ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, начертани през произволна точка, успоредна на данните.
Нека в пространството са дадени две прави:
Очевидно ъгълът φ между линиите може да се приеме като ъгъл между техните вектори на посоката и . Тъй като , Тогава според формулата за косинуса на ъгъла между векторите получаваме
Условията на успоредност и перпендикулярност на две прави са еквивалентни на условията за паралелизъм и перпендикулярност на техните вектори на посоката и:
Два прави са успоредниако и само ако съответните им коефициенти са пропорционални, т.е. л 1 паралел л 2, ако и само ако са успоредни 
.
Два прави перпендикулярноако и само ако сборът от произведенията на съответните коефициенти е равен на нула: .
В цел между права и равнина
Нека линията д- не е перпендикулярна на равнината θ;
д′− проекция на права линия дкъм равнината θ;
Най-малкият от ъглите между прави линии дИ д„ще се обадим ъгъл между права и равнина.
Нека го означим като φ=( д,θ)
Ако д⊥θ , тогава ( д,θ)=π/2
Ой→j→к→− правоъгълна координатна система.
равнинно уравнение:
θ: брадва+от+cz+д=0
Считаме, че линията е дадена от точка и вектор на посоката: д[М 0,стр→]
вектор н→(А,Б,° С)⊥θ
След това остава да се намери ъгълът между векторите н→ и стр→, означете го като γ=( н→,стр→).
Ако ъгълът γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Ако ъгълът γ>π/2, тогава необходимият ъгъл φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Тогава, ъгъл между права и равнинаможе да се изчисли по формулата:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ап 1+bp 2+кп 3∣ ∣ √А 2+Б 2+° С 2√стр 21+стр 22+стр 23
Въпрос 29. Концепцията за квадратична форма. Знаковата определеност на квадратичните форми.
Квадратична форма j (x 1, x 2, ..., x n) n реални променливи x 1, x 2, ..., x nсе нарича сбор от формата 
, (1)
където aij са някои числа, наречени коефициенти. Без да губим общността, можем да приемем, че aij = а джи.
Квадратната форма се нарича валиден,ако aij
О GR. Матрица с квадратична формасе нарича матрица, съставена от нейните коефициенти. Квадратната форма (1) съответства на уникална симетрична матрица 
т.е. А Т = А. Следователно, квадратната форма (1) може да бъде записана в матрична форма j ( х) = x T Ah, където х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)
И обратно, всяка симетрична матрица (2) съответства на уникална квадратична форма до записа на променливите.
Рангът на квадратната формасе нарича ранг на неговата матрица. Квадратната форма се нарича недегенеративен,ако неговата матрица е неединствена НО. (припомнете си, че матрицата НОсе нарича неизродена, ако детерминантата му е различна от нула). В противен случай квадратичната форма е изродена.
положително определено(или строго положително), ако
j ( х) > 0 , за всеки х = (х 1 , х 2 , …, x n), с изключение х = (0, 0, …, 0).
Матрицата НОположително определена квадратна форма j ( х) се нарича още положително определен. Следователно, положително определена квадратична форма съответства на уникална положително определена матрица и обратно.
Квадратната форма (1) се нарича отрицателно определено(или строго отрицателно), ако
j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), с изключение х = (0, 0, …, 0).
По същия начин, както по-горе, отрицателно-определена квадратична матрица се нарича също отрицателно-определена.
Следователно, положително (отрицателно) определена квадратична форма j ( х) достига минималната (максимална) стойност j ( Х*) = 0 за Х* = (0, 0, …, 0).
Обърнете внимание, че повечето квадратични форми не са определени със знак, тоест те не са нито положителни, нито отрицателни. Такива квадратични форми изчезват не само в началото на координатната система, но и в други точки.
Кога н> 2 се изискват специални критерии за проверка на определеността на знака на квадратна форма. Нека ги разгледаме.
Основни непълнолетниквадратната форма се нарича минор:
тоест това са непълнолетни от порядък 1, 2, ..., нматрици НО, разположени в горния ляв ъгъл, последният от тях съвпада с детерминанта на матрицата НО.
