La devise de notre leçon sera les mots du mathématicien russe V.P. Ermakova : "En mathématiques, il ne faut pas se souvenir des formules, mais des processus de la pensée."
Pendant les cours
Formulation du problème
Au tableau, un portrait de Gauss. Un enseignant ou un élève chargé de préparer un message à l'avance dit que lorsque Gauss était à l'école, l'enseignant a demandé aux élèves d'ajouter tous les nombres naturels de 1 à 100. Le petit Gauss a résolu ce problème en une minute.
Question ... Comment Gauss a-t-il obtenu la réponse ?
Trouver des solutions
Les élèves formulent leurs hypothèses, puis le total est additionné : se rendant compte que les sommes sont 1 + 100, 2 + 99, etc. sont égaux, Gauss multiplié par 101 par 50, c'est-à-dire par le nombre de ces sommes. En d'autres termes, il a remarqué un modèle inhérent à la progression arithmétique.
Dérivation de formule de somme m les premiers membres de la progression arithmétique
Écrivez le sujet de la leçon au tableau et dans des cahiers. Les élèves, avec l'enseignant, écrivent la dérivation de la formule :
Laisser une 1 ; une 2 ; une 3 ; une 4 ; ...; une – 2 ; une – 1 ; une- progression arithmétique.
Ancrage primaire
1. Résolvons, à l'aide de la formule (1), le problème de Gauss :
2. À l'aide de la formule (1), résolvez oralement des problèmes (leurs conditions sont écrites au tableau ou en code positif), ( une) - progression arithmétique:
une) une 1 = 2, une 10 = 20. S 10 - ?
b) une 1 = –5, une 7 = 1. S 7 - ? [–14]
v) une 1 = –2, une 6 = –17. S 6 - ? [–57]
G) une 1 = –5, une 11 = 5. S 11 - ?
3. Terminez la tâche.
Donné: ( une) - progression arithmétique;
une 1 = 3, une 60 = 57.
Trouver: S 60 .
Solution... On utilise la formule somme m les premiers membres de la progression arithmétique
Réponse: 1800.
Question supplémentaire. Combien de types de problèmes différents cette formule peut-elle résoudre ?
Réponse... Quatre types de tâches :
Trouver le montant S n;
Trouver le premier terme d'une progression arithmétique une 1 ;
Trouver mème terme de la progression arithmétique une;
Trouver le nombre de membres d'une progression arithmétique.
4. Complétez la tâche : 369 (b).
Trouvez la somme des soixante premiers termes de la progression arithmétique ( une), si une 1 = –10,5, une 60 = 51,5.
Solution. 
Réponse: 1230.
Question supplémentaire... Écrivez la formule mème membre de la progression arithmétique.
Réponse: une = une 1 + ré(m – 1).
5. Calculez la formule des neuf premiers termes de la progression arithmétique ( b n),
si b 1 = –17, ré =
6.
Est-il possible de calculer tout de suite à l'aide d'une formule ?
Non, puisque le neuvième terme est inconnu.
Comment puis-je le trouver?
Selon la formule mème membre de la progression arithmétique.
Solution. b 9 = b 1 + 8ré = –17 + 8∙6 = 31;
Réponse: 63.
Question. Est-il possible de trouver la somme sans calculer le neuvième terme de la progression ?
Formulation du problème
Problème : obtenir la formule de somme m les premiers membres de la progression arithmétique, connaissant son premier terme et la différence ré.
(La dérivation de la formule au tableau par l'élève.)
Résolvons le n° 371 (a) selon la nouvelle formule (2) :
Nous consoliderons oralement les formules (2) ( les conditions des problèmes sont écrites au tableau).
(une
1. une 1 = 3, ré = 4. S 4 - ?
2. une 1 = 2, ré = –5. S 3 - ? [–9]
Demandez aux élèves quelles questions ne sont pas claires.
Travail indépendant
Option 1
Donné: (une) est une progression arithmétique.1... une 1 = –3, une 6 = 21. S 6 - ?
2... une 1 = 6, ré = –3. S 4 - ?
Option 2
Donné: (une) est une progression arithmétique.
1.une 1 = 2, une 8 = –23. S 8 - ? [–84]
2.une 1 = –7, ré = 4. S 5 - ?
Les élèves échangent des cahiers et vérifient les solutions des uns et des autres.
Résumez l'assimilation du matériel sur la base des résultats d'un travail indépendant.
