उलटा मैट्रिक्स खोजने की योजना। उलटा मैट्रिक्स ढूँढना: तीन एल्गोरिदम और उदाहरण

यह विषय छात्रों के बीच सबसे अधिक नफरत में से एक है। केवल निर्धारक शायद बदतर हैं।

चाल यह है कि एक व्युत्क्रम तत्व की अवधारणा (और मैं अभी केवल मैट्रिक्स के बारे में बात नहीं कर रहा हूं) हमें गुणन के संचालन के लिए संदर्भित करता है। स्कूली पाठ्यक्रम में भी, गुणन को एक जटिल ऑपरेशन माना जाता है, और मैट्रिक्स गुणन आम तौर पर एक अलग विषय है, जिसके लिए मैंने एक पूरा पैराग्राफ और वीडियो ट्यूटोरियल समर्पित किया है।

हम आज मैट्रिक्स गणनाओं के विवरण में नहीं जाएंगे। बस याद रखें: मैट्रिक्स को कैसे निरूपित किया जाता है, उन्हें कैसे गुणा किया जाता है और इससे क्या होता है।

दोहराव: मैट्रिक्स गुणन

सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। एक मैट्रिक्स $ A $ आकार का $ \ बाएँ [m \ बार n \ दाएँ] $ केवल संख्याओं की एक तालिका है, जिसमें बिल्कुल $ m $ पंक्तियाँ और $ n $ कॉलम हैं:

\ = \ अंडरब्रेस (\ बाएं [\ शुरू (मैट्रिक्स) ((ए) _ (11)) और ((ए) _ (12)) और ... और ((ए) _ (1एन)) \\ (( ए) _ (21)) और ((ए) _ (22)) और ... और ((ए) _ (2एन)) \\ ... और ... और ... और ... \\ ((ए) _ (एम 1)) और ((ए) _ (एम 2)) और ... और ((ए) _ (एमएन)) \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ सही]) _ (एन) \]

स्थानों में पंक्तियों और स्तंभों को गलती से भ्रमित न करने के लिए (मेरा विश्वास करें, आप परीक्षा में 1 को 2 के साथ मिला सकते हैं - हम वहां कुछ पंक्तियों के बारे में क्या कह सकते हैं), बस चित्र पर एक नज़र डालें:

मैट्रिक्स कोशिकाओं के लिए सूचकांकों का निर्धारण

क्या हो रहा है? यदि हम मानक समन्वय प्रणाली $ OXY $ को ऊपरी बाएँ कोने में रखते हैं और कुल्हाड़ियों को निर्देशित करते हैं ताकि वे पूरे मैट्रिक्स को कवर कर सकें, तो इस मैट्रिक्स के प्रत्येक सेल को निर्देशांक $ \ बाएँ (x; y \ दाएँ) के साथ विशिष्ट रूप से जोड़ा जा सकता है। $ - यह पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या होगी।

निर्देशांक प्रणाली ऊपरी बाएँ कोने में क्यों स्थित है? क्योंकि वहीं से हम कोई भी टेक्स्ट पढ़ना शुरू करते हैं। याद रखना बहुत आसान है।

$x $ अक्ष को नीचे की ओर क्यों निर्देशित किया जाता है और दाईं ओर नहीं? फिर से, सब कुछ सरल है: मानक समन्वय प्रणाली लें ($ x $ अक्ष दाईं ओर जाता है, $ y $ अक्ष ऊपर जाता है) और इसे घुमाएं ताकि यह मैट्रिक्स को घेर ले। यह 90 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाव है - हम इसका परिणाम चित्र में देख सकते हैं।

सामान्य तौर पर, हमने यह पता लगाया कि मैट्रिक्स तत्वों के सूचकांकों को कैसे निर्धारित किया जाए। अब चलो गुणा से निपटते हैं।

परिभाषा। मैट्रिक्स $ A = \ बाएँ [m \ बार n \ दाएँ] $ और $ B = \ बाएँ [n \ बार k \ दाएँ] $, जब पहले में स्तंभों की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के समान होती है , सुसंगत कहा जाता है।

उस क्रम में। आप संकोच कर सकते हैं और कह सकते हैं, वे कहते हैं, मैट्रिक्स $ ए $ और $ बी $ एक आदेशित जोड़ी $ \ बाएं (ए; बी \ दाएं) $ बनाते हैं: यदि वे इस क्रम में सुसंगत हैं, तो यह पूरी तरह से अनावश्यक है कि $ बी $ और $ ए $, वो। जोड़ी $ \ बाएँ (B; A \ दाएँ) $ का भी मिलान किया जाता है।

केवल मिलान किए गए मैट्रिक्स को गुणा किया जा सकता है।

परिभाषा। मिलान किए गए मैट्रिक्स का उत्पाद $ A = \ बाएँ [m \ बार n \ दाएँ] $ और $ B = \ बाएँ [n \ बार k \ दाएँ] $ एक नया मैट्रिक्स है $ C = \ बाएँ [m \ बार k \ दाएँ ] $, जिसके अवयव $ ((c) _ (ij)) $ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\ [((सी) _ (आईजे)) = \ योग \ सीमाएं_ (के = 1) ^ (एन) (((ए) _ (आईके)) \ cdot ((बी) _ (केजे)) \]

दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स $ C = A \ cdot B $ के तत्व $ ((c) _ (ij)) $ प्राप्त करने के लिए, आपको पहले मैट्रिक्स के $ i $ -row लेने की आवश्यकता है, $ j $ दूसरे मैट्रिक्स का -वां कॉलम, और फिर इस पंक्ति और कॉलम से जोड़ीदार तत्वों को गुणा करें। परिणाम जोड़ें।

हाँ, यह इतनी कठोर परिभाषा है। इसके तुरंत बाद कई तथ्य सामने आते हैं:

मैट्रिक्स गुणन, आम तौर पर बोलना, गैर-कम्यूटेटिव है: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
हालाँकि, गुणन साहचर्य है: $ \ बाएँ (A \ cdot B \ दाएँ) \ cdot C = A \ cdot \ बाएँ (B \ cdot C \ दाएँ) $;
और यहां तक कि वितरणात्मक रूप से: $ \ बाएँ (A + B \ दाएँ) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
और फिर से वितरण: $ A \ cdot \ बाएँ (B + C \ दाएँ) = A \ cdot B + A \ cdot C $।

गुणन के वितरण को बाएँ और दाएँ गुणक-योग के लिए अलग-अलग वर्णित किया जाना था, ठीक गुणन संक्रिया की गैर-कम्यूटेटिविटी के कारण।

यदि, फिर भी, यह पता चलता है कि $ A \ cdot B = B \ cdot A $, ऐसे मैट्रिक्स को क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स कहा जाता है।

उन सभी आव्यूहों में, जिन्हें किसी चीज़ से गुणा किया जाता है, उनमें विशेष गुण होते हैं - वे जो, किसी भी आव्यूह $ A $ से गुणा करने पर, फिर से $ A $ देते हैं:

परिभाषा। मैट्रिक्स $ E $ को पहचान कहा जाता है यदि $ A \ cdot E = A $ या $ E \ cdot A = A $। एक वर्ग मैट्रिक्स $ A $ के मामले में हम लिख सकते हैं:

मैट्रिक्स समीकरणों को हल करते समय यूनिट मैट्रिक्स लगातार अतिथि होता है। और सामान्य तौर पर, मैट्रिसेस की दुनिया में लगातार आगंतुक। :)

और इस $E$ की वजह से भी कोई ऐसा गेम लेकर आया जो आगे लिखा जाएगा।

उलटा मैट्रिक्स क्या है

चूंकि मैट्रिक्स गुणन एक बहुत समय लेने वाला ऑपरेशन है (आपको पंक्तियों और स्तंभों का एक गुच्छा गुणा करना होगा), उलटा मैट्रिक्स की अवधारणा भी सबसे तुच्छ नहीं है। और कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

मुख्य परिभाषा

खैर, सच्चाई जानने का समय आ गया है।

परिभाषा। मैट्रिक्स $ B $ को मैट्रिक्स $ A $ if . के विपरीत कहा जाता है

उलटा मैट्रिक्स $ ((ए) ^ (- 1)) $ (डिग्री के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!) द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए परिभाषा को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

ऐसा लगता है कि सब कुछ बेहद सरल और स्पष्ट है। लेकिन इस तरह की परिभाषा का विश्लेषण करते समय, कई सवाल तुरंत उठते हैं:

क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा मौजूद होता है? और यदि हमेशा नहीं, तो कैसे निर्धारित करें: यह कब मौजूद है और कब नहीं?
और किसने कहा कि वास्तव में ऐसा एक मैट्रिक्स है? क्या होगा अगर कुछ प्रारंभिक मैट्रिक्स $ ए $ के लिए उलटा लोगों की पूरी भीड़ है?
ये सब उल्टा कैसा दिखता है? और वास्तव में, उन्हें कैसे गिना जाए?

