परिचय
मुख्य हिस्सा
1. पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण
2. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत
3. गणितीय प्रेरण की विधि
4. उदाहरणों का समाधान
5. समानता
6. संख्याओं का विभाजन
7. असमानताएं
निष्कर्ष
प्रयुक्त साहित्य की सूची
परिचय
सभी गणितीय शोध निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियों पर आधारित होते हैं। तर्क की निगमन विधि सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रही है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। इंडक्शन का उपयोग विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों की ओर जाते समय किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है।
गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रगति के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे प्रेरक रूप से सोचने का इरादा किया है।
यद्यपि गणितीय प्रेरण की पद्धति के अनुप्रयोग का क्षेत्र बढ़ा है, लेकिन स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय दिया जाता है। ठीक है, उन्हें बताएं कि दो या तीन पाठ एक उपयोगी व्यक्ति लाएंगे, जिसके लिए वह सिद्धांत के पांच शब्द सुनेंगे, पांच आदिम समस्याओं को हल करेंगे, और परिणामस्वरूप, कुछ भी नहीं जानने के लिए ए प्राप्त करेंगे।
लेकिन आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है।
मुख्य हिस्सा
अपने मूल अर्थ के अनुसार, "प्रेरण" शब्द का प्रयोग तर्क-वितर्क के लिए किया जाता है जिसकी सहायता से कई विशेष कथनों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार के तर्क करने की सबसे सरल विधि पूर्ण प्रेरण है। यहाँ इस तर्क का एक उदाहरण है।
यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n 4 . के भीतर< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;
14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.
ये नौ समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या को वास्तव में दो सरल शब्दों के योग के रूप में दर्शाया गया है।
इस प्रकार, पूर्ण प्रेरण का अर्थ है कि संभावित मामलों की सीमित संख्या में प्रत्येक में सामान्य कथन अलग-अलग साबित होता है।
कभी-कभी सामान्य परिणाम की भविष्यवाणी सभी पर नहीं, बल्कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में विशेष मामलों (तथाकथित अपूर्ण प्रेरण) पर विचार करने के बाद की जा सकती है।
अपूर्ण प्रेरण द्वारा प्राप्त परिणाम, हालांकि, केवल एक परिकल्पना ही रहता है जब तक कि यह सभी विशेष मामलों को शामिल करने वाले सटीक गणितीय तर्क से सिद्ध नहीं हो जाता। दूसरे शब्दों में, गणित में अपूर्ण प्रेरण को कठोर प्रमाण का एक वैध तरीका नहीं माना जाता है, बल्कि यह नए सत्य की खोज का एक शक्तिशाली तरीका है।
मान लीजिए, उदाहरण के लिए, आप पहले n क्रमागत विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना चाहते हैं। आइए विशेष मामलों पर विचार करें:
1+3+5+7+9=25=5 2
इन कुछ विशेष मामलों पर विचार करने के बाद, निम्नलिखित सामान्य निष्कर्ष स्वयं ही सुझाते हैं:
1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2
वे। पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n 2 . है
बेशक, किया गया अवलोकन अभी तक उपरोक्त सूत्र की वैधता के प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता है।
पूर्ण प्रेरण गणित में सीमित उपयोग का है। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, लेकिन हम अनंत मामलों की जांच करने में सक्षम नहीं हैं। अधूरा प्रेरण अक्सर गलत परिणाम देता है।
कई मामलों में, इस तरह की कठिनाई से बाहर निकलने का तरीका तर्क की एक विशेष विधि की ओर मुड़ना है जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। यह इस प्रकार है।
मान लीजिए कि आपको किसी प्राकृत संख्या n के लिए एक निश्चित कथन की वैधता साबित करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, आपको यह साबित करना होगा कि पहली n विषम संख्याओं का योग n 2 के बराबर है)। n के प्रत्येक मान के लिए इस कथन का प्रत्यक्ष सत्यापन असंभव है, क्योंकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए पहले n = 1 के लिए इसकी वैधता की जाँच करें। तब यह सिद्ध हो जाता है कि k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए n = k के लिए विचाराधीन कथन की वैधता का अर्थ n = k + 1 के लिए भी उसकी वैधता है।
तब कथन को सभी n के लिए सिद्ध माना जाता है। वास्तव में, कथन n = 1 के लिए सत्य है। लेकिन फिर यह अगली संख्या n = 1 + 1 = 2 के लिए भी सत्य है। n = 2 के लिए कथन की वैधता का तात्पर्य n = 2 + . के लिए इसकी वैधता है
1 = 3. इसका तात्पर्य n = 4, आदि के लिए कथन की वैधता है। यह स्पष्ट है कि अंत में हम किसी भी प्राकृत संख्या n पर पहुंचेंगे। इसलिए, कथन किसी भी n के लिए सत्य है।
जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम निम्नलिखित सामान्य सिद्धांत तैयार करते हैं।
गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।
यदि वाक्य ए ( एन ), प्राकृतिक संख्या के आधार पर एन , सच के लिए एन = 1 और इस तथ्य से कि यह सत्य है एन = के (कहाँ पे क -कोई प्राकृत संख्या), यह इस प्रकार है कि यह अगली संख्या के लिए भी सत्य है एन = के + 1 , फिर धारणा ए ( एन ) किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है एन .
कुछ मामलों में, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n> p के लिए एक निश्चित कथन की वैधता को साबित करना आवश्यक है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है। यदि वाक्य ए ( एन ) के लिए सच है एन = पी और अगर ए ( क ) Þ ए( कश्मीर + 1) किसी के लिए भी कश्मीर> पी, फिर वाक्य ए ( एन) किसी के लिए सच एन> पी।गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जा रहे अभिकथन को n = 1 के लिए सत्यापित किया जाता है, अर्थात। कथन A (1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रूफ के इस भाग को इंडक्शन बेसिस कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का वह भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, हम n = k + 1 के लिए अभिकथन की वैधता को इस धारणा के तहत सिद्ध करते हैं कि अभिकथन n = k (प्रेरण परिकल्पना) के लिए मान्य है, अर्थात, सिद्ध कीजिए कि A (k) A (k + 1)।
उदाहरण 1
सिद्ध कीजिए कि 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2।
हल: 1) हमारे पास n = 1 = 1 2 है। इसलिये,
कथन n = 1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सत्य है।
2) आइए हम सिद्ध करें कि (k) A (k + 1)।
मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n = k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।
1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k 2.
आइए हम सिद्ध करें कि यह कथन अगली प्राकृत संख्या n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात्, क्या
1 + 3 + 5 +… + (2k + 1) = (k + 1) 2.
वास्तव में,
1 + 3 + 5 +… + (2k-1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2.
तो, ए (के) Þए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nÎN के लिए धारणा A (n) सत्य है।
उदाहरण 2
साबित करो
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n = (x n + 1 -1) / (x-1), जहां x¹1
हल: 1) n = 1 के लिए हमें प्राप्त होता है
1 + एक्स = (एक्स 2 -1) / (एक्स -1) = (एक्स -1) (एक्स + 1) / (एक्स -1) = एक्स + 1
इसलिए, n = 1 के लिए सूत्र सही है; ए (1) सत्य है।
2) मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n = k के लिए सूत्र सत्य है, अर्थात्।
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k = (x k + 1 -1) / (x-1)।
आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1)।
वास्तव में
1 + एक्स + एक्स 2 + एक्स 3 +… + एक्स के + एक्स के + 1 = (1 + एक्स + एक्स 2 + एक्स 3 +… + एक्स के) + एक्स के + 1 =
= (एक्स के + 1 -1) / (एक्स -1) + एक्स के + 1 = (एक्स के + 2 -1) / (एक्स -1)।
तो, ए (के) Þए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।
उदाहरण 3
सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n (n-3)/2 होती है।
हल: 1) n = 3 के लिए, कथन है:
और 3 धूर्त है, क्योंकि त्रिभुज में 3 = 3 (3-3) / 2 = 0 विकर्ण;
ए 2 ए (3) सत्य है।
2) मान लीजिए कि किसी में
उत्तल के-गॉन है-
А 1 sy k = k (k-3) / 2 विकर्ण।
А k आइए सिद्ध करें कि तब उत्तल में
(के + 1) -गॉन नंबर
विकर्ण k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2।
मान लीजिए A 1 A 2 A 3… A k A k + 1 -उत्तल (k + 1) -कोण। इसमें एक विकर्ण A 1 A k खींचिए। इस (k + 1) -gon के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2… A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। (k + 1) के विकर्णों की संख्या - शीर्ष k + 1 से बाहर जाने वाले, और, इसके अलावा, विकर्ण А 1 k को ध्यान में रखा जाना चाहिए।
इस तरह,
के + 1 = के + (के -2) + 1 = के (के -3) / 2 + के -1 = (के + 1) (के -2) / 2।
तो, ए (के) Þए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।
उदाहरण 4
सिद्ध कीजिए कि किसी n के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है:
1 2 +2 2 +3 2 +… + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6.
हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो
एक्स 1 = 1 2 = 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1.
अत: n = 1 के लिए कथन सत्य है।
2) मान लीजिए कि n = k
एक्स के = के 2 = के (के + 1) (2 के + 1) / 6।
3) n = k + 1 . के लिए इस कथन पर विचार करें
एक्स के + 1 = (के + 1) (के + 2) (2 के + 3) / 6।
एक्स के + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 +… + के 2 + (के + 1) 2 = के (के + 1) (2k + 1) / 6 + + (के + 1) 2 = (के (के + 1) (2k + 1) +6 (के + 1) 2) / 6 = (के + 1) (के (2k + 1) +
6 (के + 1)) / 6 = (के + 1) (2k 2 + 7k + 6) / 6 = (के + 1) (2 (के + 3/2) (के +
2)) / 6 = (के + 1) (के + 2) (2k + 3) / 6.