Par exemple, la séquence \ (2 \); \(5\); \(huit\); \(Onze\); \ (14 \) ... est une progression arithmétique, car chaque élément suivant diffère du précédent par trois (peut être obtenu à partir du précédent en ajoutant un triplet):
Dans cette progression, la différence \ (d \) est positive (égale à \ (3 \)), et donc chaque terme suivant est supérieur au précédent. De telles progressions sont appelées en augmentant.
Cependant, \ (d \) peut aussi être négatif. par exemple, en progression arithmétique \ (16 \); \(dix\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... la différence de progression \ (d \) est égale à moins six.
Et dans ce cas, chaque élément suivant sera plus petit que le précédent. Ces progressions sont appelées décroissant.
Notation de progression arithmétique
La progression est indiquée par une petite lettre latine.
Les nombres formant la progression l'appellent membres de(ou éléments).
Ils sont désignés par la même lettre que la progression arithmétique, mais avec un indice numérique égal au numéro de l'élément dans l'ordre.
Par exemple, la progression arithmétique \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) se compose des éléments \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) et ainsi de suite.
Autrement dit, pour la progression \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)
Résolution de problèmes pour la progression arithmétique
En principe, les informations ci-dessus sont déjà suffisantes pour résoudre presque n'importe quel problème pour une progression arithmétique (y compris ceux proposés à l'OGE).
Exemple (OGE).
La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \ (b_1 = 7; d = 4 \). Rechercher \ (b_5 \).
Solution:
Réponse: \ (b_5 = 23 \)
Exemple (OGE).
Les trois premiers termes de la progression arithmétique sont donnés : \ (62; 49; 36 ... \) Trouver la valeur du premier terme négatif de cette progression ..
Solution:
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On nous donne les premiers éléments de la séquence et nous savons qu'il s'agit d'une progression arithmétique. C'est-à-dire que chaque élément diffère du voisin par le même nombre. Découvrez lequel en soustrayant le précédent de l'élément suivant : \ (d = 49-62 = -13 \). |
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Nous pouvons maintenant restaurer notre progression vers le (premier élément négatif) dont nous avons besoin. |
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Prêt. Vous pouvez écrire une réponse. |
Réponse: \(-3\)
Exemple (OGE).
Plusieurs éléments consécutifs de la progression arithmétique sont donnés : \ (… 5 ; x ; 10 ; 12,5 ... \) Trouver la valeur de l'élément indiqué par la lettre \ (x \).
Solution:
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Pour trouver \ (x \), nous devons savoir à quel point l'élément suivant diffère du précédent, en d'autres termes - la différence de progression. Trouvons-le à partir de deux éléments voisins connus : \ (d = 12,5-10 = 2,5 \). |
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Et maintenant, nous trouvons celui que vous recherchez sans aucun problème : \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \). |
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Prêt. Vous pouvez écrire une réponse. |
Réponse: \(7,5\).
Exemple (OGE).
La progression arithmétique est spécifiée par les conditions suivantes : \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Trouver la somme des six premiers termes de cette progression.
Solution:
|
Il faut trouver la somme des six premiers termes de la progression. Mais nous ne connaissons pas leurs significations, on ne nous donne que le premier élément. Par conséquent, nous calculons d'abord les valeurs à tour de rôle, en utilisant les données qui nous sont données : \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
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\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
Le montant que vous recherchez a été trouvé. |
Réponse: \ (S_6 = 9 \).
Exemple (OGE).
En progression arithmétique \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Trouvez la différence entre cette progression.
Solution:
Réponse: \ (d = 7 \).
Formules importantes pour la progression arithmétique
Comme vous pouvez le voir, de nombreux problèmes de progression arithmétique peuvent être résolus simplement en comprenant l'essentiel - qu'une progression arithmétique est une chaîne de nombres, et chaque élément suivant de cette chaîne est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent (la différence de la progression).
Cependant, il y a parfois des situations où il est très gênant de décider "de front". Par exemple, imaginez que dans le tout premier exemple, nous devons trouver non pas le cinquième élément \ (b_5 \), mais le trois cent quatre-vingt-sixième \ (b_ (386) \). Qu'est-ce que c'est, nous \ (385 \) fois ajoutons quatre ? Ou imaginez que dans l'avant-dernier exemple, vous devez trouver la somme des soixante-treize premiers éléments. Vous serez torturé de compter...
