वर्गों के परिमापों का योग क्या है। वर्ग की परिधि क्या है? परिधि और पहलू अनुपात

आप अक्सर इंटरनेट पर उपहास पाते हैं कि कैसे गणित में ज्ञान - इंटीग्रल, डिफरेंशियल, ट्रिग्नोमेट्रिक फ़ंक्शंस और विषय के अन्य खंड - किसी व्यक्ति के जीवन को आसान बनाने में मदद नहीं करते हैं। इस तरह के चुटकुले व्यर्थ हैं, क्योंकि एक वर्ग, आयत और अन्य की परिधि की सही गणना करने की क्षमता कैसे मदद करती है? ज्यामितीय आकारवी निर्माण कार्य... सामग्री की खपत: टाइल, वॉलपेपर, फर्श - प्राथमिक गणितीय सूत्रों और ज्यामितीय आकृतियों को समझे बिना निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

वर्ग गुण

गणित में कोई भी गणना वस्तु के गुणों पर आधारित होती है। प्रश्न का उत्तर देने के लिए: "क्या बराबर परिधिवर्ग? " - इस आंकड़े की विशिष्ट विशेषताओं को याद रखने की सिफारिश की जाती है।

1. सभी दलों की समानता।
2. 90 डिग्री के चार कोणों की उपस्थिति।
3. पक्षों की समानता।
4. घूर्णी समरूपता। जब आप किसी आकृति को घुमाते हैं, तो उसका स्वरूप अपरिवर्तित रहता है।
5. एक वृत्त का वर्णन करने और लिखने की क्षमता।
6. जब वे पार करते हैं तो विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
7. एक आकृति का क्षेत्र द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक वर्ग से भरे स्थान की विशेषता है।
8. एक आकृति का परिमाप उसकी भुजाओं की लंबाई के योग से अधिक कुछ नहीं है।
9. यह पिछली संपत्ति से इस प्रकार है कि परिधि मान के लिए माप की इकाइयां लंबाई की इकाइयां होंगी: मीटर, सेमी, डीएम और अन्य।

एक चौकोर कमरे में नवीनीकरण पूरा करने के लिए झालर बोर्ड की गणना करने के लिए, आपको कमरे की लंबाई जानने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, आपको इसकी परिधि की गणना करने की आवश्यकता है।

परिमाप

ग्रीक से अनुवादित इस शब्द का अर्थ है "चारों ओर मापना।" यह शब्द सभी बंद आकृतियों पर लागू होता है: वर्ग, वृत्त, आयत, त्रिभुज, समलम्ब और अन्य। अनियमित आकार की वस्तुओं के साथ जटिल ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए प्राथमिक आंकड़ों की परिधि निर्धारित करने का ज्ञान आवश्यक है। उदाहरण के लिए, "जी" प्रकार के लेआउट वाले कमरे में झालर बोर्ड की गणना करने के लिए, या जैसा कि इसे "बूट" भी कहा जाता है, आपको एक वर्ग और एक आयत की परिधि निर्धारित करने की आवश्यकता होगी। आखिरकार, कमरे के आकार में ये प्राथमिक आंकड़े होते हैं।

इस तरह के मूल्य के लिए आम तौर पर स्वीकृत पदनाम पी अक्षर है। प्रत्येक आकृति, इसके गुणों को ध्यान में रखते हुए, परिधि निर्धारित करने के लिए अपना स्वयं का सूत्र है।

आयत गुण

1. विपरीत पक्षों की समानता।
2. विकर्णों की समानता।
3. एक चक्र का वर्णन करने की क्षमता।
4. आयत की ऊँचाई उसकी भुजाओं के बराबर है।
5. कोणों का योग 360 डिग्री तक होता है, और सभी कोण समकोण होते हैं।
6. विपरीत पक्षों की समानता।
7. आसन्न पक्षों की लंबवतता।
8. एक आयत के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
9. विकर्णों को पार करना एक दूसरे को आधा में विभाजित करता है।
10. आकृति में एक वृत्त फिट करने में असमर्थता।

एक वर्ग का परिमाप

एक वर्ग के स्थापित (ज्ञात) मापदंडों के आधार पर, इसकी परिधि निर्धारित करने के लिए अलग-अलग सूत्र होते हैं। एक सरल कार्य इसके पक्ष (सी) की निर्दिष्ट लंबाई के साथ परिधि की गणना करना है। इस मामले में, पी = सी + सी + सी + सी या 4 * सी। उदाहरण के लिए, वर्ग की भुजा की लंबाई 7 सेमी है, तो आकृति का परिमाप 28 सेमी (4 * 7) होगा।

