Nous commençons à considérer le processus réel de calcul de l'intégrale double et nous nous familiarisons avec sa signification géométrique.

L'intégrale double est numériquement égale à l'aire d'une figure plate (région d'intégration). C'est la forme la plus simple de l'intégrale double, lorsque la fonction de deux variables est égale à un :.

Considérons d'abord le problème en termes généraux. Maintenant, vous serez surpris de voir à quel point c'est vraiment simple ! Calculons l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes. Pour plus de précision, nous supposons que sur le segment. L'aire de cette figure est numériquement égale à :

Dessinons la zone dans le dessin :

Choisissons la première façon de parcourir la zone :

De cette façon:

Et tout de suite une astuce technique importante : les intégrales itérées peuvent être considérées séparément... D'abord l'intégrale intérieure, puis l'intégrale extérieure. Cette méthode est fortement recommandée pour les débutants dans le domaine des théières.

1) On calcule l'intégrale interne, tandis que l'intégration s'effectue sur la variable "jeu":

L'intégrale indéfinie est la plus simple ici, puis la formule banale de Newton-Leibniz est utilisée, avec la seule différence que les limites de l'intégration ne sont pas des nombres, mais des fonctions... Tout d'abord, la limite supérieure a été substituée dans le "jeu" (fonction primitive), puis - la limite inférieure

2) Le résultat obtenu au premier alinéa doit être substitué dans l'intégrale externe :

Un enregistrement plus compact de l'ensemble de la solution ressemble à ceci :

La formule résultante C'est exactement la formule de travail pour calculer l'aire d'une figure plate en utilisant l'intégrale définie "ordinaire" ! Regarder la leçon Calcul de l'aire à l'aide d'une intégrale définie, la voilà à chaque tournant !

C'est-à-dire, problème de calcul d'aire à l'aide d'une double intégrale pas très différent du problème de trouver l'aire en utilisant une intégrale définie ! En fait, c'est la même chose !

Par conséquent, aucune difficulté ne devrait survenir! Je ne considérerai pas beaucoup d'exemples, car vous avez en fait rencontré à plusieurs reprises cette tâche.

Exemple 9

Solution: Dessinons la zone dans le dessin :

Choisissons l'ordre suivant de parcourir la région :

Dans la suite, je ne m'attarderai pas sur la façon d'effectuer un parcours de zone, puisque des explications très détaillées ont été données dans le premier paragraphe.

De cette façon:

Comme je l'ai déjà noté, il est préférable pour les débutants de calculer séparément les intégrales itérées, et je suivrai la même méthode :

1) Tout d'abord, en utilisant la formule de Newton-Leibniz, nous traitons l'intégrale interne :

2) Le résultat obtenu à la première étape est substitué dans l'intégrale externe :

Le point 2 consiste en fait à trouver l'aire d'une figure plate à l'aide d'une intégrale définie.

Réponse:

Voici une tâche tellement stupide et naïve.

Un exemple intéressant de solution indépendante :

Exemple 10

A l'aide de l'intégrale double, calculez l'aire d'une figure plate délimitée par des droites,

Un échantillon approximatif de la conception finale de la solution à la fin de la leçon.

Dans les exemples 9-10, il est beaucoup plus avantageux d'utiliser le premier chemin pour parcourir la zone, les lecteurs curieux, d'ailleurs, peuvent changer l'ordre du parcours et calculer les zones de la deuxième manière. Si vous ne vous trompez pas, alors, naturellement, les mêmes valeurs des zones se révéleront.

Mais dans un certain nombre de cas, la deuxième méthode de contournement de la zone est plus efficace, et en conclusion du cours d'un jeune nerd, considérons quelques exemples supplémentaires sur ce sujet :

Exemple 11

A l'aide de l'intégrale double, calculez l'aire d'une figure plate délimitée par des droites,

Solution: nous attendons avec impatience deux paraboles avec un caprice, qui se trouvent d'un côté. Vous n'avez pas besoin de sourire, des choses similaires dans des intégrales multiples sont courantes.