Критерий за положителна определеност (критерий на Силвестър)
х) = x T Ahе положително определен, е необходимо и достатъчно всички главни минорни числа на матрицата НОбяха положителни, тоест: М 1 > 0, М 2 > 0, …, M n > 0. Критерий за отрицателна сигурност За да може квадратната форма j ( х) = x T Ahе отрицателно определен, необходимо и достатъчно е главните му минорни от четен ред да са положителни, а тези от нечетен да са отрицателни, т.е. М 1 < 0, М 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)н
Този материал е посветен на такава концепция като ъгъла между две пресичащи се прави линии. В първия параграф ще обясним какво представлява и ще го покажем в илюстрации. След това ще анализираме как можете да намерите синуса, косинуса на този ъгъл и самия ъгъл (отделно ще разгледаме случаите с равнина и триизмерно пространство), ще дадем необходимите формули и ще покажем с примери как точно се прилагат на практика.
За да разберем какво представлява ъгълът, образуван при пресичането на две прави, трябва да си припомним самото определение за ъгъл, перпендикулярност и пресечна точка.
Определение 1
Наричаме две прави пресичащи се, ако имат една обща точка. Тази точка се нарича пресечна точка на двете прави.
Всяка линия е разделена от пресечната точка на лъчи. В този случай и двете линии образуват 4 ъгъла, от които два вертикални и два съседни. Ако знаем мярката на един от тях, тогава можем да определим останалите останали.
Да кажем, че знаем, че един от ъглите е равен на α. В такъв случай ъгълът, който е вертикален към него, също ще бъде равен на α. За да намерим останалите ъгли, трябва да изчислим разликата 180 ° - α. Ако α е равно на 90 градуса, тогава всички ъгли ще бъдат прави. Линиите, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат перпендикулярни (отделна статия е посветена на концепцията за перпендикулярност).
Разгледайте снимката:
Нека преминем към формулирането на основното определение.
Определение 2
Ъгълът, образуван от две пресичащи се прави, е мярката за по-малкия от 4-те ъгъла, които образуват тези две прави.
От дефиницията трябва да се направи важен извод: размерът на ъгъла в този случай ще бъде изразен с всяко реално число в интервала (0, 90] . Ако линиите са перпендикулярни, тогава ъгълът между тях във всеки случай ще бъде равно на 90 градуса.
Способността да се намери мярката на ъгъла между две пресичащи се прави е полезна за решаване на много практически задачи. Методът на решение може да бъде избран от няколко опции.
За начало можем да вземем геометрични методи. Ако знаем нещо за допълнителни ъгли, тогава можем да ги свържем с ъгъла, от който се нуждаем, използвайки свойствата на еднакви или подобни форми. Например, ако знаем страните на триъгълник и трябва да изчислим ъгъла между линиите, върху които са разположени тези страни, тогава косинусовата теорема е подходяща за решаване. Ако имаме правоъгълен триъгълник в условието, тогава за изчисления ще трябва да знаем и синуса, косинуса и тангенса на ъгъла.
Координатният метод също е много удобен за решаване на задачи от този тип. Нека обясним как да го използвате правилно.
Имаме правоъгълна (декартова) координатна система O x y с две прави. Нека ги обозначим с букви a и b. В този случай правите линии могат да бъдат описани с всякакви уравнения. Оригиналните линии имат пресечна точка M. Как да определим желания ъгъл (да го обозначим α) между тези линии?
Нека започнем с формулирането на основния принцип за намиране на ъгъл при дадени условия.
Знаем, че такива понятия като насочващ и нормален вектор са тясно свързани с концепцията за права линия. Ако имаме уравнението на някаква права линия, можем да вземем координатите на тези вектори от нея. Можем да направим това за две пресичащи се линии наведнъж.
Ъгълът, образуван от две пресичащи се прави, може да бъде намерен с помощта на:
- ъгъл между векторите на посоката;
- ъгъл между нормалните вектори;
- ъгълът между нормалния вектор на едната права и вектора на посоката на другата.