गणना एल्गोरिदम के लिए - हम इस बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। लेकिन बाकी सवालों के जवाब हम अभी देंगे। आइए हम उन्हें अलग-अलग कथनों-लेम्मा के रूप में बनाते हैं।

मूल गुण

आइए इस बात से शुरू करें कि $ ((A) ^ (- 1)) $ होने के लिए मैट्रिक्स $ A $ कैसा दिखना चाहिए। अब हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये दोनों मैट्रिक्स वर्गाकार और समान आकार के हों: $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $।

लेम्मा 1. एक मैट्रिक्स $ A $ और इसके व्युत्क्रम $ ((A) ^ (- 1)) $ को देखते हुए। फिर ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हैं, एक ही क्रम $ n $ के साथ।

सबूत। यह आसान है। मान लीजिए मैट्रिक्स $ A = \ बाएँ [m \ बार n \ दाएँ] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ बाएँ [a \ times b \ right] $। चूंकि उत्पाद $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $ परिभाषा के अनुसार मौजूद है, मैट्रिक्स $ A $ और $ ((A) ^ (- 1)) $ संकेतित क्रम में मेल खाते हैं:

\ [\ प्रारंभ (संरेखित करें) और \ बाएँ [m \ बार n \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [a \ बार b \ दाएँ] = \ बाएँ [m \ बार b \ दाएँ] \\ और n = a \ अंत ( संरेखित करें) \]

यह मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का एक सीधा परिणाम है: गुणांक $ n $ और $ a $ "क्षणिक" हैं और समान होना चाहिए।

साथ ही, व्युत्क्रम गुणन को भी परिभाषित किया गया है: $ ((A) ^ (- 1)) \ cdot A = E $, इसलिए मैट्रिक्स $ ((A) ^ (- 1)) $ और $ A $ हैं संकेतित क्रम में भी मेल खाता है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और \ बाएँ [a \ बार b \ दाएँ] \ cdot \ बाएँ [m \ बार n \ दाएँ] = \ बाएँ [a \ बार n \ दाएँ] \\ और b = m \ अंत ( संरेखित करें) \]

इस प्रकार, व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि $ A = \ बाएँ [m \ बार n \ दाएँ] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ बाएँ [n \ बार m \ दाएँ] $। हालाँकि, परिभाषा के अनुसार, $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = ((A) ^ (- 1)) \ cdot A $, इसलिए मैट्रिक्स के आकार सख्ती से समान हैं:

\ [\ प्रारंभ (संरेखित करें) और \ बाएँ [m \ बार n \ दाएँ] = \ बाएँ [n \ बार m \ दाएँ] \\ और m = n \ अंत (संरेखित) \]

तो यह पता चला है कि सभी तीन मैट्रिक्स - $ ए $, $ ((ए) ^ (- 1)) $ और $ ई $ - वर्ग आकार $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ हैं। लेम्मा सिद्ध होता है।

खैर, यह पहले से ही बुरा नहीं है। हम देखते हैं कि केवल वर्ग आव्यूह ही उत्क्रमणीय होते हैं। अब आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम हमेशा समान होता है।

लेम्मा 2. एक मैट्रिक्स $ A $ और इसके व्युत्क्रम $ ((A) ^ (- 1)) $ को देखते हुए। तब यह उलटा ही एक है।

सबूत। आइए इसके विपरीत से चलते हैं: मैट्रिक्स $ A $ को इसके व्युत्क्रम की कम से कम दो प्रतियां दें - $ B $ और $ C $। फिर, परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

\ [\ start (संरेखित करें) और A \ cdot B = B \ cdot A = E; \\ और ए \ सीडॉट सी = सी \ सीडॉट ए = ई। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

लेम्मा 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार मैट्रिक्स - $ A $, $ B $, $ C $ और $ E $ - एक ही क्रम के वर्ग हैं: $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $। इसलिए, उत्पाद को परिभाषित किया गया है:

चूंकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है (लेकिन कम्यूटेटिव नहीं!), हम लिख सकते हैं:

\ [\ start (align) & B \ cdot A \ cdot C = \ left (B \ cdot A \ right) \ cdot C = E \ cdot C = C; \\ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ left (A \ cdot C \ right) = B \ cdot E = B; \\ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ राइटएरो B = C. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

हमें एकमात्र संभव विकल्प मिला: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की दो प्रतियां समान हैं। लेम्मा सिद्ध होता है।

उपरोक्त तर्क सभी वास्तविक संख्याओं $ b \ ne 0 $ के लिए प्रतिलोम की विशिष्टता का प्रमाण लगभग शब्द के लिए दोहराता है। केवल आवश्यक जोड़ मैट्रिसेस के आयाम को ध्यान में रख रहा है।

हालाँकि, हम अभी भी इस बारे में कुछ नहीं जानते हैं कि क्या कोई वर्ग मैट्रिक्स उलटा है। यहाँ निर्धारक हमारी सहायता के लिए आता है - यह सभी वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक प्रमुख विशेषता है।

लेम्मा 3. आपको एक मैट्रिक्स $ A $ दिया जाता है। यदि इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स $ ((A) ^ (- 1)) $ मौजूद है, तो मूल मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है:

\ [\ बाएं | ए \ राइट | \ ne 0 \]

सबूत। हम पहले से ही जानते हैं कि $ A $ और $ ((A) ^ (- 1)) $ आकार के वर्ग मैट्रिक्स हैं $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $। इसलिए, उनमें से प्रत्येक के लिए, आप निर्धारक की गणना कर सकते हैं: $ \ बाएँ | ए \ राइट | $ और $ \ लेफ्ट | ((ए) ^ (- 1)) \ सही | $। हालांकि, उत्पाद का निर्धारक निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है:

\ [\ बाएं | ए \ cdot B \ दाएँ | = \ बाएँ | ए \ दाएँ | \ cdot \ बाएँ | बी \ दाएं | \ दायां तीर \ बाएं | ए \ cdot ((ए) ^ (- 1)) \ दाएँ | = \ बाएँ | ए \ दाएँ | \ cdot \ बाएँ | ((ए) ^ (- 1)) \ सही | \]

लेकिन परिभाषा के अनुसार, $A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $, और $ E $ का सारणिक हमेशा 1 होता है, इसलिए

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और ए \ cdot ((ए) ^ (- 1)) = ई; \\ और \ बाएँ | ए \ cdot ((ए) ^ (- 1)) \ दाएँ | = \ बाएँ | ई \ सही |; \\ और \ बाएँ | ए \ दाएँ | \ cdot \ बाएँ | ((ए) ^ (- 1)) \ सही | = 1. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

दो संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है, यदि इनमें से प्रत्येक संख्या शून्य से भिन्न हो:

\ [\ बाएं | ए \ राइट | \ ne 0; \ क्वाड \ लेफ्ट | ((ए) ^ (- 1)) \ सही | \ ne 0. \]

तो यह पता चला कि $ \ बाएँ | ए \ राइट | \ ने 0 $। लेम्मा सिद्ध होता है।

वास्तव में, यह आवश्यकता काफी तार्किक है। अब हम उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे - और यह बिल्कुल स्पष्ट हो जाएगा कि शून्य निर्धारक के साथ, कोई उलटा मैट्रिक्स, सिद्धांत रूप में मौजूद क्यों नहीं हो सकता है।

लेकिन पहले, आइए एक "सहायक" परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा। एक पतित मैट्रिक्स आकार $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ का एक वर्ग मैट्रिक्स है, जिसका निर्धारक शून्य है।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि प्रत्येक उलटा मैट्रिक्स गैर-पतित है।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे। सामान्य तौर पर, दो आम तौर पर स्वीकृत एल्गोरिदम होते हैं, और हम आज दूसरे पर भी विचार करेंगे।

अब जिस पर चर्चा की जाएगी, वह $ \ बाएँ [2 \ गुना 2 \ दाएँ] $ और - आंशिक रूप से - आकार $ \ बाएँ [3 \ गुना 3 \ दाएँ] $ के आकार के मैट्रिक्स के लिए बहुत कुशल है। लेकिन आकार $ \ बाएँ [4 \ बार 4 \ दाएँ] $ से शुरू करना बेहतर है कि इसका उपयोग न करें। क्यों - अब आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे।

बीजीय पूरक

तैयार हो जाओ। अब दर्द होगा। नहीं, चिंता न करें: स्कर्ट में एक सुंदर नर्स, लेस के साथ स्टॉकिंग्स और आपको नितंब में इंजेक्शन नहीं देगी। सब कुछ बहुत अधिक नीरस है: बीजीय जोड़ और महामहिम "यूनियन मैट्रिक्स" आपके पास आ रहे हैं।