Quelle est la façon la plus simple de faire un dessin ?

On représente la parabole sous la forme de deux fonctions :
- branche supérieure et - branche inférieure.

De même, nous représentons la parabole sous la forme d'un supérieur et d'un inférieur branches.

Ensuite, les règles de cartographie point par point, à la suite desquelles un chiffre aussi étrange est obtenu:

On calcule l'aire de la figure à l'aide d'une intégrale double par la formule :

Et si on choisissait le premier chemin pour traverser la zone ? Tout d'abord, cette zone devra être divisée en deux parties. Et dans un deuxième temps, nous observerons cette image bien triste : ... Les intégrales, bien sûr, ne sont pas d'un niveau super compliqué, mais... il y a un vieil adage mathématique : ceux qui sont amicaux avec les racines n'ont pas besoin d'un test.

Par conséquent, à partir d'un malentendu donné dans la condition, nous exprimons les fonctions inverses :

Les fonctions inverses de cet exemple ont l'avantage de définir la parabole entière à la fois sans feuilles, glands, branches et racines.

Selon la deuxième méthode, la traversée de la zone sera la suivante :

De cette façon:

Sentez la différence, comme on dit.

1) Traiter l'intégrale interne :

Substituer le résultat dans l'intégrale externe :

L'intégration par rapport à la variable "igrek" ne devrait pas être gênante, s'il y avait la lettre "siu", ce serait bien de l'intégrer par dessus. Bien que qui a lu le deuxième paragraphe de la leçon Comment calculer le volume d'un corps de révolution, il n'éprouve plus la moindre maladresse avec l'intégration selon le "jeu".

Faites également attention à la première étape : l'intégrande est pair et le segment d'intégration est symétrique par rapport à zéro. Par conséquent, le segment peut être divisé par deux et le résultat peut être doublé. Cette technique est commentée en détail dans la leçon. Méthodes efficaces pour calculer une intégrale définie.

Que rajouter…. Tout!

Réponse:

Pour tester votre technique d'intégration, vous pouvez essayer de calculer ... La réponse devrait être exactement la même.

Exemple 12

À l'aide de l'intégrale double, calculez l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Il est intéressant de noter que si vous essayez d'utiliser la première méthode pour parcourir la zone, alors la figure devra être divisée non pas en deux, mais en trois parties ! Et, par conséquent, vous obtenez trois paires d'intégrales itérées. Des fois ça arrive.

La classe de maître est terminée, et il est temps de passer au niveau de grand maître - Comment calcule-t-on l'intégrale double ? Exemples de solutions... Je vais essayer de ne pas être si maniaque dans le deuxième article =)

Te souhaite du succès!

Solutions et réponses :

Exemple 2 :Solution: Dessinons la zone dans le dessin :

Choisissons l'ordre suivant de parcourir la région :

De cette façon:
Passons aux fonctions inverses :

De cette façon:
Réponse:

Exemple 4 :Solution: Passons aux fonctions directes :

Exécutons le dessin :

Modifions l'ordre de traversée de la zone :

Réponse:

une)

Solution.

Le premier et le plus important point de la solution est la construction du dessin.

Exécutons le dessin :

L'équation y = 0 définit l'axe des x ;

- x = -2 et x = 1 - des droites parallèles aux axes OU ;

- y = x 2 +2 - une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, avec un sommet au point (0 ; 2).

Commenter. Pour construire une parabole, il suffit de trouver les points de son intersection avec les axes de coordonnées, c'est-à-dire en mettant x = 0 trouver l'intersection des axes OU et en résolvant l'équation quadratique correspondante, trouvez l'intersection avec l'axe Oh .

Le sommet de la parabole peut être trouvé par les formules :

Vous pouvez tracer des lignes et point par point.

