्ठक खोलते हैं और समानता को रूपांतरित करते हैं: एबी*एसी+1/2बीसी 2 =1/2एसी 2 +2*1/2(एबी*एसी)+1/2एबी 2. सभी परिवर्तनों को समाप्त करने के बाद, हमें वही मिलता है जो हमें चाहिए: बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2. हमने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

बेशक, सबूतों की यह सूची पूरी तरह से दूर है। पाइथागोरस प्रमेय को वैक्टर, कॉम्प्लेक्स नंबर, डिफरेंशियल इक्वेशन, स्टीरियोमेट्री आदि का उपयोग करके भी साबित किया जा सकता है। और यहां तक कि भौतिक विज्ञानी: यदि, उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए समान वर्ग और त्रिकोणीय संस्करणों में तरल डाला जाता है। तरल डालने से, परिणाम के रूप में क्षेत्रों और प्रमेय की समानता को साबित करना संभव है।

पाइथागोरस ट्रिपलेट्स के बारे में कुछ शब्द

यह मुद्दा स्कूली पाठ्यक्रम में बहुत कम पढ़ाया जाता है या नहीं पढ़ा जाता है। इस बीच, यह बहुत दिलचस्प है और ज्यामिति में इसका बहुत महत्व है। कई गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए पाइथागोरस त्रिक का उपयोग किया जाता है। उनका विचार आगे की शिक्षा में आपके काम आ सकता है।

तो पाइथागोरस ट्रिपल क्या हैं? तथाकथित प्राकृत संख्याएँ, जिन्हें तीन में एकत्रित किया जाता है, जिनमें से दो के वर्गों का योग तीसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है।

पायथागॉरियन ट्रिपल हो सकते हैं:

आदिम (तीनों संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं);
गैर-आदिम (यदि ट्रिपल की प्रत्येक संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको एक नया ट्रिपल मिलता है जो आदिम नहीं है)।

हमारे युग से पहले भी, प्राचीन मिस्रवासी पाइथागोरियन ट्रिपल की संख्या के लिए उन्माद से मोहित थे: कार्यों में उन्होंने 3.4 और 5 इकाइयों के पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज माना। वैसे, कोई भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस ट्रिपल से संख्याओं के बराबर होती हैं, डिफ़ॉल्ट रूप से आयताकार होता है।

पाइथागोरस त्रिक के उदाहरण: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) आदि।

प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला और निर्माण, खगोल विज्ञान और यहां तक कि साहित्य में भी लागू होता है।

सबसे पहले, निर्माण के बारे में: विभिन्न स्तरों की जटिलता की समस्याओं में पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, रोमनस्क्यू विंडो देखें:

आइए विंडो की चौड़ाई को इस प्रकार निरूपित करें बी, तो महान अर्धवृत्त की त्रिज्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है आरऔर के माध्यम से व्यक्त करें बी: आर = बी / 2. छोटे अर्धवृत्तों की त्रिज्या को के पदों में भी व्यक्त किया जा सकता है बी: आर = बी / 4. इस समस्या में, हम विंडो के भीतरी वृत्त की त्रिज्या में रुचि रखते हैं (चलो इसे कहते हैं पी).

पाइथागोरस प्रमेय केवल गणना करने के काम आता है आर. ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हैं, जिसे आकृति में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। त्रिभुज के कर्ण में दो त्रिज्याएँ होती हैं: बी/4+पी. एक पैर त्रिज्या है बी 4, एक और बी/2-पी. पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (बी/4+पी) 2 =(बी/4) 2 +(बी/2-पी) 2. अगला, हम कोष्ठक खोलते हैं और प्राप्त करते हैं बी 2/16+ बीपी / 2 + पी 2 \u003d बी 2/16 + बी 2 / 4-बीपी + पी 2. आइए इस अभिव्यक्ति को . में बदलें बीपी/2=बी 2/4-बीपी. और फिर हम सभी पदों को में विभाजित करते हैं बी, हम प्राप्त करने के लिए समान देते हैं 3/2*पी=बी/4. और अंत में हम पाते हैं कि पी = बी/6- जो हमें चाहिए था।

प्रमेय का उपयोग करके, आप एक विशाल छत के लिए राफ्टर्स की लंबाई की गणना कर सकते हैं। निर्धारित करें कि सिग्नल को एक निश्चित बस्ती तक पहुंचने के लिए एक मोबाइल टॉवर की कितनी ऊँचाई की आवश्यकता है। और शहर के चौक में भी लगातार क्रिसमस ट्री लगाएं। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह प्रमेय न केवल पाठ्यपुस्तकों के पन्नों पर रहता है, बल्कि वास्तविक जीवन में अक्सर उपयोगी होता है।

