Une fonction linéaire est une fonction de la forme y = kx + b définie sur l'ensemble de tous les nombres réels. Ici k est la pente (nombre réel), b est l'ordonnée à l'origine (nombre réel), x est la variable indépendante.
Dans un cas particulier, si k = 0, on obtient une fonction constante y = b, dont le graphique est une droite parallèle à l'axe Ox, passant par le point de coordonnées (0 ; b).
Si b = 0, alors on obtient la fonction y = kx, qui est une proportionnalité directe.
La signification géométrique du coefficient b est la longueur du segment que la droite coupe le long de l'axe Oy, en partant de l'origine.
La signification géométrique du coefficient k - l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à la direction positive de l'axe Ox, est considérée dans le sens antihoraire.
Propriétés de la fonction linéaire :
1) Le domaine de définition d'une fonction linéaire est l'axe réel entier ;
2) Si k ≠ 0, alors la plage de la fonction linéaire est l'axe réel entier. Si k = 0, alors la plage de la fonction linéaire est constituée du nombre b ;
3) La régularité et l'impair d'une fonction linéaire dépendent des valeurs des coefficients k et b.
a) b ≠ 0, k = 0, donc y = b est pair ;
b) b = 0, k ≠ 0, donc y = kx est impair ;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, donc y = kx + b est une fonction générale ;
d) b = 0, k = 0, donc y = 0 est à la fois une fonction paire et impaire.
4) La fonction linéaire n'a pas la propriété de périodicité ;
Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, donc (-b / k; 0) est le point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Oy : y = 0k + b = b, donc (0 ; b) est le point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
Remarque : Si b = 0 et k = 0, alors la fonction y = 0 s'annule pour toute valeur de x. Si b ≠ 0 et k = 0, alors la fonction y = b ne s'annule pour aucune valeur de la variable x.
6) Les intervalles de constance de signe dépendent du coefficient k.
a) k > 0 ; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b - positif pour x de (-b/k; +∞),
y = kx + b - est négatif pour x de (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - positif pour x de (-∞; -b/k),
y = kx + b - est négatif pour x de (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0 ; y = kx + b est positif dans tout le domaine,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Les intervalles de monotonie d'une fonction linéaire dépendent du coefficient k.
k > 0, donc y = kx + b augmente sur tout le domaine,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Le graphique d'une fonction linéaire est une droite. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points. La position de la droite sur le plan de coordonnées dépend des valeurs des coefficients k et b. Ci-dessous un tableau qui illustre clairement cette figure 1. (Fig.1)
Exemple Considérons la fonction linéaire suivante : y = 5x - 3.
3) Fonction générale ;
4) Non périodique ;
5) Points d'intersection avec axes de coordonnées :
Ox: 5x - 3 \u003d 0, x \u003d 3/5, donc (3/5; 0) est le point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Oy : y = -3, donc (0 ; -3) - point d'intersection avec l'axe y ;
6) y = 5x - 3 est positif pour x de (3/5 ; +∞),
y = 5x - 3 - négatif pour x de (-∞ ; 3/5) ;
7) y = 5x - 3 augmentations sur tout le domaine de définition ;
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5. Monôme est appelé le produit de facteurs numériques et alphabétiques. Coefficient est appelé le facteur numérique du monôme.
6. Pour écrire le monôme sous forme standard, il vous faut : 1) Multipliez les facteurs numériques et placez leur produit en premier lieu ; 2) Multipliez les puissances avec les mêmes bases et placez le produit obtenu après le facteur numérique.
7. Un polynôme est appelé somme algébrique de plusieurs monômes.
8. Pour multiplier un monôme par un polynôme, il faut multiplier le monôme par chaque terme du polynôme et additionner les produits obtenus.
9. Pour multiplier un polynôme par un polynôme, il faut multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre polynôme et additionner les produits obtenus.
10. Il est possible de tracer une ligne droite passant par deux points quelconques, et un seul.
11. Deux lignes ont soit un seul point commun, soit aucun point commun.
12. Deux figures géométriques sont dites égales si elles peuvent être superposées.
13. Le point du segment le divisant en deux, c'est-à-dire en deux segments égaux, est appelé le milieu du segment.
14. Un rayon partant du sommet d'un angle et le divisant en deux angles égaux est appelé bissectrice.
15. L'angle développé est de 180°.
16. Un angle est dit droit s'il mesure 90°.
17. Un angle est dit aigu s'il est inférieur à 90°, c'est-à-dire inférieur à un angle droit.
18. Un angle est dit obtus s'il est supérieur à 90° mais inférieur à 180°, c'est-à-dire supérieur à un angle droit mais inférieur à un angle droit.