पहले मामले में, सब कुछ स्पष्ट है, लेकिन एक वर्ग का परिमाप कैसे ज्ञात करें, इसका क्षेत्रफल जानकर? और यहाँ सब कुछ बहुत स्पष्ट है। चूँकि किसी आकृति का क्षेत्रफल एक भुजा को दूसरी भुजा से गुणा करके निर्धारित किया जाता है, और एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए ज्ञात मान से मूल निकालना आवश्यक है। उदाहरण: 25 dm 2 क्षेत्रफल वाला एक वर्ग है। 25 का मूल 5 है - यह मान वर्ग की भुजा की लंबाई को दर्शाता है। अब, पाया गया मान - 5 डीएम 2 - परिधि के मूल सूत्र में, आप समस्या को हल कर सकते हैं। उत्तर 20 डीएम है। यानी 4 को 5 से गुणा करने पर हमें मनचाहा मान मिलता है.

स्क्वायर और सर्कल

प्रश्न में आकृति के गुणों से, यह उभर कर आता है कि एक वृत्त को एक वर्ग में अंकित किया जा सकता है और आकृति के चारों ओर वर्णित भी किया जा सकता है।

पहला विकल्प परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के अनुदिश परिमाप ज्ञात करना है। एक वर्ग को खुदा हुआ माना जाता है, जिसके कोने एक वृत्त पर स्थित होते हैं। वृत्त की त्रिज्या विकर्ण की लंबाई की 1/2 है। यह पता चला है कि व्यास विकर्ण के बराबर है। अब आपको एक समकोण त्रिभुज पर विचार करने की आवश्यकता है, जो वर्ग को विकर्ण के साथ विभाजित करने के परिणामस्वरूप निकला। समस्या का समाधान इस त्रिभुज की भुजाओं को खोजने तक ही सीमित है। BC एक ज्ञात मान है, परिबद्ध वृत्त का व्यास। मान लीजिए कि यह 3 सेमी के बराबर है। पाइथागोरस प्रमेय एक त्रिभुज की समान भुजाओं वाले मामले में इस तरह दिखेगा: 2c 2 = 3 2. सूत्र में, पदनाम c त्रिभुज और वर्ग की भुजा की लंबाई है; 3 - कर्ण का ज्ञात मान। इसलिए, सी = √9 / 2। वर्ग की भुजा जानने के बाद, इसकी परिधि की गणना करने में कोई समस्या नहीं है।

उत्कीर्ण वृत्त की एक विशेषता वर्ग की भुजाओं का आधा भाग करना है। इसलिए, त्रिज्या वर्ग की भुजा की आधी लंबाई के बराबर है। फिर भुजा c = 2 * त्रिज्या। इस मामले में वर्ग की परिधि 4 * 2 * त्रिज्या या वृत्त की 8 त्रिज्या के बराबर है।

एक आयत का परिमाप

एक आयत की परिधि को उसके पक्षों के ज्ञात मूल्यों के माध्यम से निर्धारित करने का सबसे प्राथमिक सूत्र इस तरह दिखता है: P = 2 (a + b), जहाँ a और b आकृति के पक्षों की लंबाई हैं।

एक आयत का विकर्ण, एक वर्ग की तरह, आकृति को आधे में विभाजित करता है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है। हालाँकि, यह कार्य इस तथ्य से जटिल है कि इस त्रिभुज की भुजाएँ असमान हैं। एक पक्ष और विकर्ण के ज्ञात मान के मामले में, दूसरा पाइथागोरस प्रमेय का पालन करके पाया जा सकता है: d 2 = a 2 + b 2, जहाँ a और b आकृति की भुजाएँ हैं, और d है विकर्ण।

यदि कोई भी पक्ष ज्ञात नहीं है, तो त्रिकोणमिति का ज्ञान चलन में आता है: साइन, कोसाइन और अन्य कार्य।