आइए मुख्य बात से शुरू करते हैं। मान लीजिए $ A = \ बाएँ [n \ times n \ right] $ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है, जिसके तत्वों को $ ((a) _ (ij)) $ नाम दिया गया है। फिर, ऐसे प्रत्येक तत्व के लिए, एक बीजीय पूरक परिभाषित किया जा सकता है:

परिभाषा। बीजगणितीय पूरक $ ((A) _ (ij)) $ से तत्व $ ((a) _ (ij)) $ i $ -th पंक्ति और $ j $ - मैट्रिक्स के $ A = \ में स्थित है। बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ फॉर्म का एक निर्माण है

\ [((ए) _ (ij)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (i + j)) \ cdot M_ (ij) ^ (*) \]

जहां $ M_ (ij) ^ (*) $ मूल $ A $ से समान $ i $ -th पंक्ति और $ j $ -th कॉलम को हटाकर प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।

फिर से। निर्देशांक $ \ बाएँ (i; j \ दाएँ) $ के साथ मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक को $ ((A) _ (ij)) $ के रूप में दर्शाया गया है और योजना के अनुसार गणना की जाती है:

सबसे पहले, मूल मैट्रिक्स से $ i $ -लाइन और $ j $ -th कॉलम हटाएं। हमें एक नया वर्ग मैट्रिक्स मिलता है, और हम इसके सारणिक को $ M_ (ij) ^ (*) $ के रूप में निरूपित करते हैं।
फिर हम इस सारणिक को $ ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (i + j)) $ से गुणा करते हैं - पहली बार में यह अभिव्यक्ति मस्तिष्क-उबाऊ लग सकती है, लेकिन वास्तव में हम केवल इसके सामने संकेत का पता लगा रहे हैं $ एम_ (आईजे) ^ (*) $।
हम गिनते हैं - हमें एक विशिष्ट संख्या मिलती है। वे। बीजगणितीय पूरक बिल्कुल एक संख्या है, कुछ नया मैट्रिक्स नहीं, आदि।

मैट्रिक्स $ M_ (ij) ^ (*) $ को ही तत्व $ ((a) _ (ij)) $ का पूरक नाबालिग कहा जाता है। और इस अर्थ में, एक बीजीय पूरक की उपरोक्त परिभाषा एक अधिक जटिल परिभाषा का एक विशेष मामला है - जिसे हमने निर्धारक के बारे में पाठ में माना था।

महत्वपूर्ण लेख। आम तौर पर, "वयस्क" गणित में, बीजीय योगों को निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है:

हम एक वर्ग मैट्रिक्स में $ k $ पंक्तियाँ और $ k $ कॉलम लेते हैं। उनके चौराहे पर, हमें आकार $ \ बाएँ [k \ बार k \ दाएँ] $ का एक मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को $ k $ का मामूली कहा जाता है और इसे $ ((M) _ (k)) $ द्वारा दर्शाया जाता है।

फिर हम इन "पसंदीदा" $ k $ लाइनों और $ k $ कॉलम को हटा देते हैं। फिर से, हमें एक वर्ग मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को पूरक नाबालिग कहा जाता है और इसे $ M_ (k) ^ (*) $ से दर्शाया जाता है।

$ M_ (k) ^ (*) $ को $ से गुणा करें ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (t)) $, जहाँ $ t $ है (अब ध्यान दें!) सभी चयनित पंक्तियों की संख्या का योग और कॉलम ... यह बीजीय योग होगा।

तीसरे चरण पर एक नज़र डालें: वास्तव में $ 2k $ की शर्तें हैं! एक और बात यह है कि $ k = 1 $ के लिए हमें केवल 2 शब्द मिलते हैं - ये वही $ i + j $ होंगे - तत्व $ ((a) _ (ij)) $ के "निर्देशांक", जिसके लिए हम देख रहे हैं एक बीजीय पूरक के लिए।

इस प्रकार, आज हम थोड़ी सरलीकृत परिभाषा का उपयोग करते हैं। लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह पर्याप्त से अधिक होगा। अगली बात बहुत अधिक महत्वपूर्ण है:

परिभाषा। आसन्न मैट्रिक्स $ S $ से वर्ग मैट्रिक्स $ A = \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ आकार का एक नया मैट्रिक्स है $ \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $, जो $ A $ से प्राप्त होता है $ ((a) _ (ij)) $ बीजीय पूरक $ ((A) _ (ij)) $ को प्रतिस्थापित करके:

\\ दायां तीर एस = \ बाएं [\ शुरू (मैट्रिक्स) ((ए) _ (11)) और ((ए) _ (12)) और ... और ((ए) _ (1 एन)) \\ (( ए) _ (21)) और ((ए) _ (22)) और ... और ((ए) _ (2एन)) \\ ... और ... और ... और ... \\ ((ए) _ (एन 1)) और ((ए) _ (एन 2)) और ... और ((ए) _ (एनएन)) \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ सही] \]

इस परिभाषा को साकार करने के क्षण में जो पहला विचार उत्पन्न होता है, वह यह है कि "आपको कितना गिनना है!" आराम करें: आपको गिनना होगा, लेकिन इतना नहीं। :)

खैर, यह सब बहुत अच्छा है, लेकिन यह क्यों जरूरी है? यहाँ पर क्यों।

मुख्य प्रमेय

चलो थोड़ा पीछे चलते हैं। याद रखें, लेम्मा 3 में यह कहा गया था कि एक उलटा मैट्रिक्स $ A $ हमेशा गैर-पतित होता है (अर्थात, इसका निर्धारक गैर-शून्य है: $ \ बाएँ | A \ दाएँ | \ ne 0 $)।

तो, विपरीत भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स $ ए $ पतित नहीं है, तो यह हमेशा उलटा होता है। और एक खोज योजना भी है $ ((A) ^ (- 1)) $। इसकी जांच - पड़ताल करें:

उलटा मैट्रिक्स प्रमेय। मान लीजिए कि एक वर्ग आव्यूह $ A = \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ दिया जाता है, और इसका निर्धारक अशून्य है: $ \ बाएँ | ए \ राइट | \ ने 0 $। फिर व्युत्क्रम मैट्रिक्स $ ((A) ^ (- 1)) $ मौजूद है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

\ [((ए) ^ (- 1)) = \ फ्रैक (1) (\ बाएं | ए \ दाएं |) \ cdot ((एस) ^ (टी)) \]

और अब - सब कुछ वही है, लेकिन सुपाठ्य लिखावट में। मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, आपको चाहिए:

सारणिक की गणना करें $ \ बाएँ | ए \ राइट | $ और सुनिश्चित करें कि यह गैर-शून्य है।
संघ मैट्रिक्स $ S $ का निर्माण करें, अर्थात। 100500 बीजगणितीय पूरक $ ((A) _ (ij)) $ गिनें और उन्हें $ ((a) _ (ij)) $ के स्थान पर रखें।
इस मैट्रिक्स $ S $ को स्थानांतरित करें, और फिर इसे किसी संख्या $ q = (1) / (\ बाएँ | A \ दाएँ |) \; $ से गुणा करें।

और बस! व्युत्क्रम मैट्रिक्स $ ((A) ^ (- 1)) $ पाया जाता है। आइए उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

\ [\ बाएं [\ शुरू (मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएं] \]

समाधान। आइए प्रतिवर्तीता की जांच करें। आइए निर्धारक की गणना करें:

\ [\ बाएं | ए \ दाएँ | = \ बाएँ | \ start (मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ | = 3 \ cdot 2-1 \ cdot 5 = 6-5 = 1 \]

निर्धारक अशून्य है। इसलिए, मैट्रिक्स उलटा है। आइए संघ मैट्रिक्स की रचना करें:

आइए बीजीय योगों की गणना करें:

\ [\ start (संरेखित करें) और ((A) _ (11)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ बाएँ | 2 \ सही | = 2; \\ और ((ए) _ (12)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ बाएँ | 5 \ सही | = -5; \\ और ((ए) _ (21)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ बाएँ | 1 \ सही | = -1; \\ और ((ए) _ (22)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (2 + 2)) \ cdot \ बाएँ | 3 \ दाएँ | = 3. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

कृपया ध्यान दें: निर्धारक | 2 |, | 5 |, | 1 | और | 3 | - ये आकार के मैट्रिक्स के निर्धारक हैं $ \ बाएँ [1 \ बार 1 \ दाएँ] $, मॉड्यूल नहीं। वे। यदि निर्धारकों में ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं, तो "माइनस" को हटाना आवश्यक नहीं है।

कुल मिलाकर, हमारा संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

\ [((ए) ^ (- 1)) = \ फ्रैक (1) (\ बाएं | ए \ दाएं |) \ cdot ((एस) ^ (टी)) = \ फ्रैक (1) (1) \ cdot ( (\ बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 2 और -5 \\ -1 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं]) ^ (टी)) = \ बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \]