Сега нека разгледаме всеки метод поотделно.
1. Да предположим, че имаме права a с вектор на посока a → = (a x , a y) и права b с вектор на посока b → (b x , b y) . Сега нека отделим два вектора a → и b → от пресечната точка. След това ще видим, че всеки от тях ще бъде разположен на своя собствена линия. Тогава имаме четири варианта за тяхното относително положение. Вижте илюстрацията:
Ако ъгълът между два вектора не е тъп, тогава това ще бъде ъгълът, от който се нуждаем между пресичащите се прави a и b. Ако е тъп, тогава желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъла, съседен на ъгъла a → , b → ^. Така α = a → , b → ^ ако a → , b → ^ ≤ 90 ° и α = 180 ° - a → , b → ^ ако a → , b → ^ > 90 ° .
Въз основа на факта, че косинусите на равни ъгли са равни, можем да пренапишем получените равенства, както следва: cos α = cos a → , b → ^ ако a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ако a → , b → ^ > 90 ° .
Във втория случай са използвани формули за намаляване. По този начин,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Нека напишем последната формула с думи:
Определение 3
Косинусът на ъгъла, образуван от две пресичащи се прави, ще бъде равен на модула на косинуса на ъгъла между неговите вектори на посоката.
Общата форма на формулата за косинус на ъгъла между два вектора a → = (a x, a y) и b → = (b x, b y) изглежда така:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
От него можем да изведем формулата за косинус на ъгъла между две дадени прави:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Тогава самият ъгъл може да бъде намерен по следната формула:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Тук a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) са векторите на посоката на дадените линии.
Нека дадем пример за решаване на проблема.
Пример 1
В правоъгълна координатна система на равнината са дадени две пресичащи се прави a и b. Те могат да бъдат описани с параметрични уравнения x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R и x 5 = y - 6 - 3 . Изчислете ъгъла между тези линии.
Решение
Имаме параметрично уравнение в условието, което означава, че за тази права можем веднага да запишем координатите на нейния вектор на посоката. За да направим това, трябва да вземем стойностите на коефициентите в параметъра, т.е. правата x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R ще има вектор на посока a → = (4 , 1) .
Втората права линия е описана с каноничното уравнение x 5 = y-6-3. Тук можем да вземем координатите от знаменателите. Така тази права има вектор на посока b → = (5 , - 3) .
След това преминаваме директно към намирането на ъгъла. За да направите това, просто заменете наличните координати на двата вектора в горната формула α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Получаваме следното:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Отговор: Тези линии образуват ъгъл от 45 градуса.
Можем да решим подобен проблем, като намерим ъгъла между нормалните вектори. Ако имаме права a с нормален вектор na → = (nax , nay) и права b с нормален вектор nb → = (nbx , nby) , тогава ъгълът между тях ще бъде равен на ъгъла между na → и nb → или ъгълът, който ще бъде съседен на na → , nb → ^ . Този метод е показан на снимката:
Формулите за изчисляване на косинуса на ъгъла между пресичащите се линии и самия този ъгъл с помощта на координатите на нормалните вектори изглеждат така:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Тук n a → и n b → означават нормалните вектори на две дадени прави.
Пример 2
Две прави линии са дадени в правоъгълна координатна система с помощта на уравненията 3 x + 5 y - 30 = 0 и x + 4 y - 17 = 0 . Намерете синуса, косинуса на ъгъла между тях и големината на самия ъгъл.
Решение
Оригиналните прави линии са дадени с помощта на нормални прави уравнения от вида A x + B y + C = 0 . Означете нормален вектор n → = (A , B) . Да намерим координатите на първия нормален вектор за една права линия и да ги запишем: n a → = (3 , 5) . За втория ред x + 4 y - 17 = 0 векторът на нормата ще има координати n b → = (1 , 4) . Сега добавете получените стойности към формулата и изчислете общата сума:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ако знаем косинуса на ъгъла, тогава можем да изчислим неговия синус, използвайки основната тригонометрична идентичност. Тъй като ъгълът α, образуван от прави линии, не е тъп, тогава sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
В този случай α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Отговор: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Нека анализираме последния случай - намиране на ъгъла между линиите, ако знаем координатите на насочващия вектор на едната линия и на нормалния вектор на другата.