19. Deux angles qui ont un côté en commun et les deux autres sont des prolongements l'un de l'autre sont dits adjacents.
20. La somme des angles adjacents est de 180°.
21. Deux angles sont dits verticaux si les côtés d'un angle sont le prolongement des côtés de l'autre.
22. Les angles verticaux sont égaux.
23. Deux droites qui se croisent sont dites perpendiculaires (ou mutuellement
perpendiculaire) s'ils forment quatre angles droits.
24. Deux droites perpendiculaires à une troisième ne se coupent pas.
25. Factoriser un polynôme signifie le représenter comme un produit de plusieurs monômes et polynômes.
26. Méthodes de factorisation d'un polynôme :
a) mettre entre parenthèses le facteur commun,
b) l'utilisation de formules de multiplication abrégées,
c) groupement.
27. Pour factoriser un polynôme en retirant le facteur commun entre parenthèses, il faut:
a) trouver ce facteur commun,
b) le sortir des parenthèses,
c) diviser chaque terme du polynôme par ce facteur et additionner les résultats obtenus.
Signes d'égalité des triangles
1) Si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont respectivement égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.
2) Si un côté et deux angles qui lui sont adjacents d'un triangle sont respectivement égaux à un côté et deux angles qui lui sont adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.
3) Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congruents.
Scolarité minimale
1. Factorisation par formules de multiplication abrégées:
une 2 - b 2 \u003d (une - b) (une + b)
une 3 - b 3 \u003d (une - b) (une 2 + ab + b 2)
une 3 + b 3 \u003d (une + b) (une 2 - ab + b 2)
2. Formules de multiplication abrégées:
(un + b) 2 \u003d un 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
(a + b) 3 \u003d une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
3. Le segment de droite qui relie le sommet d'un triangle au milieu du côté opposé s'appelle médian Triangle.
4. La perpendiculaire tirée du sommet d'un triangle à la droite contenant le côté opposé s'appelle haut Triangle.
5. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
6. Dans un triangle isocèle, la bissectrice tracée à la base est la médiane et la hauteur.
7. Cercle une figure géométrique est appelée, constituée de tous les points du plan situés à une distance donnée d'un point donné.
8. Un segment de droite joignant le centre à un point sur le cercle est appelé rayon cercles .
9. Un segment de droite qui relie deux points d'un cercle s'appelle accord.
La corde passant par le centre du cercle s'appelle diamètre
10. Proportionnalité directe y = kx , où X est une variable indépendante, pour est un nombre non nul ( pour est le coefficient de proportionnalité).
11. Graphique de proportionnalité directe est une droite passant par l'origine.
12. Fonction linéaire est une fonction qui peut être donnée par la formule y = kx + b , où X est une variable indépendante, pour Et b - quelques chiffres.
13. Graphique d'une fonction linéaire- est une droite.
14 X – argument de la fonction (variable indépendante)
à – valeur de la fonction (variable dépendante)
15. À b=0 la fonction prend la forme y=kx, son graphe passe par l'origine.
À k=0 la fonction prend la forme y=b, son graphique est une droite horizontale passant par le point ( 0;b).
Correspondance entre les graphiques d'une fonction linéaire et les signes des coefficients k et b
1. Deux droites dans un plan sont appelées parallèle, s'ils ne se croisent pas.
Une fonction linéaire est une fonction de la forme y=kx+b, où x est une variable indépendante, k et b sont des nombres quelconques.
Le graphique d'une fonction linéaire est une droite.
1. Pour tracer un graphique de fonction, nous avons besoin des coordonnées de deux points appartenant au graphe de la fonction. Pour les trouver, vous devez prendre deux valeurs x, les substituer dans l'équation de la fonction et calculer les valeurs y correspondantes à partir d'elles.
Par exemple, pour tracer la fonction y= x+2, il convient de prendre x=0 et x=3, alors les ordonnées de ces points seront égales à y=2 et y=3. On obtient les points A(0;2) et B(3;3). Relions-les et obtenons le graphe de la fonction y= x+2 :
2.
Dans la formule y=kx+b, le nombre k est appelé facteur de proportionnalité :
si k>0, alors la fonction y=kx+b augmente
si k
Le coefficient b montre le décalage du graphique de la fonction le long de l'axe OY :
si b>0, alors le graphe de la fonction y=kx+b est obtenu à partir du graphe de la fonction y=kx en décalant b unités vers le haut le long de l'axe OY
si b
La figure ci-dessous montre les graphes des fonctions y=2x+3 ; y= ½x+3 ; y=x+3
Notez que dans toutes ces fonctions le coefficient k Au dessus de zéro, et les fonctions sont en augmentant. De plus, plus la valeur de k est grande, plus l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à la direction positive de l'axe OX est grand.