ठीक है अब सब खत्म हो गया है। समस्या सुलझा ली गई है।

उत्तर। $ \ बाएँ [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 2 और -1 \\ -5 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] $

कार्य। मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए:

\ [\ बाएं [\ प्रारंभ (सरणी) (* (35) (आर)) 1 और -1 और 2 \\ 0 और 2 और -1 \\ 1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं] \]

समाधान। फिर से हम निर्धारक पर विचार करते हैं:

\ [\ प्रारंभ (संरेखित करें) और \ बाएँ | \ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 1 और -1 और 2 \\ 0 और 2 और -1 \\ 1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ सही | = \ शुरू (मैट्रिक्स ) \ बाएँ (1 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0 \ दाएँ) - \\ - \ बाएँ (2 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ cdot 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ cdot 0 \ दाएँ) \\\ अंत (मैट्रिक्स) = \ \ & = \ बाएँ (2 + 1 + 0 \ दाएँ) - \ बाएँ (4 + 0 + 0 \ दाएँ) = - 1 \ ne 0. \\ \ अंत (संरेखित) \]

निर्धारक गैर-शून्य है - मैट्रिक्स उलटा है। लेकिन अब सबसे कठिन होगा: आपको 9 (नौ, धिक्कार है!) बीजगणितीय परिवर्धन के रूप में गिनने की आवश्यकता है। और उनमें से प्रत्येक में क्वालीफायर $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ होगा। उड़ गया:

\ [\ start (मैट्रिक्स) ((A) _ (11)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ बाएँ | \ शुरू (मैट्रिक्स) 2 और -1 \\ 0 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएं | = 2; \\ ((ए) _ (12)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ बाएँ | \ शुरू (मैट्रिक्स) 0 और -1 \\ 1 और 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएं | = -1; \\ ((ए) _ (13)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ बाएँ | \ शुरू (मैट्रिक्स) 0 और 2 \\ 1 और 0 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ | = -2; \\ ... \\ ((ए) _ (33)) = ((\ बाएँ (-1 \ दाएँ)) ^ (3 + 3)) \ cdot \ बाएँ | \ शुरू (मैट्रिक्स) 1 और -1 \\ 0 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएं | = 2; \\ \ अंत (मैट्रिक्स) \]

संक्षेप में, संघ मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

इसलिए, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम इस प्रकार होगा:

\ [((ए) ^ (- 1)) = \ फ्रैक (1) (- 1) \ cdot \ बाएँ [\ start (मैट्रिक्स) 2 और -1 और -2 \\ 1 और -1 और -1 \\ -3 और 1 और 2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएं] = \ बाएं [\ प्रारंभ (सरणी) (* (35) (आर)) - 2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \ \ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \]

खैर वह सब है। यहाँ उत्तर है।

उत्तर। $ \ बाएँ [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) -2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \\ 2 और 1 और -2 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ ] $

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक उदाहरण के अंत में, हमने एक चेक चलाया। इस संबंध में एक महत्वपूर्ण नोट:

जाँच करने में आलस न करें। मूल मैट्रिक्स को पाए गए व्युत्क्रम से गुणा करें - आपको $ E $ मिलना चाहिए।

यह जाँच आगे की गणनाओं में त्रुटि की तलाश करने की तुलना में बहुत आसान और तेज़ है, उदाहरण के लिए, जब आप एक मैट्रिक्स समीकरण को हल कर रहे हों।

वैकल्पिक तरीका

जैसा कि मैंने कहा, व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्रमेय $ \ बाएँ [2 \ बार 2 \ दाएँ] $ और $ \ बाएँ [3 \ बार 3 \ दाएँ] $ के आकार के लिए बहुत अच्छा काम करता है (बाद के मामले में, यह इतना "महान" नहीं है। ), लेकिन बड़े मैट्रिक्स के लिए उदासी शुरू होती है।

लेकिन चिंता न करें: एक वैकल्पिक एल्गोरिथ्म है, जिसका उपयोग मैट्रिक्स $ \ बाएँ [10 \ गुना 10 \ दाएँ] $ के लिए भी शांतिपूर्वक उलटा खोजने के लिए किया जा सकता है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, इस एल्गोरिथम पर विचार करने के लिए, हमें थोड़ी सैद्धांतिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता है।

प्राथमिक परिवर्तन

मैट्रिक्स के विभिन्न परिवर्तनों में, कई विशेष हैं - उन्हें प्राथमिक कहा जाता है। ऐसे तीन परिवर्तन हैं:

गुणन। आप $ i $ वें पंक्ति (कॉलम) ले सकते हैं और इसे किसी भी संख्या $ k \ ne 0 $ से गुणा कर सकते हैं;
योग। $ i $ वें पंक्ति (कॉलम) में किसी भी अन्य $ j $ वें पंक्ति (कॉलम) को किसी भी संख्या $ k \ ne 0 $ से गुणा करें (आप निश्चित रूप से, और $ k = 0 $ कर सकते हैं, लेकिन बात क्या है? हालांकि कुछ भी नहीं बदलेगा)।
पुनर्व्यवस्था। $ i $ th और $ j $ th पंक्तियाँ (कॉलम) लें और उन्हें स्वैप करें।

इन परिवर्तनों को प्राथमिक क्यों कहा जाता है (बड़े मैट्रिक्स के लिए वे इतने प्राथमिक नहीं दिखते) और उनमें से केवल तीन ही क्यों हैं - ये प्रश्न आज के पाठ के दायरे से बाहर हैं। इसलिए, हम विवरण में नहीं जाएंगे।

एक और बात महत्वपूर्ण है: हमें इन सभी विकृतियों को संलग्न मैट्रिक्स पर करना होगा। हाँ, हाँ: आपने सही सुना। अब एक और परिभाषा होगी - आज के पाठ में अंतिम।

संलग्न मैट्रिक्स

निश्चित रूप से आपने स्कूल में योग पद्धति का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल किया है। ठीक है, वहाँ, एक स्ट्रिंग से दूसरे को घटाएं, किसी स्ट्रिंग को किसी संख्या से गुणा करें - बस इतना ही।

तो: अब सब कुछ वैसा ही होगा, लेकिन पहले से ही "वयस्क तरीके से।" तैयार?

परिभाषा। मान लीजिए मैट्रिक्स $ A = \ बाएँ [n \ बार n \ दाएँ] $ और समान आकार $ n $ का पहचान मैट्रिक्स $ E $ दिया जाए। फिर आसन्न मैट्रिक्स $ \ बाएँ [A \ बाएँ | ई \ सही। \ दाएँ] $ एक नया $ \ बाएँ [n \ बार 2n \ दाएँ] $ मैट्रिक्स है जो इस तरह दिखता है:

\ [\ बाएँ [A \ बाएँ | ई \ सही। \ दाएँ] = \ बाएँ [\ start (सरणी) (rrrr | rrrr) ((a) _ (11)) और ((a) _ (12)) और ... और ((a) _ (1n)) और 1 और 0 और ... और 0 \\ ((ए) _ (21)) और ((ए) _ (22)) और ... और ((ए) _ (2 एन)) और 0 और 1 और ... और 0 \\ ... और ... और ... और ... और ... और ... और ... और ... \\ ((ए) _ (एन 1)) और ((ए) _ (एन 2)) और ... और ((ए) _ (एनएन)) और 0 और 0 और ... और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं] \]

संक्षेप में, हम मैट्रिक्स $ ए $ लेते हैं, दाईं ओर हम इसे आवश्यक आकार के पहचान मैट्रिक्स $ ई $ को असाइन करते हैं, उन्हें सुंदरता के लिए लंबवत बार से अलग करते हैं - यहां संलग्न है। :)

क्या चालबाजी है? यहाँ क्या है:

प्रमेय। मैट्रिक्स $ A $ को उलटा होने दें। आसन्न मैट्रिक्स पर विचार करें $ \ बाएँ [A \ बाएँ | ई \ सही। \ सही] $. यदि उपयोग कर रहे हैं प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरणइसे फॉर्म में लाएँ $ \ बाएँ [E \ बाएँ | चमकदार। \ सही] $, यानी। दायीं ओर $A $ मैट्रिक्स $ E $ से प्राप्त करने के लिए पंक्तियों को गुणा, घटाना और पुनर्व्यवस्थित करके, फिर बाईं ओर प्राप्त मैट्रिक्स $ B $ $ A $ का व्युत्क्रम है:

\ [\ बाएँ [A \ बाएँ | ई \ सही। \ दाएँ] \ से \ बाएँ [E \ बाएँ | चमकदार। \ दाएँ] \ दायां तीर बी = ((ए) ^ (- 1)) \]

यह इत्ना आसान है! संक्षेप में, उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम इस तरह दिखता है:

संलग्न मैट्रिक्स लिखें $ \ बाएँ [A \ बाएँ | ई \ सही। \ सही] $;
प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरण तब तक करें जब तक कि $ A $ के बजाय $ E $ प्रकट न हो जाए;
बेशक, बाईं ओर भी कुछ दिखाई देगा - कुछ मैट्रिक्स $ B $। यह विपरीत होगा;
फायदा! :)

बेशक, ऐसा करने की तुलना में कहा जाना बहुत आसान है। तो आइए कुछ उदाहरणों को देखें: आकारों के लिए $ \ बाएँ [3 \ गुना 3 \ दाएँ] $ और $ \ बाएँ [4 \ बार 4 \ दाएँ] $।

कार्य। मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए:

\ [\ बाएं [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 1 और 5 और 1 \\ 3 और 2 और 1 \\ 6 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं] \ ]

समाधान। हम संलग्न मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

\ [\ बाएं [\ प्रारंभ (सरणी) (rrr | rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 3 और 2 और 1 और 0 और 1 और 0 \\ 6 और -2 और 1 और 0 & 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \]

चूंकि मूल मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम लोगों से भरा हुआ है, आइए पहली पंक्ति को बाकी हिस्सों से घटाएं:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrr | rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 3 और 2 और 1 और 0 और 1 और 0 \\ 6 और - 2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ डाउनएरो \\ -1 \\ -1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [\ start (सरणी) (rrr | rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 5 और -7 और 0 और -1 और 0 & 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

पहली पंक्ति को छोड़कर कोई और नहीं है। लेकिन हम इसे छूते नहीं हैं, अन्यथा तीसरे कॉलम में नई हटाई गई इकाइयाँ "गुणा" करना शुरू कर देंगी।

लेकिन हम दूसरी पंक्ति को अंतिम से दो बार घटा सकते हैं - हमें निचले बाएँ कोने में एक मिलता है:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrr | rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 5 & -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ \ डाउनएरो \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ & \ बाएँ [\ start (सरणी) (rrr | rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 & 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अब हम अंतिम पंक्ति को पहली से और दूसरी से दो बार घटा सकते हैं - इस तरह हम पहले कॉलम को "शून्य" करते हैं:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrr | rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 1 & -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -1 \\ -2 \\ \ ऊपर की ओर \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ & \ से \ बाएँ [\ शुरू (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित) \]

दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें, और फिर इसे पहली से 6 गुना घटाएं और इसे अंतिम में 1 बार जोड़ें:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \ \ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ \ बाएँ | \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [\ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 3 & -5 और 2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -6 \\ \ updownarrow \\ +1 \\\ अंत ( मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [\ start (सरणी) (rrr | rrr) 0 और 0 और 1 और -18 और 32 और -13 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \ \ 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \\ \ अंत (संरेखित) \]

जो कुछ बचा है वह लाइन 1 और 3 की अदला-बदली करना है:

\ [\ बाएँ [\ शुरू (सरणी) (rrr | rrr) 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और - 18 और 32 और -13 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \]

तैयार! दाईं ओर वांछित उलटा मैट्रिक्स है।

उत्तर। $ \ बाएँ [\ शुरू (सरणी) (* (35) (आर)) 4 और -7 और 3 \\ 3 और -5 और 2 \\ -18 और 32 और -13 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ ] $

कार्य। मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए:

\ [\ बाएं [\ प्रारंभ (मैट्रिक्स) 1 और 4 और 2 और 3 \\ 1 और -2 और 1 और -2 \\ 1 और -1 और 1 और 1 \\ 0 और -10 और -2 और -5 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएं] \]

समाधान। फिर से, हम संलग्न की रचना करते हैं:

\ [\ बाएं [\ प्रारंभ (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 1 और -2 और 1 और -2 और 0 और 1 और 0 और 0 \ \ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \]

चलो थोड़ी नींद लेते हैं, इस बात का शोक करते हैं कि हमें अभी कितना गिनना है... और गिनना शुरू करें। सबसे पहले, पंक्ति 2 और 3 से पंक्ति 1 घटाकर पहले कॉलम को शून्य करें:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 1 और -2 और 1 और -2 और 0 & 1 और 0 और 0 \\ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ डाउनएरो \\ -1 \\ -1 \\ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ & \ से \ बाएँ [\ start (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और -1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं] \\ \ अंत (संरेखित) \]

हम 2-4 पंक्तियों में बहुत अधिक "विपक्ष" देखते हैं। सभी तीन पंक्तियों को -1 से गुणा करें, और फिर तीसरे कॉलम को शेष से पंक्ति 3 घटाकर जला दें:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और - 1 और 1 और 0 और 0 \\ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\ \ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) \ \\ \ बाएँ | \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \ बाएं | \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\ \ बाएं | \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ) \ दाएँ। \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ और \ से \ बाएँ [\ start (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और 6 और 1 & 5 और 1 और -1 और 0 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 10 और 2 और 5 और 0 और 0 और 0 और -1 \\ \ अंत (सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ & \ से \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) ( rrrr | rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं] \\ \ अंत (संरेखित) \]

अब मूल मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को "तलना" करने का समय है: पंक्ति 4 को बाकी हिस्सों से घटाएं:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी ) \ दाएँ] \ start (मैट्रिक्स) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ & \ से \ बाएँ [\ start (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 & -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं] \\ \ अंत (संरेखित) \]

अंतिम रोल: पंक्ति 1 और 3 से पंक्ति 2 घटाकर दूसरे कॉलम को बर्न करें:

\ [\ प्रारंभ (संरेखण) और \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और -6 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत ( सरणी) \ दाएँ] \ प्रारंभ (मैट्रिक्स) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ से \\ & \ से \ बाएँ [\ प्रारंभ (सरणी) (rrrr | rrrr) 1 और 0 और 0 और 0 और 33 और -6 और -26 और -17 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और -25 और 5 और 20 और -13 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\ अंत (सरणी) \ दाएं] \\ \ अंत (संरेखित) \]

और फिर बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि उलटा दाईं ओर है। :)

उत्तर। $ \ बाएँ [\ start (मैट्रिक्स) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएँ] $

हम मैट्रिसेस के साथ क्रियाओं के बारे में बात करना जारी रखते हैं। अर्थात् - इस व्याख्यान के अध्ययन के दौरान, आप सीखेंगे कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स कैसे खोजें। सीखना। गणित भले ही टाइट हो।

उलटा मैट्रिक्स क्या है? यहां आप पारस्परिक संख्याओं के साथ एक सादृश्य बना सकते हैं: उदाहरण के लिए, आशावादी संख्या 5 और इसके व्युत्क्रम पर विचार करें। इन संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर है:। मैट्रिक्स के साथ, सब कुछ समान है! एक आव्यूह का उसके प्रतिलोम आव्यूह द्वारा गुणनफल होता है - पहचान मैट्रिक्स, जो एक संख्यात्मक इकाई का मैट्रिक्स एनालॉग है। हालाँकि, सबसे पहले, हम एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक मुद्दे को हल करेंगे, अर्थात्, हम सीखेंगे कि यह बहुत ही उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजा जाए।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए आपको क्या जानने और करने में सक्षम होने की आवश्यकता है? आपको निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए निर्धारकों... आपको समझना चाहिए कि यह क्या है आव्यूहऔर उनके साथ कुछ कार्य करने में सक्षम हो।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करने की दो मुख्य विधियाँ हैं:
के जरिए बीजीय पूरकतथा प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करना.

आज हम पहला, आसान तरीका तलाशेंगे।

आइए सबसे भयानक और समझ से बाहर शुरू करें। विचार करना वर्गआव्यूह। व्युत्क्रम मैट्रिक्स निम्न सूत्र द्वारा पाया जा सकता है::

मैट्रिक्स का निर्धारक कहाँ है, मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है, मैट्रिसेस "दो बटा दो", "तीन बटा तीन", आदि।

पदनाम: जैसा कि आप शायद पहले ही देख चुके हैं, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम एक सुपरस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया गया है

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - एक दो-दो मैट्रिक्स। सबसे अधिक बार, निश्चित रूप से, "तीन से तीन" की आवश्यकता होती है, लेकिन, फिर भी, मैं समाधान के सामान्य सिद्धांत में महारत हासिल करने के लिए एक सरल कार्य का अध्ययन करने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं।

उदाहरण:

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

हमने निर्णय किया। क्रियाओं के क्रम को आसानी से बिंदुओं में तोड़ा जा सकता है।

1) सबसे पहले, मैट्रिक्स के सारणिक का पता लगाएं.

यदि इस क्रिया के बारे में आपकी समझ पर्याप्त नहीं है, तो सामग्री पढ़ें निर्धारक की गणना कैसे करें?

जरूरी!इस घटना में कि मैट्रिक्स का निर्धारक है शून्य- उलटा मैट्रिक्स मौजूद नहीं होना.