Да приемем, че правата a има вектор на посока a → = (a x , a y) , а правата b има нормален вектор n b → = (n b x , n b y) . Трябва да отложим тези вектори от пресечната точка и да разгледаме всички варианти за тяхното взаимно положение. Вижте снимката:
Ако ъгълът между дадените вектори е не повече от 90 градуса, се оказва, че той ще допълни ъгъла между a и b до прав ъгъл.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , ако a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ако е по-малко от 90 градуса, получаваме следното:
a → , n b → ^ > 90 ° , след това a → , n b → ^ = 90 ° + α
Използвайки правилото за равенство на косинуси с равни ъгли, пишем:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α за a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .
По този начин,
sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^, a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Нека формулираме заключение.
Определение 4
За да намерите синуса на ъгъла между две линии, пресичащи се в равнина, трябва да изчислите модула на косинуса на ъгъла между вектора на посоката на първата линия и нормалния вектор на втория.
Нека запишем необходимите формули. Намиране на синуса на ъгъла:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Намиране на самия ъгъл:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Тук a → е векторът на посоката на първия ред, а n b → е нормален вектор на втория.
Пример 3
Две пресичащи се прави са дадени от уравненията x - 5 = y - 6 3 и x + 4 y - 17 = 0 . Намерете ъгъла на пресичане.
Решение
Координатите на насочващия и нормален вектор вземаме от дадените уравнения. Оказва се a → = (- 5, 3) и n → b = (1, 4) . Вземаме формулата α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 и разглеждаме:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Забележете, че взехме уравненията от предишния проблем и получихме абсолютно същия резултат, но по различен начин.
Отговор:α = a r c sin 7 2 34
Ето още един начин да намерите желания ъгъл с помощта на коефициентите на наклона на дадени линии.
Имаме права a , която е дефинирана в правоъгълна координатна система с помощта на уравнението y = k 1 · x + b 1 , и права b , дефинирана като y = k 2 · x + b 2 . Това са уравнения на линии с наклон. За да намерите ъгъла на пресичане, използвайте формулата:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , където k 1 и k 2 са наклоните на дадените прави. За получаване на този запис са използвани формули за определяне на ъгъла чрез координатите на нормалните вектори.
Пример 4
Има две прави, пресичащи се в равнината, дадени от уравненията y = - 3 5 x + 6 и y = - 1 4 x + 17 4 . Изчислете ъгъла на пресичане.
Решение
Наклоните на нашите прави са равни на k 1 = - 3 5 и k 2 = - 1 4 . Нека ги добавим към формулата α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 и изчислим:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Отговор:α = a r c cos 23 2 34
В заключенията на този параграф трябва да се отбележи, че формулите за намиране на ъгъла, дадени тук, не трябва да се учат наизуст. За да направите това, достатъчно е да знаете координатите на водачите и/или векторите на нормата на дадените линии и да можете да ги определяте с помощта на различни видове уравнения. Но формулите за изчисляване на косинуса на ъгъл е по-добре да запомните или запишете.
Как да изчислим ъгъла между пресичащите се линии в пространството
Изчисляването на такъв ъгъл може да се сведе до изчисляване на координатите на векторите на посоката и определяне на големината на ъгъла, образуван от тези вектори. За такива примери използваме същите разсъждения, които дадохме преди.
Да кажем, че имаме правоъгълна координатна система, разположена в 3D пространство. Съдържа две прави a и b с пресечната точка M. За да изчислим координатите на векторите на посоката, трябва да знаем уравненията на тези линии. Означете векторите на посоката a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . За да изчислим косинуса на ъгъла между тях, използваме формулата:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
За да намерим самия ъгъл, се нуждаем от тази формула:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Пример 5
Имаме права линия, дефинирана в 3D пространство с помощта на уравнението x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Известно е, че се пресича с оста O z. Изчислете пресечния ъгъл и косинуса на този ъгъл.