हमने n = k + 1 के लिए समानता की वैधता सिद्ध कर दी है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।
उदाहरण 5
सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए निम्नलिखित समानता सत्य है:
1 3 +2 3 +3 3 +… + एन 3 = एन 2 (एन + 1) 2/4।
हल: 1) मान लीजिए n = 1 है।
फिर एक्स 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1।
हम देखते हैं कि n = 1 के लिए कथन सत्य है।
2) मान लीजिए कि समानता n = k . के लिए सही है
काम का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना रखा गया है।
कार्य का पूर्ण संस्करण "कार्य फ़ाइलें" टैब में PDF स्वरूप में उपलब्ध है
परिचय
यह विषय प्रासंगिक है, क्योंकि हर दिन लोग विभिन्न समस्याओं को हल करते हैं जिसमें वे समाधान के विभिन्न तरीकों को लागू करते हैं, लेकिन ऐसे कार्य हैं जिनमें गणितीय प्रेरण की विधि को समाप्त नहीं किया जा सकता है, और ऐसे मामलों में इस क्षेत्र में ज्ञान बहुत उपयोगी होगा।
मैंने इस विषय को शोध के लिए चुना क्योंकि स्कूली पाठ्यक्रम में गणितीय प्रेरण की विधि के लिए बहुत कम समय समर्पित है, छात्र सतही जानकारी सीखता है जिससे उसे इस पद्धति का केवल एक सामान्य विचार प्राप्त करने में मदद मिलेगी, लेकिन अध्ययन के लिए आत्म-विकास की आवश्यकता है इस सिद्धांत को गहराई से इस विषय के बारे में अधिक विस्तार से जानना वास्तव में उपयोगी होगा, क्योंकि यह व्यक्ति के क्षितिज को विस्तृत करता है और जटिल समस्याओं को हल करने में मदद करता है।
उद्देश्य:
गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित हों, इस विषय पर ज्ञान को व्यवस्थित करें और इसे गणितीय समस्याओं को हल करने और प्रमेयों को सिद्ध करने में लागू करें, समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक कारक के रूप में गणितीय प्रेरण की विधि के व्यावहारिक मूल्य को प्रमाणित और स्पष्ट रूप से दिखाएं।
सौंपे गए कार्य:
साहित्य का विश्लेषण करें और इस विषय पर ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें।
गणितीय प्रेरण की विधि के सिद्धांत को समझें।
समस्या समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग का अन्वेषण करें।
किए गए कार्य पर निष्कर्ष और निष्कर्ष तैयार करना।
अनुसंधान का मुख्य निकाय
उत्पत्ति का इतिहास:
केवल 19 वीं शताब्दी के अंत तक तार्किक कठोरता के लिए आवश्यकताओं का एक मानक था, जो आज भी व्यक्तिगत गणितीय सिद्धांतों के विकास पर गणितज्ञों के व्यावहारिक कार्य में प्रमुख है।
प्रेरण एक संज्ञानात्मक प्रक्रिया है जिसके माध्यम से उपलब्ध तथ्यों की तुलना से उनका सामान्यीकरण करने वाला एक बयान प्राप्त होता है।
गणित में, प्रेरण की भूमिका काफी हद तक इस तथ्य के कारण होती है कि यह चुने हुए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का आधार है। लंबे अभ्यास के बाद पता चला कि एक सीधा रास्ता हमेशा घुमावदार या टूटे हुए रास्ते से छोटा होता है, एक स्वयंसिद्ध बनाना स्वाभाविक था: किन्हीं तीन बिंदुओं ए, बी और सी के लिए, असमानता धारण करती है।
एक अलग महत्वपूर्ण विधि के रूप में गणितीय प्रेरण की विधि के बारे में जागरूकता ब्लेज़ पास्कल और गेर्सोनाइड्स में वापस जाती है, हालांकि आवेदन के व्यक्तिगत मामले प्राचीन काल में प्रोक्लस और यूक्लिड द्वारा पाए जाते हैं। विधि का वर्तमान नाम डी मॉर्गन द्वारा 1838 में पेश किया गया था।
गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है: हम निम्नतम से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रगति के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे प्रेरक रूप से सोचने का इरादा किया है।
प्रेरण और कटौती
यह ज्ञात है कि निजी और सामान्य दोनों कथन हैं, और दो दिए गए शब्द एक से दूसरे में संक्रमण पर आधारित हैं।
कटौती (Lat.deductio से - निकासी) - से अनुभूति की प्रक्रिया में संक्रमण सामान्यकरने के लिए ज्ञान निजीतथा एक... कटौती में, सामान्य ज्ञान तर्क के शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है, और इस सामान्य ज्ञान को "तैयार" माना जाता है, मौजूदा। कटौती की ख़ासियत यह है कि इसके परिसर की सच्चाई निष्कर्ष की सच्चाई की गारंटी देती है। इसलिए, कटौती में अनुनय की जबरदस्त शक्ति होती है और इसका व्यापक रूप से न केवल गणित में प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है, बल्कि जहां भी विश्वसनीय ज्ञान की आवश्यकता होती है।
इंडक्शन (लैटिन इंडक्टियो से - मार्गदर्शन) अनुभूति की प्रक्रिया में एक संक्रमण है निजीकरने के लिए ज्ञान सामान्यदूसरे शब्दों में, यह अनुसंधान की एक विधि है, प्रेक्षणों और प्रयोगों के परिणामों के सामान्यीकरण से जुड़ी अनुभूति। प्रेरण की एक विशेषता इसकी संभाव्य प्रकृति है, अर्थात। यदि प्रारंभिक परिसर सत्य है, तो प्रेरण निष्कर्ष केवल सत्य होने की संभावना है और अंतिम परिणाम में यह सत्य और गलत दोनों हो सकता है।
पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण
आगमनात्मक निष्कर्ष अमूर्त सोच का एक रूप है जिसमें विचार सामान्यता की कम डिग्री के ज्ञान से अधिक व्यापकता के ज्ञान के लिए विकसित होता है, और परिसर से उत्पन्न निष्कर्ष प्रकृति में मुख्य रूप से संभाव्य है।
अपने शोध के दौरान, मैंने पाया कि प्रेरण दो प्रकारों में विभाजित है: पूर्ण और अपूर्ण।
पूर्ण प्रेरण को अनुमान कहा जाता है, जिसमें इस वर्ग की सभी वस्तुओं के अध्ययन के आधार पर वस्तुओं के एक वर्ग के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाला जाता है।
उदाहरण के लिए, यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि 6≤ n≤ 18 के भीतर प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, ऐसी सभी संख्याएँ लें और संबंधित विस्तारों को लिखें:
6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;
ये समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या वास्तव में दो सरल शब्दों के योग के रूप में दर्शायी जाती है।
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: अनुक्रम yn = n 2 + n + 17; आइए पहले चार पदों को लिखें: 1 = 19 पर; वाई 2 = 23; वाई 3 = 29; वाई 4 = 37; तब हम मान सकते हैं कि पूरे अनुक्रम में अभाज्य संख्याएँ हैं। लेकिन ऐसा नहीं है, y 16 = 16 2 + 16 + 17 = 16 (16 + 1) + 17 = 17 * 17 लें। यह एक संयुक्त संख्या है, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत है, इस प्रकार, अपूर्ण प्रेरण पूरी तरह से विश्वसनीय निष्कर्ष नहीं देता है, लेकिन हमें एक परिकल्पना तैयार करने की अनुमति देता है, जिसके लिए भविष्य में गणितीय प्रमाण या खंडन की आवश्यकता होती है।
गणितीय प्रेरण की विधि
पूर्ण प्रेरण गणित में सीमित उपयोग का है। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, और हम इन सभी स्थितियों की जांच करने में सक्षम नहीं हैं। लेकिन अनंत मामलों की जांच कैसे करें? यह विधि बी. पास्कल और जे. बर्नौली द्वारा प्रस्तावित की गई थी, यह गणितीय प्रेरण की एक विधि है, जो आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत.
यदि एक वाक्य A (n), एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n = 1 के लिए सत्य है और इस तथ्य से कि यह n = k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह निम्नलिखित के लिए भी सत्य है अगली संख्या n = k +1, तो मान लीजिए कि A (n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।
कुछ मामलों में, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n> p के लिए एक निश्चित कथन की वैधता को साबित करना आवश्यक है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है:
यदि वाक्य А (n) n = p के लिए सत्य है और यदि (k) (k + 1) किसी k> p के लिए, तो प्रस्ताव А (n) किसी भी n> p के लिए सत्य है।
एल्गोरिथम (इसमें चार चरण होते हैं):
1.आधार(हम दिखाते हैं कि सिद्ध किया जा रहा दावा कुछ सरलतम विशेष मामलों के लिए सही है ( पी = 1));
2. अनुमान:(हम मानते हैं कि कथन पहले के लिए सिद्ध होता है प्रति मामले); 3 .कदम(इस धारणा के तहत, हम मामले के लिए बयान साबित करते हैं पी = प्रति + 1); 4.निष्कर्ष (परकथन सभी मामलों के लिए सत्य है, अर्थात सभी के लिए पी) .
ध्यान दें कि गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सभी समस्याओं को हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन केवल कुछ चर द्वारा पैरामीटर की गई समस्याएं। इस चर को प्रेरण चर कहा जाता है।
गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग
हम इस सभी सिद्धांत को व्यवहार में लागू करेंगे और पता लगाएंगे कि इस पद्धति का उपयोग किन समस्याओं में किया जाता है।
असमानताओं को सिद्ध करने की समस्याएँ।
उदाहरण 1।बर्नौली असमानता साबित करें (1 + x) n≥1 + nx, x> -1, n € N।
1) n = 1 के लिए, असमानता मान्य है, क्योंकि 1 + x≥1 + x
2) मान लीजिए कि कुछ n = k के लिए असमानता सत्य है, अर्थात्।
(1 + एक्स) के 1 + के एक्स।
असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक संख्या 1 + x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं
(1 + एक्स) के + 1 ≥ (1 + केएक्स) (1+ एक्स) = 1 + (के + 1) एक्स + केएक्स 2
इस बात को ध्यान में रखते हुए कि kx 2 ≥0, हम असमानता पर पहुँचते हैं
(1 + एक्स) के + 1 ≥1 + (के + 1) एक्स।
इस प्रकार, इस धारणा से कि बर्नौली की असमानता n = k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n = k + 1 के लिए सत्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n € N के लिए मान्य है।
उदाहरण 2।सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n> 1 के लिए।
आइए हम इसे गणितीय आगमन विधि द्वारा सिद्ध करें।
हम असमानता के बाईं ओर निरूपित करते हैं।
1), इसलिए, n = 2 के लिए, असमानता मान्य है।
2) मान लीजिए कुछ k. आइए हम साबित करें कि तब और। हमारे पास है,।
तुलना करना और, हमारे पास है, अर्थात्। ...
किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए, अंतिम समानता का दाहिना हाथ धनात्मक होता है। इसलिए। लेकिन, इसलिए, और। हमने n = k + 1 के लिए असमानता को साबित कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि से, असमानता किसी भी प्राकृतिक n> 1 के लिए मान्य है।
पहचान साबित करने वाले कार्य।
उदाहरण 1।सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए निम्नलिखित समानता सत्य है:
1 3 +2 3 +3 3 +… + एन 3 = एन 2 (एन + 1) 2/4।
मान लीजिए n = 1, तो X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1।
हम देखते हैं कि n = 1 के लिए कथन सत्य है।
2) मान लीजिए कि n = kX k = k 2 (k + 1) 2/4 के लिए समानता सत्य है।
3) आइए इस कथन की सत्यता n = k + 1, अर्थात् X k + 1 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4 के लिए सिद्ध करें। एक्स के + 1 = 1 3 +2 3 +… + के 3 + (के + 1) 3 = के 2 (के + 1) 2/4 + (के + 1) 3 = (के 2 (के + 1) 2 +4 (के + 1) 3) / 4 = (के + 1) 2 (के 2 + 4 के + 4) / 4 = (के + 1) 2 (के + 2) 2/4।
उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n = k + 1 के लिए सत्य है, इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए समानता सत्य है।
उदाहरण 2।सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए समानता
1) आइए जाँच करें कि यह सर्वसमिका n = 1 के लिए सत्य है; - अधिकार।
2) मान लीजिए कि n = k के लिए भी सर्वसमिका सत्य है, अर्थात्।
3) आइए हम सिद्ध करें कि यह सर्वसमिका n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात्;
चूंकि समानता n = k और n = k + 1 के लिए सत्य है, तो यह किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।
संक्षेपण समस्याएं।
उदाहरण 1।सिद्ध कीजिए कि 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2।
हल: 1) हमारे पास n = 1 = 1 2 है। इसलिए, कथन n = 1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सत्य है।
2) आइए हम सिद्ध करें कि A (k) A (k + 1)।
मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n = k के लिए कथन सत्य है, अर्थात् 1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k 2।
आइए हम सिद्ध करें कि यह कथन अगली प्राकृत संख्या n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात्, क्या
1 + 3 + 5 +… + (2k + 1) = (k + 1) 2.
दरअसल, 1 + 3 + 5 +… + (2k-1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2.
तो, ए (के) ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nN के लिए धारणा A (n) सत्य है।
उदाहरण 2।सूत्र को सिद्ध कीजिए, n एक प्राकृत संख्या है।
हल: n = 1 के लिए, समानता के दोनों पक्ष एक हो जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।
मान लीजिए कि सूत्र n = k के लिए सत्य है, अर्थात्। ...
इस समानता को दोनों पक्षों में जोड़ें और दाईं ओर को रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है
इस प्रकार, चूंकि n = k के लिए सूत्र सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n = k + 1 के लिए भी सत्य है, तो यह कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।
विभाज्यता की समस्याएं।
उदाहरण 1।सिद्ध कीजिए कि (11 n + 2 +12 2n + 1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।
समाधान: 1) मान लीजिए n = 1, तो
11 3 +12 3 = (11 + 12) (11 2-132 + 12 2) = 23 × 133।
(23 × 133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n = 1 के लिए कथन सत्य है;
2) मान लीजिए कि (11 k + 2 + 12 2k + 1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।
3) आइए हम साबित करें कि इस मामले में
(11 k + 3 +12 2k + 3) बिना शेषफल के 133 से विभाज्य है। दरअसल, 11 k + 3 +12 2n + 3 = 11 × 11 k + 2 +
12 2 × 12 2k + 1 = 11 × 11 k + 2 + (11 + 133) × 12 2k + 1 = 11 (11 k + 2 +12 2k + 1) + 133 × 12 2k + 1.
परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे में कारकों में से 133 है।
तो, ए (के) → ए (के + 1), फिर गणितीय प्रेरण की विधि पर भरोसा करते हुए, कथन किसी भी प्राकृतिक एन के लिए सही है।
उदाहरण 2।सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ प्राकृत संख्या n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।
हल: 1) मान लीजिए n = 1, तो X 1 = 3 3 - 1 + 2 4 - 3 = 3 2 + 2 1 = 11 बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है। अत: n = 1 के लिए कथन सत्य है।
2) मान लीजिए कि n = k . के लिए
X k = 3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है।
3) आइए हम सिद्ध करें कि n = k + 1 के लिए कथन सत्य है।
एक्स के + 1 = 3 3 (के + 1) -1 +2 4 (के + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3 * 3 3k-1 +2 4 * 2 4k-3 =
27 3 3k-1 + 16 * 2 4k-3 = (16 + 11) * 3 3k-1 + 16 * 2 4k-3 = 16 * 3 3k-1 +
11 * 3 3k-1 + 16 * 2 4k-3 = 16 (3 3k-1 + 2 4k-3) + 11 * 3 3k-1।
पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसका अर्थ है कि योग विभाज्य है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से।
वास्तविक जीवन के कार्य।
उदाहरण 1।सिद्ध कीजिए कि किसी उत्तल बहुभुज के अंतः कोणों का योग Sn होता है ( पी- 2) , जहां पी- इस बहुभुज की भुजाओं की संख्या: Sn = ( पी- 2) (1)।
यह कथन सभी के लिए स्वाभाविक नहीं है पी, लेकिन केवल के लिए पी > 3, चूँकि त्रिभुज में कोणों की न्यूनतम संख्या 3 होती है।
1) कब पी= 3 हमारा कथन रूप लेता है: एस 3 = । लेकिन किसी भी त्रिभुज के अंत:कोणों का योग वास्तव में के बराबर होता है। इसलिए, अत पी= 3 सूत्र (1) सही है।
2) मान लें कि यह सूत्र n . के लिए सत्य है = के, वह है, S क = (क- 2) , जहां क > 3. आइए हम सिद्ध करें कि इस मामले में सूत्र भी यही मानता है: S कश्मीर + 1 = (क- 1) .
चलो ए 1 ए 2 ... ए क ए कश्मीर + 1 - मनमाना उत्तल ( क+ 1) -गॉन (अंजीर। 338)।
कनेक्टिंग पॉइंट्स A 1 और A क , हम एक उत्तल प्राप्त करते हैं क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क - 1 ए क ... जाहिर है, कोणों का योग ( क+ 1) -गॉन ए 1 ए 2 ... ए क ए कश्मीर + 1 कोणों के योग के बराबर है क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क साथ ही त्रिभुज A 1 A . के कोणों का योग क ए कश्मीर + एक । लेकिन कोणों का योग क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क धारणा के बराबर है ( क- 2) , और त्रिभुज A के कोणों का योग 1 A क ए कश्मीर + 1 के बराबर है। इसलिए
एस कश्मीर + 1 = एस क + π = ( क- 2) + = ( क- 1) .
तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, और इसलिए सूत्र (1) किसी भी प्राकृतिक के लिए सही है पी > 3.
उदाहरण 2।एक सीढ़ी है, जिसकी सभी सीढ़ियाँ एक जैसी हैं। पदों की न्यूनतम संख्या को इंगित करना आवश्यक है जो किसी भी चरण को संख्या से "चढ़ाई" करने की क्षमता की गारंटी देगा।
सभी सहमत हैं कि एक शर्त होनी चाहिए। हमें पहले कदम पर चढ़ने में सक्षम होना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें पहले चरण से दूसरे चरण पर चढ़ने में सक्षम होना चाहिए। फिर दूसरे में - तीसरे पर, आदि। n-वें चरण तक। बेशक, कुल मिलाकर, "एन" स्टेटमेंट एनएम की गारंटी देते हैं कि हम एन-वें चरण तक पहुंचने में सक्षम होंगे।
आइए अब 2, 3,…., N स्थितियों को देखें और उनकी एक दूसरे से तुलना करें। यह देखना आसान है कि उन सभी की संरचना समान है: यदि हम k सीढ़ियाँ प्राप्त करते हैं, तो हम (k + 1) सीढ़ियाँ चढ़ सकते हैं। इसलिए, "n" के आधार पर कथनों की वैधता के लिए ऐसा स्वयंसिद्ध स्वाभाविक हो जाता है: यदि एक वाक्य A (n), जिसमें n एक प्राकृतिक संख्या है, n = 1 के लिए है और इस तथ्य से कि यह n = k के लिए है (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है), यह इस प्रकार है कि यह n = k + 1 के लिए है, तो धारणा A (n) किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए है।
अनुबंध
विश्वविद्यालयों में प्रवेश के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करने वाले कार्य।
ध्यान दें कि उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रवेश करते समय, ऐसी समस्याएं भी होती हैं जो इस पद्धति द्वारा हल की जाती हैं। आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ उन पर विचार करें।
उदाहरण 1।साबित करें कि कोई भी प्राकृतिक पीनिष्पक्ष समानता
1) कब एन = 1हमें सही समानता पाप मिलता है।
2) प्रेरण परिकल्पना बनाना कि n = . के लिए कसमानता सत्य है, समानता के बाईं ओर के योग पर विचार करें, n . के लिए = के + 1;
3) कास्टिंग फ़ार्मुलों का उपयोग करके, हम व्यंजक को रूपांतरित करते हैं:
फिर, गणितीय प्रेरण की विधि से, समानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।
उदाहरण 2।सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत n के लिए व्यंजक 4n + 15n-1 का मान 9 का गुणज होता है।
1) n = 1: 2 2 + 15 - 1 = 18 के लिए - 9 का गुणज (चूंकि 18:9 = 2)
2) समानता के लिए बने रहने दें एन = के: 4 k + 15k-1, 9 का गुणज है।
3) आइए हम साबित करें कि समानता अगली संख्या के लिए है एन = के + 1
4 k + 1 +15 (k + 1) -1 = 4 k + 1 + 15k + 15-1 = 4.4 k + 60k-4-45k + 18 = 4 (4 k + 15k-1) -9 (5k- 2)
4 (4 k + 15k-1) - 9 से विभाज्य;
9 (5k-2) - 9 से विभाज्य;
अतः पूर्ण व्यंजक 4 (4 k + 15k-1) -9 (5k-2) 9 का गुणज है, जिसे हमें सिद्ध करना था।
उदाहरण 3.सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए पीशर्त पूरी होती है: 1 2 3 + 2 ∙ 3 4 +… + एन (एन + 1) (एन + 2) =।
1) आइए जाँच करें कि यह सूत्र के लिए सत्य है एन = 1:बाईं तरफ = 1∙2∙3=6.