Sur le segment [-2; 1] le graphe de la fonction y = x 2 +2 situé au dessus de l'axe Bœuf , Voilà pourquoi:

Réponse: S = 9 unités carrées

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le plan et d'estimer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela ressemble à la vérité. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors, de toute évidence, une erreur a été commise quelque part - le chiffre considéré ne correspond clairement pas à 20 cellules, tout au plus dix. Si la réponse est négative, la tâche a également été mal résolue.

Que faire si le trapèze incurvé est situé sous l'axe Oh?

b) Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes y = -e x , x = 1 et des axes de coordonnées.

Solution.

Complétons le dessin.

Si le trapèze courbe complètement situé sous l'essieu Oh , alors son aire peut être trouvée par la formule :

Réponse: S = (e-1) unités carrées " 1,72 unités carrées.

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi un moins apparaît dans la formule qui vient d'être considérée.

En pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur.

Avec) Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes y = 2x-x 2, y = -x.

Solution.

Vous devez d'abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes sur une zone, nous sommes plus intéressés par les points d'intersection des lignes. Trouver les points d'intersection de la parabole et droit Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique.

On résout l'équation :

Par conséquent, la limite inférieure d'intégration a = 0 , la limite supérieure d'intégration b = 3 .

Nous construisons les lignes données : 1. Parabole - sommet au point (1; 1); intersection des axes Oh - points (0; 0) et (0; 2). 2. Ligne droite - bissectrice des 2e et 4e angles de coordonnées. Maintenant Attention ! Si sur le segment [ un B] une fonction continue f (x) est supérieur ou égal à une fonction continue g (x), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée par la formule : .

Et peu importe où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais il est important de savoir quel graphique est le PLUS HAUT (par rapport à un autre graphique) et lequel est AU-DESSOUS. Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc il faut soustraire de

Vous pouvez tracer les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration sont clarifiées comme si « par elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique pour trouver les limites doit encore être appliquée parfois si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou la construction précise n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles).

La figure recherchée est délimitée par une parabole en haut et une droite en bas.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Réponse: S = 4,5 unités carrées

Cet article va vous montrer comment trouver l'aire d'une forme délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, on rencontre la formulation d'un tel problème au lycée, alors que l'étude des intégrales définies vient de s'achever et qu'il est temps de commencer une interprétation géométrique des connaissances acquises dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales :

Capacité à créer des dessins avec compétence ;
Capacité à résoudre une intégrale définie en utilisant la formule bien connue de Newton-Leibniz;
La capacité de « voir » une solution plus avantageuse, c'est-à-dire pour comprendre comment dans tel ou tel cas il sera plus commode de réaliser l'intégration ? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où sans calculs corrects ?) Cela inclut de comprendre comment résoudre cet autre type d'intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur un morceau de papier dans une cage, à grande échelle. On signe le nom de cette fonction au crayon au dessus de chaque graphique. La signature des graphes est faite uniquement pour la commodité des calculs ultérieurs. Après avoir reçu le graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement visible quelles limites d'intégration seront utilisées. Ainsi, nous résolvons le problème graphiquement. Or, il arrive que les valeurs des limites soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à l'étape deux.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas explicitement définies, alors nous trouvons les points d'intersection des graphiques entre eux, et voyons si notre solution graphique coïncide avec la solution analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la façon dont les graphiques de fonction sont situés, il existe différentes approches pour trouver l'aire d'une figure. Considérons différents exemples de recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze incurvé. Qu'est-ce qu'un trapèze courbe ? C'est une figure plate délimitée par l'axe des x. (y = 0), droit x = a, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de une avant de b... De plus, ce chiffre est non négatif et ne se situe pas en dessous de l'axe des abscisses. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie calculée par la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Quelles sont les lignes délimitant la figure ? Nous avons une parabole y = x2 - 3x + 3 qui se situe au dessus de l'axe OH, il est non négatif, car tous les points de cette parabole sont positifs. De plus, les lignes droites x = 1 et x = 3 qui sont parallèles à l'axe OU, sont les lignes de délimitation de la forme à gauche et à droite. Bien y = 0, c'est l'axe des abscisses, qui limite la figure par le bas. La forme résultante est ombrée comme on le voit sur l'image de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze curviligne, que nous résolvons ensuite en utilisant la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, nous avons analysé le cas où le trapèze curviligne est situé au dessus de l'axe des abscisses. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se trouve sous l'axe des x. Un moins est ajouté à la formule standard de Newton-Leibniz. Nous verrons comment résoudre un problème similaire plus loin.