विचाराधीन उदाहरण में, जैसा कि यह निकला, जिसका अर्थ है कि सब कुछ क्रम में है।

2) अवयस्कों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

हमारी समस्या का समाधान करने के लिए यह जानना आवश्यक नहीं है कि नाबालिग क्या है, हालांकि, लेख को पढ़ने की सलाह दी जाती है निर्धारक की गणना कैसे करें.

नाबालिगों के मैट्रिक्स में मैट्रिक्स के समान आयाम होते हैं, अर्थात इस मामले में।
बात छोटी है, तारांकन की जगह चार अंक ढूंढ़ना और उन्हें लगाना बाकी है।

हमारे मैट्रिक्स पर वापस जाएं
आइए पहले ऊपरी-बाएँ तत्व को देखें:

इसे कैसे खोजें अवयस्क?
और यह इस तरह किया जाता है: सोच समझकर उस पंक्ति और स्तंभ को पार करें जिसमें यह तत्व स्थित है:

शेष संख्या है इस तत्व का नाबालिग, जिसे हम अपने अवयस्कों के मैट्रिक्स में लिखते हैं:

निम्नलिखित मैट्रिक्स तत्व पर विचार करें:

हम मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को पार करते हैं जिसमें यह तत्व स्थित है:

जो बचा है वह इस तत्व का नाबालिग है, जिसे हम अपने मैट्रिक्स में लिखते हैं:

इसी तरह, हम दूसरी पंक्ति के तत्वों पर विचार करते हैं और उनके अवयव पाते हैं:

तैयार।

यह आसान है। नाबालिगों के मैट्रिक्स में, आपको चाहिए संकेत बदलेंदो नंबर:

ये वे संख्याएँ हैं जिनकी मैंने परिक्रमा की है!

- मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का एक मैट्रिक्स।

और यह सिर्फ...

4) बीजीय संपूरकों का स्थानान्तरित आव्यूह ज्ञात कीजिए.

- मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक के ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स।

5) उत्तर.

हमारे सूत्र को याद करना
सब कुछ मिल गया!

तो मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है:

उत्तर जैसा है वैसा ही छोड़ देना सबसे अच्छा है। कोई ज़रुरत नहीं हैआव्यूह के प्रत्येक अवयव को 2 से भाग दें, क्योंकि आपको भिन्नात्मक संख्याएँ प्राप्त होती हैं। इस बारीकियों पर उसी लेख में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है। मैट्रिक्स संचालन.

मैं समाधान की जांच कैसे कर सकता हूं?

मैट्रिक्स गुणन करना आवश्यक है या

इंतिहान:

पहले ही उल्लेख किया गया है पहचान मैट्रिक्सएक मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्णऔर शून्य कहीं और।

इस प्रकार, उलटा सही है।

यदि आप कोई क्रिया करते हैं, तो परिणाम पहचान मैट्रिक्स भी होगा। यह उन कुछ मामलों में से एक है जहां मैट्रिक्स गुणन क्रमीय है, अधिक जानकारी लेख में मिल सकती है मैट्रिसेस पर संचालन के गुण। मैट्रिक्स अभिव्यक्ति... यह भी ध्यान दें कि चेक के दौरान, स्थिरांक (अंश) को आगे लाया जाता है और बहुत अंत में संसाधित किया जाता है - मैट्रिक्स गुणन के बाद। यह एक मानक तकनीक है।

आइए व्यवहार में एक अधिक सामान्य मामले पर चलते हैं - "तीन से तीन" मैट्रिक्स:

उदाहरण:

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

एल्गोरिथ्म बिल्कुल दो-दो-दो मामले के समान है।

हम सूत्र द्वारा उलटा मैट्रिक्स पाते हैं: मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक के ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है।

1) मैट्रिक्स के सारणिक का पता लगाएं.

यहाँ निर्धारक प्रकट होता है पहली पंक्ति पर.

इसके अलावा, यह मत भूलो, जिसका अर्थ है कि सब कुछ ठीक है - उलटा मैट्रिक्स मौजूद है.

2) अवयस्कों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

नाबालिग मैट्रिक्स का आयाम "तीन बटा तीन" है और हमें नौ नंबर खोजने होंगे।

मैं कुछ छोटे विवरणों में विस्तार से जाऊंगा:

निम्नलिखित मैट्रिक्स तत्व पर विचार करें:

उस पंक्ति और स्तंभ को ध्यानपूर्वक काट दें जिसमें यह तत्व स्थित है:

शेष चार संख्याओं को "दो बटा दो" निर्धारक में लिखा जाता है

यह क्वालीफायर "दो बटा दो" और इस तत्व का नाबालिग है... इसकी गणना करने की आवश्यकता है:

बस, नाबालिग मिल गया, हम इसे नाबालिगों के अपने मैट्रिक्स में लिखते हैं:

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, नौ दो-दो-दो निर्धारकों की गणना की जानी है। प्रक्रिया, निश्चित रूप से, नीरस है, लेकिन मामला सबसे कठिन नहीं है, यह बदतर हो सकता है।

खैर, समेकित करने के लिए - चित्रों में एक और नाबालिग ढूंढना:

बाकी अवयस्कों की गणना स्वयं करने का प्रयास करें।

अंतिम परिणाम:
- मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के नाबालिगों का मैट्रिक्स।

यह तथ्य कि सभी नाबालिग नकारात्मक निकले, शुद्ध संयोग है।

3) बीजीय संपूरकों का आव्यूह ज्ञात कीजिए.

नाबालिगों के मैट्रिक्स में, यह आवश्यक है संकेत बदलेंनिम्नलिखित तत्वों के लिए सख्ती से:

इस मामले में:

हम "चार बटा चार" मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने पर विचार नहीं करते हैं, क्योंकि ऐसा कार्य केवल एक परपीड़क शिक्षक द्वारा दिया जा सकता है (ताकि छात्र एक निर्धारक "चार बटा चार" और 16 निर्धारक "तीन बटा तीन" की गणना करे। ) मेरे अभ्यास में, मैं केवल एक ऐसे मामले से मिला, और परीक्षण के ग्राहक ने मेरी पीड़ा के लिए काफी महंगा भुगतान किया =)।

कई पाठ्यपुस्तकों, मैनुअल में, आप उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण पा सकते हैं, हालांकि, मैं उपरोक्त समाधान एल्गोरिदम का उपयोग करने की सलाह देता हूं। क्यों? क्योंकि गणना और संकेतों में भ्रमित होने की संभावना बहुत कम होती है।

आमतौर पर, जटिल बीजीय व्यंजकों को सरल बनाने के लिए व्युत्क्रम संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि समस्या में भिन्न से विभाजन की संक्रिया है, तो आप इसे प्रतिलोम भिन्न से गुणा की संक्रिया से प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जो कि प्रतिलोम संक्रिया है। इसके अलावा, मैट्रिक्स को विभाजित नहीं किया जा सकता है, इसलिए आपको मैट्रिक्स के व्युत्क्रम से गुणा करने की आवश्यकता है। 3x3 मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करना कठिन है, लेकिन आपको इसे मैन्युअल रूप से करने में सक्षम होना चाहिए। आप एक अच्छे रेखांकन कैलकुलेटर के साथ पारस्परिक भी पा सकते हैं।

कदम

एक आसन्न मैट्रिक्स के साथ

मूल मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें।स्थानांतरण मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के सापेक्ष स्तंभों के साथ पंक्तियों को बदल रहा है, अर्थात, आपको तत्वों (i, j) और (j, i) को स्वैप करने की आवश्यकता है। इस मामले में, मुख्य विकर्ण के तत्व (ऊपरी बाएं कोने से शुरू होकर निचले दाएं कोने में समाप्त होते हैं) नहीं बदलते हैं।

कॉलम के लिए पंक्तियों को स्वैप करने के लिए, पहले कॉलम में पहली पंक्ति आइटम, दूसरे कॉलम में दूसरी पंक्ति आइटम और तीसरे कॉलम में तीसरी पंक्ति आइटम लिखें। तत्वों की स्थिति बदलने का क्रम चित्र में दिखाया गया है, जिसमें संबंधित तत्व रंगीन वृत्तों से घिरे हैं।

प्रत्येक 2x2 मैट्रिक्स की परिभाषा पाएं।किसी भी मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व, ट्रांसपोज़्ड सहित, संबंधित 2x2 मैट्रिक्स से जुड़ा होता है। एक विशिष्ट तत्व से मेल खाने वाले 2x2 मैट्रिक्स को खोजने के लिए, उस पंक्ति और कॉलम को पार करें जिसमें यह तत्व स्थित है, यानी आपको मूल 3x3 मैट्रिक्स के पांच तत्वों को पार करने की आवश्यकता है। चार तत्व अनक्रॉस्ड रहते हैं, जो कि संबंधित 2x2 मैट्रिक्स के तत्व हैं।

उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम के चौराहे पर स्थित तत्व के लिए 2x2 मैट्रिक्स खोजने के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में मौजूद पांच तत्वों को पार करें। शेष चार तत्व संबंधित 2x2 मैट्रिक्स के तत्व हैं।
प्रत्येक 2x2 आव्यूह का सारणिक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाएं (आंकड़ा देखें)।
3x3 मैट्रिक्स के विशिष्ट तत्वों के अनुरूप 2x2 मैट्रिक्स पर विस्तृत जानकारी इंटरनेट पर पाई जा सकती है।

सहकारकों का एक मैट्रिक्स बनाएँ।कॉफ़ैक्टर्स के एक नए मैट्रिक्स के रूप में पहले प्राप्त परिणामों को रिकॉर्ड करें। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक 2x2 मैट्रिक्स के पाए गए निर्धारक को लिखें जहां 3x3 मैट्रिक्स का संबंधित तत्व स्थित था। उदाहरण के लिए, यदि हम तत्व (1,1) के लिए 2x2 मैट्रिक्स पर विचार करते हैं, तो इसके सारणिक को स्थिति (1,1) में लिखें। फिर एक निश्चित योजना के अनुसार संबंधित तत्वों के संकेतों को बदलें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

बदलते संकेतों की योजना: पहली पंक्ति के पहले तत्व का चिन्ह नहीं बदलता है; पहली पंक्ति के दूसरे तत्व का चिन्ह उल्टा है; पहली पंक्ति के तीसरे तत्व का चिन्ह नहीं बदलता है, और इसी तरह लाइन दर लाइन। कृपया ध्यान दें कि संकेत "+" और "-", जो आरेख में दिखाए गए हैं (आकृति देखें), यह इंगित नहीं करते हैं कि संबंधित तत्व सकारात्मक या नकारात्मक होगा। इस मामले में, "+" चिह्न इंगित करता है कि तत्व का चिह्न नहीं बदलता है, और - चिह्न इंगित करता है कि तत्व का चिह्न बदल गया है।
सहकारकों के आव्यूह के बारे में विस्तृत जानकारी इंटरनेट पर पाई जा सकती है।
यह मूल मैट्रिक्स के संबंधित मैट्रिक्स को ढूंढेगा। इसे कभी-कभी जटिल संयुग्म मैट्रिक्स कहा जाता है। इस मैट्रिक्स को adj (M) कहा जाता है।

सारणिक द्वारा आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित करें।मैट्रिक्स एम के निर्धारक की गणना शुरुआत में ही यह जांचने के लिए की गई थी कि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मौजूद है। अब इस सारणिक द्वारा आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित करें। प्रत्येक डिवीजन ऑपरेशन का परिणाम लिखें जहां संबंधित तत्व है। यह मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करेगा।

आकृति में दिखाए गए मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है। इस प्रकार, यहाँ आसन्न मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स है (क्योंकि जब किसी संख्या को 1 से विभाजित किया जाता है, तो यह नहीं बदलता है)।
कुछ स्रोतों में, विभाजन के संचालन को गुणा के संचालन द्वारा 1 / det (M) से बदल दिया जाता है। इस मामले में, अंतिम परिणाम नहीं बदलता है।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम लिखिए।बड़े मैट्रिक्स के दाहिने आधे भाग पर स्थित तत्वों को एक अलग मैट्रिक्स के रूप में लिखें, जो मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।

कैलकुलेटर की मेमोरी में मूल मैट्रिक्स दर्ज करें।ऐसा करने के लिए, यदि उपलब्ध हो तो मैट्रिक्स बटन पर क्लिक करें। टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स कैलकुलेटर के लिए, आपको दूसरा और मैट्रिक्स बटन दबाने की आवश्यकता हो सकती है।

संपादन मेनू का चयन करें।कैलकुलेटर कीबोर्ड के शीर्ष पर स्थित तीर बटन या संबंधित फ़ंक्शन बटन का उपयोग करके ऐसा करें (बटन का स्थान कैलकुलेटर मॉडल पर निर्भर करता है)।

मैट्रिक्स पदनाम दर्ज करें।अधिकांश रेखांकन कैलकुलेटर 3-10 मैट्रिक्स के साथ काम कर सकते हैं, जिन्हें अक्षर A-J द्वारा दर्शाया जा सकता है। आम तौर पर, मूल मैट्रिक्स को इंगित करने के लिए केवल [ए] का चयन करें। फिर एंटर बटन दबाएं।

मैट्रिक्स का आकार दर्ज करें।यह आलेख 3x3 मैट्रिक्स के बारे में बात करता है। लेकिन रेखांकन कैलकुलेटर बड़े मैट्रिक्स को संभाल सकते हैं। पंक्तियों की संख्या दर्ज करें, एंटर कुंजी दबाएं, फिर कॉलम की संख्या दर्ज करें और फिर से एंटर कुंजी दबाएं।

मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को दर्ज करें।कैलकुलेटर एक मैट्रिक्स प्रदर्शित करता है। यदि कैलकुलेटर में पहले एक मैट्रिक्स दर्ज किया गया था, तो यह स्क्रीन पर दिखाई देगा। कर्सर मैट्रिक्स के पहले तत्व को हाइलाइट करेगा। पहले आइटम के लिए मान दर्ज करें और एंटर दबाएं। कर्सर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स के अगले तत्व पर चला जाएगा।

माना nवें क्रम का एक वर्ग आव्यूह है

मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है उलटा मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में, यदि ए * ए -1 = ई, जहां ई एन-वें क्रम की इकाई मैट्रिक्स है।

यूनिट मैट्रिक्स- ऐसा वर्ग मैट्रिक्स, जिसमें ऊपरी बाएं कोने से निचले दाएं कोने तक जाने वाले मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व हैं, और शेष शून्य हैं, उदाहरण के लिए:

उलटा मैट्रिक्समौजूद हो सकता है केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिएवे। पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या वाले मैट्रिक्स के लिए।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए शर्त पर प्रमेय

एक मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह गैर-पतित हो।

आव्यूह A = (A1, A2, ... A n) कहलाता है गैर पतितयदि स्तंभ वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम वैक्टर की संख्या को मैट्रिक्स का रैंक कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स की रैंक उसके आयाम के बराबर हो, अर्थात। आर = एन।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए तालिका में मैट्रिक्स ए लिखें और दाईं ओर (समीकरणों के दाहिने हाथ के स्थान पर) मैट्रिक्स ई असाइन करें।
जॉर्डन ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके, मैट्रिक्स ए को यूनिट कॉलम से युक्त मैट्रिक्स में कम करें; इस मामले में, मैट्रिक्स ई को एक साथ बदलना आवश्यक है।
यदि आवश्यक हो, तो अंतिम तालिका की पंक्तियों (समीकरणों) को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि मूल तालिका के मैट्रिक्स ए के तहत हमें इकाई मैट्रिक्स ई प्राप्त हो।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 लिखें, जो मूल तालिका के मैट्रिक्स ई के तहत अंतिम तालिका में है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स ए के लिए, उलटा मैट्रिक्स ए -1 . खोजें

समाधान: हम मैट्रिक्स ए लिखते हैं और दाईं ओर हम पहचान मैट्रिक्स ई असाइन करते हैं। जॉर्डन ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई में कम करते हैं। गणना तालिका 31.1 में दिखाई जाती है।

आइए मूल मैट्रिक्स ए और व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 को गुणा करके गणना की शुद्धता की जांच करें।

मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप, इकाई मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसलिए, गणनाएं सही हैं।

उत्तर:

मैट्रिक्स समीकरणों को हल करना

मैट्रिक्स समीकरण फॉर्म के हो सकते हैं:

एएक्स = बी, एक्सए = बी, एएक्सबी = सी,

जहां ए, बी, सी निर्दिष्ट मैट्रिक्स हैं, एक्स आवश्यक मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स समीकरणों को इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा समीकरण को गुणा करके हल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, किसी समीकरण से मैट्रिक्स खोजने के लिए, आप उस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करते हैं।

इसलिए, समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको उलटा मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे समीकरण के दाईं ओर मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।

अन्य समीकरणों को इसी तरह हल किया जाता है।

उदाहरण 2

समीकरण को हल करें AX = B यदि

समाधान: चूंकि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है (उदाहरण 1 देखें)

आर्थिक विश्लेषण में मैट्रिक्स विधि

दूसरों के साथ, वे भी आवेदन पाते हैं मैट्रिक्स तरीके... ये विधियां रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं। ऐसी विधियों का उपयोग जटिल और बहुआयामी आर्थिक घटनाओं का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। सबसे अधिक बार, इन विधियों का उपयोग तब किया जाता है जब संगठनों और उनकी संरचनात्मक इकाइयों के कामकाज का तुलनात्मक मूल्यांकन करना आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स विश्लेषण विधियों को लागू करने की प्रक्रिया में, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

पहले चरण मेंआर्थिक संकेतकों की एक प्रणाली बनाई जाती है और इसके आधार पर प्रारंभिक डेटा का एक मैट्रिक्स संकलित किया जाता है, जो एक तालिका है जिसमें सिस्टम नंबर इसकी अलग-अलग पंक्तियों में दिखाए जाते हैं (मैं = 1,2, ...., एन), और ऊर्ध्वाधर स्तंभों के साथ - संकेतकों की संख्या (जे = 1,2, ...., एम).