दायां भाग = . 6 = 6; सच के लिए एन = 1.
2) मान लीजिए कि यह सूत्र n . के लिए सत्य है = कश्मीर:
1 2 3 + 2 3 4 +… + के (के + 1) (के + 2) =।एस क =.
3) आइए हम सिद्ध करें कि यह सूत्र n . के लिए मान्य है = कश्मीर + 1:
1 2 3 + 2 ∙ 3 4 +… + (के + 1) (के + 2) (के + 3) =।
एस कश्मीर + 1 =.
सबूत:
तो, यह शर्त दो मामलों में सही है और साबित कर दिया है कि यह n . के लिए भी सच है = के + 1,अत: यह किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है पी।
निष्कर्ष
संक्षेप में, शोध की प्रक्रिया में मुझे पता चला कि प्रेरण क्या है, जो पूर्ण या अपूर्ण है, मैं गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित हो गया, मैंने इस पद्धति का उपयोग करके कई समस्याओं पर विचार किया।
मैंने बहुत सी नई जानकारी भी सीखी, जो स्कूल के पाठ्यक्रम में शामिल है।गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करते हुए, मैंने विभिन्न साहित्य, इंटरनेट संसाधनों का उपयोग किया, और एक शिक्षक से भी परामर्श किया।
निष्कर्ष: गणितीय प्रेरण पर ज्ञान को सामान्यीकृत और व्यवस्थित करने के बाद, मैं इस विषय पर ज्ञान की आवश्यकता के बारे में वास्तव में आश्वस्त हो गया। गणितीय प्रेरण की विधि का एक सकारात्मक गुण समस्याओं को हल करने में इसका व्यापक अनुप्रयोग है: बीजगणित, ज्यामिति और वास्तविक गणित के क्षेत्र में। साथ ही, यह ज्ञान विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाता है।
मुझे विश्वास है कि काम के दौरान हासिल किए गए कौशल भविष्य में मेरी मदद करेंगे।
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गणितीय प्रेरण की विधि
रूसी में इंडक्शन शब्द का अर्थ है मार्गदर्शन, और आगमनात्मक को टिप्पणियों, प्रयोगों के आधार पर निष्कर्ष कहा जाता है, अर्थात। विशेष से सामान्य तक निष्कर्ष द्वारा प्राप्त किया गया।
उदाहरण के लिए, हम प्रतिदिन सूर्य को पूर्व से उगते हुए देखते हैं। इसलिए, आप सुनिश्चित हो सकते हैं कि कल यह पूर्व में दिखाई देगा, न कि पश्चिम में। हम यह निष्कर्ष आकाश में सूर्य की गति के कारण के बारे में किसी भी धारणा का सहारा लिए बिना निकालते हैं (इसके अलावा, यह आंदोलन स्वयं स्पष्ट हो जाता है, क्योंकि ग्लोब वास्तव में घूम रहा है)। और फिर भी, यह आगमनात्मक निष्कर्ष उन टिप्पणियों का सही वर्णन करता है जो हम कल करेंगे।
प्रायोगिक विज्ञानों में आगमनात्मक अनुमानों की भूमिका बहुत महान है। वे वे प्रस्ताव देते हैं, जिनसे कटौती के माध्यम से आगे के निष्कर्ष निकाले जाते हैं। और यद्यपि सैद्धांतिक यांत्रिकी न्यूटन के गति के तीन नियमों पर आधारित है, ये कानून स्वयं प्रायोगिक डेटा के गहन विचार-विमर्श का परिणाम थे, विशेष रूप से केप्लर के ग्रहों की गति के नियम, जिसे उन्होंने डेनिश खगोलशास्त्री टाइको के दीर्घकालिक अवलोकनों से प्राप्त किया था। ब्राहे। अवलोकन और प्रेरण भविष्य में की गई धारणाओं को स्पष्ट करने के लिए उपयोगी साबित होते हैं। एक गतिमान माध्यम में प्रकाश की गति को मापने के माइकलसन के प्रयोगों के बाद, सापेक्षता के सिद्धांत को बनाने के लिए भौतिकी के नियमों को स्पष्ट करना आवश्यक हो गया।
गणित में, प्रेरण की भूमिका काफी हद तक इस तथ्य के कारण होती है कि यह चुने हुए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का आधार है। लंबे अभ्यास के बाद पता चला कि एक सीधा रास्ता हमेशा घुमावदार या टूटे हुए रास्ते से छोटा होता है, एक स्वयंसिद्ध बनाना स्वाभाविक था: किन्हीं तीन बिंदुओं ए, बी और सी के लिए, असमानता
सैनिकों, जहाजों और अन्य आदेशित सेटों के गठन को देखते हुए अंकगणित के आधार पर निम्नलिखित की अवधारणा भी दिखाई दी।
हालांकि, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि यह गणित में प्रेरण की भूमिका को समाप्त कर देता है। बेशक, हमें उन प्रमेयों को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित नहीं करना चाहिए जो स्वयंसिद्धों से तार्किक रूप से निकाले गए हैं: यदि व्युत्पत्ति में कोई तार्किक त्रुटि नहीं की गई थी, तो वे सही हैं क्योंकि जिन स्वयंसिद्धों को हमने स्वीकार किया है वे सत्य हैं। लेकिन स्वयंसिद्धों की इस प्रणाली से बहुत सारे कथन प्राप्त किए जा सकते हैं। और उन कथनों के चयन को सिद्ध करने के लिए फिर से प्रेरण द्वारा प्रेरित किया जाता है। यह वह है जो आपको उपयोगी प्रमेयों को बेकार से अलग करने की अनुमति देती है, इंगित करती है कि कौन से प्रमेय सत्य हो सकते हैं, और यहां तक कि सबूत के मार्ग को रेखांकित करने में भी मदद करते हैं।
गणितीय प्रेरण की विधि का सार
अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति, विश्लेषण की कई शाखाओं में, प्राकृतिक चर के आधार पर वाक्यों ए (एन) की सच्चाई को साबित करना आवश्यक है। चर के सभी मूल्यों के लिए वाक्य ए (एन) की सच्चाई का प्रमाण अक्सर गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा किया जा सकता है, जो निम्नलिखित सिद्धांत पर आधारित है।
वाक्य (n) को चर के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए सही माना जाता है यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:
प्रस्ताव A (n) n = 1 के लिए सत्य है।
इस धारणा से कि n = k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए A (n) सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह अगले मान n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
इस सिद्धांत को गणितीय प्रेरण का सिद्धांत कहा जाता है। आमतौर पर इसे उन स्वयंसिद्धों में से एक के रूप में चुना जाता है जो संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला निर्धारित करते हैं, और इसलिए, बिना प्रमाण के स्वीकार किए जाते हैं।
गणितीय प्रेरण की विधि को प्रमाण की निम्नलिखित विधि के रूप में समझा जाता है। यदि सभी प्राकृतिक n के लिए वाक्य ए (एन) की सच्चाई को साबित करना आवश्यक है, तो, पहले व्यक्ति को कथन ए (1) की सच्चाई की जांच करनी चाहिए और दूसरी बात, कथन ए (के) की सच्चाई मानते हुए सिद्ध करने का प्रयास करें कि कथन A (k +1) सत्य है। यदि यह सिद्ध किया जा सकता है, और प्रमाण k के प्रत्येक प्राकृतिक मान के लिए मान्य रहता है, तो गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, वाक्य A (n) को n के सभी मानों के लिए सत्य माना जाता है।
गणितीय प्रेरण की विधि व्यापक रूप से प्रमेयों, सर्वसमिकाओं, असमानताओं के प्रमाण में, विभाज्यता के लिए समस्याओं को हल करने में, कुछ ज्यामितीय और कई अन्य समस्याओं को हल करने में उपयोग की जाती है।
समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि
भाजकत्व
गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता से संबंधित विभिन्न कथनों को सिद्ध किया जा सकता है।
निम्नलिखित कथन को सिद्ध करना अपेक्षाकृत आसान हो सकता है। आइए दिखाते हैं कि गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इसे कैसे प्राप्त किया जाता है।
उदाहरण 1... यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो वह संख्या सम होती है।
n = 1 के लिए हमारा कथन सत्य है: - एक सम संख्या। मान लीजिए यह एक सम संख्या है। चूँकि, 2k एक सम संख्या है, तो 
यहाँ तक की। इसलिए, n = 1 के लिए समता सिद्ध होती है, समता से समता काटा जाता है 
इसलिए, n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी।
उदाहरण 2।सिद्ध कीजिए कि वाक्य सत्य है
A (n) = (5, 19 का गुणज है), n एक प्राकृत संख्या है।
समाधान।
कथन A (1) = (19 का गुणज) सत्य है।
मान लीजिए कि कुछ मान n = k . के लिए
A (k) = (19 का गुणज) सत्य है। तब से
जाहिर है, ए (के + 1) भी सच है। वास्तव में, इस धारणा के कारण कि A (k) सत्य है, पहला पद 19 से विभाज्य है; दूसरा पद भी 19 से विभाज्य है, क्योंकि इसमें कारक 19 शामिल है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए, प्रस्ताव ए (एन) एन के सभी मूल्यों के लिए सही है।
गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग
श्रृंखला का योग
उदाहरण 1।फॉर्मूला साबित करें
, n एक प्राकृत संख्या है।
समाधान।
n = 1 के लिए, समानता के दोनों पक्ष एक हो जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।
मान लीजिए कि सूत्र n = k के लिए सत्य है, अर्थात्।
.
इस समानता को दोनों पक्षों में जोड़ें और दाईं ओर को रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है
इस प्रकार, चूंकि n = k के लिए सूत्र सत्य है, इसलिए यह n = k + 1 के लिए भी सत्य है। यह कथन k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सत्य है। तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दूसरी शर्त भी संतुष्ट है। सूत्र सिद्ध होता है।
उदाहरण 2।सिद्ध कीजिए कि प्राकृत संख्याओं की पहली n संख्याओं का योग बराबर होता है।
समाधान।
आइए आवश्यक राशि को नामित करें, अर्थात। 
.
n = 1 के लिए परिकल्पना सत्य है।
होने देना 
... आइए दिखाते हैं कि 
.
वास्तव में,
समस्या सुलझा ली गई है।
उदाहरण 3.सिद्ध कीजिए कि प्राकृत संख्याओं की पहली n संख्याओं के वर्गों का योग बराबर होता है 
.