Решение
Да обозначим ъгъла, който ще се изчисли с буквата α. Нека запишем координатите на вектора на посоката за първата права линия - a → = (1 , - 3 , - 2) . За приложимата ос можем да вземем координатния вектор k → = (0 , 0 , 1) като ориентир. Получихме необходимите данни и можем да ги добавим към желаната формула:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
В резултат на това получихме, че ъгълът, от който се нуждаем, ще бъде равен на a r c cos 1 2 = 45 °.
Отговор: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Нека две прави l и m в равнина в декартова координатна система са дадени от общите уравнения: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
Векторите на нормалите към тези линии: = (A 1 , B 1) - към правата l,
= (A 2 , B 2) към правата m.
Нека j е ъгълът между правите l и m.
Тъй като ъглите с взаимно перпендикулярни страни са или равни, или сумата е p, тогава 
, т.е. cos j = .
И така, доказахме следната теорема.
Теорема.Нека j е ъгълът между две прави линии в равнината и нека тези прави линии са дадени в декартовата координатна система от общите уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогава cos j = 
.
Упражнения.
1) Изведете формула за изчисляване на ъгъла между линиите, ако:
(1) и двата реда са дадени параметрично; (2) и двете линии са дадени от канонични уравнения; (3) едната права се задава параметрично, другата права – чрез общото уравнение; (4) и двете линии са дадени от уравнението на наклона.
2) Нека j е ъгълът между две прави линии в равнината и нека тези прави са дадени на декартовата координатна система от уравненията y = k 1 x + b 1 и y =k 2 x + b 2 .
Тогава tan j = .
3) Разгледайте относителното положение на две линии, дадени от общите уравнения в декартовата координатна система и попълнете таблицата:
Разстоянието от точка до права в равнина.
Нека правата l на равнината в декартовата координатна система е дадена от общото уравнение Ax + By + C = 0. Намерете разстоянието от точката M(x 0 , y 0) до правата l.
Разстоянието от точка M до правата l е дължината на перпендикуляра HM (H н l, HM ^ l).
Векторът и нормалният вектор към правата l са колинеарни, така че | | = | | | | и | | = .
Нека координатите на точка H са (x,y).
Тъй като точката H принадлежи на правата l, тогава Ax + By + C = 0 (*).
Координатите на векторите и: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Ax - By , вижте (*))
Теорема.Нека правата l е дадена в декартовата координатна система от общото уравнение Ax + By + C = 0. Тогава разстоянието от точката M(x 0 , y 0) до тази права се изчислява по формулата: r (M; л) = .
Упражнения.
1) Изведете формула за изчисляване на разстоянието от точка до права, ако: (1) правата е зададена параметрично; (2) линията е дадена от каноничните уравнения; (3) правата линия е дадена от уравнението на наклона.
2) Напишете уравнението на окръжност, допирателна към правата 3x - y = 0 с център Q(-2,4).
3) Напишете уравненията на правите, разделящи ъглите, образувани от пресечната точка на правите 2x + y - 1 = 0 и x + y + 1 = 0 наполовина.
§ 27. Аналитично определение на равнина в пространството
Определение. Нормалният вектор към равнинатаще наречем ненулев вектор, всеки представител на който е перпендикулярен на дадената равнина.
Коментирайте.Ясно е, че ако поне един представител на вектора е перпендикулярен на равнината, то всички останали представители на вектора са перпендикулярни на тази равнина.
Нека в пространството е дадена декартова координатна система.
Нека е дадена равнината a, = (A, B, C) – нормалният вектор към тази равнина, точката M (x 0 , y 0 , z 0) принадлежи на равнината a.
За всяка точка N(x, y, z) от равнината a векторите и са ортогонални, тоест скаларното им произведение е равно на нула: = 0. Нека запишем последното равенство в координати: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.
Нека -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, тогава Ax + By + Cz + D = 0.
Вземете точка K (x, y), така че Ax + By + Cz + D = 0. Тъй като D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, тогава A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.Тъй като координатите на насочения сегмент = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), последното равенство означава, че ^ , и следователно K н a.