जहां तक साहित्य का संबंध है, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से लेखकों को प्रेरित किया है और आज भी जारी है। उदाहरण के लिए, उन्नीसवीं सदी के जर्मन लेखक एडेलबर्ट वॉन चामिसो ने उन्हें एक सॉनेट लिखने के लिए प्रेरित किया था:

सत्य का प्रकाश शीघ्र नहीं बुझेगा,
लेकिन, चमकने के बाद, इसके विलुप्त होने की संभावना नहीं है
और हजारों साल पहले की तरह,
संदेह और विवाद का कारण नहीं बनेगा।

सबसे बुद्धिमान जब यह आंख को छूता है
सत्य का प्रकाश, देवताओं का धन्यवाद;
और सौ बैल, छुरा घोंपा, झूठ -
भाग्यशाली पाइथागोरस की वापसी का उपहार।

तब से, बैल बुरी तरह दहाड़ रहे हैं:
बैल जनजाति को हमेशा के लिए जगाया
यहां उल्लेखित घटना।

उन्हें लगता है कि यह समय के बारे में है
और फिर उनकी बलि दी जाएगी
कुछ महान प्रमेय।

(विक्टर टोपोरोव द्वारा अनुवादित)

और बीसवीं शताब्दी में, सोवियत लेखक येवगेनी वेल्टिस्टोव ने अपनी पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों के लिए एक पूरा अध्याय समर्पित किया। और एक दो-आयामी दुनिया के बारे में एक कहानी का आधा अध्याय जो मौजूद हो सकता है यदि पाइथागोरस प्रमेय एक ही दुनिया के लिए मौलिक कानून और यहां तक कि धर्म भी बन जाता है। इसमें रहना बहुत आसान होगा, लेकिन बहुत अधिक उबाऊ भी होगा: उदाहरण के लिए, कोई भी "गोल" और "शराबी" शब्दों का अर्थ नहीं समझता है।

और "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" पुस्तक में, लेखक, गणित के शिक्षक तारातारा के मुंह के माध्यम से कहते हैं: "गणित में मुख्य बात विचार, नए विचारों की गति है।" यह विचार की रचनात्मक उड़ान है जो पाइथागोरस प्रमेय उत्पन्न करती है - यह व्यर्थ नहीं है कि इसके इतने विविध प्रमाण हैं। यह सामान्य से परे जाने में मदद करता है, और परिचित चीजों को नए तरीके से देखता है।

निष्कर्ष

यह लेख इसलिए बनाया गया था ताकि आप गणित में स्कूली पाठ्यक्रम से परे देख सकें और न केवल पाइथागोरस प्रमेय के उन प्रमाणों को सीख सकें जो पाठ्यपुस्तकों "ज्यामिति 7-9" (एल.एस. अतानासियन, वी.एन. रुडेंको) और "ज्यामिति 7 -11" में दिए गए हैं। ” (एवी पोगोरेलोव), लेकिन प्रसिद्ध प्रमेय को साबित करने के अन्य जिज्ञासु तरीके भी। और यह भी देखें कि पाइथागोरस प्रमेय को दैनिक जीवन में कैसे लागू किया जा सकता है।

सबसे पहले, यह जानकारी आपको गणित की कक्षाओं में उच्च स्कोर का दावा करने की अनुमति देगी - अतिरिक्त स्रोतों से विषय पर जानकारी की हमेशा बहुत सराहना की जाती है।

दूसरे, हम आपको यह समझने में मदद करना चाहते हैं कि गणित कितना दिलचस्प है। विशिष्ट उदाहरणों से आश्वस्त होना कि इसमें रचनात्मकता के लिए हमेशा जगह होती है। हमें उम्मीद है कि पाइथागोरस प्रमेय और यह लेख आपको गणित और अन्य विज्ञानों में अपना शोध और रोमांचक खोज करने के लिए प्रेरित करेगा।

हमें टिप्पणियों में बताएं कि क्या आपको लेख में प्रस्तुत साक्ष्य दिलचस्प लगे। क्या आपको यह जानकारी अपनी पढ़ाई में मददगार लगी? हमें बताएं कि आप पाइथागोरस प्रमेय और इस लेख के बारे में क्या सोचते हैं - हमें आपके साथ इस सब पर चर्चा करने में खुशी होगी।

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