समाधान।
होने देना ।
.
आइए दिखाते हैं कि 
... फिर
और अंत में।
उदाहरण 4.साबित करो।
समाधान।
तो अगर
उदाहरण 5.साबित करो
समाधान।
n = 1 के लिए, परिकल्पना स्पष्ट रूप से सत्य है।
होने देना ।
आइए इसे साबित करें।
सच में,
गणितीय प्रेरण की विधि को लागू करने के उदाहरण
असमानता साबित करना
उदाहरण 1।सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या n> 1 . के लिए
.
समाधान।
हम असमानता के बाईं ओर निरूपित करते हैं।
इसलिए, n = 2 के लिए, असमानता सत्य है।
चलो कुछ k. आइए हम साबित करें कि तब और। हमारे पास है 
, .
तुलना करना और, हमारे पास है 
, अर्थात। 
.
किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए, अंतिम समानता का दाहिना हाथ धनात्मक होता है। इसलिए । लेकिन, इसलिए, और।
उदाहरण 2।तर्क में त्रुटि का पता लगाएं।
कथन। किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, असमानता धारण करती है।
सबूत।
. (1)
आइए हम सिद्ध करें कि असमानता n = k + 1 के लिए भी मान्य है, अर्थात्,
.
दरअसल, किसी भी प्राकृतिक संख्या k के लिए कम से कम 2। हम असमानता (1) को बाईं ओर और 2 को दाईं ओर जोड़ते हैं। हमें एक वैध असमानता प्राप्त होती है, या 
... कथन सिद्ध होता है।
उदाहरण 3.साबित करो 
, जहां> -1,, n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है।
समाधान।
n = 2 के लिए, असमानता मान्य है, क्योंकि।
मान लीजिए कि असमानता n = k के लिए मान्य है, जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है, अर्थात्,
. (1)
आइए हम दिखाते हैं कि असमानता n = k + 1 के लिए भी मान्य है, अर्थात,
. (2)
दरअसल, परिकल्पना से, इसलिए, असमानता
, (3)
असमानता से प्राप्त (1) इसके प्रत्येक भाग को गुणा करके। हम असमानता (3) को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:। अंतिम असमानता के दाईं ओर धनात्मक पद को त्यागने पर, हम वैध असमानता (2) प्राप्त करते हैं।
उदाहरण 4.साबित करो
(1)
जहाँ, n 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है।
समाधान।
n = 2 के लिए, असमानता (1) रूप लेती है
. (2)
तब से, असमानता सत्य है
. (3)
असमानता के प्रत्येक भाग (3) के संबंध में जोड़ने पर, हम असमानता (2) प्राप्त करते हैं।
यह साबित करता है कि असमानता (1) n = 2 के लिए है।
मान लीजिए कि असमानता (1) n = k के लिए मान्य है, जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है, अर्थात्,
. (4)
आइए हम साबित करें कि असमानता (1) को n = k + 1 के लिए भी धारण करना चाहिए, अर्थात,
(5)
हम असमानता के दोनों पक्षों (4) को a + b से गुणा करते हैं। चूंकि, शर्त के अनुसार, हम निम्नलिखित वैध असमानता प्राप्त करते हैं:
. (6)
असमानता (5) की वैधता को सिद्ध करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि
, (7)
या, जो एक ही है,
. (8)
असमानता (8) असमानता के बराबर है
. (9)
यदि, तो, और असमानता के बाईं ओर (9) हमारे पास दो सकारात्मक संख्याओं का गुणनफल है। यदि, तब, और असमानता के बाईं ओर (9) हमारे पास दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल है। दोनों ही मामलों में असमानता (9) वैध है।
यह साबित करता है कि n = k के लिए असमानता (1) की वैधता का अर्थ n = k + 1 के लिए इसकी वैधता है।
गणितीय प्रेरण की विधि दूसरों पर लागू होती है
कार्य
संख्या सिद्धांत और बीजगणित में इस पद्धति के उपयोग के करीब, ज्यामिति में गणितीय प्रेरण की विधि का सबसे प्राकृतिक अनुप्रयोग, ज्यामितीय कम्प्यूटेशनल समस्याओं के समाधान के लिए आवेदन है। आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1।सही एक की भुजा की गणना करें - त्रिज्या R के एक वृत्त में अंकित एक वर्ग।
समाधान।
n = 2 के लिए सही 2एन - गॉन एक वर्ग है; उसकी ओर। आगे, दोहरीकरण सूत्र के अनुसार
हम पाते हैं कि एक नियमित अष्टकोण की भुजा 
, एक नियमित षट्भुज की ओर 
, एक नियमित तीस-विकर्ण की ओर 
... इसलिए, हम मान सकते हैं कि सही का पक्ष खुदा हुआ 2एन - किसी के लिए gon बराबर है
. (1)
मान लीजिए कि एक सही उत्कीर्ण - गॉन का पक्ष सूत्र (1) द्वारा व्यक्त किया गया है। इस मामले में, दोहरीकरण सूत्र के अनुसार
,
जहां से यह उस सूत्र का अनुसरण करता है (1) सभी n के लिए मान्य है।
उदाहरण 2।एक n-gon (जरूरी नहीं कि उत्तल हो) को उसके असंयुक्त विकर्णों द्वारा कितने त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है?
समाधान।
एक त्रिभुज के लिए, यह संख्या एक के बराबर होती है (त्रिभुज में कोई विकर्ण नहीं खींचा जा सकता); एक चतुर्भुज के लिए, यह संख्या स्पष्ट रूप से दो के बराबर है।
मान लीजिए कि हम पहले से ही जानते हैं कि प्रत्येक k-gon, जहाँ k
एक
ए 1 ए 2
मान लीजिए 1 А k इस विभाजन के विकर्णों में से एक है; यह n-gon А 1 А 2 ... n को k-gon A 1 A 2 ... A k और (nk + 2) -gon А 1 А k A k + 1 ... A में विभाजित करता है। एन। इस धारणा के आधार पर, विभाजन में त्रिभुजों की कुल संख्या बराबर होगी
(के-2) + [(एन-के + 2) -2] = एन-2;
यह सभी के लिए हमारे कथन को सिद्ध करता है n.
उदाहरण 3.संख्या P (n) की गणना के नियम को इस प्रकार इंगित करें कि एक उत्तल n-gon को विकर्णों को जोड़कर त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
समाधान।
एक त्रिभुज के लिए, यह संख्या स्पष्ट रूप से एक के बराबर होती है: P (3) = 1.
मान लीजिए कि हमने पहले ही सभी k . के लिए संख्या P (k) निर्धारित कर ली है
पी (एन) = पी (एन -1) + पी (एन -2) पी (3) + पी (एन -3) पी (4) +… + पी (3) पी (एन -2) + पी (एन -एक)।
इस सूत्र का प्रयोग करके, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं:
पी (4) = पी (3) + पी (3) = 2,
पी (5) = पी (4) + पी (3) पी (3) + पी (4) +5,
पी (6) = पी (5) + पी (4) पी (3) + पी (3) पी (4) + पी (5) = 14
आदि।
साथ ही, गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, आप रेखांकन के साथ समस्याओं को हल कर सकते हैं।
मान लीजिए कि समतल पर कुछ बिंदुओं को जोड़ने वाली और कोई अन्य बिंदु नहीं होने पर रेखाओं का एक नेटवर्क दिया जाता है। हम रेखाओं के ऐसे नेटवर्क को मानचित्र कहेंगे, इसके शीर्षों द्वारा दिए गए बिंदु, दो आसन्न शीर्षों के बीच वक्रों के खंड - मानचित्र की सीमाएं, विमान के वे भाग जिनमें यह सीमाओं से विभाजित है - मानचित्र के देश।
मान लीजिए कि विमान पर कुछ नक्शा दिया गया है। हम कहेंगे कि इसे सही ढंग से चित्रित किया गया है यदि इसके प्रत्येक देश को एक निश्चित पेंट के साथ चित्रित किया गया है, और किन्हीं दो देशों की सीमा अलग-अलग रंगों में चित्रित की गई है।
उदाहरण 4.विमान पर n वृत्त हैं। सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों की किसी भी व्यवस्था के लिए इनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।
समाधान।
n = 1 के लिए, हमारा कथन स्पष्ट है।
मान लीजिए कि n वृत्तों द्वारा निर्मित किसी चार्ट के लिए हमारा कथन सत्य है, और मान लीजिए कि समतल पर n + 1 वृत्त दिए गए हैं। इनमें से किसी एक वृत्त को हटाने पर, हमें एक नक्शा प्राप्त होता है, जो कि की गई धारणा के आधार पर, दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है, उदाहरण के लिए, काला और सफेद।
प्रेरण विशेष टिप्पणियों से एक सामान्य विवरण प्राप्त करने की एक विधि है। मामले में जब गणितीय कथन वस्तुओं की एक सीमित संख्या से संबंधित होता है, तो इसे प्रत्येक वस्तु की जाँच करके सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कथन: "प्रत्येक दो अंकों की सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है," - समानता की एक श्रृंखला से अनुसरण करता है, जो स्थापित करने के लिए काफी यथार्थवादी हैं:
10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.