Dans toutes les fonctions b=3 - et nous voyons que tous les graphiques coupent l'axe OY au point (0;3)
Considérons maintenant les graphiques des fonctions y=-2x+3 ; y=- ½ x+3 ; y=-x+3
Cette fois, dans toutes les fonctions, le coefficient k moins que zéro et fonctionnalités diminuer. Le coefficient b=3, et les graphiques, comme dans le cas précédent, croisent l'axe OY au point (0;3)
Considérons les graphiques des fonctions y=2x+3 ; y=2x; y=2x-3
Maintenant, dans toutes les équations de fonctions, les coefficients k sont égaux à 2. Et nous avons trois droites parallèles.
Mais les coefficients b sont différents, et ces graphiques coupent l'axe OY en différents points :
Le graphe de la fonction y=2x+3 (b=3) coupe l'axe OY au point (0;3)
Le graphique de la fonction y=2x (b=0) coupe l'axe OY au point (0;0) - l'origine.
Le graphique de la fonction y=2x-3 (b=-3) coupe l'axe OY au point (0;-3)
Donc, si nous connaissons les signes des coefficients k et b, nous pouvons immédiatement imaginer à quoi ressemble le graphique de la fonction y=kx+b.
Si k 0
Si k>0 et b>0, alors le graphique de la fonction y=kx+b ressemble à :
Si k>0 et b, alors le graphique de la fonction y=kx+b ressemble à :
Si k, alors le graphe de la fonction y=kx+b ressemble à :
Si k=0, alors la fonction y=kx+b se transforme en une fonction y=b et son graphique ressemble à :
Les ordonnées de tous les points du graphique de la fonction y=b sont égales à b Si b=0, alors le graphe de la fonction y=kx (proportionnalité directe) passe par l'origine :
3. Séparément, nous notons le graphique de l'équation x=a. Le graphique de cette équation est une droite parallèle à l'axe OY dont tous les points ont pour abscisse x = a.
Par exemple, le graphique de l'équation x=3 ressemble à ceci :
Attention! L'équation x=a n'est pas une fonction, puisqu'une valeur de l'argument correspond à différentes valeurs de la fonction, ce qui ne correspond pas à la définition de la fonction.
4. Condition de parallélisme de deux droites :
Le graphique de la fonction y=k 1 x+b 1 est parallèle au graphique de la fonction y=k 2 x+b 2 si k 1 =k 2
5. La condition pour que deux droites soient perpendiculaires :
Le graphique de la fonction y=k 1 x+b 1 est perpendiculaire au graphique de la fonction y=k 2 x+b 2 si k 1 *k 2 =-1 ou k 1 =-1/k 2
6. Points d'intersection du graphique de la fonction y=kx+b avec les axes de coordonnées.
avec axe OY. L'abscisse de tout point appartenant à l'axe OY est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OY, vous devez remplacer zéro au lieu de x dans l'équation de la fonction. On obtient y=b. C'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe OY a pour coordonnées (0;b).
Avec l'axe des abscisses : L'ordonnée de tout point appartenant à l'axe des abscisses est zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OX, vous devez substituer zéro au lieu de y dans l'équation de la fonction. On obtient 0=kx+b. Donc x=-b/k. Autrement dit, le point d'intersection avec l'axe OX a pour coordonnées (-b / k; 0):
Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme y = kx + b, défini sur l'ensemble de tous les nombres réels. Ici k– coefficient angulaire (nombre réel), b – membre gratuit (numéro réel), X est une variable indépendante.
Dans un cas particulier, si k = 0, on obtient une fonction constante y=b, dont le graphique est une droite parallèle à l'axe Ox, passant par le point de coordonnées (0;b).
Si b = 0, alors on obtient la fonction y=kx, lequel est en proportion directe.
b – longueur des segments, qui coupe la ligne le long de l'axe Oy, en partant de l'origine.
La signification géométrique du coefficient k – angle d'inclinaison droit à la direction positive de l'axe Ox est considéré comme étant dans le sens antihoraire.
Propriétés de la fonction linéaire :
1) Le domaine d'une fonction linéaire est l'axe réel entier ;
2) Si k ≠ 0, alors la plage de la fonction linéaire est l'axe réel entier. Si k = 0, alors la plage de la fonction linéaire est constituée du nombre b;
3) La régularité et l'impair d'une fonction linéaire dépendent des valeurs des coefficients k Et b.
une) b ≠ 0, k = 0, En conséquence, y = b est pair ;
b) b = 0, k ≠ 0, En conséquence y = kx est impair ;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, En conséquence y = kx + b est une fonction générale ;
ré) b = 0, k = 0, En conséquence y = 0 est à la fois une fonction paire et impaire.
4) Une fonction linéaire n'a pas la propriété de périodicité ;
5) Points d'intersection avec axes de coordonnées :
Bœuf: y = kx + b = 0, x = -b/k, En conséquence (-b/k; 0)- point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Oy : y=0k+b=b, En conséquence (0;b) est le point d'intersection avec l'axe y.