И така, доказахме следната теорема:
Теорема.Всяка равнина в пространството в декартовата координатна система може да бъде дефинирана с уравнение от вида Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), където (A, B, C) са координати на нормалния вектор към тази равнина.
Обратното също е вярно.
Теорема.Всяко уравнение от формата Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) в декартовата координатна система определя определена равнина, докато (A, B, C) са координатите на нормален вектор към тази равнина.
Доказателство.
Вземете точка M (x 0 , y 0 , z 0), така че Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 и вектор = (A, B, C) ( ≠ q).
Равнина (и само една) минава през точката M, перпендикулярна на вектора. Според предишната теорема тази равнина е дадена от уравнението Ax + By + Cz + D = 0.
Определение.Уравнение от вида Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) се нарича общото уравнение на равнината.
Пример.
Нека напишем уравнението на равнината, минаваща през точките M (0.2.4), N (1,-1.0) и K (-1.0.5).
1. Намерете координатите на нормалния вектор към равнината (MNK). Тъй като векторното произведение ´ е ортогонално на неколинеарни вектори и , векторът е колинеарен на ´ .
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Така че, като нормален вектор, вземете вектора = (-11, 3, -5).
2. Нека сега използваме резултатите от първата теорема:
уравнението на тази равнина A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, където (A, B, C) са координатите на нормалния вектор, (x 0 , y 0 , z 0) – координати на точка, лежаща в равнината (например точка M).
11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0
11x + 3y - 5z + 14 = 0
Отговор: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Упражнения.
1) Напишете уравнението на равнината, ако
(1) равнината минава през точка M (-2,3,0) успоредна на равнината 3x + y + z = 0;
(2) равнината съдържа оста (Ox) и е перпендикулярна на равнината x + 2y – 5z + 7 = 0.
2) Напишете уравнението за равнина, минаваща през три дадени точки.
§ 28. Аналитична спецификация на полупространство*
Коментар*. Нека се оправи някакъв самолет. Под полупространствоще разберем множеството от точки, лежащи от едната страна на дадена равнина, тоест две точки лежат в едно и също полупространство, ако отсечката, която ги свързва, не пресича дадената равнина. Този самолет се нарича граница на това полупространство. Обединението на дадена равнина и полупространство ще се нарича затворено полупространство.
Нека декартова координатна система е фиксирана в пространството.
Теорема.Нека равнината a е дадена от общото уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Тогава едно от двете полупространства, на които равнината a разделя пространството, се дава от неравенството Ax + By + Cz + D > 0 , а второто полупространство е дадено от неравенството Ax + By + Cz + D< 0.
Доказателство.
Нека начертаем вектора на нормата = (A, B, С) към равнината a от точката M (x 0 , y 0 , z 0), лежаща на тази равнина: = , M н a, MN ^ a. Равнината разделя пространството на две полупространства: b 1 и b 2 . Ясно е, че точката N принадлежи на едно от тези полупространства. Без да губим общността, приемаме, че N н b 1 .
Нека докажем, че полупространството b 1 се определя от неравенството Ax + By + Cz + D > 0.
1) Вземете точка K(x,y,z) в полупространството b 1 . Ъгълът Ð NMK е ъгълът между векторите и е остър, следователно скаларното произведение на тези вектори е положително: > 0. Нека запишем това неравенство в координати: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, т.е. Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.
Тъй като M н b 1 , то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, следователно -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Следователно последното неравенство може да се запише по следния начин: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Вземете точка L(x,y) такава, че Ax + By + Cz + D > 0.
Нека препишем неравенството, като заменим D с (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (тъй като M н b 1, то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.
Вектор с координати (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) е вектор, така че изразът A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) може да се разбира , като скаларно произведение на векторите и . Тъй като скаларното произведение на векторите и е положително, ъгълът между тях е остър и точката L н b 1 .
По подобен начин може да се докаже, че полупространството b 2 е дадено от неравенството Ax + By + Cz + D< 0.