एक परिबद्ध वृत्त और एक ज्ञात व्यास के साथ परिमाप ज्ञात करना इस तथ्य तक कम हो जाता है कि व्यास लंबाई के बराबरआकृति के विकर्ण। इसके अलावा, समस्या का समाधान ज्ञात मूल्यों की उपस्थिति से निर्धारित होता है। यदि कोण दिए गए हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में। यदि एक पक्ष दिया जाता है, तो उत्तर पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से मिलेगा।

आयत और त्रिकोणमितीय कार्य

स्पष्टता के लिए, समस्या को हल करने का एक उदाहरण दिया गया है। दिया गया: आयत AVSD; विकर्ण लंबाई ( डी) 20 सेमी; इंजेक्शन एफ- 30 डिग्री। आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए।

त्रिकोणमिति से, आपको निम्नलिखित को याद रखने की आवश्यकता है: कोण की ज्या in सही त्रिकोणविपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर। 30 ° की ज्या (ऐसी तालिकाएँ हैं जिनके द्वारा आप सही कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मान निर्धारित कर सकते हैं) 1/2 है। यह निकला 1/2 = के संबंध में डी... में अज्ञात मान के बराबर होगा डी/ 2 = 20/2 = 10 सेमी।

परिधि की गणना करने के लिए, आकृति का दूसरा पक्ष खोजें। यह पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से संभव है, क्योंकि कर्ण और पैरों में से एक की लंबाई ज्ञात है, या फिर कोण के कोसाइन के लिए पहलू अनुपात के माध्यम से।

कोण की कोज्या एफआसन्न पैर के कर्ण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया है और √3 / 2 के बराबर है।

√3/2=रा, एन = (डी*√3)/2 या 10*√3. 3 से जड़ निकालने के बाद, हमें त्रिभुज की भुजा की लंबाई मिलती है: 10 * 1.73 = 17.3 सेमी।

परिधि 2 (17.3 + 10) = 2 * 27.3 = 54.6 सेमी है।

परिधि और पहलू अनुपात

वी स्कूल का पाठ्यक्रमज्यामिति में समस्याएँ तब होती हैं जब एक आयत की भुजाओं की लंबाइयों को उनके अनुपात से व्यक्त किया जाता है। ऐसी समस्या के समाधान पर विचार नीचे प्रस्तुत किया गया है।

यह ज्ञात है कि एक आयत की सभी भुजाओं की लंबाई का योग 84 सेमी है, लंबाई (डी) से चौड़ाई (डब्ल्यू) का अनुपात 3: 2 है। आकृति की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल: मान लें कि लंबाई 3x और चौड़ाई 2x समस्या कथन के अनुपात के अनुसार है। भुजाओं की लंबाई के लिए प्राप्त आंकड़ों के साथ एक आयत के परिमाप का सूत्र इस प्रकार होगा: 3x + 3x + 2x + 2x = 84। इसके अलावा, 10x = 84, x = 8.4 सेमी। के लिए व्यंजक में x को प्रतिस्थापित करना आयत की लंबाई और चौड़ाई, आप वांछित मान पा सकते हैं। लंबाई होगी: 3 * 8.4 = 25.2 सेमी; चौड़ाई: 2 * 8.4 = 16.8 सेमी।

लेख स्कूली पाठ्यक्रम में सबसे अधिक बार सामना की जाने वाली समस्याओं को हल करने के लिए समर्पित है। और ये एक वर्ग और एक आयत का परिमाप ज्ञात करने के सभी तरीके नहीं हैं।

एक वर्ग के क्षेत्रफल और परिधि की गणना करने के लिए, आपको इन राशियों की अवधारणाओं को समझने की आवश्यकता है। एक वर्ग एक आयत है जिसमें केवल चार समान भुजाएँ होती हैं जिनके बीच 90 ° का कोण होता है। परिधि सभी पक्षों की लंबाई का योग है। क्षेत्रफल एक आयताकार आकार की लंबाई की चौड़ाई का गुणनफल है।

एक वर्ग का क्षेत्रफल और उसे कैसे ज्ञात करें

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक वर्ग 4 बराबर भुजाओं वाला एक आयत है, इसलिए प्रश्न का उत्तर: "एक वर्ग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें" सूत्र है: S = a * a या S = a 2 , जहाँ a वर्ग की भुजा है। इस सूत्र के आधार पर यदि क्षेत्रफल ज्ञात हो तो वर्ग की भुजा ज्ञात करना आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको निर्दिष्ट मान से वर्ग निकालने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, एस = 121, इसलिए, ए = √121 = 11. यदि निर्दिष्ट मान वर्गों की तालिका में नहीं है, तो आप कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं: एस = 94, ए = 94 = 9.7।

