कुल सतह क्षेत्र और सिलेंडर मात्रा। सिलेंडर का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक सिलेंडर में तीन सतहें होती हैं: ऊपर, नीचे और फ्लैंक।

एक सिलेंडर के ऊपर और नीचे वृत्त होते हैं और पहचानने में आसान होते हैं।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल r2 के बराबर होता है। इसलिए, दो वृत्तों के क्षेत्रफल का सूत्र πr2 + πr2 = 2πr2 होगा।

सिलेंडर की ओर की सतह

सिलेंडर की तीसरी, पार्श्व सतह, सिलेंडर की घुमावदार दीवार है। इस सतह का बेहतर प्रतिनिधित्व करने के लिए, आइए इसे पहचानने योग्य आकार प्राप्त करने के लिए इसे बदलने का प्रयास करें। कल्पना कीजिए कि सिलेंडर एक साधारण टिन कैन है जिसमें शीर्ष ढक्कन और तल नहीं होता है। आइए साइड की दीवार पर कैन के ऊपर से नीचे तक एक वर्टिकल कट बनाएं और परिणामी आकार को अधिकतम करने का प्रयास करें।

परिणामी जार को पूरी तरह से खोलने के बाद, हम पहले से ही परिचित आकृति देखेंगे, यह एक आयत है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। लेकिन इससे पहले, आइए एक पल के लिए मूल सिलेंडर पर वापस जाएं। मूल बेलन का शीर्ष एक वृत्त है, और हम जानते हैं कि परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L = 2πr। यह चित्र में लाल रंग से अंकित है।

जब बेलन की बगल की दीवार पूरी तरह से खुली होती है, तो हम देखते हैं कि परिधि परिणामी आयत की लंबाई बन जाती है। इस आयत की भुजाएँ बेलन की परिधि और ऊँचाई होंगी। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है - S = लंबाई x चौड़ाई = L x h = 2πr x h = 2πrh। नतीजतन, हमने एक सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है।

बेलन के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र
एस पक्ष। = 2πrh

सिलेंडर पूर्ण सतह क्षेत्र

अंत में, यदि हम तीनों सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ दें, तो हमें कुल क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त होता है ...
सिलेंडर की सतह। सिलेंडर का सतह क्षेत्र सिलेंडर के शीर्ष के क्षेत्र के बराबर है + सिलेंडर के आधार का क्षेत्रफल + सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल या S = πr2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh। कभी-कभी यह व्यंजक समान सूत्र 2πr से लिखा जाता है।

एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र
एस = 2πr2 + 2πrh = 2πr
r बेलन की त्रिज्या है, h बेलन की ऊंचाई है

एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना के उदाहरण

उपरोक्त सूत्रों को समझने के लिए, आइए उदाहरणों का उपयोग करके एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने का प्रयास करें।

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 2 है, ऊँचाई 3 है। बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: एस पक्ष। = 2πrh

एस पक्ष। = 2 * 3.14 * 2 * 3

एस पक्ष। = 6.28 * 6

एस पक्ष। = 37.68

सिलेंडर का पार्श्व सतह क्षेत्र 37.68 है।

2. एक बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि ऊँचाई 4 है और त्रिज्या 6 है?

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = 2πr2 + 2πrh

एस = 2 * 3.14 * 62 + 2 * 3.14 * 6 * 4

एस = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

एस = 226.08 + 150.72

सिलेंडर का सतह क्षेत्र 376.8 है।

3 एक सीधे वृत्तीय बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 24π है, और आधार व्यास 3 है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

सिलेंडर एस पक्ष की पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र से। = 2πrh यह इस प्रकार है कि ऊंचाई है:

एच = एस पक्ष। / 2πr

त्रिज्या का मान सूत्र से प्राप्त होता है: d = 2r

सिलेंडर की ऊंचाई 8 है।

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एक बेलन एक बेलनाकार सतह और समानांतर में दो वृत्तों से बनी एक आकृति है। एक सिलेंडर के क्षेत्र की गणना गणित के ज्यामितीय खंड में एक समस्या है, जिसे काफी सरलता से हल किया जा सकता है। इसे हल करने की कई विधियाँ हैं, जिसके परिणामस्वरूप, हमेशा एक सूत्र पर आ जाते हैं।