Забележки.
1) Ясно е, че горното доказателство не зависи от избора на точка M в равнината a.
2) Ясно е, че едно и също полупространство може да бъде определено от различни неравенства.
Обратното също е вярно.
Теорема.Всяко линейно неравенство от вида Ax + By + Cz + D > 0 (или Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Доказателство.
Уравнението Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) в пространството дефинира някаква равнина a (виж § ...). Както беше доказано в предишната теорема, едно от двете полупространства, на които равнината разделя пространството, се дава от неравенството Ax Ax + By + Cz + D > 0.
Забележки.
1) Ясно е, че затворено полупространство може да бъде дефинирано от нестрого линейно неравенство и всяко нестрого линейно неравенство в декартовата координатна система дефинира затворено полупространство.
2) Всеки изпъкнал полиедър може да бъде дефиниран като пресичане на затворени полупространства (чиито граници са равнини, съдържащи лицата на полиедъра), тоест, аналитично, чрез система от линейни нестроги неравенства.
Упражнения.
1) Докажете двете теореми, представени за произволна афинна координатна система.
2) Вярно ли е обратното, че всяка система от нестроги линейни неравенства дефинира изпъкнал многоъгълник?
Упражнението.1) Разгледайте относителното положение на две равнини, дадени от общите уравнения в декартовата координатна система, и попълнете таблицата.
Определение.Ако са дадени две линии y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , тогава острият ъгъл между тези линии ще бъде определен като
Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2 . Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2 .
Теорема.Правите линии Ax + Vy + C \u003d 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 = λA, B 1 = λB са пропорционални. Ако и С 1 = λС, тогава правите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.
Уравнение на права, минаваща през дадена точка
Перпендикулярно на тази линия
Определение.Правата, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата y = kx + b, е представена от уравнението:
Разстояние от точка до линия
Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 се определя като
.
Доказателство.Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, спуснат от точка M на дадената права. Тогава разстоянието между точките M и M 1:
(1)
Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:
Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
тогава, решавайки, получаваме:
Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:
Теоремата е доказана.
Пример. Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Пример. Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.
Решение. Откриваме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, следователно линиите са перпендикулярни.
Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от връх C.
Решение. Намираме уравнението на страната AB: 
; 4 х = 6 у - 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Желаното уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогава y = . Защото височината минава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: 
откъдето b = 17. Общо: . 
Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.
Уравнение на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права линия, минаваща през две дадени точки. Ъгъл между две линии. Условие за успоредност и перпендикулярност на две прави. Определяне на пресечната точка на две прави
1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,
г - г 1 = к(х - х 1). (1)
Това уравнение дефинира молив от линии, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.
2. Уравнение на права линия, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и Б(х 2 , г 2) се пише така:
Наклонът на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата
3. Ъгъл между прави линии АИ Бе ъгълът, под който трябва да се завърти първата права линия Аоколо пресечната точка на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия Б. Ако две прави са дадени от уравнения на наклона
г = к 1 х + Б 1 ,
г = к 2 х + Б 2 , (4)
тогава ъгълът между тях се определя по формулата
Трябва да се отбележи, че в числителя на дроба наклонът на първата права линия се изважда от наклона на втората права линия.
Ако уравненията на права линия са дадени в общ вид
А 1 х + Б 1 г + ° С 1 = 0,
А 2 х + Б 2 г + ° С 2 = 0, (6)
ъгълът между тях се определя по формулата
4. Условия за паралелизъм на две прави:
а) Ако правите са дадени от уравнения (4) с наклон, тогава необходимото и достатъчно условие за техния паралелизъм е равенството на техните наклони:
к 1 = к 2 . (8)
б) За случая, когато линиите са дадени от уравнения в общ вид (6), необходимото и достатъчно условие за техния паралелизъм е коефициентите при съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.
5. Условия за перпендикулярност на две прави:
а) В случай, че линиите са дадени от уравнения (4) с наклон, необходимото и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е наклоните им да са реципрочни по големина и противоположни по знак, т.е.