एक वर्ग का परिमाप कैसे ज्ञात करें

एक वर्ग का परिमाप एक आसान सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: P = 4a, जहाँ a वर्ग की भुजा है।

उदाहरण:

• वर्ग की भुजा = 5, इसलिए P = 4 * 5 = 20
• वर्ग की भुजा = 3, इसलिए P = 4 * 3 = 12

लेकिन ऐसे कार्य हैं जहां क्षेत्र को जानबूझकर नामित किया गया है, लेकिन आपको परिधि खोजने की आवश्यकता है। हल करते समय, आपको उन सूत्रों की आवश्यकता होती है जो पहले प्रस्तुत किए गए थे।

उदाहरण के लिए: यदि आप 144 के बराबर क्षेत्रफल जानते हैं तो एक वर्ग का परिमाप कैसे ज्ञात करें?

समाधान कदम:

1. हम एक भुजा की लंबाई ज्ञात करते हैं: a = √144 = 12
2. हम परिधि पाते हैं: पी = 4 * 12 = 48।

एक खुदे हुए वर्ग का परिमाप ज्ञात करना

एक वर्ग का परिमाप ज्ञात करने के और भी कई तरीके हैं। उनमें से एक पर विचार करें: परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से परिधि का पता लगाना। यहां एक नया शब्द "अंकित वर्ग" प्रकट होता है - यह एक वर्ग है जिसके कोने एक वृत्त पर स्थित होते हैं।

समाधान एल्गोरिथ्म:

• चूँकि हम एक वर्ग पर विचार कर रहे हैं, इसलिए सूत्र को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: a 2 + ए 2 = (2r) 2;
• तो समीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए: 2a 2 = 4 (आर) 2;
• हम समीकरण को 2 से विभाजित करते हैं: (a 2) = 2 (आर) 2;
• जड़ निकालें: a = (2r)।

परिणामस्वरूप, हमें अंतिम सूत्र प्राप्त होता है: a (वर्ग की भुजा) = (2r)।

1. वर्ग के पाए गए पक्ष को 4 से गुणा किया जाता है, फिर परिधि को खोजने के लिए मानक सूत्र लागू किया जाता है: P = 4√ (2r)।

कार्य:

एक वृत्त में अंकित एक वर्ग दिया गया है, इसकी त्रिज्या 5 है। इसलिए, वर्ग का विकर्ण 10 है। पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें: 2 (a) 2) = 10 2, यानी 2a 2 = 100. परिणाम को दो से विभाजित करें और परिणाम के रूप में: a 2 = 50. चूंकि यह एक सारणीबद्ध मान नहीं है, इसलिए हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं: a = √50 = 7.07। 4 से गुणा करें: पी = 4 * 7.07 = 28.2। समस्या सुलझ गई है!

आइए एक और प्रश्न पर विचार करें

समस्याओं में अक्सर एक और स्थिति का सामना करना पड़ता है: यदि परिधि ज्ञात हो तो एक वर्ग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

हमने पहले से ही सभी आवश्यक सूत्रों पर विचार किया है, इसलिए, इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए, कुशलता से लागू करना और उन्हें जोड़ना आवश्यक है। चलो सीधे चलते हैं एक अच्छा उदाहरण: वर्ग का क्षेत्रफल 25 सेमी . है 2 , इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

समाधान कदम:

1. हम वर्ग की भुजा पाते हैं: a = 25 = 5।

1. हम परिधि स्वयं पाते हैं: पी = 4 * ए = 4 * 5 = 20।

संक्षेप में, यह याद दिलाना महत्वपूर्ण है कि ऐसे प्रकाश सूत्र न केवल में लागू होते हैं शिक्षण गतिविधियां, लेकिन दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगी... बच्चे आकृति का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखते हैं यहाँ तक कि प्राथमिक विद्यालय... मध्य ग्रेड में, एक नया विषय दिखाई देता है - ज्यामिति, जहां पाइथागोरस प्रमेय अध्ययन की शुरुआत में है। गणित की इन मूल बातों की जाँच स्कूल OGE और USE के अंत में भी की जाती है, इसलिए इन सूत्रों को जानना और उन्हें सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है।