Par conséquent, dans de tels cas, ils ne résolvent pas "de front", mais utilisent des formules spéciales dérivées pour la progression arithmétique. Et les principales sont la formule du nième terme de la progression et la formule de la somme \ (n \) des premiers termes.
Formule \ (n \) - ème membre : \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), où \ (a_1 \) est le premier terme de la progression ;
\ (n \) - numéro de l'élément recherché ;
\ (a_n \) est membre de la progression avec le nombre \ (n \).
Cette formule nous permet de retrouver rapidement au moins le trois centième, voire le millionième élément, ne connaissant que le premier et la différence de la progression.
Exemple.
La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Rechercher \ (b_ (246) \).
Solution:
Réponse: \ (b_ (246) = 1850 \).
La formule de la somme des n premiers termes : \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), où
\ (a_n \) - le dernier terme additionné ;
Exemple (OGE).
La progression arithmétique est précisée par les conditions \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Trouvez la somme des premiers \ (25 \) membres de cette progression.
Solution:
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
Pour calculer la somme des vingt-cinq premiers éléments, nous devons connaître la valeur des premier et vingt-cinquième termes. |
|
|
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \) |
Nous trouvons maintenant le vingt-cinquième terme, en substituant vingt-cinq au lieu de \ (n \). |
|
|
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \) |
Eh bien, nous pouvons maintenant calculer le montant requis sans aucun problème. |
|
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
La réponse est prête. |
Réponse: \ (S_ (25) = 1090 \).
Pour la somme \ (n \) des premiers termes, vous pouvez obtenir une autre formule : il vous suffit de \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) au lieu de \ (a_n \) lui substituer la formule \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). On a:
La formule de la somme des n premiers termes : \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), où
\ (S_n \) - la somme requise \ (n \) des premiers éléments ;
\ (a_1 \) - le premier terme sommé ;
\ (d \) - différence de progression;
\ (n \) - le nombre d'éléments dans la somme.
Exemple.
Trouvez la somme des premiers \ (33 \) - ex membres de la progression arithmétique : \ (17 \); \ (15,5 \); \(14\)…
Solution:
Réponse: \ (S_ (33) = - 231 \).
Problèmes de progression arithmétique plus complexes
Vous avez maintenant toutes les informations dont vous avez besoin pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique. Nous concluons le sujet en considérant des problèmes dans lesquels vous devez non seulement appliquer des formules, mais aussi réfléchir un peu (en mathématiques, cela peut être utile ☺)
Exemple (OGE).
Trouver la somme de tous les termes négatifs de la progression : \ (- 19,3 \); \(-dix-neuf\); \ (- 18,7 \) ...
Solution:
|
\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
La tâche est très similaire à la précédente. Nous commençons également à résoudre : nous trouvons d'abord \ (d \). |
|
|
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \) |
Maintenant, nous substituerions \ (d \) dans la formule pour la somme ... et ici une petite nuance apparaît - nous ne savons pas \ (n \). En d'autres termes, nous ne savons pas combien de termes devront être ajoutés. Comment le savoir ? Réfléchissons. Nous arrêterons d'ajouter des éléments lorsque nous arriverons au premier élément positif. C'est-à-dire que vous devez connaître le numéro de cet élément. Comment? Écrivons la formule pour calculer n'importe quel élément de la progression arithmétique : \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) pour notre cas. |
|
|
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) |
||
|
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \) |
Nous avons besoin que \ (a_n \) soit supérieur à zéro. Voyons à quel \ (n \) cela se produira. |
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|
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \) |
||
|
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (| : 0,3 \) |
On divise les deux côtés de l'inégalité par \ (0,3 \). |
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|
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
Déplacez-vous moins un, n'oubliez pas de changer de signe |
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|
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
On calcule... |
|
|
\ (n> 65 333 ... \) |
... et il s'avère que le premier élément positif aura le numéro \ (66 \). En conséquence, le dernier négatif a \ (n = 65 \). Vérifions-le au cas où. |
|
|
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) |
Ainsi, nous devons ajouter les premiers éléments \ (65 \). |
|
|
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\cdot 65\) |
La réponse est prête. |
Réponse: \ (S_ (65) = - 630,5 \).
Exemple (OGE).
La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Trouvez la somme de \ (26 \) e à \ (42 \) élément inclus.