Exemple 2 ... Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Dans cet exemple, nous avons une parabole y = x2 + 6x + 2 qui prend sa source sous l'axe OH, droit x = -4, x = -1, y = 0... Ici y = 0 délimite la forme désirée d'en haut. Direct x = -4 et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles une intégrale définie sera calculée. Le principe de résolution du problème consistant à trouver l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que la fonction donnée n'est pas positive et est toujours continue sur l'intervalle [-4; -1] ... Qu'est-ce qui ne veut pas dire positif ? Comme vous pouvez le voir sur la figure, la figure, qui se trouve dans le x spécifié, a exclusivement des coordonnées "négatives", que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article est incomplet.

Passons maintenant à l'examen des applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons une tâche typique et la plus courante. calculer l'aire d'une figure plate en utilisant une intégrale définie... Enfin, tous ceux qui cherchent un sens dans les mathématiques supérieures - qu'ils le trouvent. On ne sait jamais. Il va falloir faire vivre l'espace périurbain avec des fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins au niveau moyen. Ainsi, les nuls doivent d'abord se familiariser avec la leçon Pas.

2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer une intégrale définie. Vous pouvez nouer des amitiés chaleureuses avec des intégrales définies sur la page Intégrale définie. Exemples de solutions. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours de construire un dessin, par conséquent, vos connaissances et vos compétences en matière de dessins de construction seront également un problème urgent. Au minimum, vous devez être capable de construire une ligne droite, une parabole et une hyperbole.

Commençons par un trapèze courbe. Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par le graphique d'une fonction oui = F(X), l'axe BŒUF et des lignes X = une; X = b.

L'aire d'un trapèze courbe est numériquement égale à l'intégrale définie

Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions nous avons dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est l'AIRE... C'est-à-dire, une intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure... Considérons l'intégrale définie

Intégrale

définit une courbe sur le plan (elle peut être dessinée si désiré), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

, , , .

Il s'agit d'une formulation typique de la mission. Le point le plus important de la solution est la construction du dessin... De plus, le dessin doit être construit À DROITE.

Lors de la création d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : première il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et seulement Puis- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. La technique de construction point par point peut être trouvée dans le document de référence. Graphes et propriétés des fonctions élémentaires... Vous y trouverez également du matériel très utile en rapport avec notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.

Complétons le dessin (notons que l'équation oui= 0 spécifie l'axe BŒUF):

Nous ne ferons pas éclore le trapèze curviligne, ici il est évident de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment [-2; 1] fonction graphique oui = X 2 + 2 situé au dessus de l'axeBŒUF, Voilà pourquoi:

Réponse: .

Qui a du mal à calculer une intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz

se référer à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions... Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le plan et d'estimer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela ressemble à la vérité. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors, de toute évidence, une erreur a été commise quelque part - le chiffre considéré ne correspond clairement pas à 20 cellules, tout au plus dix. Si la réponse est négative, la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes xy = 4, X = 2, X= 4 et axe BŒUF.

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.

Que faire si le trapèze incurvé est situé sous l'axeBŒUF?

Exemple 3

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes oui = ex, X= 1 et axes de coordonnées.