एक प्रूफ विधि जो सभी संभावनाओं को समाप्त करने वाले मामलों की एक सीमित संख्या के लिए एक बयान की जांच करती है, पूर्ण प्रेरण कहलाती है। यह विधि अपेक्षाकृत दुर्लभ रूप से लागू होती है, क्योंकि गणितीय कथनों का संबंध, एक नियम के रूप में, परिमित नहीं, बल्कि वस्तुओं के अनंत सेट से है। उदाहरण के लिए, पूर्ण प्रेरण द्वारा सिद्ध दो अंकों की संख्याओं के बारे में दावा केवल प्रमेय का एक विशेष मामला है: "कोई भी संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है।" यह प्रमेय अब तक न तो सिद्ध हुआ है और न ही अस्वीकृत।
गणितीय प्रेरण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर किसी भी प्राकृतिक n के लिए कुछ कथन को सिद्ध करने की एक विधि है: "यदि कथन n = 1 के लिए सत्य है और यदि यह n = k के लिए सत्य है तो यह इस प्रकार है कि यह कथन n = के लिए सत्य है। k + 1, तो यह सभी n" के लिए सत्य है। गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध करने की विधि इस प्रकार है:
1) प्रेरण का आधार: n = 1 (कभी-कभी n = 0 या n = n 0) के लिए कथन की वैधता को सिद्ध या सीधे जाँचें;
2) प्रेरण चरण (संक्रमण): कुछ प्राकृतिक संख्या n = k के लिए कथन की वैधता मान लें और इस धारणा से आगे बढ़ते हुए, n = k + 1 के लिए कथन की वैधता साबित करें।
समाधान के साथ समस्या
1. सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत n के लिए संख्या 3 2n + 1 + 2 n + 2 7 से विभाज्य है।
हम A (n) = 3 2n + 1 +2 n + 2 को निरूपित करते हैं।
प्रेरण आधार। यदि n = 1, तो A (1) = 3 3 +2 3 = 35 और, जाहिर है, 7 से विभाज्य है।
प्रेरण परिकल्पना। मान लीजिए A (k) 7 से विभाज्य है।
इंडक्शन जंक्शन। आइए हम सिद्ध करें कि (k + 1) 7 से विभाज्य है, अर्थात n = k के लिए समस्या के कथन की वैधता।
ए (के + 1) = 3 2 (के + 1) +1 +2 (के + 1) +2 = 3 2k + 1 3 2 +2 के + 2 2 1 = 3 2k + 1 9 + 2 के + 2 2 =
3 2k + 1 9 + 2 k + 2 (9–7) = (3 2k + 1 +2 k + 2) 9–7 2 k + 2 = 9 A (k) -7 2 k +2।
अंतिम संख्या 7 से विभाज्य है, क्योंकि यह 7 से विभाज्य दो पूर्णांकों का अंतर है। इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए 3 2n + 1 + 2 n + 2 7 से विभाज्य है।
2. सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत n के लिए संख्या 2 3 n +1 3 n + 1 से विभाज्य है और 3 n + 2 से विभाज्य नहीं है।
आइए हम संकेतन का परिचय दें: а i = 2 3 i +1।
n = 1 के लिए हमारे पास है, और 1 = 2 3 + 1 = 9 है। अतः, 1 3 2 से विभाज्य है और 3 3 से विभाज्य नहीं है।
मान लीजिए n = k के लिए संख्या a k 3 k + 1 से विभाज्य है और 3 k + 2 से विभाज्य नहीं है, अर्थात a k = 2 3 k + 1 = 3 k + 1 m, जहाँ m 3 से विभाज्य नहीं है।
एक के + 1 = 2 3 के + 1 + 1 = (2 3 के) 3 + 1 = (2 3 के +1) (2 3 के 2 -2 3 के +1) = 3 के + 1 मीटर ((2 3 k +1) 2 -3 · 2 3 k) = 3 k + 1 · m · ((3 k + 1 · m) 2 -3 · 2 3 k) =
3 k + 2 · m · (3 2k + 1 · m 2-2 3 k)।
जाहिर है, a k + 1 3 k + 2 से विभाज्य है और 3 k + 3 से विभाज्य नहीं है।
अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए कथन सिद्ध होता है।
3. यह ज्ञात है कि x + 1 / x एक पूर्णांक है। सिद्ध कीजिए कि x n + 1 / x n भी किसी पूर्णांक n के लिए एक पूर्णांक है।
आइए हम संकेतन का परिचय दें: a i = x i + 1 / x i और तुरंत ध्यान दें कि a i = a –i, इसलिए, आगे हम प्राकृतिक सूचकांकों के बारे में बात करेंगे।
नोट: a 1 शर्त के अनुसार एक पूर्णांक है; a 2 एक पूर्णांक है, क्योंकि a 2 = (a 1) 2 –2; ए 0 = 2.
मान लीजिए कि k किसी भी प्राकृतिक संख्या k के लिए पूर्णांक है जो n से अधिक नहीं है। तब a 1 · a n एक पूर्णांक है, लेकिन a 1 · a n = a n + 1 + a n - 1 और a n + 1 = a 1 · a n -a n-1। हालांकि, और n-1, प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, एक पूर्णांक है। अत: a n + 1 भी एक पूर्णांक है। इसलिए, x n + 1 / x n किसी भी पूर्णांक n के लिए एक पूर्णांक है, जैसा कि आवश्यक है।
4. साबित करें कि 1 से अधिक किसी भी प्राकृतिक n के लिए दोहरी असमानता है:
5. सिद्ध कीजिए कि प्राकृत n> 1 और | | . के लिए
(1 - एक्स) एन + (1 + एक्स) एन
n = 2 के लिए, असमानता सत्य है। सच में,
(1 - x) 2 + (1 + x) 2 = 2 + 2 · x 2
यदि असमानता n = k के लिए सत्य है, तो n = k + 1 के लिए हमारे पास है
(1 - एक्स) के + 1 + (1 + एक्स) के + 1
असमानता किसी भी प्राकृतिक संख्या n> 1 के लिए सिद्ध होती है।
6. तल पर n वृत्त हैं। सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों की किसी भी व्यवस्था के लिए इनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।
आइए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें।
n = 1 के लिए, कथन स्पष्ट है।
मान लीजिए कि n वृत्तों द्वारा बनाए गए किसी चार्ट के लिए कथन सत्य है, और मान लीजिए कि समतल पर n + 1 वृत्त दिए गए हैं। इनमें से किसी एक वृत्त को हटाने पर हमें एक मानचित्र प्राप्त होता है, जो कि की गई धारणा के कारण दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है (नीचे पहला चित्र देखें)।
आइए फिर छोड़े गए सर्कल को पुनर्स्थापित करें और इसके एक तरफ, उदाहरण के लिए, अंदर, प्रत्येक क्षेत्र का रंग विपरीत में बदलें (दूसरा आंकड़ा देखें)। यह देखना आसान है कि इस मामले में हमें एक नक्शा मिलेगा जो दो रंगों से सही ढंग से रंगा हुआ है, लेकिन अब केवल n + 1 मंडलियों के लिए, जो हमें साबित करना था।
7. एक उत्तल बहुभुज को "सुंदर" कहा जाएगा यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
1) इसका प्रत्येक शीर्ष तीन रंगों में से एक में रंगीन है;
2) किन्हीं दो आसन्न शीर्षों को अलग-अलग रंगों में चित्रित किया गया है;
3) बहुभुज का कम से कम एक शीर्ष तीन रंगों में से प्रत्येक में रंगीन है।
साबित करें कि किसी भी सुंदर एन-गॉन को विकर्ण विकर्णों द्वारा "सुंदर" त्रिकोणों में काटा जा सकता है।
आइए गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें।
प्रेरण आधार। सबसे छोटे संभव n = 3 के लिए, समस्या का कथन स्पष्ट है: "सुंदर" त्रिभुज के कोने तीन अलग-अलग रंगों में रंगे होते हैं और किसी कट की आवश्यकता नहीं होती है।
प्रेरण परिकल्पना। मान लीजिए कि समस्या का कथन किसी भी "सुंदर" एन-गॉन के लिए सही है।
प्रेरण चरण। एक मनमाना "सुंदर" (एन + 1) -गॉन पर विचार करें और प्रेरण परिकल्पना का उपयोग करके साबित करें कि इसे कुछ विकर्णों द्वारा "सुंदर" त्रिकोण में काटा जा सकता है। आइए हम 1, А 2, А 3, ... n, n + 1 - (n + 1) -gon के क्रमागत शीर्षों से निरूपित करें। यदि (n + 1) -गॉन का केवल एक शीर्ष तीन रंगों में से किसी एक रंग में रंगा हुआ है, तो, इस शीर्ष को विकर्णों के साथ सभी शीर्षों से जोड़कर, जो इसके निकट नहीं हैं, हमें (n + 1) का आवश्यक विभाजन प्राप्त होता है - "सुंदर" त्रिकोण में चले गए।
यदि (n + 1) -गॉन के कम से कम दो शीर्ष तीन रंगों में से प्रत्येक में रंगीन हैं, तो हम संख्या 1 से शीर्ष A1 के रंग और संख्या 2 से शीर्ष A2 के रंग को निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि सबसे छोटी संख्या k इस प्रकार है कि शीर्ष А k तीसरे रंग में रंगा हुआ है। यह स्पष्ट है कि k> 2. आइए (n + 1) -गॉन से विकर्ण А k – 2 А k त्रिभुज А k – 2 k – 1 А k काट लें। संख्या k के चुनाव के अनुसार इस त्रिभुज के सभी शीर्ष तीन अलग-अलग रंगों में रंगे हुए हैं, अर्थात यह त्रिभुज "सुंदर" है। उत्तल n-gon 1 А 2 ... k - 2 k А k + 1 ... n + 1, जो शेष रहता है, आगमनात्मक धारणा के आधार पर, "सुंदर" होगा, जिसका अर्थ है इसे "सुंदर" त्रिकोणों में विभाजित किया गया है, जिसे साबित करना आवश्यक था।
8. सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल n-गॉन में n से अधिक विकर्ण नहीं चुने जा सकते, ताकि उनमें से किन्हीं दो का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो।
आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा उपपत्ति करते हैं।
आइए हम एक अधिक सामान्य कथन को सिद्ध करें: एक उत्तल n-gon में, कोई n भुजाओं और विकर्णों से अधिक नहीं चुन सकता है ताकि उनमें से किन्हीं दो में एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। n = 3 के लिए, कथन स्पष्ट है। मान लीजिए कि यह कथन एक मनमाना n-gon के लिए सत्य है और इसका उपयोग करके, हम एक मनमाना (n + 1) -gon के लिए इसकी वैधता सिद्ध करते हैं।
मान लीजिए कि यह कथन a (n + 1) -gon के लिए सत्य नहीं है। यदि (n + 1) -gon के प्रत्येक शीर्ष से दो से अधिक चयनित भुजाएँ या विकर्ण नहीं निकलते हैं, तो उनमें से n + 1 से अधिक का चयन नहीं किया जाता है। इसलिए, कम से कम तीन चुनी हुई भुजाएँ या विकर्ण AB, AC, AD किसी शीर्ष A से निकलते हैं। माना AC, AB और AD के बीच स्थित है। चूँकि कोई भी भुजा या विकर्ण जो बिंदु C से निकलता है और CA से भिन्न है, AB और AD को एक साथ नहीं काट सकता, तो बिंदु C से केवल एक चयनित विकर्ण CA निकलता है।
विकर्ण CA के साथ बिंदु C को छोड़ने पर, हमें एक उत्तल n-gon प्राप्त होता है जिसमें n से अधिक भुजाएँ और विकर्ण चुने जाते हैं, जिनमें से किन्हीं दो में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। इस प्रकार, हम इस धारणा के साथ एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं कि कथन एक मनमाना उत्तल n-gon के लिए सत्य है।
अतः (n + 1) -gon के लिए कथन सत्य है। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।
9. समतल में n रेखाएँ खींची जाती हैं, जिनमें से कोई भी दो समानांतर नहीं है और कोई भी तीन एक बिंदु से नहीं गुजरती है। ये रेखाएँ समतल को कितने भागों में विभाजित करती हैं?