Това условие може да бъде записано и във формата
к 1 к 2 = -1. (11)
б) Ако уравненията на правите са дадени в общ вид (6), то условието за тяхната перпендикулярност (необходима и достатъчна) е да се изпълни равенството
А 1 А 2 + Б 1 Б 2 = 0. (12)
6. Координатите на пресечната точка на две прави се намират чрез решаване на системата от уравнения (6). Прави (6) се пресичат тогава и само ако
1. Напишете уравненията на правите, минаващи през точката M, едната от които е успоредна, а другата перпендикулярна на дадената права l.
Задача 1
Намерете косинуса на ъгъла между линиите $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ и $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$.
Нека в пространството са дадени две линии: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ и $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Избираме произволна точка в пространството и начертаваме две спомагателни линии през нея, успоредни на данните. Ъгълът между дадените линии е всеки от двата съседни ъгъла, образувани от спомагателните линии. Косинусът на един от ъглите между правите може да бъде намерен с помощта на добре познатата формула $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Ако стойността $\cos \phi >0$, тогава се получава остър ъгъл между линиите, ако $\cos \phi
Канонични уравнения на първия ред: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Каноничните уравнения на втората права линия могат да бъдат получени от параметричните:
\ \ \
Така каноничните уравнения на тази линия са: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Ние изчисляваме:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ ляв(-3\вдясно)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\вдясно)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \приблизително 0,9449.\]
Задача 2
Първият ред минава през дадените точки $A\left(2,-4,-1\right)$ и $B\left(-3,5,6\right)$, вторият минава през дадените точки $ C\left (1,-2,8\right)$ и $D\left(6,7,-2\right)$. Намерете разстоянието между тези линии.
Нека някаква права е перпендикулярна на правите $AB$ и $CD$ и ги пресича съответно в точки $M$ и $N$. При тези условия дължината на отсечката $MN$ е равна на разстоянието между правите $AB$ и $CD$.
Изграждаме вектора $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]
Нека отсечката, представляваща разстоянието между правите, преминава през точката $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ на правата $AB$.
Ние изграждаме вектора $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]
Векторите $\overline(AB)$ и $\overline(AM)$ са еднакви, следователно са колинеарни.
Известно е, че ако векторите $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ и $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ са колинеарни, тогава техните координати са пропорционални, тогава е $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, където $m $ е резултатът от разделянето.
От тук получаваме: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Накрая получаваме изрази за координатите на точката $M$:
Ние изграждаме вектора $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ ляво(-2-8\вдясно)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Нека отсечката, представляваща разстоянието между правите, преминава през точката $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ на правата $CD$.
Изграждаме вектора $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]
Векторите $\overline(CD)$ и $\overline(CN)$ са еднакви, следователно са колинеарни. Прилагаме условието за колинеарни вектори:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, където $n $ е резултат от разделянето.
От тук получаваме: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Накрая получаваме изрази за координатите на точка $N$:
Ние изграждаме вектора $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]
Заменяме изразите за координатите на точките $M$ и $N$:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\вдясно)\вдясно)\cdot \bar(k).\]
След завършване на стъпките получаваме:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
Тъй като линиите $AB$ и $MN$ са перпендикулярни, скаларното произведение на съответните вектори е равно на нула, т.е. $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
След завършване на стъпките получаваме първото уравнение за определяне на $m$ и $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Тъй като линиите $CD$ и $MN$ са перпендикулярни, скаларното произведение на съответните вектори е равно на нула, т.е. $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
След завършване на стъпките получаваме второто уравнение за определяне на $m$ и $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
Намерете $m$ и $n$, като решите системата от уравнения $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\) cdot n =77) \end(array)\right.$.
Прилагаме метода на Крамер:
\[\Delta =\left|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(array)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\
Намерете координатите на точките $M$ и $N$:
\ \
накрая:
Накрая пишем вектора $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4,618-2,6701\вдясно)\cdot \bar(k)$ или $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar(j)+1,9479\cdot \bar(k)$.
Разстоянието между редовете $AB$ и $CD$ е дължината на вектора $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ приблизително 3,8565 $ lin. единици