Solution:
|
\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
Dans ce problème, vous devez également trouver la somme des éléments, mais en partant non pas du premier, mais de \ (26 \) - th. Pour un tel cas, nous n'avons pas de formule. Comment décider ? |
|
|
Pour notre progression \ (a_1 = -33 \), et la différence \ (d = 4 \) (après tout, nous ajoutons les quatre à l'élément précédent pour trouver le suivant). Sachant cela, nous trouvons la somme des premiers éléments \ (42 \) - yh. |
|
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\cdot 42 = \) |
Maintenant, la somme des premiers \ (25 \) - ty éléments. |
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\cdot 25 = \) |
Enfin, nous calculons la réponse. |
|
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
Réponse: \ (S = 1683 \).
Il existe plusieurs autres formules pour la progression arithmétique que nous n'avons pas envisagées dans cet article en raison de leur faible utilité pratique. Cependant, vous pouvez facilement les trouver.
Premier niveau
Progression arithmétique. Théorie détaillée avec exemples (2019)
Séquence de nombres
Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, eux). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :
Séquence de nombres
Par exemple, pour notre séquence :
Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d'autres termes, il n'y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le -ième nombre) est toujours un.
Le nombre avec le nombre est appelé le ème membre de la séquence.
Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un index égal au numéro de ce membre :.
Dans notre cas: 
Disons que nous avons une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est la même et égale.
Par exemple: 
etc.
Cette suite de nombres est appelée une progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce au 6ème siècle et a été compris dans un sens plus large, comme une séquence de nombres sans fin. Le nom « arithmétique » a été repris de la théorie des proportions continues, dans laquelle les Grecs anciens étaient engagés.
Il s'agit d'une suite numérique, dont chaque terme est égal au précédent, ajouté au même nombre. Ce nombre est appelé la différence de la progression arithmétique et est noté par .
Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :
une)
b)
c)
ré)
Compris? Comparons nos réponses :
Est un progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.
Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème membre. Existe deux le moyen de le trouver.
1. Méthode
Nous pouvons ajouter à la valeur précédente du numéro de la progression jusqu'à ce que nous arrivions au ème terme de la progression. C'est bien qu'il ne nous reste plus grand chose à résumer - seulement trois valeurs :
Ainsi, le e membre de la progression arithmétique décrite est égal à.
2. Méthode
Et si on avait besoin de trouver la valeur du ième terme de la progression ? La somme nous prendrait plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous ne nous tromperions pas en additionnant des nombres.
Bien sûr, les mathématiciens ont mis au point une manière dont vous n'avez pas besoin d'ajouter la différence de la progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez attentivement le dessin que vous avez dessiné... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain motif, à savoir :
Par exemple, voyons comment s'ajoute la valeur du ième membre de cette progression arithmétique : 
En d'autres termes:
Essayez de trouver indépendamment la valeur d'un membre d'une progression arithmétique donnée de cette manière.
Calculé? Comparez vos notes à la réponse :
Faites attention que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons successivement ajouté les membres de la progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule - nous allons la présenter sous une forme générale et obtenir :
|
Équation de progression arithmétique. |
Les progressions arithmétiques sont croissantes et parfois décroissantes.
Ascendant- des progressions dans lesquelles chaque valeur ultérieure des membres est supérieure à la précédente.
Par exemple:
décroissant- les progressions dans lesquelles chaque valeur ultérieure des membres est inférieure à la précédente.
Par exemple:
La formule dérivée est utilisée pour calculer les termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions cela dans la pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants : Voyons ce que le ième nombre de cette progression arithmétique s'avérera si nous utilisons notre formule pour le calculer :
Depuis:
Ainsi, nous nous sommes assurés que la formule fonctionne à la fois en progression arithmétique décroissante et croissante.
Essayez de trouver par vous-même les e et e termes de cette progression arithmétique.
Comparons les résultats obtenus :
Propriété de progression arithmétique
Compliquons la tâche - nous allons dériver la propriété de la progression arithmétique.
Disons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
Facile, dites-vous et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :
Soit, a, alors :
Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier nombre et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors il n'y a rien de compliqué, mais si on nous donne des nombres dans la condition ? Avouez-le, il y a un risque de se tromper dans les calculs.
Maintenant, demandez-vous s'il est possible de résoudre ce problème en une seule action en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr, oui, et c'est elle que nous allons essayer de retirer maintenant.