प्राथमिक रेखाचित्रों की सहायता से, यह सुनिश्चित करना आसान है कि एक सीधी रेखा विमान को 2 भागों में विभाजित करती है, दो सीधी रेखाएँ - 4 भागों में, तीन सीधी रेखाएँ - 7 भागों में, चार सीधी रेखाएँ - 11 भागों में।
मान लीजिए N (n) उन भागों की संख्या को निरूपित करता है जिनमें n रेखाएँ तल को विभाजित करती हैं। आप वह देख सकते हैं
एन (2) = एन (1) + 2 = 2 + 2,
एन (3) = एन (2) + 3 = 2 + 2 + 3,
एन (4) = एन (3) + 4 = 2 + 2 + 3 + 4।
यह मान लेना स्वाभाविक है कि
एन (एन) = एन (एन -1) + एन = 2 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + एन,
या, जैसा कि स्थापित करना आसान है, एक अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करना,
एन (एन) = 1 + एन (एन + 1) / 2।
आइए हम गणितीय आगमन विधि द्वारा इस सूत्र की वैधता सिद्ध करें।
n = 1 के लिए, सूत्र पहले ही सत्यापित किया जा चुका है।
प्रेरण परिकल्पना बनाते हुए, समस्या की स्थिति को संतुष्ट करने वाली k + 1 पंक्तियों पर विचार करें। आइए हम उनमें से मनमाने ढंग से k रेखाओं का चयन करें। प्रेरण परिकल्पना द्वारा, उन्होंने विमान को 1+ k (k + 1) / 2 भागों में विभाजित किया। शेष (k + 1) -वीं सीधी रेखा को चयनित k सीधी रेखाओं द्वारा k + 1 भागों में विभाजित किया जाएगा और इसलिए, (k + 1) -वें भाग के साथ गुजरेगा, जिसमें विमान पहले ही विभाजित हो चुका है , और इनमें से प्रत्येक भाग को 2 भागों में विभाजित करें, अर्थात एक और k + 1 भाग जोड़ा जाएगा। इसलिए,
एन (के + 1) = एन (के) + के + 1 = 1 + के (के + 1) / 2 + के + 1 = 1 + (के + 1) (के + 2) / 2,
क्यू.ई.डी.
10. व्यंजक x 1: x 2:…: x n में, क्रियाओं के क्रम को इंगित करने के लिए कोष्ठक रखे जाते हैं और परिणाम भिन्न के रूप में लिखा जाता है:
(इस मामले में, प्रत्येक अक्षर x 1, x 2, ..., x n या तो भिन्न के अंश में है, या हर में है)। इस प्रकार सभी प्रकार के कोष्ठकों से आप कितने भिन्न व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं?
सबसे पहले तो यह स्पष्ट है कि परिणामी भिन्न में x 1 अंश में होगा। यह लगभग उतना ही स्पष्ट है कि x 2 कोष्ठकों की किसी भी व्यवस्था के लिए हर में दिखाई देगा (x 2 के सामने विभाजन चिह्न या तो x 2 को या अंश में x 2 वाले किसी व्यंजक को संदर्भित करता है)।
यह माना जा सकता है कि अन्य सभी अक्षर x 3, x 4, ..., x n अंश या हर में पूरी तरह से मनमाना तरीके से स्थित हो सकते हैं। इसलिए यह इस प्रकार है कि कुल मिलाकर आप 2 n - 2 भिन्न प्राप्त कर सकते हैं: प्रत्येक n - 2 अक्षर x 3, x 4,…, x n अंश या हर में दूसरों से स्वतंत्र रूप से प्रकट हो सकते हैं।
आइए हम इस कथन को प्रेरण द्वारा सिद्ध करें।
n = 3 से, आप 2 भिन्न प्राप्त कर सकते हैं:
इसलिए कथन सत्य है।
मान लीजिए कि यह n = k के लिए मान्य है और इसे n = k + 1 के लिए सिद्ध करें।
मान लीजिए कि व्यंजक x 1: x 2:…: xk, कोष्ठकों की कुछ व्यवस्था के बाद, कुछ भिन्न Q के रूप में लिखा जाता है। यदि xk के स्थान पर हम xk: xk + 1 को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं, तो xk में होगा वही स्थान जहाँ यह भिन्न Q में था, और x k + 1 वह नहीं होगा जहाँ x k खड़ा था (यदि x k हर में था, तो x k + 1 अंश में होगा और इसके विपरीत)।
अब हम सिद्ध करेंगे कि आप x k + 1 को उसी स्थान पर जोड़ सकते हैं जहाँ x k है। भिन्न Q में, कोष्ठक लगाने के बाद, q: x k के रूप का एक व्यंजक अनिवार्य रूप से होगा, जहाँ q अक्षर x k – 1 है या कोष्ठक में कुछ व्यंजक है। q: x k को व्यंजक (q: x k) से प्रतिस्थापित करने पर: x k + 1 = q: (x k x k + 1), हम स्पष्ट रूप से वही भिन्न Q प्राप्त करेंगे, जहां x k के स्थान पर x k x k + 1 है।
इस प्रकार, n = k + 1 के मामले में सभी संभावित भिन्नों की संख्या n = k के मामले में 2 गुना अधिक है और 2 k - 2 · 2 = 2 (k + 1) -2 के बराबर है। यह कथन को सिद्ध करता है।
उत्तर: 2 n - 2 भिन्न।
समाधान के बिना कार्य
1. सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n के लिए:
क) संख्या 5 n -3 n + 2n 4 से विभाज्य है;
बी) संख्या n 3 + 11n 6 से विभाज्य है;
ग) संख्या 7 n + 3n - 1 9 से विभाज्य है;
d) संख्या 6 2n +19 n -2 n + 1 17 से विभाज्य है;
ई) संख्या 7 n + 1 +8 2n - 1 19 से विभाज्य है;
च) संख्या 2 2n - 1 -9n 2 + 21n - 14 27 से विभाज्य है।
2. सिद्ध कीजिए कि (n + 1) · (n + 2) ·… · (n + n) = 2 n · 1 · 3 · 5 ·… · (2n - 1)।
3. असमानता सिद्ध कीजिए | sin nx | एन | पाप एक्स | किसी भी प्राकृतिक n.
4. ऐसी प्राकृत संख्याएँ a, b, c ज्ञात कीजिए जो 10 से विभाज्य नहीं हैं और ऐसी कि किसी भी प्राकृत n के लिए संख्या a n + b n और c n के अंतिम दो अंक समान हों।
5. सिद्ध कीजिए कि यदि n बिंदु एक सीधी रेखा पर नहीं हैं, तो उन्हें जोड़ने वाली रेखाओं में से कम से कम n भिन्न हैं।
व्याख्यान 6. गणितीय प्रेरण की विधि।
विज्ञान और जीवन में नया ज्ञान अलग-अलग तरीकों से प्राप्त किया जाता है, लेकिन उन सभी (यदि आप विवरण में नहीं जाते हैं) को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है - सामान्य से विशेष और विशेष से सामान्य में संक्रमण। पहला डिडक्शन है, दूसरा इंडक्शन है। डिडक्टिव रीजनिंग वह है जिसे आमतौर पर गणित में कहा जाता है तार्किक विचार, और गणित में, कटौती ही एकमात्र वैध शोध पद्धति है। तार्किक तर्क के नियम ढाई सहस्राब्दी पहले प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक अरस्तू द्वारा तैयार किए गए थे। उन्होंने सरलतम सही तर्क की एक पूरी सूची बनाई, नपुंसकता- तर्क की "ईंटें", विशिष्ट तर्क को इंगित करते हुए, सही के समान, लेकिन गलत (ऐसे "छद्म" तर्क के साथ हम अक्सर मीडिया में आते हैं)।
प्रेरण (प्रेरण के लिए लैटिन) लक्ष्यआइजैक न्यूटन ने एक सेब के सिर पर गिरने के बाद सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को कैसे तैयार किया, इसकी प्रसिद्ध किंवदंती द्वारा स्पष्ट रूप से चित्रित किया गया है। भौतिकी से एक और उदाहरण: विद्युत चुम्बकीय प्रेरण जैसी घटना में, एक विद्युत क्षेत्र एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है, "प्रेरित" करता है। "न्यूटोनियन सेब" उस स्थिति का एक विशिष्ट उदाहरण है जहां एक या अधिक विशेष मामले, अर्थात् अवलोकन, एक सामान्य कथन के लिए "लीड", सामान्य निष्कर्ष विशेष मामलों के आधार पर किया जाता है। प्राकृतिक और मानवीय विज्ञान दोनों में सामान्य पैटर्न प्राप्त करने के लिए आगमनात्मक विधि बुनियादी है। लेकिन इसका एक बहुत ही महत्वपूर्ण दोष है: विशेष उदाहरणों के आधार पर गलत निष्कर्ष निकाला जा सकता है। निजी टिप्पणियों से उत्पन्न होने वाली परिकल्पना हमेशा सही नहीं होती है। यूलर के उदाहरण पर विचार करें।
हम पहले कुछ मानों के लिए त्रिपद के मान की गणना करेंगे एन:
|
|
ध्यान दें कि गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएं सरल हैं। और आप सीधे देख सकते हैं कि प्रत्येक के लिए एन 1 से 39 तक बहुपद का मान 
एक अभाज्य संख्या है। हालाँकि, साथ एन= 40 हमें संख्या 1681 = 41 2 प्राप्त होती है, जो अभाज्य नहीं है। इस प्रकार, जो परिकल्पना यहाँ उत्पन्न हो सकती है, वह यह है कि परिकल्पना है कि प्रत्येक पर एनसंख्या 
सरल गलत हो जाता है।
17वीं शताब्दी में लाइबनिज ने साबित कर दिया कि किसी भी सकारात्मक के साथ एनसंख्या 
3 से विभाज्य, संख्या 
5 से विभाज्य, आदि। इस आधार पर उन्होंने सुझाव दिया कि किसी भी विषम के लिए कऔर कोई भी प्राकृतिक एनसंख्या 
द्वारा विभाजित क, लेकिन जल्द ही खुद पर ध्यान दिया कि 
9 से विभाज्य नहीं है।
विचार किए गए उदाहरण हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं: कथन कई विशेष मामलों में सत्य हो सकता है और साथ ही, सामान्य रूप से अनुचित भी हो सकता है। सामान्य स्थिति में कथन की वैधता के प्रश्न को तर्क की एक विशेष विधि को लागू करके हल किया जा सकता है, जिसे कहा जाता है गणितीय प्रेरण द्वारा(पूर्ण प्रेरण, पूर्ण प्रेरण)।
6.1. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।
गणितीय प्रेरण की विधि पर आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नलिखित से मिलकर बनता है:
1) इस कथन की वैधता की पुष्टि की जाती हैएन=1 (प्रेरण आधार) ,
2) इस कथन की वैधता के लिए माना जाता हैएन= क, कहाँ पेक- एक मनमाना प्राकृतिक संख्या 1(प्रेरण परिकल्पना) , और इस धारणा को ध्यान में रखते हुए, यह स्थापित किया जाता है कि यह के लिए मान्य हैएन= क+1.