बेलन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - गणना के नियम

सिलेंडर के क्षेत्र का पता लगाने के लिए, आधार के दो क्षेत्रों को पार्श्व सतह के क्षेत्र के साथ जोड़ना आवश्यक है: एस = साइड। + 2Sn। अधिक विस्तृत संस्करण में, यह सूत्र इस तरह दिखता है: S = 2 π rh + 2 π r2 = 2 r (h + r)।
किसी दिए गए ज्यामितीय निकाय के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना की जा सकती है यदि आधार पर स्थित वृत्त की ऊंचाई और त्रिज्या ज्ञात हो। इस स्थिति में, यदि दिया गया हो, तो आप परिधि से त्रिज्या व्यक्त कर सकते हैं। यदि जनरेटर मान स्थिति में निर्दिष्ट है तो ऊंचाई पाई जा सकती है। इस मामले में, जेनरेट्रिक्स ऊंचाई के बराबर होगा। किसी दिए गए शरीर की पार्श्व सतह का सूत्र इस तरह दिखता है: S = 2 rh।
आधार के क्षेत्रफल की गणना एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करके की जाती है: S osn = r 2। कुछ कार्यों में, त्रिज्या नहीं दी जा सकती है, लेकिन परिधि निर्दिष्ट की जाती है। इस सूत्र से त्रिज्या को बहुत आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। = 2π आर, आर = С / 2π। यह भी याद रखना चाहिए कि त्रिज्या आधा व्यास है।
इन सभी गणनाओं को करते समय, संख्या का आमतौर पर 3.14159 में अनुवाद नहीं किया जाता है ... इसे केवल उस संख्यात्मक मान के बगल में जोड़ा जाना चाहिए जो गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त हुआ था।
इसके बाद, आपको बस पाए गए आधार क्षेत्र को 2 से गुणा करना होगा और परिणामी संख्या में आंकड़े की गणना की गई पार्श्व सतह क्षेत्र को जोड़ना होगा।
यदि समस्या इंगित करती है कि सिलेंडर में एक अक्षीय खंड है और यह एक आयत है, तो समाधान थोड़ा अलग होगा। इस मामले में, आयत की चौड़ाई शरीर के आधार पर वृत्त का व्यास होगी। आकृति की लंबाई जेनरेटरिक्स या सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर होगी। आपको गणना करने की आवश्यकता है वांछित मूल्यऔर इसे पहले से ज्ञात सूत्र में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए आयत की चौड़ाई को आधा किया जाना चाहिए। पार्श्व सतह को खोजने के लिए, लंबाई को दो त्रिज्याओं और संख्या से गुणा किया जाता है।
आप किसी दिए गए ज्यामितीय निकाय के क्षेत्रफल की गणना उसके आयतन से कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र V = r 2 h से लापता मान प्राप्त करने की आवश्यकता है।
सिलेंडर के क्षेत्रफल की गणना करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। आपको केवल सूत्रों को जानने और गणना के लिए आवश्यक मूल्यों को प्राप्त करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

त्रिज्या R और ऊँचाई h के परिक्रमण के एक बेलन पर विचार करें (चित्र 383)। आइए हम इस बेलन के आधार में एक नियमित बहुभुज (चित्र 383 - एक षट्भुज में) अंकित करें और इसका उपयोग सिलेंडर में अंकित एक नियमित प्रिज्म के निर्माण के लिए करें। मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में पार्श्व चेहरों के साथ नियमित प्रिज्म को सिलेंडर के चारों ओर उसी तरह वर्णित किया जा सकता है।

परिभाषा के अनुसार, सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को उस सीमा के रूप में लिया जाता है, जिस पर नियमित प्रिज्म के पार्श्व सतहों के क्षेत्र अंकित और उसके चारों ओर वर्णित होते हैं क्योंकि उनके पार्श्व चेहरों की संख्या असीमित रूप से दोगुनी हो जाती है (या आम तौर पर वृद्धि हुई)।

अब हम सिद्ध करेंगे कि ऐसी कोई सीमा होती है। यदि हम एक नियमित-गॉन पर निर्मित एक उत्कीर्ण नियमित प्रिज्म लेते हैं, जैसे कि आधार पर, तो इसकी पार्श्व सतह के लिए हमारे पास अभिव्यक्ति होगी, जहां सिलेंडर के आधार के सर्कल में अंकित एक नियमित-गोन की परिधि है। पर । वर्णित प्रिज्म के लिए बिल्कुल वही गणना वही परिणाम देती है। तो, क्रांति के सिलेंडर का पार्श्व सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

बेलन की पार्श्व सतह जनक की लंबाई और आधार की परिधि (अर्थात परिधि) के गुणनफल के बराबर होती है।

समस्या 1. सिलेंडर के ऊपरी और निचले आधारों के व्यास के विपरीत बिंदुओं ए और बी को जोड़ने वाला खंड (चित्र। 384) 10 सेमी है और आधार के तल पर 60 ° के कोण पर झुका हुआ है। बेलन के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए हम खंड ए के माध्यम से सिलेंडर के आधार पर लंबवत विमान के साथ चौराहे को पूरा करें। त्रिभुज से हमारे पास है

जहाँ से हम बेलन की पार्श्व सतह पाते हैं

समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण के समान तल पर झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।

2. समकोण चतुर्भुज में, आधार का न्यून कोण a के बराबर होता है, और आधार की एक भुजा a के बराबर होती है। इस तरफ से खींचे गए खंड और ऊपरी आधार के विपरीत किनारे का एक क्षेत्र Q है, और इसका तल एक कोण पर आधार के तल की ओर झुका हुआ है। एक समांतर चतुर्भुज का आयतन और पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

3. झुके हुए त्रिभुजाकार प्रिज्म का आधार एक समद्विबाहु है सही त्रिकोण, और आधार तल पर पार्श्व पसलियों में से एक का प्रक्षेपण त्रिभुज के पैरों में से एक के मध्य मीटर के साथ मेल खाता है। यदि प्रिज्म का आयतन V है, तो आधार के तल पर पार्श्व पसलियों के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।

4. एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म में, आधार के किनारे के माध्यम से दो खंड खींचे जाते हैं: 1) युक्त विपरीत दिशाऊपरी आधार, 2) ऊपरी आधार के केंद्र से युक्त। प्रिज्म की किस ऊंचाई पर क्रॉस-सेक्शनल विमानों के बीच का कोण सबसे बड़ा है और इस मामले में यह कितना बराबर है?