Désignons le terme requis de la progression arithmétique car nous connaissons la formule pour la trouver - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, ensuite:
- le membre précédent de la progression est :
- le prochain membre de la progression est :
Résumons les membres précédents et suivants de la progression :
Il s'avère que la somme des membres précédents et suivants de la progression est la valeur doublée du membre de la progression situé entre eux. En d'autres termes, pour trouver la valeur d'un membre de la progression avec des valeurs antérieures et consécutives connues, il faut les additionner et diviser par.
C'est vrai, nous avons le même numéro. Fixons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, car ce n'est pas difficile du tout.
Bien joué! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste qu'une formule à apprendre, qui, selon la légende, aurait été facilement déduite pour lui-même par l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le "roi des mathématiciens" - Karl Gauss ...
Lorsque Karl Gauss avait 9 ans, un enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves des autres classes, a défini la tâche suivante dans la leçon : « Calculer la somme de tous les nombres naturels jusqu'à (selon d'autres sources jusqu'à) inclus. " Imaginez la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) a donné la bonne réponse au problème en une minute, alors que la plupart des camarades de classe du casse-cou, après de longs calculs, ont reçu le mauvais résultat...
Le jeune Karl Gauss a remarqué un certain motif que vous pouvez facilement remarquer.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de -ième membres : nous devons trouver la somme des membres donnés de la progression arithmétique. Bien sûr, on peut additionner manuellement toutes les valeurs, mais et si dans la tâche il fallait trouver la somme de ses membres, comme Gauss le recherchait ?
Dessinons une progression donnée. Regardez attentivement les nombres mis en évidence et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux. 
L'as tu essayé? Qu'avez-vous remarqué? À droite! Leurs sommes sont égales
Maintenant, dites-moi, combien y a-t-il de telles paires dans la progression donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les nombres, c'est-à-dire.
Sur la base du fait que la somme de deux membres d'une progression arithmétique est égale, et des paires égales similaires, nous obtenons que la somme totale est :
.
Ainsi, la formule pour la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera la suivante :
Dans certains problèmes, on ne connaît pas le ième terme, mais on connaît la différence dans la progression. Essayez de substituer dans la formule de la somme, la formule du ème terme.
Qu'est-ce que tu as fait?
Bien joué! Revenons maintenant au problème qui a été posé à Karl Gauss : calculez vous-même quelle est la somme des nombres à partir du -ème, et la somme des nombres à partir du -ème.
Tu l'as eu combien ?
Gauss a constaté que la somme des membres est égale, ainsi que la somme des membres. C'est comme ça que tu as décidé ?
En fait, la formule pour la somme des membres d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophante au 3ème siècle, et pendant tout ce temps, les gens spirituels ont utilisé au maximum les propriétés d'une progression arithmétique.
Par exemple, imaginez l'Egypte ancienne et le plus grand chantier de construction de cette époque - la construction de la pyramide... La figure en montre un côté. 
Où est la progression ici me direz-vous ? Regardez attentivement et trouvez un modèle dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide. 
N'est-ce pas une progression arithmétique ? Calculez combien de blocs sont nécessaires pour construire un mur si des briques de blocs sont placées dans la base. J'espère que vous ne compterez pas en passant votre doigt sur l'écran, vous souvenez-vous de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?
Dans ce cas, la progression ressemble à ceci :.
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de membres de la progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (nous compterons le nombre de blocs de 2 manières).
Méthode 1.
Méthode 2.
Et maintenant, vous pouvez calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. Est-ce que ça s'est réuni? Bravo, vous maîtrisez la somme des termes de la progression arithmétique.
Bien sûr, vous ne pouvez pas construire une pyramide à partir de blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur dans cette condition.
as-tu réussi ?
La bonne réponse est blocs :
Entraînement
Tâches:
- Masha se remet en forme d'ici l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats. Combien de fois Masha va-t-elle s'accroupir en semaines, si lors du premier entraînement elle a fait des squats.
- Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus dans.
- Lors du stockage des bûches, les bûcherons les empilent de manière à ce que chaque couche supérieure contienne une bûche de moins que la précédente. Combien y a-t-il de bûches dans une maçonnerie, si les bûches servent de base à la maçonnerie.
Réponses:
- Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
(semaines = jours).Réponse: Après deux semaines, Masha devrait s'accroupir une fois par jour.
- Premier nombre impair, dernier nombre.
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de nombres impairs dans est la moitié, cependant, nous allons vérifier ce fait en utilisant la formule pour trouver le -ième terme d'une progression arithmétique :Les nombres contiennent des nombres impairs.