दूसरे चरण मेंप्रत्येक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के लिए, संकेतकों के उपलब्ध मूल्यों में से सबसे बड़ा पता चलता है, जिसे एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

उसके बाद, इस कॉलम में परिलक्षित सभी राशियों को सबसे बड़े मूल्य से विभाजित किया जाता है और मानकीकृत गुणांक का एक मैट्रिक्स बनता है।

तीसरे चरण मेंमैट्रिक्स के सभी घटक भाग चुकता हैं। यदि उनका अलग महत्व है, तो मैट्रिक्स के प्रत्येक संकेतक को एक निश्चित भार कारक सौंपा जाता है क... उत्तरार्द्ध का मूल्य विशेषज्ञ निर्णय द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आखिरी में, चौथा चरणरेटिंग के मूल्य पाए गए आर जेबढ़ने या घटने के क्रम में समूहीकृत किया जाता है।

उल्लिखित मैट्रिक्स विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, विभिन्न निवेश परियोजनाओं के तुलनात्मक विश्लेषण के साथ-साथ संगठनों की गतिविधियों के अन्य आर्थिक संकेतकों के मूल्यांकन में।

मैट्रिक्स गुणन के विपरीत ऑपरेशन को परिभाषित करने की समस्या पर विचार करें।

मान लीजिए कि n कोटि का एक वर्ग आव्यूह है। मैट्रिक्स ए ^ (- 1), जो दिए गए मैट्रिक्स ए के साथ समानता को संतुष्ट करता है:

ए ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E,

बुलाया उलटना... मैट्रिक्स ए कहा जाता है प्रतिवर्तीयदि इसका व्युत्क्रम है, अन्यथा - अचल.

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि यदि प्रतिलोम मैट्रिक्स A ^ (- 1) मौजूद है, तो यह A के समान क्रम का वर्ग है। हालांकि, हर वर्ग मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मौजूद नहीं है। यदि मैट्रिक्स A का सारणिक शून्य (\ det (A) = 0) के बराबर है, तो इसका कोई प्रतिलोम नहीं है। वस्तुत:, सर्वसमिका आव्यूह E = A ^ (- 1) A के लिए आव्यूहों के गुणनफल के सारणिक पर प्रमेय को लागू करने पर हमें एक अंतर्विरोध प्राप्त होता है।

\ det (E) = \ det (A ^ (- 1) \ cdot A) = \ det (A ^ (- 1)) \ det (A) = \ det (A ^ (- 1)) \ cdot0 = 0

चूंकि पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है। यह पता चला है कि एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के शून्य से अंतर एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए एकमात्र शर्त है। याद रखें कि एक वर्ग मैट्रिक्स, जिसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है, को डीजेनरेट (एकवचन) कहा जाता है, अन्यथा यह नॉनडिजेनरेट (नॉनसिंगुलर) होता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेय 4.1। स्क्वायर मैट्रिक्स A = \ start (pmatrix) a_ (11) और \ cdots और a_ (1n) \\ \ vdots और \ ddots और \ vdots \\ a_ (n1) और \ cdots और a_ (nn) \ end (pmatrix), जिसका निर्धारक गैर-शून्य है, में एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और इसके अलावा, केवल एक:

ए ^ (- 1) = \ फ्रैक (1) (\ det (ए)) \ cdot \! \ start (pmatrix) A_ (11) & A_ (21) & \ cdots & A_ (1n) \\ A_ (12) & A_ (22) & \ cdots & A_ (n2) \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots और \ vdots \\ A_ (1n ) और A_ (2n) और \ cdots और A_ (nn) \ end (pmatrix) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+),

जहां ए ^ (+) मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजगणितीय पूरक से बना मैट्रिक्स के लिए स्थानांतरित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स ए ^ (+) कहा जाता है संलग्न मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में

दरअसल, मैट्रिक्स \ frac (1) (\ det (ए)) \, ए ^ (+)शर्त के तहत मौजूद है \ det (ए) \ ne0। यह दिखाया जाना चाहिए कि यह ए के विपरीत है, अर्थात। दो शर्तों को पूरा करता है:

\ start (गठबंधन) \ mathsf (1)) और ~ A \ cdot \! \ बाएँ (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ दाएँ) = E; \\ \ mathsf (2)) और ~ \! \ लेफ्ट (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) \! \ Cdot A = E. \ End (गठबंधन)

आइए हम पहली समानता साबित करें। टिप्पणी 2.3 के खंड 4 के अनुसार, यह निर्धारक के गुणों का अनुसरण करता है कि एए ^ (+) = \ det (ए) \ cdot E... इसलिए

ए \ cdot \! \ लेफ्ट (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot AA ^ (+) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot \ det (A) \ cdot E = E,

जिसे दिखाना जरूरी था। दूसरी समानता इसी तरह सिद्ध होती है। इसलिए, शर्त के तहत \ det (A) \ ne0, मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम है

ए ^ (- 1) = \ फ्रैक (1) (\ det (ए)) \ cdot ए ^ (+)।

आइए हम प्रतिलोम मैट्रिक्स की विशिष्टता को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करें। मान लीजिए, आव्यूह A ^ (- 1) के अलावा, एक और प्रतिलोम आव्यूह B \, (B \ ne A ^ (- 1)) इस प्रकार मौजूद है कि AB = E। इस समानता के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स A ^ (- 1) द्वारा बाईं ओर गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं \ अंडरब्रेस (ए ^ (- 1) एबी) _ (ई) = ए ^ (- 1) ई... इसलिए B = A ^ (- 1), जो कि B \ ne A ^ (- 1) की धारणा का खंडन करता है। इसलिए, उलटा मैट्रिक्स अद्वितीय है।

नोट्स 4.1

1. यह परिभाषा से इस प्रकार है कि मैट्रिक्स ए और ए ^ (- 1) कम्यूट।

2. एक गैर-अपक्षयी विकर्ण का व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी विकर्ण होता है:

\ Bigl [\ operatorname (diag) (a_ (11), a_ (22), \ ldots, a_ (nn)) \ Bigr] ^ (- 1) = \ operatorname (diag) \! \ लेफ्ट (\ frac (1 ) (a_ (11)), \, \ frac (1) (a_ (22)), \, \ ldots, \, \ frac (1) (a_ (nn)) \ right) \ !.

3. नॉनडिजेनरेट लोअर (ऊपरी) त्रिकोणीय मैट्रिक्स का व्युत्क्रम निचला (ऊपरी) त्रिकोणीय होता है।

4. प्राथमिक आव्यूहों में प्रतिलोम होता है, जो प्राथमिक भी होता है (टिप्पणी 1.11 का मद 1 देखें)।

उलटा मैट्रिक्स गुण

मैट्रिक्स उलटा ऑपरेशन में निम्नलिखित गुण हैं:

\ शुरू (गठबंधन) \ बोल्ड (1.) और ~~ (ए ^ (- 1)) ^ (- 1) = ए \, \\ \ बोल्ड (2.) और ~~ (एबी) ^ (- 1 ) = बी ^ (- 1) ए ^ (- 1) \,; \\ \ बोल्ड (3.) और ~~ (ए ^ टी) ^ (- 1) = (ए ^ (- 1)) ^ टी \ ,; \\ \ बोल्ड (4.) और ~~ \ det (A ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ det (A)) \,; \\ \ बोल्ड (5.) और ~~ ई ^ (- 1) = ई \ ,। \ अंत (गठबंधन)

अगर समानता 1-4 में संकेतित संचालन समझ में आता है।

आइए हम संपत्ति 2 साबित करें: यदि समान कोटि के गैर-अपघटित वर्ग आव्यूहों के गुणनफल AB का प्रतिलोम है, तो (एबी) ^ (- 1) = बी ^ (- 1) ए ^ (- 1).

वास्तव में, आव्यूह AB के गुणनफल का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि

\ det (A \ cdot B) = \ det (A) \ cdot \ det (B), कहाँ पे \ det (ए) \ ne0, ~ \ det (बी) \ ne0

इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स (AB) ^ (- 1) मौजूद है और अद्वितीय है। आइए हम परिभाषा के अनुसार दिखाएं कि मैट्रिक्स B ^ (- 1) A ^ (- 1) मैट्रिक्स AB के सापेक्ष उलटा है। सच में।