Solution : Exécutons le dessin :

Si le trapèze courbe complètement situé sous l'essieu BŒUF , alors son aire peut être trouvée par la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

En pratique, le plus souvent la figure se situe à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, on passe à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes oui = 2X – X 2 , oui = -X.

Solution : vous devez d'abord terminer le dessin. Lors de la construction d'un dessin dans des problèmes sur la zone, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouver les points d'intersection de la parabole oui = 2X – X 2 et droit oui = -X... Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :

Par conséquent, la limite inférieure d'intégration une= 0, la limite supérieure d'intégration b= 3. Il est souvent plus rentable et plus rapide de construire les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration se précisent comme « par elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique pour trouver les limites doit encore être appliquée parfois si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou la construction précise n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Revenons à notre problème : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Exécutons le dessin :

Répétons que dans le cas d'une construction ponctuelle, les limites d'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail :

Si sur le segment [ une; b] une fonction continue F(X) Meilleur que ou égal une fonction continue g(X), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée par la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'emplacement de la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais il est important de savoir quel horaire est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole se situe au dessus de la droite, et donc de 2 X – X 2 doit être soustrait - X.

L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :

La figure recherchée est délimitée par une parabole oui = 2X – X 2 haut et droit oui = -X par le bas.

Sur le segment 2 X – X 2 ≥ -X... Selon la formule correspondante :

Réponse: .

En fait, la formule scolaire pour l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple n°3) est un cas particulier de la formule

Puisque l'axe BŒUF donné par l'équation oui= 0, et le graphique de la fonction g(X) est situé en dessous de l'axe BŒUF, ensuite

Et maintenant quelques exemples d'auto-solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouver l'aire d'une forme délimitée par des lignes

Au cours de la résolution des problèmes de calcul de l'aire à l'aide d'une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin est fait correctement, les calculs sont corrects, mais, par inadvertance, ... la zone du mauvais chiffre a été trouvée.

Exemple 7

Exécutons d'abord le dessin :

La figure dont nous devons trouver la zone est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - à quoi le chiffre est limité !). Mais en pratique, par inattention, ils décident souvent qu'il faut trouver la zone de la figure, qui est ombrée en vert !

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure à l'aide de deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment [-1; 1] au-dessus de l'axe BŒUF le graphique est droit oui = X+1;

2) Sur un segment au dessus de l'axe BŒUF le graphique de l'hyperbole est situé oui = (2/X).

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Réponse:

Exemple 8

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes

Représentons les équations sous la forme "école"

et exécutez un dessin point par point :

On peut voir sur le dessin que notre limite supérieure est « bonne » : b = 1.

Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n'est pas un entier, mais lequel ?

Peut-être, une= (- 1/3) ? Mais où est la garantie que le dessin est fait avec une précision parfaite, il se peut bien que une= (- 1/4). Et si nous traçions le graphique de manière incorrecte du tout ?

Dans de tels cas, vous devez passer plus de temps et affiner analytiquement les limites de l'intégration.

Trouver les points d'intersection des graphiques

Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

D'où, une=(-1/3).

L'autre solution est triviale. L'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes. Les calculs ici ne sont pas les plus faciles. Sur le segment

, ,

selon la formule correspondante :

Réponse:

À la fin de la leçon, nous considérerons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes

Solution : Dessinez cette figure sur le dessin.

Pour la construction point par point du dessin, vous devez connaître l'apparence de la sinusoïde. En général, il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires, ainsi que certaines valeurs du sinus. Ils peuvent être trouvés dans le tableau des valeurs fonctions trigonométriques... Dans un certain nombre de cas (par exemple, dans celui-ci), il est permis de construire un dessin schématique, sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être affichés correctement en principe.

Il n'y a pas de problèmes avec les limites d'intégration, elles découlent directement de la condition :

- "x" passe de zéro à "pi". Nous prenons une autre décision :

Sur un segment, le graphe de la fonction oui= péché 3 X situé au dessus de l'axe BŒUF, Voilà pourquoi:

(1) Comment les sinus et les cosinus sont intégrés dans les puissances impaires, vous pouvez le voir dans la leçon Intégrales des fonctions trigonométriques... Nous pinçons un sinus.