Remplacez les données disponibles dans la formule :Réponse: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale à.
- Rappelons-nous le problème de la pyramide. Pour notre cas, a, puisque chaque couche supérieure est réduite d'un journal, alors seulement dans un tas de couches, c'est-à-dire.
Remplaçons les données dans la formule :Réponse: Il y a des rondins dans la maçonnerie.
Résumons
- - une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est la même et égale. Il peut être croissant et décroissant.
- Trouver la formule Le ième membre de la progression arithmétique s'écrit par la formule -, où est le nombre de nombres dans la progression.
- Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où est le nombre de nombres dans la progression.
- La somme des membres d'une progression arithmétique peut être trouvé de deux manières :
, où est le nombre de valeurs.
PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN
Séquence de nombres
Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais vous pouvez toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.
Séquence de nombres est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.
Autrement dit, à chaque nombre peut être associé un certain nombre naturel, et le seul. Et nous n'attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.
Le nombre avec le nombre est appelé le ème membre de la séquence.
Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un index égal au numéro de ce membre :.
C'est très pratique si le e terme de la séquence peut être donné par une formule. Par exemple, la formule
spécifie la séquence :
Et la formule est la séquence suivante :
Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme est ici égal, et la différence). Ou (, différence).
Formule du nième terme
On appelle récurrente une formule dans laquelle pour connaître le ème membre, il faut connaître le précédent ou plusieurs précédents :
Pour trouver, par exemple, le e terme de la progression à l'aide d'une telle formule, il faudra calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez. Puis:
Eh bien, quelle est la formule maintenant?
Dans chaque ligne, nous ajoutons, multiplié par un certain nombre. Pour quelle raison? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :
Beaucoup plus pratique maintenant, non? Nous vérifions:
Décider vous-même:
Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.
Solution:
Le premier terme est égal. Quelle est la différence? Et voici quoi :
(c'est parce qu'on l'appelle la différence, qui est égale à la différence des membres consécutifs de la progression).
La formule est donc :
Alors le centième terme est :
Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?
Selon la légende, le grand mathématicien Karl Gauss, étant un garçon de 9 ans, a calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et du dernier nombre est égale, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du troisième à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y aura-t-il de telles paires ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, c'est-à-dire. Alors,
La formule générale pour la somme des premiers termes de toute progression arithmétique serait :
Exemple:
Trouvez la somme de tous les multiples à deux chiffres.
Solution:
Le premier de ces nombres est. Chaque suivant est obtenu en ajoutant au nombre précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.
La formule du e terme pour cette progression est :
Combien de membres sont dans la progression s'ils doivent tous être à deux chiffres ?
Très facile: .
Le dernier terme de la progression sera égal. Alors la somme :
Réponse: .
Décidez maintenant par vous-même :
- Chaque jour, l'athlète court plus de m que la veille. Combien de kilomètres parcourra-t-il en semaines s'il a couru km m le premier jour ?
- Un cycliste parcourt chaque jour plus de kilomètres que le précédent. Le premier jour, il a parcouru km. Combien de jours lui faut-il pour parcourir le km ? Combien de kilomètres parcourra-t-il le dernier jour du voyage ?
- Le prix d'un réfrigérateur dans un magasin diminue du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix du réfrigérateur a diminué chaque année, si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il a été vendu pour des roubles.
Réponses:
- Le plus important ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Vous devez déterminer la somme des premiers membres de cette progression :
.
Réponse: - Il est donné ici :, il faut trouver.
Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
.
Remplacez les valeurs :La racine ne correspond évidemment pas, donc la réponse est.
Calculons la distance parcourue le dernier jour à l'aide de la formule du e terme :
(km).
Réponse: - Donné:. Trouver: .
Rien de plus simple :
(frotter).
Réponse:
PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. BREF SUR LE PRINCIPAL
Il s'agit d'une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est la même et égale.
La progression arithmétique peut être ascendante () et décroissante ().
Par exemple:
La formule pour trouver le n-ième terme d'une progression arithmétique
écrit par la formule, où est le nombre de nombres dans la progression.
Propriété des membres d'une progression arithmétique
Il vous permet de trouver facilement un membre de la progression si ses membres voisins sont connus - où est le nombre de numéros dans la progression.
La somme des membres d'une progression arithmétique
Il y a deux façons de trouver le montant :
Où est le nombre de valeurs.
Où est le nombre de valeurs.