Remarque.Si b = 0 Et k = 0, alors la fonction y=0 disparaît pour toute valeur de la variable X. Si b ≠ 0 Et k = 0, alors la fonction y=b ne disparaît pour aucune valeur de la variable X.
6) Les intervalles de constance de signe dépendent du coefficient k.
une) k > 0 ; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b- positif à Xà partir de (-b/k; +∞),
y = kx + b- négatif à Xà partir de (-∞ ; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b- positif à Xà partir de (-∞ ; -b/k),
y = kx + b- négatif à Xà partir de (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0 ; y = kx + b positif dans tout le domaine de définition,
k = 0, b< 0; y = kx + b est négatif dans tout le domaine de définition.
7) Les intervalles de monotonie d'une fonction linéaire dépendent du coefficient k.
k > 0, En conséquence y = kx + b augmente sur tout le domaine de définition,
k< 0 , En conséquence y = kx + b diminue sur tout le domaine de définition.
8) Le graphique d'une fonction linéaire est une droite. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points. La position de la droite sur le plan de coordonnées dépend des valeurs des coefficients k Et b. Ci-dessous un tableau qui illustre clairement cela.
Les tâches sur les propriétés et les graphiques d'une fonction quadratique, comme le montre la pratique, posent de sérieuses difficultés. C'est plutôt étrange, car la fonction quadratique est passée en 8e année, puis tout le premier quart de la 9e année est "extorqué" par les propriétés de la parabole et ses graphiques sont construits pour divers paramètres.
Cela est dû au fait qu'en forçant les élèves à construire des paraboles, ils ne consacrent pratiquement pas de temps à "lire" les graphiques, c'est-à-dire qu'ils ne s'exercent pas à comprendre les informations reçues de l'image. Apparemment, on suppose qu'après avoir construit deux douzaines de graphiques, un étudiant intelligent découvrira et formulera lui-même la relation entre les coefficients de la formule et l'apparence du graphique. En pratique, cela ne fonctionne pas. Pour une telle généralisation, une expérience sérieuse en mini-recherche mathématique est requise, ce que, bien sûr, la plupart des élèves de neuvième année n'ont pas. Pendant ce temps, dans le GIA, ils proposent de déterminer les signes des coefficients précisément en fonction du calendrier.
Nous n'exigerons pas l'impossible des écoliers et proposerons simplement l'un des algorithmes permettant de résoudre de tels problèmes.
Ainsi, une fonction de la forme y=ax2+bx+c est dite quadratique, son graphe est une parabole. Comme son nom l'indique, le composant principal est hache 2. C'est à dire mais ne doit pas être égal à zéro, les coefficients restants ( b Et à partir de) peut être égal à zéro.
Voyons comment les signes de ses coefficients affectent l'apparence de la parabole.
La dépendance la plus simple pour le coefficient mais. La plupart des écoliers répondent avec assurance : « si mais> 0, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si mais < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой mais > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
Dans ce cas mais = 0,5
Et maintenant pour mais < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Dans ce cas mais = - 0,5
Influence du coefficient à partir de aussi assez facile à suivre. Imaginons que nous voulions trouver la valeur d'une fonction en un point X= 0. Remplacez zéro dans la formule :
y = une 0 2 + b 0 + c = c. Il s'avère que y = c. C'est à dire à partir de est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées. En règle générale, ce point est facile à trouver sur le graphique. Et déterminer s'il se situe au-dessus de zéro ou en dessous. C'est à dire à partir de> 0 ou à partir de < 0.
à partir de > 0:
y=x2+4x+3
à partir de < 0
y = x 2 + 4x - 3
En conséquence, si à partir de= 0, alors la parabole passera nécessairement par l'origine :
y=x2+4x
Plus difficile avec le paramètre b. Le point par lequel nous le trouverons dépend non seulement de b mais aussi de mais. C'est le sommet de la parabole. Son abscisse (coordonnée d'axe X) se trouve par la formule x dans \u003d - b / (2a). De cette façon, b = - 2ax dans. C'est-à-dire que nous agissons comme suit: sur le graphique, nous trouvons le sommet de la parabole, déterminons le signe de son abscisse, c'est-à-dire que nous regardons à droite de zéro ( x dans> 0) ou vers la gauche ( x dans < 0) она лежит.
Cependant, ce n'est pas tout. Il faut aussi faire attention au signe du coefficient mais. C'est-à-dire pour voir où les branches de la parabole sont dirigées. Et seulement après cela, selon la formule b = - 2ax dans déterminer le signe b.
Prenons un exemple :
Branches pointant vers le haut mais> 0, la parabole coupe l'axe à en dessous de zéro signifie à partir de < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x dans> 0. Donc b = - 2ax dans = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: mais > 0, b < 0, à partir de < 0.