सबूत. मान लीजिए कि इसके विपरीत है, अर्थात मान लीजिए कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक के लिए सत्य नहीं है एन... फिर ऐसी स्वाभाविकता है एम, क्या:
1) के लिए बयान एन=एमनिष्पक्ष नहीं,
2) सबके लिए एनकम एम, कथन सत्य है (दूसरे शब्दों में, एमपहली प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए कथन सत्य नहीं है)।
जाहिर सी बात है एम> 1, क्योंकि के लिये एन= 1 कथन सत्य है (शर्त 1)। इसलिये, 
- प्राकृतिक संख्या। यह पता चला है कि एक प्राकृतिक संख्या के लिए 
कथन सत्य है, और अगली प्राकृत संख्या के लिए एमयह अनुचित है। यह शर्त 2 के विपरीत है।
ध्यान दें कि प्रमाण ने स्वयंसिद्ध का उपयोग किया है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी संग्रह में सबसे छोटी संख्या होती है।
गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित एक प्रमाण को कहा जाता है पूर्ण गणितीय प्रेरण द्वारा .
उदाहरण6.1.
साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसंख्या 
3 से विभाज्य है।
समाधान।
1) कब एन= 1, इसलिए ए 1 3 से विभाज्य है और कथन के लिए मान्य है एन=1.
2) मान लीजिए कि कथन सत्य है एन=क,
, वह है, कि संख्या 
3 से विभाज्य है, और हम इसे स्थापित करेंगे एन=क+1 संख्या 3 से विभाज्य है।
वास्तव में,
चूंकि प्रत्येक पद 3 से विभाज्य है, तो उनका योग भी 3 से विभाज्य है
उदाहरण6.2. सिद्ध कीजिए कि प्रथम का योगफल एनप्राकृतिक विषम संख्याएँ उनकी संख्या के वर्ग के बराबर होती हैं, अर्थात्।
समाधान।हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करेंगे।
1) हम इस कथन की वैधता की जांच करते हैं एन= 1: 1 = 1 2 - यह सही है।
2) मान लीजिए कि पहले का योग क
(
) विषम संख्याओं का योग इन संख्याओं की संख्या के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात्। इस समानता के आधार पर, हम स्थापित करते हैं कि पहले का योग क+1 विषम संख्या है 
, अर्थात् ।
हम अपनी धारणा का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं
. ■
कुछ असमानताओं को सिद्ध करने के लिए पूर्ण गणितीय प्रेरण का उपयोग किया जाता है। आइए हम बर्नौली की असमानता को सिद्ध करें।
उदाहरण6.3.
साबित करें कि 
और कोई भी प्राकृतिक एनअसमानता सच है 
(बर्नौली असमानता)।
समाधान। 1) कब एन= 1 हमें मिलता है 
कौन सा सही है।
2) हम मानते हैं कि एन=कअसमानता रखती है 
(*)। इस धारणा का उपयोग करते हुए, हम यह साबित करते हैं कि 
... ध्यान दें कि 
यह असमानता कायम है, और इसलिए इस मामले पर विचार करना पर्याप्त है 
.
हम असमानता के दोनों पक्षों (*) को संख्या . से गुणा करते हैं 
और पाओ:
वह है (1+ 
.■
विधि द्वारा प्रमाण अधूरा गणितीय प्रेरण
कुछ कथन के आधार पर एन, कहाँ पे 
इसी तरह से किया जाता है, लेकिन शुरुआत में सबसे छोटे मूल्य के लिए वैधता स्थापित की जाती है एन.
कुछ समस्याओं में, एक अभिकथन स्पष्ट रूप से तैयार नहीं किया जाता है जिसे गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, पैटर्न को स्वयं स्थापित करना और इस पैटर्न की वैधता के बारे में एक परिकल्पना तैयार करना आवश्यक है, और फिर, गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, परिकल्पना की जांच करें।
उदाहरण6.4.
राशि का पता लगाएं 
.
समाधान।राशियों का पता लगाएं एस 1 ,
एस 2 ,
एस 3. हमारे पास है 
,
,
... हम अनुमान लगाते हैं कि किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसूत्र मान्य है 
... इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करेंगे।
1) कब एन= 1 परिकल्पना सही है, क्योंकि 
.
2) मान लीजिए कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, अर्थात् 
... इस सूत्र का उपयोग करके, हम यह स्थापित करेंगे कि परिकल्पना भी सत्य है एन=क+1, वह है
वास्तव में,
तो, इस धारणा से आगे बढ़ते हुए कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, यह साबित हो गया है कि यह भी सच है एन=क+1, और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है एन.
■
उदाहरण6.5.
गणित में, यह साबित होता है कि दो समान रूप से निरंतर कार्यों का योग एक समान रूप से निरंतर कार्य है। इस कथन के आधार पर यह सिद्ध करना आवश्यक है कि किसी भी संख्या का योगफल 
समान रूप से निरंतर कार्य एक समान रूप से निरंतर कार्य है। लेकिन चूंकि हमने अभी तक "समान रूप से निरंतर कार्य" की अवधारणा को पेश नहीं किया है, इसलिए हम समस्या को और अधिक सारगर्भित तरीके से पेश करते हैं: बता दें कि कुछ संपत्ति रखने वाले दो कार्यों का योग एस, अपने आप में संपत्ति है एस... आइए हम साबित करें कि किसी भी संख्या में कार्यों के योग में संपत्ति होती है एस.
समाधान।यहां प्रेरण का आधार समस्या के सूत्रीकरण में निहित है। प्रेरण परिकल्पना बनाना, विचार करें 
कार्यों एफ 1 ,
एफ 2 ,
…, एफ एन ,
एफ एनसंपत्ति के साथ +1 एस... फिर । दाईं ओर, पहले पद में संपत्ति है एसप्रेरण परिकल्पना द्वारा, दूसरे पद में संपत्ति है एसशर्त से। इसलिए, उनके योग में संपत्ति है एस- दो शर्तों के लिए, प्रेरण आधार "काम करता है"।
इस प्रकार, कथन सिद्ध होता है और हम इसका आगे उपयोग करेंगे। मैं
उदाहरण6.6. सभी प्राकृतिक खोजें एनजिसके लिए असमानता
.
समाधान।विचार करना एन= 1, 2, 3, 4, 5, 6. हमारे पास है: 2 1> 1 2, 2 2 = 2 2, 2 3<3 2 ,
2 4 =4 2 ,
2 5 >5 2, 2 6> 6 2. इस प्रकार, एक परिकल्पना बनाई जा सकती है: असमानता 
सबके लिए धारण करता है 
... इस परिकल्पना की सत्यता को सिद्ध करने के लिए हम अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का प्रयोग करेंगे।
1) जैसा कि ऊपर स्थापित किया गया था, यह परिकल्पना सत्य है एन=5.
2) मान लीजिए कि यह सत्य है एन=क,
, यानी असमानता 
... इस धारणा का उपयोग करके, हम यह साबित करते हैं कि असमानता 
.
टी. टू. 
और कम से 
असमानता रखती है 
पर 
,
तब हमें वह मिलता है 
... तो, परिकल्पना की सच्चाई एन=क+1 इस धारणा से अनुसरण करता है कि यह सत्य है एन=क,
.
पीपी से 1 और 2, अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह इस प्रकार है कि असमानता 
हर प्राकृतिक के लिए सच 
.
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उदाहरण6.7.
सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए एनविभेदन सूत्र मान्य है 
.
समाधान।पर एन= 1 इस सूत्र का रूप है 
, या 1 = 1, यानी यह सही है। प्रेरण परिकल्पना बनाते हुए, हमारे पास होगा:
क्यू.ई.डी. मैं
उदाहरण6.8.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय एनतत्व, है 
उपसमुच्चय।
समाधान।एक तत्व से युक्त एक सेट ए, के दो उपसमुच्चय हैं। यह सत्य है, क्योंकि इसके सभी उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय हैं और यह स्वयं समुच्चय है, और 2 1 = 2।
मान लीजिए कि से कोई समुच्चय एनतत्वों में है 
उपसमुच्चय। यदि सेट ए में शामिल हैं एन+1 तत्व, फिर हम इसमें एक तत्व को ठीक करते हैं - हम इसे निरूपित करते हैं डी, और सभी सबसेट को दो वर्गों में विभाजित करें - जिसमें शामिल नहीं है डीऔर युक्त डी... प्रथम श्रेणी के सभी उपसमुच्चय तत्व को हटाकर A से प्राप्त समुच्चय B के उपसमुच्चय हैं डी.
सेट बी में शामिल हैं एनतत्व, और इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा, उसके पास है 
उपसमुच्चय, इसलिए प्रथम श्रेणी में 
उपसमुच्चय।
लेकिन दूसरी कक्षा में उपसमुच्चय की संख्या समान होती है: उनमें से प्रत्येक को एक तत्व जोड़कर प्रथम श्रेणी के ठीक एक उपसमुच्चय से प्राप्त किया जाता है डी... इसलिए, कुल मिलाकर, समुच्चय A 
उपसमुच्चय।
यह कथन को सिद्ध करता है। ध्यान दें कि यह 0 तत्वों वाले सेट के लिए भी सही है - एक खाली सेट: इसका एक एकल सबसेट है - स्वयं, और 2 0 = 1। मैं