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique de base sous la forme

(3) Changer la variable t= cos X, alors : est situé au dessus de l'axe, donc :

Noter: notez comment l'intégrale de la tangente dans le cube est prise, ici une conséquence de l'identité trigonométrique principale est utilisée

Problème numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes

Application intégrale à la solution de problèmes appliqués

Surface de calcul

L'intégrale définie d'une fonction continue non négative f (x) est numériquement égale à l'aire du trapèze courbe délimitée par la courbe y = f (x), l'axe O x et les droites x = a et x = b. Ainsi, la formule de l'aire s'écrit comme suit :

Regardons quelques exemples pour calculer les aires de figures plates.

Problème n° 1. Calculer l'aire délimitée par les droites y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solution. Construisons une figure dont nous devrons calculer l'aire.

y = x 2 + 1 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, et la parabole est déplacée par rapport à l'axe O y vers le haut d'une unité (figure 1).

Figure 1. Graphique de la fonction y = x 2 + 1

Problème numéro 2. Calculez l'aire délimitée par les lignes y = x 2 - 1, y = 0 dans la plage de 0 à 1.

Solution. Le graphique de cette fonction est la parabole de la branche, qui est dirigée vers le haut, et la parabole est déplacée par rapport à l'axe O y vers le bas d'une unité (figure 2).

Figure 2. Graphique de la fonction y = x 2 - 1

Problème numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes

y = 8 + 2x - x 2 et y = 2x - 4.

Solution. La première de ces deux lignes est une parabole avec des branches dirigées vers le bas, puisque le coefficient en x 2 est négatif, et la deuxième ligne est une droite qui coupe les deux axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, on trouve les coordonnées de son sommet : y '= 2 - 2x ; 2 - 2x = 0, x = 1 - l'abscisse du sommet ; y (1) = 8 + 2 1 - 1 2 = 9 est son ordonnée, N (1; 9) est le sommet.

Nous allons maintenant trouver les points d'intersection de la parabole et de la droite en résolvant le système d'équations :

Égaliser les côtés droits de l'équation, dont les côtés gauches sont égaux.

On obtient 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 ou x 2 - 12 = 0, d'où .

Ainsi, les points sont les points d'intersection de la parabole et de la droite (Figure 1).

Figure 3 Graphiques des fonctions y = 8 + 2x - x 2 et y = 2x - 4

Construisons une droite y = 2x - 4. Elle passe par les points (0; -4), (2; 0) sur les axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, vous pouvez également avoir ses points d'intersection avec l'axe 0x, c'est-à-dire les racines de l'équation 8 + 2x - x 2 = 0 ou x 2 - 2x - 8 = 0. Par le théorème de Vieta, c'est facile pour trouver ses racines : x 1 = 2, x 2 = 4.

La figure 3 montre une figure (segment parabolique M 1 N M 2 ), limitée par ces traits.

La deuxième partie de la tâche consiste à trouver l'aire de cette figure. Son aire peut être trouvée en utilisant une intégrale définie par la formule .

Par rapport à cette condition, on obtient l'intégrale :

2 Calcul du volume d'un corps de révolution

Le volume du corps obtenu à partir de la rotation de la courbe y = f (x) autour de l'axe O x est calculé par la formule :

Lors de la rotation autour de l'axe O y, la formule ressemble à :

Problème numéro 4. Déterminer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par des droites x = 0 x = 3 et une courbe y = autour de l'axe O x.

Solution. Construisons une image (Figure 4).

Figure 4. Graphique de la fonction y =

Le volume requis est

Problème numéro 5. Calculer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par la courbe y = x 2 et des droites y = 0 et y = 4 autour de l'axe O y.

Solution. On a:

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